高考数学一轮复习第四单元导数及其应用高考达标检测十一导数运算是基点几何意义是重点定积分应用是潜考点理

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第01节 导数概念及其几何意义【考纲解读】【知识清单】1．导数的概念1．函数y ＝f (x ）在x ＝x 0处的导数定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0000()()limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆为函数y ＝f (x ）在x ＝x 0处的导数,记作f ′（x 0）或y ′｜x ＝x 0,即00000()()()lim limx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆. 2．函数f (x )的导函数称函数0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-=∆为f (x )的导函数．2．函数()y f x =在0x x =处的导数几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0）的几何意义是在曲线y ＝f （x )上点 (x 0，f （x 0）)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s （t ）对时间t 的导数）．相应地,切线方程为y －f （x 0)＝f ′（x 0）（x －x 0)．【重点难点突破】考点1 利用导数的定义求函数的导数 【1-1】一质点运动的方程为283s t =-。

（1）求质点在[1，1+Δt]这段时间内的平均速度；（2)求质点在t=1时的瞬时速度（用定义及求求导两种方法） 【答案】（1）63x --∆；（2）6-。

§3.1导数的概念及其意义、导数的计算课标要求1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数．知识梳理1．导数的概念(1)设函数y ＝f (x )，当自变量x 从x 0变到x 1时，函数值y 从f (x 0)变到f (x 1)，则函数y ＝f (x )在点x 0处的导数，通常用符号f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝()()101010lim x x f x f x x x →--＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .(2)函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )＝lim Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x 0处的导数f ′(x 0)，是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，函数y ＝f (x )在x 0处切线的斜率反映了导数的几何意义．3．基本初等函数的导数公式函数导数y ＝c (c 是常数)y ′＝0y ＝x α(α是实数)y ′＝αx α－1y ＝a x (a >0，a ≠1)y ′＝a x ln_a ，特别地(e x )′＝e x y ＝log a x (a >0，a ≠1)y ′＝1x ln a ，特别地(ln x )′＝1xy ＝sin x y ′＝cos_x y ＝cos x y ′＝－sin_x y ＝tan xy ′＝1cos 2x4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)；[kf (x )]′＝kf ′(x )(k ∈R )．5．复合函数的定义及其导数复合函数y ＝f (φ(x ))对x 的导数为：y ′x ＝[f (φ(x ))]′＝f ′(u )φ′(x )，其中u ＝φ(x )．常用结论1．在点处的切线与过点的切线的区别(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．(2)过点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．2.1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2(f (x )≠0)．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．(×)(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(×)(3)f ′(x 0)＝[f (x 0)]′.(×)(4)(e －x )′＝－e －x .(√)2．若函数f (x )＝3x ＋sin 2x ，则()A ．f ′(x )＝3x ln 3＋2cos 2xB ．f ′(x )＝3x ＋2cos 2xC ．f ′(x )＝3xln 3＋cos 2xD ．f ′(x )＝3xln 3－2cos 2x答案A3．曲线y ＝12x 2－2处的切线的倾斜角是．答案π4解析y ′＝x ，所以切线的斜率k ＝1，所以倾斜角为π4.4．设曲线y ＝e 2ax 在点(0,1)处的切线与直线2x －y ＋1＝0垂直，则a 的值为．答案－14解析∵y ＝e 2ax ，∴y ′＝e 2ax ·(2ax )′＝2a ·e 2ax ，∴在点(0,1)处的切线斜率k ＝2a e 0＝2a ，又∵切线与直线2x －y ＋1＝0垂直，∴2a ×2＝－1，∴a ＝－14.题型一导数的运算例1(1)(多选)下列求导正确的是()A ．[(3x ＋5)3]′＝9(3x ＋5)2B ．(x 3ln x )′＝3x 2ln x ＋x 2′＝2x cos x ＋4sin xx 3D ．(ln 2x )′＝12x答案AB解析对于A ，[(3x ＋5)3]′＝3(3x ＋5)2(3x ＋5)′＝9(3x ＋5)2，故A 正确；对于B ，(x 3ln x )′＝(x 3)′ln x ＋x 3(ln x )′＝3x 2ln x ＋x 2，故B 正确；对于C ＝(2sin x )′x 2－2sin x (x 2)′x 4＝2x cos x －4sin x x 3，故C 错误；对于D ，(ln 2x )′＝2·12x ＝1x，故D 错误．(2)(2023·河南联考)已知函数f (x )满足f (x )＝2f ′(1)ln x ＋xe (f ′(x )为f (x )的导函数)，则f (e)等于()A ．e －1 B.2e ＋1C ．1D ．－2e＋1答案D解析f ′(x )＝2f ′(1)x＋1e ，当x ＝1时，f ′(1)＝2f ′(1)＋1e ，解得f ′(1)＝－1e，故f (x )＝－2ln x e ＋xe，所以f (e)＝－2ln e e ＋e e ＝－2e＋1.思维升华(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．跟踪训练1(多选)下列命题正确的是()A ．若f (x )＝x sin x －cos x ，则f ′(x )＝sin x －x cos x ＋sin xB ．设函数f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝eC ．已知函数f (x )＝3x 2e x ，则f ′(1)＝12eD ．设函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)＝－94答案BD解析对于选项A ，f ′(x )＝sin x ＋x cos x ＋sin x ，故选项A 不正确；对于选项B ，f ′(x )＝ln x ＋1，则f ′(x 0)＝ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e ，故选项B 正确；对于选项C ，f ′(x )＝6x e x ＋3x 2e x ，则f ′(1)＝6e ＋3e ＝9e ，故选项C 不正确；对于选项D ，f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x ，则f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12，解得f ′(2)＝－94，故选项D正确．题型二导数的几何意义命题点1求切线方程例2(1)(2023·全国甲卷)曲线y ＝e xx ＋1在点()A ．y ＝e4xB ．y ＝e2xC ．y ＝e 4x ＋e4D ．y ＝e 2x ＋3e4答案C解析因为y ＝e xx ＋1，所以y ′＝e x (x ＋1)－e x (x ＋1)2＝x e x(x ＋1)2，所以当x ＝1时，y ′＝e4，所以曲线y ＝e x x ＋1在点y －e 2＝e 4(x －1)，即y ＝e 4x ＋e4.(2)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线y ＝ln|x |过坐标原点的两条切线的方程为，.答案y ＝1ex y ＝－1ex解析先求当x >0时，曲线y ＝ln x 过原点的切线方程，设切点为(x 0，y 0)，则由y ′＝1x ，得切线斜率为1x 0，又切线的斜率为y 0x 0，所以1x 0＝y0x 0，解得y 0＝1，代入y ＝ln x ，得x 0＝e ，所以切线斜率为1e ，切线方程为y ＝1e x .同理可求得当x <0时的切线方程为y ＝－1e x .综上可知，两条切线方程为y ＝1e x ，y ＝－1e x .命题点2求参数的值(范围)例3(1)(2024·泸州模拟)若直线y ＝kx ＋1为曲线y ＝ln x 的一条切线，则实数k 的值是()A ．eB ．e 2 C.1eD.1e 2答案D解析设直线y ＝kx ＋1在曲线y ＝ln x 上的切点为P (x 0，y 0)，因为y ＝ln x ，所以y ′＝1x ，所以切线在点P 处的斜率k ＝1x 0，所以曲线y ＝ln x 在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)，又y 0＝ln x 0，所以切线方程为y ＝1x 0·x －1＋ln x 0，又切线方程为y ＝kx ＋1，＝1x 0，＝－1＋ln x 0，0＝e 2，＝1e2.(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y ＝(x ＋a )e x 有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是．答案(－∞，－4)∪(0，＋∞)解析因为y ＝(x ＋a )e x ，所以y ′＝(x ＋a ＋1)e x .设切点为000(,()e )xA x x a +，O 为坐标原点，依题意得，切线斜率k OA ＝0000()e (1)e x x x a x a x +++=，化简，得x 20＋ax 0－a ＝0.因为曲线y ＝(x ＋a )e x 有两条过坐标原点的切线，所以关于x 0的方程x 20＋ax 0－a ＝0有两个不同的根，所以Δ＝a 2＋4a >0，解得a <－4或a >0，所以a 的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．思维升华(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．(2)注意区分“在点P 处的切线”与“过点P 的切线”．