高中数学第一章计数原理2第二课时排列的应用教学案北师大版选修2278

学习资料汇编第二课时排列的应用[对应学生用书P7][例1] 由数字1,2,3,4可组成多少个无重复数字的正整数？[思路点拨] 可分别求出一位数、二位数、三位数、四位数的个数，再求和．[精解详析] 第一类：组成一位数有A14＝4个；第二类：组成二位数有A24＝12个；第三类：组成三位数有A34＝24个；第四类：组成四位数有A44＝24个．根据加法原理，一共可以组成4＋12＋24＋24＝64个正整数．[一点通] 对于无限制条件的排列问题，可直接根据排列的定义及排列数公式列式求解．若解决问题时需要分类或分步，则要结合两个计数原理求解．1．从4种蔬菜品种中选3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有多少种不同的种植方法？解：从4种蔬菜品种中选3种，分别种在3块不同土质上，对应于从4个元素中取出3个元素的排列数．因此不同的种植方法数为A34＝4×3×2＝24.故共有24种不同的种植方法．2．(1)有3名大学毕业生到5个招聘雇员的公司应聘，每个公司至多招聘一名新雇员，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，共有多少种不同的招聘方案？(2)有5名大学毕业生到3个招聘雇员的公司应聘，每个公司只招聘一名新雇员，并且不允许兼职，现假定这三个公司都完成了招聘工作，问共有多少种不同的招聘方案？解：(1)将5个招聘雇员的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题，所以不同的招聘方案共有A35＝5×4×3＝60种．(2)将5名大学毕业生看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3个招聘雇员的公司，则本题仍为从5个不同的元素中任取3个元素的排列问题，所以不同的招聘方案有A35＝5×4×3＝60种.[例(1)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？(2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(3)甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？[思路点拨] 这是一个有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或位置优先安排的原则．[精解详析] (1)先考虑甲站在中间有1种方法，再在余下的6个位置排另外 6名同学，共有A66＝6×5×4×3×2×1＝720种排法．(2)先考虑甲、乙站在两端的排法有A22种，再在余下的5个位置排另外5名同学的排法有A55种，共有A22A55＝2×1×5×4×3×2＝240种排法．(3)法一：先考虑在除两端外的5个位置选2个安排甲、乙有A25种，再在余下的5个位置排另外5位同学的排法有A55种，共有A25A55＝5×4×5×4×3×2×1＝2 400种排法．法二：考虑特殊位置优先法，即两端的排法有A25种，中间5个位置有A55种，共有A25A55＝2 400种排法．[一点通] (1)“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先．(2)从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在剩余位置上；从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．注意：无论从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置．3．电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的产品广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则不同的播放方式有( )A．48种B．24种C．720种D．120种解析：分两步：第一步先排首尾，第二步再排中间4个位置，则N＝A22A44＝2×24＝48.答案：A4．用0,1,2这3个数字，可以排成________个无重复数字的3位数．解析：组成3位数，相当于将3个元素排在三个位置，但0不能在首位，首位的排法有A 12，而其余两位排法有A 22，由分步乘法原理知，共有A 12A 22＝4种排法．答案：45．由0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复数字的六位数，其中小于50万，又不是5的倍数的数有多少个？解：法一：因为首位和个位上不能排0和5，所以先从1,2,3,4中任选2个排在首位和个位，有A 24种排法，再排中间4位数有A 44种排法，由分步乘法计数原理，共有A 24·A 44＝12×24＝288个符合要求．法二：六个数位的全排列共有A 66个，其中有0排在首位或个位上的有2A 55个，还有5排在首位或个位上的也有2A 55个，其中不合要求的要减去，但这两种情况都包含0和5分别在首位或个位上的排法2A 44种，所以有A 66－4A 55＋2A 44＝288个符合要求.[例手言和，准备一起照张合影．(排成一排)(1)要求喜羊羊的四位成员必须相邻，有多少排法？(2)要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少排法？[思路点拨] 相邻元素可看作一个集团利用捆绑法，不相邻元素利用插空法． [精解详析] (1)把喜羊羊家族的四位成员看成一个元素，与灰太狼、红太狼排队共有A 33种排法，又因四位成员交换顺序产生不同排列，所以共有A 33A 44＝144种排法． 分)(2)第一步将喜羊羊家族的四位成员排好，有A 44种排法，第二步让灰太狼、红太狼插四位成员形成的空(包括两端)，有A 25种排法，共有A 44A 25＝480种排法．分)[一点通] (1)相邻问题用捆绑法解决，即把相邻元素看成一个整体作为一个元素与其他元素排列．但不要忘记再对这些元素“松绑”，即对这些元素内部全排列．(2)不相邻问题用插空法，即先把其余元素排好，再把要求不相邻的元素插入空中排列．6．(重庆高考)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A ．72B ．120C ．144D ．