跟踪训练2(1)(2023·深圳质检)已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝x 3－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,0)处的切线方程是()A ．2x －y －2＝0B ．4x －y －4＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．4x ＋y －4＝0答案C解析当x <0时，f (x )＝x 3－x ，则f ′(x )＝3x 2－1，所以f ′(－1)＝2，由f (x )为偶函数，得f ′(1)＝－f ′(－1)＝－2，则曲线y ＝f (x )在点(1,0)处的切线方程是y ＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0.(2)若函数f (x )＝x －1x ＋a ln x 存在与x 轴平行的切线，则实数a 的取值范围是．答案(－∞，－2]解析f ′(x )＝1＋1x 2＋ax(x >0)，依题意得f ′(x )＝1＋1x 2＋ax ＝0有解，即－a ＝x ＋1x有解，∵x >0，∴x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时取等号，∴－a ≥2，即a ≤－2.题型三两曲线的公切线例4(1)(2024·青岛模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )＝－2x 2＋m ，g (x )＝－3ln x －x ，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m 的值为()A ．2B ．5C ．1D ．0答案C解析根据题意，设两曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )的公共点为(a ，b )，其中a ＞0，由f (x )＝－2x 2＋m ，可得f ′(x )＝－4x ，则切线的斜率k ＝f ′(a )＝－4a ，由g (x )＝－3ln x －x ，可得g ′(x )＝－3x －1，则切线的斜率k ＝g ′(a )＝－3a－1，因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以－4a ＝－3a －1，解得a ＝1或a ＝－34(舍去)，又由g (1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)，将点(1，－1)代入f (x )＝－2x 2＋m ，可得m ＝1.(2)若两曲线y ＝ln x －1与y ＝ax 2存在公切线，则正实数a 的取值范围是()A ．(0,2e] B.12e －3，12e －3D ．[2e ，＋∞)答案B解析设公切线与曲线y ＝ln x －1和y ＝ax 2的切点分别为(x 1，ln x 1－1)，(x 2，ax 22)，其中x 1>0，对于y ＝ln x －1有y ′＝1x，则切线方程为y －(ln x 1－1)＝1x 1(x －x 1)，即y ＝xx 1＋ln x 1－2，对于y ＝ax 2有y ′＝2ax ，则切线方程为y －ax 22＝2ax 2(x －x 2)，即y ＝2ax 2x －ax 22，2ax 2，x 1－2＝－ax 22，则－14ax 21＝ln x 1－2，即14a＝2x 21－x 21ln x 1(x 1>0)，令g (x )＝2x 2－x 2ln x ，x >0，则g ′(x )＝3x －2x ln x ＝x (3－2ln x )，令g ′(x )＝0，得x ＝32e ，当x ∈32(0,e )时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x ∈32(e ,) 时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，所以g (x )max ＝32(e )g ＝12e 3，故0<14a ≤12e 3，即a ≥12e －3.思维升华公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．跟踪训练3(1)(2023·青岛模拟)若曲线C 1：f (x )＝x 2＋a 和曲线C 2：g (x )＝4ln x －2x 存在有公共切点的公切线，则a ＝.答案－3解析f (x )＝x 2＋a ，g (x )＝4ln x －2x ，则有f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝4x －2.设公共切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝2x 0，g ′(x 0)＝4x 0－2，f (x 0)＝x 20＋a ，g (x 0)＝4ln x 0－2x 0.x 0＝4x 0－2，20＋a ＝4ln x 0－2x 0，0>0，0＝1，＝－3.(2)已知f (x )＝e x －1，g (x )＝ln x ＋1，则f (x )与g (x )的公切线有()A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条答案C解析根据题意，设直线l 与f (x )＝e x －1相切于点(m ，e m －1)，与g (x )相切于点(n ，ln n ＋1)，对于f (x )＝e x －1，有f ′(x )＝e x ，则直线l 的斜率k ＝e m ，则直线l 的方程为y ＋1－e m ＝e m (x －m )，即y ＝e m x ＋(1－m )e m －1，对于g (x )＝ln x ＋1，有g ′(x )＝1x ，则直线l 的斜率k ＝1n，则直线l 的方程为y －(ln n ＋1)＝1n (x －n )，即y ＝1n x ＋ln n m ＝1n ，－m )e m ＝ln n ＋1，可得(1－m )(e m －1)＝0，即m ＝0或m ＝1，则切线方程为y ＝e x －1或y ＝x ，故f (x )与g (x )的公切线有2条．课时精练一、单项选择题1．若函数f (x )＝e x sin 2x ，则f ′(0)等于()A ．2B ．1C ．0D ．－1答案A解析因为f (x )＝e x sin 2x ，则f ′(x )＝e x (sin 2x ＋2cos 2x )，所以f ′(0)＝e 0(sin 0＋2cos 0)＝2.2.函数y ＝f (x )的图象如图所示，f ′(x )是函数f (x )的导函数，则下列大小关系正确的是()A ．2f ′(3)<f (5)－f (3)<2f ′(5)B ．2f ′(3)<2f ′(5)<f (5)－f (3)C ．f (5)－f (3)<2f ′(3)<2f ′(5)D ．2f ′(5)<2f ′(3)<f (5)－f (3)答案A解析由图可知，f ′(3)<f (5)－f (3)5－3<f ′(5)，即2f ′(3)<f (5)－f (3)<2f ′(5)．3．(2023·榆林模拟)已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2的图象在x ＝1处的切线方程为3x －y ＋b ＝0，则a ＋b 等于()A ．－2B ．－1C ．0D ．1答案B解析因为f (x )＝a ln x ＋x 2，所以f ′(x )＝ax＋2x .又函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为3x －y ＋b ＝0，所以f ′(1)＝a ＋2＝3，解得a ＝1，则f (x )＝ln x ＋x 2，所以f (1)＝1，代入切线方程得3－1＋b ＝0，解得b ＝－2，故a ＋b ＝－1.4．(2023·成都川大附中模拟)若点P 是曲线y ＝ln x －x 2上任意一点，则点P 到直线l ：x ＋y －4＝0距离的最小值为()A.22B.2C ．22D ．42答案C解析过点P 作曲线y ＝ln x －x 2的切线，当切线与直线l ：x ＋y －4＝0平行时，点P 到直线l ：x ＋y －4＝0的距离最小．设切点为P (x 0，y 0)(x 0>0)，又y ′＝1x－2x ，所以切线斜率k ＝1x 0－2x 0，由题意知1x 0－2x 0＝－1，解得x 0＝1或x 0＝－12(舍)，所以P (1，－1)，此时点P 到直线l ：x ＋y －4＝0的距离d ＝|1－1－4|2＝2 2.5．直线l 与曲线y ＝e x ＋1和y ＝e x ＋1均相切，则l 的斜率为()A.12B ．1C ．2D ．e答案B解析由y ＝e x ＋1，可得y ′＝e x ；由y ＝e x ＋1，可得y ′＝e x ＋1，设两个切点分别为(x 1，1e x ＋1)和(x 2，21e x +)，直线l 的斜率k ＝121e e x x +=，故x 1＝x 2＋1，即x 1≠x 2，所以k ＝21121e e 1x x x x +---＝－1－1＝1，即直线l 的斜率为1.6．若函数f (x )＝x 2－2ax2＋ln(x ＋1)的图象上不存在互相垂直的切线，则a 的取值范围是()A ．a ≤1B ．a <0C ．a ≥1D ．a ≤0答案A解析因为函数f (x )＝x 2－2ax2＋ln(x ＋1)(x >－1)，所以f ′(x )＝x ＋1x ＋1－a ＝x ＋1＋1x ＋1－a －1≥2(x ＋1)·1x ＋1－a －1＝1－a ，当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时，等号成立，因为函数f (x )的图象上不存在互相垂直的切线，所以f ′(x )min ≥0，即1－a ≥0，解得a ≤1.二、多项选择题7．对于函数f (x )＝ln x －1，则下列判断正确的是()A ．直线y ＝xe 2是f (x )过原点的一条切线B ．f (x )关于y ＝x 对称的函数是y ＝e x－1C ．若过点(a ，b )有2条直线与f (x )相切，则ln a <b ＋1D ．f (x )≤x －2答案ACD解析对于A ，设切点为(m ，ln m －1)，则k ＝f ′(m )＝1m ＝ln m －1－0m －0，∴ln m －1＝1m ·m ，∴ln m ＝2，∴m ＝e 2，k ＝1e2∴过原点的切线方程为y ＝xe2，故A 正确；对于B ，由反函数的概念可得y ＋1＝ln x ⇒e y ＋1＝x ，故与f (x )关于y ＝x 对称的函数为y ＝e x ＋1，故B 错误；对于C ，若过点(a ，b )有2条直线与f (x )相切，则点(a ，b )在f (x )上方，如图所示，即b >f (a )，即b >ln a －1，故C 正确；对于D ，由于∀x >0，设g (x )＝x －ln x －1⇒g ′(x )＝x －1x ，令g ′(x )>0⇒x >1，令g ′(x )<0⇒0<x <1，∴g (x )在(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，∴g (x )≥g (1)＝0⇒ln x ≤x －1⇒f (x )≤x －2，故D 正确．8．(2023·唐山质检)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D ()A ．f (x )＝sin x －cos xB ．f (x )＝ln x －3xC ．f (x )＝－x 3＋3x －1D ．f (x )＝x e －x答案BCD解析对于A ，f ′(x )＝cos x ＋sin x ，f ″(x )＝－sin x ＋cos x ＝－2sin当x ，f ″(x )＝－2sin ，故A 错误；对于B ，f ′(x )＝1x －3，f ″(x )＝－1x 2<0B 正确；对于C ，f ′(x )＝－3x 2＋3，f ″(x )＝－6x <0C 正确；对于D ，f ′(x )＝e －x －x e －x ＝(1－x )e －x ，f ″(x )＝－e －x －(1－x )e －x ＝－(2－x )e －x ，因为x 2－x >0，所以f ″(x )＝－(2－x )e －x<0D 正确．三、填空题9．(2024·呼和浩特模拟)若曲线y ＝2sin x －2cos x x －ay ＋1＝0垂直，则实数a ＝.答案－2解析∵y ＝2sin x －2cos x ，∴y ′＝2cos x ＋2sin x ，∴曲线y ＝2sin x －2cos x k ＝2cos π2＋2sin π2＝2，∵切线与直线x －ay ＋1＝0垂直，∴直线x －ay ＋1＝0的斜率为－12，即1a ＝－12，∴a ＝－2.10．(2023·本溪模拟)请写出与曲线y ＝sin x 在原点(0,0)处具有相同切线的另一个函数．答案y ＝x 3＋x (答案不唯一)解析∵y ＝sin x 的导函数为y ′＝cos x ，又y ＝sin x 过原点，∴y ＝sin x 在原点(0,0)处的切线斜率k ＝cos 0＝1，∴y ＝sin x 在原点(0,0)处的切线方程为y ＝x .所求曲线只需满足过点(0,0)且在x ＝0处的导数值y ′＝1即可，如y ＝x 3＋x ，∵y ′＝3x 2＋1，∴y ＝x 3＋x 在原点处的切线斜率为1，又y ＝x 3＋x 过原点，∴y ＝x 3＋x 在原点(0,0)处的切线方程为y ＝x .11．(2023·南京模拟)若直线y ＝x ＋m 与曲线y ＝ax 2和y ＝ln x 均相切，则a ＝.答案14解析设直线y ＝x ＋m 与y ＝ln x 相切于点(x 0，ln x 0)，因为y ＝ln x 的导函数为y ′＝1x ，所以1x 0＝1，且ln x 0＝x 0＋m ，解得x 0＝1，m ＝－1.因为直线y ＝x －1与曲线y ＝ax 2相切，联立得ax 2－x ＋1＝0，a ≠0且Δ＝1－4a ＝0，即a ＝14.12．已知直线y ＝k 1x 与y ＝k 2x (k 1>k 2)是曲线y ＝ax ＋2ln|x |(a ∈R )的两条切线，则k 1－k 2＝.答案4e解析由已知得，曲线的切线过点(0,0)，当x >0时，曲线为y ＝ax ＋2ln x ，设x 1>0，直线y ＝k 1x 在曲线上的切点为(x 1，ax 1＋2ln x 1)，y ′＝a ＋2x 1，∴切线方程为y －(ax 1＋2ln x 1)x －x 1)，又切线过点(0,0)，∴－ax 1－2ln x 1－x 1)，∴x 1＝e ，k 1＝a ＋2e；同理，当x <0时，曲线为y ＝ax ＋2ln(－x )，设x 2<0，直线y ＝k 2x 在曲线上的切点为(x 2，ax 2＋2ln(－x 2))，y ′＝a ＋2x 2，∴切线方程为y －[ax 2＋2ln(－x 2)]x －x 2)，又切线过点(0,0)，∴－ax 2－2ln(－x 2)－x 2)，∴x 2＝－e ，k 2＝a －2e ，∴k 1－k 2＝4e .四、解答题13．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x .(1)求f ′(e)及f (e)的值；(2)求f (x )在点(e 2，f (e 2))处的切线方程．解(1)∵f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，∴f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，∴f ′(e)＝－1e ，f (x )＝－2xe ＋ln x ，∴f (e)＝－2ee＋ln e ＝－1.(2)∵f (x )＝－2x e ＋ln x ，f ′(x )＝－2e ＋1x ，∴f (e 2)＝－2e 2e ＋ln e 2＝2－2e ，f ′(e 2)＝－2e ＋1e2，∴f (x )在点(e 2，f (e 2))处的切线方程为y －(2－2e)－2e ＋x －e 2)，即(2e －1)x ＋e 2y －e 2＝0.14．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12，又∵f ′(x )＝a ＋bx 2，a －b 2＝12，＋b 4＝74，＝1，＝3，∴f (x )＝x －3x.(2)设P (x 0，y 0)为曲线y ＝f (x )上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为yx －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，∴切线与直线x ＝0令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，∴切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．∴曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0和y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12|－6x 0|·|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.15．已知函数f (x )＝ln x ＋x 的零点为x 0，过原点作曲线y ＝f (x )的切线l ，切点为P (m ，n )，则00e x mx 等于()A.1eB ．e C.1e 2D ．e 2答案B解析f ′(x )＝1x＋1，切点为P (m ，ln m ＋m )，则切线方程为yx －m )＋ln m ＋m ，因为l 过原点，所以0－m )＋ln m ＋m ，解得m ＝e ，则P (e ，e ＋1)，由ln x 0＋x 0＝0，可得x 0＝－ln x 0，故00e xmx ＝e x 0·0ln ex －＝e x 0·1x 0＝e.16．(2021·新高考全国Ⅱ)已知函数f (x )＝|e x －1|，x 1<0，x 2>0，函数f (x )的图象在点A (x 1，f (x 1))和点B (x 2，f (x 2))的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则|AM ||BN |的取值范围是．答案(0,1)解析由题意得，f (x )＝|e x －1|－e x ，x <0，x －1，x ≥0，则f ′(x )e x ，x <0，x ，x ≥0，所以点A (x 1,1－1e x)和点B (x 2，2e x－1)，k AM ＝1e x－，k BN ＝2e x，所以12e e xx⋅－＝－1，x 1＋x 2＝0，所以AM ：y －1＋1e x＝11111(),(0,e e 1),e x x xM x x x -+－－所以|AM |=x 1|，同理|BN |·|x 2|，所以|AM ||BN |1e x ===∈(0,1)．。

第四单元 导数及其应用教材复习课“导数”相关基础知识一课过导数的基本运算 [过双基]1．基本初等函数的导数公式原函数导函数f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e xf ′(x )＝e xf (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x2．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0)．3．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．[小题速通]1．下列求导运算正确的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3xlog 3eD ．(x 2cos x )′＝－2sin x解析：选B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1－1x 2；(log 2x )′＝1x ln 2；(3x )′＝3x ln 3；(x 2cos x )′＝2x cosx －x 2sin x ，故选B.2．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( )A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C ∵f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2＝x 3－3a 2x ＋2a 3， ∴f ′(x )＝3(x 2－a 2)．3．函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( ) A.193 B.163 C.133D.103解析：选D 因为f ′(x )＝3ax 2＋6x ， 所以f ′(－1)＝3a －6＝4， 所以a ＝103.4．(2016·天津高考)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________．解析：因为f (x )＝(2x ＋1)e x，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x， 所以f ′(0)＝3e 0＝3. 答案：3 5．函数y ＝ln2x ＋1x的导数为________．解析：y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln 2x ＋1x ′＝[ln 2x ＋1]′x －x ′ln 2x ＋1x 2＝2x ＋1′2x ＋1·x －ln2x ＋1x 2＝2x2x ＋1－ln 2x ＋1x2＝2x －2x ＋1ln 2x ＋12x ＋1x2. 答案：y ′＝2x －2x ＋1ln 2x ＋12x ＋1x2[清易错]1．利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(x n )′＝nx n －1中n ≠0且n∈Q *，(cos x )′＝－sin x .2．注意公式不要用混，如(a x)′＝a xln a ，而不是(a x)′＝xax －1.1．已知函数f (x )＝sin x －cos x ，若f ′(x )＝12f (x )，则tan x 的值为( )A ．1B ．－3C ．－1D ．2解析：选B ∵f ′(x )＝(sin x －cos x )′＝cos x ＋sin x ， 又f ′(x )＝12f (x )，∴cos x ＋sin x ＝12sin x －12cos x ，∴tan x ＝－3.2．若函数f (x )＝2x＋ln x 且f ′(a )＝0，则2aln 2a＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－ln 2D ．ln 2解析：选A f ′(x )＝2x ln 2＋1x ，由f ′(a )＝2a ln 2＋1a ＝0，得2a ln 2＝－1a，则a ·2a·ln2＝－1，即2a ln 2a＝－1.导数的几何意义 函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．[小题速通]1.(2018·郑州质检)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13，∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.2．设函数f (x )＝x ln x ，则点(1,0)处的切线方程是________．解析：因为f ′(x )＝ln x ＋1，所以f ′(1)＝1，所以切线方程为x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝03．