168解析：依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为A 33A 34＝144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为A 22A 22A 33＝24，因此满足题意的排法种数为144－24＝120，选B.答案：B7．(北京高考)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C 不相邻，则不同的摆法有________种．解析：将A，B捆绑在一起，有A22种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A44种摆法，共有A22A44＝48种摆法，而A，B，C 3件在一起，且A，B相邻，A，C相邻有CAB，BAC 两种情况，将这3件与剩下2件全排列，有2×A33＝12种摆法，故A，B相邻，A，C不相邻的摆法有48－12＝36种．答案：368．4名男同学和3名女同学站成一排．(1)3名女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？(3)男生与女生相间排列的方法有多少种？解：(1)3名女同学是特殊元素，优先安排，共有A33种排法；由于3名女同学必须排在一起，我们可视排好的女同学为一整体，再与男同学排队，这时是5个元素的全排列，应有A55种排法．由分步乘法计数原理，共有A33A55＝720种不同的排法．(2)先将男生排好，共有A44种排法；再在这4名男生的中间及两头的5个空当中插入3名女生，有A35种排法．故符合条件的排法共有A44A35＝1 440种．(3)不妨先排男生，有A44种排法，在4名男生形成的3个间隔共有3个位置安排3名女生，有A33种，因此共有A44A33种排法，故4名男生3名女生相间的排法共有A44A33＝144种．解有限制条件的排列问题的基本思路1．含有特殊元素或特殊位置的排列，通常优先安排特殊元素或特殊位置；2．当限制条件超过两个(包括两个)，若互不影响，则直接按分步解决，若相互影响，则首先分类，在每个分类中再分步解决；3．某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个整体，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排序，即用“捆绑法”；4．某些元素要求不相邻时，可以先安排其他元素，再将这些不相邻元素插入空位，即用“插空法”．[对应课时跟踪训练三1．6个人站成一排，甲、乙、丙3人必须站在一起的所有排列的总数为( )A．A66B．3A33C．A33·A33D．A44·A33解析：甲、乙、丙3人站在一起有A33种站法，把3人作为一个元素与其他3人排列有A44种，共有A33·A44种．答案：D2．(北京高考)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )A．24 B．18C．12 D．6解析：若选0，则0只能在十位，此时组成的奇数的个数是A23；若选2，则2只能在十位或百位，此时组成的奇数的个数是2×A23＝12，根据分类加法计数原理得总个数为6＋12＝18.答案：B3．由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23 145且小于43 521的数共有( )A．56个 B．57个C．58个 D．60个解析：首位为3时，有A44＝24个；首位为2时，千位为3，则有A12A22＋1＝5个，千位为4或5时有A12A33＝12个；首位为4时，千位为1或2有A12A33＝12个，千位为3时，有A12A22＋1＝5个．由分类加法计数原理知，共有符合条件的数字24＋5＋12＋12＋5＝58(个)．答案：C4．(辽宁高考)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( ) A．144 B．120C．72 D．24解析：剩余的3个座位共有4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A34＝4×3×2＝24.答案：D5．(大纲全国卷)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种．(用数字作答)解析：法一：先把除甲、乙外的4个人全排列，共有A 44种方法．再把甲、乙两人插入这4人形成的五个空位中的两个，共有A 25种不同的方法．故所有不同的排法共有A 44·A 25＝24×20＝480(种)．法二：6人排成一行，所有不同的排法有A 66＝720(种)，其中甲、乙相邻的所有不同的排法有A 55A 22＝240(种)，所以甲、乙不相邻的不同排法共有720－240＝480(种)．答案：4806．有A ，B ，C ，D ，E 五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次，A ，B 两位学生去问成绩，老师对A 说：“你的名次不知道，但肯定没得第一名”；又对B 说：“你是第三名”．请你分析一下，这五位学生的名次排列共有________种不同的可能．解析：先安排B 有1种方法，再安排A 有3种方法，最后安排C ，D ，E 共A 33种方法．由分步乘法计数原理知共有3A 33＝18种方法．答案：187．由A ，B ，C 等7人担任班级的7个班委．(1)若正、副班长两职只能由这三人中选两人担任，有多少种分工方案？(2)若正、副班长两职至少要选三人中的1人担任，有多少种分工方案？解：(1)先安排正、副班长有A 23种方法，再安排其余职务有A 55种方法，依分步乘法计数原理，共有A 23A 55＝720种分工方案．(2)7人的任意分工方案有A 77种，A ，B ，C 三人中无一人任正、副班长的分工方案有A 24A 55种，因此A ，B ，C 三人中至少有1人任正、副班长的方案有A 77－A 24A 55＝3 600种．8．如图，某伞厂生产的“太阳”牌太阳伞蓬是由太阳光的七种颜色组成的，七种颜色分别涂在伞蓬的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同的颜色图案的此类太阳伞至多有多少种？解：如图，对8个区域进行编号，任选一组对称区域(如1与5)同色，用7种颜色涂8个区域的不同涂法有7！种，又由于1与5,2与6,3与7,4与8是对称的，通过旋转后5,6,7,8,1,2,3,4与1,2,3,4,5,6,7,8是同一种涂色，即重复染色2次，故此种图案至多有7！2＝2 520种．敬请批评指正。