已知曲线y ＝2x 2的一条切线的斜率为2，则切点的坐标为________．解析：因为y ′＝4x ，设切点为(m ，n )，则4m ＝2，所以m ＝12，则n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12，则切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12 4．函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝3x －2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：因为函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝3x －2，所以f ′(1)＝3，且f (1)＝3×1－2＝1，所以f (1)＋f ′(1)＝1＋3＝4.答案：4[清易错]1．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．2．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．1．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7解析：选A 因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2， 设过点(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)， 则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－2564，当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1，所以选A.2.(2017·兰州一模)已知直线y ＝2x ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点(1,3)，则实数b 的值为________．解析：因为函数y ＝x 3＋ax ＋b 的导函数为y ′＝3x 2＋a ，所以此函数的图象在点(1,3)处的切线斜率为3＋a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＋a ＝2，3＝1＋a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.答案：3利用导数研究函数的单调性 1．函数f (x )在某个区间(a ，b )内的单调性与f ′(x )的关系 (1)若f ′(x )>0，则f (x )在这个区间上是增加的． (2)若f ′(x )<0，则f (x )在这个区间上是减少的． (3)若f ′(x )＝0，则f (x )在这个区间内是常数． 2．利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求f ′(x )．(2)在定义域内解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0. (3)根据结果确定f (x )的单调性及单调区间． [小题速通]1．函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋1的单调减区间是( ) A ．(1,2) B ．(2，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1)和(2，＋∞)解析：选A 解f ′(x )＝6x 2－18x ＋12<0可得1<x <2，所以单调减区间是(1,2)． 2．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则f (x )的图象可能是( )解析：选D 当x <0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c <0，知相应的函数f (x )在该区间内单调递减；当x >0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，导函数在区间(0，x 1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f (x )单调递增．只有D 选项符合题意．3．已知f (x )＝x 2＋ax ＋3ln x 在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－26] B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，62 C ．[－26，＋∞)D ．[－5，＋∞)解析：选C 由题意得f ′(x )＝2x ＋a ＋3x ＝2x 2＋ax ＋3x≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔g (x )＝2x 2＋ax ＋3≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔Δ＝a 2－24≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－24>0，－a4≤1，g 1＝5＋a ≥0⇔－26≤a ≤26或a >26⇔a ≥－26，故选C.[清易错]若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递增，则f ′(x )≥0，且在(a ，b )的任意子区间，等号不恒成立；若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递减，则f ′(x )≤0，且在(a ，b )的任意子区间，等号不恒成立．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调增函数，则m 的取值范围是________． 解析：∵f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1， ∴f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m .又∵f (x )在R 上是单调增函数，∴f ′(x )≥0恒成立， ∴Δ＝4－12m ≤0，即m ≥13.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ 利用导数研究函数的极值与最值1．函数的极大值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都小于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极大值点，其函数值f (x 0)为函数的极大值．2．函数的极小值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都大于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极小值点，其函数值f (x 0)为函数的极小值．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．3．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．[小题速通]1．如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A 由图象及极值点的定义知，f (x )只有一个极小值点．2．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选D f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由题意知f ′(－3)＝0，即3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，解得a ＝5.3．(2017·济宁一模)函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( )A.12 B ．1 C ．0D ．不存在解析：选A f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x，且x >0.令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0<x <1.∴f (x )在x ＝1处取得极小值也是最小值，且f (1)＝12－ln 1＝12.4．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 有极值，则a 的取值范围为________．解析：f ′(x )＝x －a ＋1x ＝x 2－ax ＋1x(x >0)，因为函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 有极值，令g (x )＝x 2－ax ＋1，且g (0)＝1>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2>0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－a 24＋1<0，解得a >2.答案：(2，＋∞)5．设x 1，x 2是函数f (x )＝x 3－2ax 2＋a 2x 的两个极值点，若x 1<2<x 2，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意，f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2＝0，得x ＝a3或a .又∵x 1<2<x 2，∴x 1＝a3，x 2＝a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >2，a3<2，∴2<a <6.答案：(2,6)[清易错]1．f ′(x 0)＝0是x 0为f (x )的极值点的既不充分也不必要条件．例如，f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点；又如f (x )＝|x |，x ＝0是它的极小值点，但f ′(0)不存在．2．求函数最值时，易误认为极值点就是最值点，不通过比较就下结论． 1．(2017·岳阳一模)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( ) A ．y ＝x 3B ．y ＝ln(－x )C ．y ＝x e －xD ．y ＝x ＋2x解析：选D 因为A 、B 为单调函数，所以不存在极值，C 不是奇函数，故选D. 2．设函数f (x )＝x 3－3x ＋1，x ∈[－2,2]的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________. 解析：f ′(x )＝3x 2－3， 由f ′(x )>0可得x >1或x <－1， 由f ′(x )<0可得－1<x <1，所以函数f (x )的增区间是[－2，－1]，[1,2]，减区间是[－1,1]． 又因为f (－2)＝－1，f (－1)＝3，f (1)＝－1，f (2)＝3， 所以M ＝3，m ＝－1， 所以M ＋m ＝2. 答案：2定积分1．定积分的概念在∫ba f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．2．定积分的性质(1) ⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)；(2) ⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ；(3) ⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a ＜c ＜b )．3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼茨公式．其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x ) ⎪⎪⎪ba，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x ) ⎪⎪⎪ba ＝F (b )－F (a )．[小题速通]1．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，f (f (1))＝1，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2解析：选A 因为f (1)＝lg 1＝0，f (0)＝⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3⎪⎪⎪a0＝a 3，所以由f (f (1))＝1得a 3＝1，所以a ＝1.2.⎠⎛01(e x＋x)d x ＝________.解析：⎠⎛01(e x＋x )dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋12x 2⎪⎪⎪10＝⎝⎛⎭⎪⎫e 1＋12－(e 0＋0)＝e －12.答案：e －123．(2015·天津高考)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________． 解析：如图，阴影部分的面积即为所求．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 得A(1,1)．故所求面积为S ＝⎠⎛01(x －x 2)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3⎪⎪⎪1＝16. 答案：16[清易错]定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．由曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝14所围成的图形(如图所示)的面积为( )A .23B.13C .12D.14解析：选D 由题意及图形可得阴影部分的面积 S ＝⎰201⎝ ⎛⎭⎪⎫14－x 2dx ＋⎰211⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－14dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －13x 3⎪⎪⎪⎪12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14x ⎪⎪⎪⎪112＝14.一、选择题1．已知函数f (x )＝log a x (a>0且a ≠1)，若f ′(1)＝－1，则a ＝( ) A ．e B.1eC.1e2D.12解析：选B 因为f ′(x )＝1x ln a ，所以f ′(1)＝1ln a ＝－1，所以ln a ＝－1，所以a ＝1e.2．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 2＋ax ＋b 相切于点A(1,3)，则2a ＋b 的值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．－2解析：选C 由曲线y ＝x 2＋ax ＋b ，得y ′＝2x ＋a ， 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1＝3，k ＝2＋a ，1＋a ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，a ＝0，b ＝2，所以2a ＋b ＝2.3．函数y ＝2x 3－3x 2的极值情况为( )A ．在x ＝0处取得极大值0，但无极小值B ．在x ＝1处取得极小值－1，但无极大值C ．在x ＝0处取得极大值0，在x ＝1处取得极小值－1D ．以上都不对解析：选C y ′＝6x 2－6x ，由y ′＝6x 2－6x >0，可得x >1或x <0， 即单调增区间是(－∞，0)，(1，＋∞)．由y ′＝6x 2－6x <0，可得0<x <1，即单调减区间是(0,1)，所以函数在x ＝0处取得极大值0，在x ＝1处取得极小值－1. 4．若f(x)＝－12x 2＋m ln x 在(1，＋∞)是减函数，则m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1]D ．(－∞，1)解析：选C 由题意，f ′(x )＝－x ＋m x≤0在(1，＋∞)上恒成立，即m ≤x 2在(1，＋∞)上恒成立，又因为x 2>1，所以m ≤1.5．函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：选D 依题意得f ′(x )＝(x －3)′e x＋(x －3)(e x)′＝(x －2)e x，令f ′(x )>0，解得x >2，∴f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)．故选D.6．已知函数f (x )＝x (x －m )2在x ＝1处取得极小值，则实数m ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B f(x)＝x(x 2－2mx ＋m 2)＝x 3－2mx 2＋m 2x ，所以f′(x)＝3x 2－4mx ＋m 2＝(x －m)(3x －m)．由f′(1)＝0可得m ＝1或m ＝3.当m ＝3时，f′(x)＝3(x －1)(x －3)，当1<x<3时，f′(x)<0，当x<1或x>3时，f′(x)>0，此时在x ＝1处取得极大值，不合题意，∴m ＝1，此时f′(x)＝(x －1)(3x －1)，当13<x <1时，f′(x)<0，当x<13或x>1时，f′(x)>0，此时在x ＝1处取得极小值．选B .7．由曲线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2和x 轴所围成的封闭图形的面积是( )A .⎠⎛02(x 2－1)d xB.⎠⎛02|x 2－1|d xC .⎠⎛02(x 2－1)d xD .⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(1－x 2)d x解析：选B 作出封闭图形的示意图如图所示，易得所围成的封闭图形的面积是S ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝⎠⎛02|x 2－1|d x .8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x，x ≤0，x 3－3x ＋a ，x >0的值域为[0，＋∞)，则实数a 的取值范围是( ) A ．[2,3] B ．(2,3] C ．(－∞，2]D ．(－∞，2)解析：选A 当x ≤0时，0≤f (x )＝1－2x<1； 当x >0时，f (x )＝x 3－3x ＋a ，f ′(x )＝3x 2－3， 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以当x ＝1时，函数f (x )取得最小值f (1)＝1－3＋a ＝a －2.由题意得0≤a －2≤1，解得2≤a ≤3，选A.二、填空题9．若函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋a x，要使函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则需方程1＋a x＝0在(0，＋∞)上有解，即x ＝－a ，∴a <0.答案：(－∞，0)10．已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x )＝1x－2f ′(－1)x ＋3，∴f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3， ∴f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8. 答案：811．已知函数f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋3，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：由题意知f ′(1)＝12，f (1)＝12×1＋3＝72，∴f (1)＋f ′(1)＝72＋12＝4.答案：412．已知函数g (x )满足g (x )＝g ′(1)ex －1－g (0)x ＋12x 2，且存在实数x 0，使得不等式2m －1≥g (x 0)成立，则实数m 的取值范围为________．解析：g ′(x )＝g ′(1)ex －1－g (0)＋x ，令x ＝1时，得g ′(1)＝g ′(1)－g (0)＋1， ∴g (0)＝1，g (0)＝g ′(1)e 0－1＝1，∴g ′(1)＝e ，∴g (x )＝e x －x ＋12x 2，g ′(x )＝e x－1＋x ，当x <0时，g ′(x )<0，当x >0时，g ′(x )>0， ∴当x ＝0时，函数g (x )取得最小值g (0)＝1. 根据题意得2m －1≥g (x )min ＝1，∴m ≥1. 答案：[1，＋∞) 三、解答题13．已知函数f (x )＝x ＋ax＋b (x ≠0)，其中a ，b ∈R.(1)若曲线y ＝f (x )在点P (2，f (2))处的切线方程为y ＝3x ＋1，求函数f (x )的解析式； (2)讨论函数f (x )的单调性；(3)若对于任意的a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，不等式f (x )≤10在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1上恒成立，求实数b 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝1－a x2(x ≠0)，由已知及导数的几何意义得f ′(2)＝3，则a ＝－8.由切点P (2，f (2))在直线y ＝3x ＋1上可得－2＋b ＝7，解得b ＝9，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝x －8x＋9.(2)由(1)知f ′(x )＝1－a x2(x ≠0)．当a ≤0时，显然f ′(x )>0，这时f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数． 当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝±a ， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：上是减函数．(3)由(2)知，对于任意的a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，不等式f (x )≤10在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1上恒成立等价于⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14≤10，f 1≤10，即⎩⎪⎨⎪⎧b ≤394－4a ，b ≤9－a对于任意的a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2成立，从而得b ≤74，所以实数b 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，74.14．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解：(1)对f (x )求导，得f ′(x )＝14－a x 2－1x (x >0)，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x2， 令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数； 当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数． 由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5，无极大值． 高考研究课(一)导数运算是基点、几何意义是重点、定积分应用是潜考点 [全国卷5年命题分析]考点 考查频度 考查角度导数的几何意义5年7考 求切线、已知切线求参数、求切点坐标定积分 未考查导数的运算[典例] (1)(2018·惠州模拟)已知函数f (x )＝x cos x ，则f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝( ) A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π(2)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 018(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．sin x ＋cos xD ．cos x －sin x(3)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( )A ．－eB ．－1C ．1D ．e[解析] (1)∵f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x(－sin x )，∴f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π. (2)∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ， ∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ， ∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ， ∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ， ∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ， ∴f n (x )是以4为周期的函数，∴f 2 018(x )＝f 2(x )＝cos x －sin x ，故选D.(3)由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x.∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1. [答案] (1)C (2)D (3)B [方法技巧]1．可导函数的求导步骤(1)分析函数y ＝f (x )的结构特点，进行化简； (2)选择恰当的求导法则与导数公式求导； (3)化简整理答案． 2．求导运算应遵循的原则求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．[即时演练]1．(2018·江西九校联考)已知y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)，则y ′＝( ) A ．3x 2－12x ＋6 B ．x 2＋12x －11 C ．x 2＋12x ＋6D ．3x 2＋12x ＋11解析：选D 法一：y ′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝3x 2＋12x ＋11. 法二：∵y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.2．已知函数f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝________. 解析：f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2， 即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e. 答案：e导数的几何意义1问中，难度较低，属中、低档题. 常见的命题角度有： 1求切线方程； 2确定切点坐标；3已知切线求参数值或范围； 4切线的综合应用. 角度一：求切线方程1．已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是________．解析：∵f ′(x )＝11＋x －1＋2x ，∴f ′(1)＝32，f (1)＝ln 2，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.答案：3x －2y ＋2ln 2－3＝0角度二：确定切点坐标2．已知函数f (x )＝exx(x >0)，直线l ：x －ty －2＝0.若直线l 与曲线y ＝f (x )相切，则切点横坐标的值为________．解析：由f (x )＝e x x (x >0)，得f ′(x )＝e x ·x －e x x2＝exx －1x 2(x >0)． 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．根据直线l 的方程x ＝ty ＋2，可得l 恒过点(2,0)．①当t ＝0时，直线l ：x ＝2垂直于x 轴，不与曲线y ＝f (x )相切，舍去；②当t ≠0时，设切点A (x 0，y 0)，直线l 可化为y ＝1t x －2t ，斜率k ＝1t＝f ′(x 0)＝e x 0x 0－1x 20，又直线l 和曲线y ＝f (x )均过点A (x 0，y 0)，则满足y 0＝1t x 0－2t ＝e x 0x 0，所以e x 0x 0－1x 20＝e x 0x 0－1x 0·x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1tx 0－2t ·x 0－1x 0＝x 0－2t ·x 0－1x 0＝1t ，两边约去t 后，可得(x 0－2)·x 0－1x 0＝1，化简得x 20－4x 0＋2＝0， 解得x 0＝2± 2.综上所述，切点的横坐标为2± 2. 答案：2± 2角度三：已知切线求参数值或范围3．(2017·武汉一模)已知a 为常数，若曲线y ＝ax 2＋3x －ln x 上存在与直线x ＋y －1＝0垂直的切线，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知曲线上存在某点的导数值为1， 所以y ′＝2ax ＋3－1x＝1有正根，即2ax 2＋2x －1＝0有正根． 当a ≥0时，显然满足题意；当a ＜0时，需满足Δ≥0，解得－12≤a ＜0.综上，a ≥－12.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ 4．若两曲线y ＝x 2－1与y ＝a ln x －1存在公切线，则正实数a 的取值范围是________． 解析：设y ＝a ln x －1的切点为(x 0，y 0)，求导y ′＝ax，则切线的斜率为a x 0，所以公切线方程为y －(a ln x 0－1)＝a x 0(x －x 0)， 联立方程y ＝x 2－1可得x 2－a x 0x ＋a －a ln x 0＝0， 由题意，可得Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a x 02－4(a －a ln x 0)＝0， 则a ＝4x 20(1－ln x 0)．令f (x )＝4x 2(1－ln x )(x >0)，则f ′(x )＝4x (1－2ln x )，易知，函数f (x )＝4x 2(1－ln x )在(0，e)上是增函数，在(e ，＋∞)上是减函数， 所以函数f (x )＝4x 2(1－ln x )的最大值是f (e)＝2e ， 则正实数a 的取值范围是(0,2e]． 答案：(0,2e]角度四：切线的综合应用5．已知函数f (x )＝m ln(x ＋1)，g (x )＝xx ＋1(x >－1)．(1)讨论函数F (x )＝f (x )－g (x )在(－1，＋∞)上的单调性；(2)若y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象有且仅有一条公切线，试求实数m 的值． 解：(1)F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )＝mx ＋1－1x ＋12＝m x ＋1－1x ＋12(x >－1)，当m ≤0时，F ′(x )<0，函数F (x )在(－1，＋∞)上单调递减．当m >0时，由F ′(x )<0，得－1<x <－1＋1m，所以函数F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－1＋1m 上单调递减；由F ′(x )>0，得x >－1＋1m，所以函数F (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－1＋1m，＋∞上单调递增．综上所述，当m ≤0时，函数F (x )在(－1，＋∞)上单调递减，当m >0时，函数F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－1＋1m 上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－1＋1m，＋∞上单调递增．(2)函数f (x )＝m ln(x ＋1)在点(a ，m ln(a ＋1))处的切线方程为y －m ln(a ＋1)＝ma ＋1(x－a )，即y ＝ma ＋1x ＋m ln(a ＋1)－maa ＋1. 函数g (x )＝xx ＋1在点⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，b b ＋1处的切线方程为y －bb ＋1＝1b ＋12(x －b )，即y ＝1b ＋12x ＋b 2b ＋12.因为y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象有且仅有一条公切线，即⎩⎪⎨⎪⎧m a ＋1＝1b ＋12， ①m ln a ＋1－ma a ＋1＝b 2b ＋12， ②所以有唯一数对(a ，b )，满足这个方程组，由①得a ＋1＝m (b ＋1)2，代入②消去a 整理得：2m ln(b ＋1)＋2b ＋1＋m ln m －m －1＝0，关于b (b >－1)的方程有唯一的解，令h (b )＝2m ln(b ＋1)＋2b ＋1＋m ln m －m －1， 则h ′(b )＝2mb ＋1－2b ＋12＝2[m b ＋1－1]b ＋12，方程组有解时，m >0，所以h (b )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－1＋1m 上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－1＋1m，＋∞上单调递增，所以h (b )min ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋1m ＝m －m ln m －1，因为b →＋∞，h (b )→＋∞，b →－1，h (b )→＋∞， 所以只需m －m ln m －1＝0.令p (m )＝m －m ln m －1，则p ′(m )＝－ln m 在m >0时为单调递减函数，且m ＝1时，p ′(m )＝0.所以p (m )max ＝p (1)＝0，所以m ＝1时，关于b (b >－1)的方程2m ln(b ＋1)＋2b ＋1＋m ln m －m －1＝0有唯一解，此时a ＝b ＝0，公切线为y ＝x .[方法技巧]利用导数解决切线问题的方法(1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f x 1－f x 0x 1－x 0求解．定积分及应用[典例] (1)(2018·东营模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈1，2]，则⎠⎛02f(x)d x 等于( )A.34 B.45 C.56D ．不存在(2)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x∈[－1，1，x 2－1，x∈[1，2]，则⎠⎛-12f (x )dx 的值为( )A.π2＋43B.π2＋3C.π4＋43D.π4＋3 (3)设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.[解析] (1)如图，⎠⎛02f (x )dx ＝⎠⎛01x 2dx ＋⎠⎛12(2－x )dx ＝13x 3⎪⎪⎪1＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －12x 2⎪⎪⎪21＝13＋⎝⎛⎭⎪⎫4－2－2＋12＝56. (2) ⎠⎛-12f (x )dx ＝⎠⎛-111－x 2dx ＋⎠⎛12(x 2－1)dx ，因为⎠⎛1－11－x 2d x 表示圆心在原点，半径为1的上半圆的面积，则⎠⎛-111－x 2dx ＝π2；⎠⎛12 (x 2－1)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 21＝43， 所以⎠⎛-12f (x )dx ＝π2＋43.(3)封闭图形如图所示， 则⎠⎛ax dx ＝23x 32⎪⎪⎪a＝23a 32－0＝a 2，解得a ＝49. [答案] (1)C (2)A (3)49[方法技巧]求定积分的2种方法及注意事项(1)定理法运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： ①对被积函数要先化简，再求积分；②求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和； ③对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分； ④注意用“F′(x )＝f (x )”检验积分的对错． (2)面积法根据定积分的几何意义可利用面积求定积分． [即时演练]1．(2018·西安调研)定积分⎠⎛01(2x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解析：选C ⎠⎛01(2x ＋e x)d x ＝(x 2＋e x )10＝1＋e 1－1＝e .故选C .2．直线y ＝2x ＋3与抛物线y ＝x 2所围成封闭图形的面积为________． 解析：如图，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，y ＝x 2，可得x 1＝－1，x 2＝3，故所求图形面积为S ＝⎠⎛-13 [(2x＋3)－x 2]dx ＝⎠⎛-13－1(2x ＋3)dx －⎠⎛-13x 2dx ＝(x 2＋3x ) ⎪⎪⎪3-1－13x 3⎪⎪⎪3-1＝323.答案：3233．如图，在长方形OABC 内任取一点P ，则点P 落在阴影部分的概率为________．解析：由图知长方形OABC 的面积为e ；函数y ＝a x 过点(1，e )，则a ＝e ，所以曲线的方程为y ＝e x，A ，D 在直线y ＝1－x 上， 所以阴影部分的面积S ＝⎠⎛01(e x＋x －1)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋12x 2－x 10＝e －32，所以在长方形OABC 内任取一点P ，则点P 落在阴影部分的概率P ＝e －32e ＝1－32e.答案：1－32e1．(2014·全国卷Ⅱ)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D y ′＝a －1x ＋1，由题意得y ′x ＝0＝2，即a －1＝2，所以a ＝3. 2．(2017·全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x在点(1,2)处的切线方程为________．解析：因为y ′＝2x －1x 2，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为y ′|x ＝1＝2×1－112＝1，所以切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.答案：x －y ＋1＝03．(2016·全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln (x ＋1)的切线，则b ＝________.解析：y ＝ln x ＋2的切线方程为：y ＝1x 1·x ＋ln x 1＋1(设切点横坐标为x 1)，y ＝ln(x ＋1)的切线方程为：y ＝1x 2＋1x ＋ln(x 2＋1)－x 2x 2＋1(设切点的横坐标为x 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝lnx 2＋1－x 2x 2＋1，解得x 1＝12，x 2＝－12，∴b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2. 答案：1－ln 24．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.解析：∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1.又f (1)＝a ＋2， ∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1. 答案：15．(2015·全国卷Ⅱ)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.解析：∵y ＝x ＋ln x ， ∴y ′＝1＋1x，y ′x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋a ＋2x ＋1，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0.由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 答案：8一、选择题1．若a ＝⎠⎛02x d x ，则二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －a ＋1x 6展开式中的常数项是( )C ．－540D ．540解析：选C a ＝⎠⎛02xdx ＝12x ⎪⎪⎪20＝2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3x 6展开式的通项T r ＋1＝(－3)r C r 6x 6－2r，令6－2r ＝0可得r ＝3，则常数项是T 4＝(－3)3C 36＝－540.2．(2018·衡水调研)曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2解析：选A ∵y＝1－2x ＋2＝x x ＋2， ∴y ′＝x ＋2－x x ＋22＝2x ＋22，y ′|x ＝－1＝2，∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2， ∴所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)， 即y ＝2x ＋1.3．(2018·济南一模)已知曲线f (x )＝ln x 的切线经过原点，则此切线的斜率为( )A ．eB ．－eC .1eD ．－1e解析：选C 法一：∵f (x )＝ln x ，x ∈(0，＋∞)， ∴f ′(x )＝1x .设切点P(x 0，ln x 0)，则切线的斜率为k ＝f ′(x 0)＝1x 0＝k OP ＝ln x 0x 0.∴ln x 0＝1，∴x 0＝e ，∴k ＝1x 0＝1e.法二：(数形结合法)：在同一坐标系下作出y ＝ln x 及曲线y ＝ln x 经过原点的切线，由图可知，切线的斜率为正，且小于1，故选C .4．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )C ．－4D ．－2解析：选D ∵f ′(x )＝1x ，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1. 又f (1)＝0，∴直线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1， 又因为y 0＝12x 20＋mx 0＋72(m ＜0)，解得m ＝－2，故选D.5．(2018·南昌二中模拟)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处切线倾斜角α的取值范围为( )A .⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πC .⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πD.⎝⎛⎦⎥⎤π2，5π6解析：选C 因为y ′＝3x 2－3≥－3，故切线斜率k ≥－3，所以切线倾斜角α的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π.6．已知曲线y ＝1e x＋1，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为( ) A ．x ＋4y －2＝0 B ．x －4y ＋2＝0 C ．4x ＋2y －1＝0D ．4x －2y －1＝0解析：选A y ′＝－exe x＋12＝－1e x ＋1ex ＋2，因为e x ＞0，所以e x＋1e x ≥2e x ×1ex ＝2(当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号)，则e x＋1ex ＋2≥4，故y ′＝－1e x ＋1ex ＋2≥－14(当x ＝0时取等号)．当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最大值，此时切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.故选A .二、填空题7．若a 和b 是计算机在区间(0,2)上产生的随机数，那么函数f(x)＝lg (ax 2＋4x ＋4b)的值域为R 的概率为________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <2，0<b <2所表示的平面区域是正方形，其面积为4.因为函数f (x )＝lg(ax 2＋4x ＋4b )的值域为R ， 所以ax2＋4x ＋4b 取遍所有的正数，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝16－16ab ≥0，化简可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，ab ≤1，如图所示，不等式⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0，ab ≤1所表示的图形的面积S ＝2×12＋⎠⎛2121ad a ＝1＋ln a 212＝1＋2ln 2，所以所求事件的概率为1＋2ln 24.答案：1＋2ln 248．已知函数f (x )＝e ax＋bx (a <0)在点(0，f(0))处的切线方程为y ＝5x ＋1，且f (1)＋f ′(1)＝12.则a ，b 的值分别为________．解析：f (x )＝e ax＋bx ，那么f ′(x )＝a e ax＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧f′0＝5，f 1＋f′1＝12，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝5，a e a ＋b ＋b ＋e a＝12，化简得(e a－2)(a ＋1)＝0， 由a <0，得a ＝－1，b ＝6. 答案：－1,69．(2017·东营一模)函数f (x )＝x ln x 在点P(x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P(x 0，f (x 0))的坐标为________．解析：∵f (x )＝x ln x ， ∴f ′(x )＝ln x ＋1，由题意得f ′(x 0)·(－1)＝－1，即f ′(x 0)＝1⇔ln x 0＋1＝1⇔ln x 0＝0⇔x 0＝1，∴f (x 0)＝1·ln 1＝0， ∴P(1,0)． 答案：(1,0)10．设过曲线f (x )＝－e x－x(e 为自然对数的底数)上的任意一点的切线为l 1，总存在过曲线g (x )＝mx －3sin x 上的一点处的切线l 2，使l 1⊥l 2，则m 的取值范围是________．解析：设曲线f (x )上任意一点A(x 1，y 1)，曲线g(x )上存在一点B(x 2，y 2)，f ′(x )＝－e x －1，g ′(x )＝m －3cos x .由题意可得f ′(x 1)g ′(x 2)＝－1，且f ′(x 1)＝－ex 1－1∈(－∞，－1)，g ′(x 2)＝m －3cos x 2∈[m －3，m ＋3]．因为过曲线f (x )＝－e x－x (e 为自然对数的底数)上的任意一点的切线为l 1，总存在过曲线g (x )＝mx －3sin x 上的一点处的切线l 2，使l 1⊥l 2，所以(0,1)⊆[m －3，m ＋3]，所以m －3≤0，且m ＋3≥1，解得－2≤m≤3. 答案：[－2,3] 三、解答题11．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由题意，及(1)可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)． 12．已知函数f (x )＝12x 2－ax ＋(3－a )ln x ，a ∈R.(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＋1＝0垂直，求a 的值； (2)设f (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，求证：f (x 1)＋f (x 2)>－5. 解：(1)∵f ′(x )＝x －a ＋3－a x ＝x 2－ax ＋3－ax，∴f ′(1)＝4－2a ，由题意知4－2a ＝－12，解得a ＝94.(2)证明：由题意知，x 1，x 2为f ′(x )＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－43－a >0，a >0，3－a >0，∴2<a <3.又x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝3－a ， ∴f (x 1)＋f (x 2)＝12(x 21＋x 22)－a (x 1＋x 2)＋(3－a )ln x 1x 2 ＝－12a 2＋a －3＋(3－a )ln(3－a )．设h (a )＝－12a 2＋a －3＋(3－a )ln(3－a )，a ∈(2,3)，则h ′(a )＝－a －ln(3－a )，h ″(a )＝－1＋13－a ＝a －23－a>0，故h ′(a )在(2,3)上递增． 又h ′(2)＝－2<0，a →3时，h ′(a )→＋∞，∴∃a 0∈(2,3)，当a ∈(2，a 0)时，h (a )递减，当a ∈(a 0,3)时，h (a )递增，∴h (a )min ＝h (a 0)＝－12a 20＋a 0－3＋(3－a 0)·(－a 0)＝12a 20－2a 0－3＝12(a 0－2)2－5>－5，∴∀a ∈(2,3)，h (a )>－5， 综上，f (x 1)＋f (x 2)>－5.1．(2018·广东七校联考)已知函数y ＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线为l ，若l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0,1)的图象相切，则x 0必满足( )A ．0<x 0<12B.12<x 0<1 C.22<x 0< 2 D.2<x 0< 3解析：选D y ＝ln x ，x ∈(0,1)的导数y ′＝1x>1，设切点为(t ，ln t )，则切线l 的方程为y ＝1tx ＋ln t －1，因为函数y ＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线l 的斜率为2x 0， 则切线方程为y ＝2x 0x －x 20，因为l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0,1)的图象相切， 则有⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝1t ，x 20＝1－ln t ，则1＋ln 2x 0＝x 20，x 0∈(1，＋∞)．令g (x )＝x 2－ln 2x －1，x ∈(1，＋∞)， 所以该函数的零点就是x 0，则排除A 、B ； 又因为g ′(x )＝2x －1x＝2x 2－1x>0，所以函数g (x )在(1，＋∞)上单调递增．又g (1)＝－ln 2<0，g (2)＝1－ln 22<0，g (3)＝2－ln 23>0， 从而2<x 0< 3.2．函数y ＝f (x )图象上不同两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)处的切线的斜率分别是k M ，k N ，规定φ(M ，N )＝|k M －k N ||MN |(|MN |为线段MN 的长度)叫做曲线y ＝f (x )在点M 与点N 之间的“弯曲度”．设曲线f (x )＝x 3＋2上不同两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，且x 1x 2＝1，则φ(M ，N )的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2，设x 1＋x 2＝t (|t |>2)， 则φ(M ，N )＝|3x 21－3x 22|x 1－x 22＋x 31＋2－x 32－22＝|3x 21－3x 22|x 1－x 22[1＋x 21＋x 1x 2＋x 222]＝3|x 1－x 2|·|x 1＋x 2||x 1－x 2|1＋[x 1＋x 22－x 1x 2]2＝3|x 1＋x 2|1＋[x 1＋x 22－1]2＝3|t |1＋t 2－12＝3t 2＋2t2－2.设g (x )＝x ＋2x ，x >4，则g ′(x )＝1－2x2>0，所以g (x )在(4，＋∞)上单调递增，所以g (x )>g (4)＝92.所以t 2＋2t 2－2>52，所以0<φ(M ，N )<3105.。

第1节 导数的概念与导数的计算考试要求 1.了解导数概念的实际背景;2。

通过函数图象直观理解导数的几何意义；3。

能根据导数的定义求函数y ＝c （c 为常数），y ＝x ，y ＝错误!，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝错误!的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单复合函数（仅限于形如y ＝f （ax ＋b ）的复合函数）的导数.知 识 梳 理1。

函数y ＝f (x ）在x ＝x 0处的导数(1)定义：称函数y ＝f （x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x ∆→错误!＝0lim x ∆→ 错误!为函数y ＝f （x ）在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0）或y ′｜x ＝x 0，即f ′（x 0)＝0lim x ∆→ 错误!＝0lim x ∆→ 错误!。

(2）几何意义：函数f （x )在点x 0处的导数f ′(x 0）的几何意义是在曲线y ＝f （x ）上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率。

相应地，切线方程为y －y 0＝f ′（x 0）（x －x 0）.2。

函数y ＝f (x ）的导函数如果函数y ＝f (x ）在开区间（a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在（a ，b ）内构成一个新函数,这个函数称为函数y ＝f （x )在开区间内的导函数.记作f ′(x ）或y ′。

3。

基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数f (x ）＝c (c 为常数) f ′（x )＝04.导数的运算法则若f′（x），g′（x）存在，则有：(1）[f(x)±g（x)]′＝f′（x)±g′(x);(2）[f（x)·g(x)］′＝f′(x）g(x）＋f（x)g′(x）；(3）错误!′＝错误!（g（x)≠0）。

5.复合函数的导数复合函数y＝f(g(x)）的导数和函数y＝f（u)，u＝g(x）的导数间的关系为y x′＝y u′·u x′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积。