2014金版·高三总复习人教数学(理)2选修4-4 第2讲 参数方程

第二讲 参数方程一、曲线的参数方程第2课时 圆的参数方程A 级 基础巩固一、选择题1．已知圆P ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋10cos θ，y ＝－3＋10sin θ(θ为参数)，则圆心P 及半径r 分别是( ) A ．P(1，3)，r ＝10B ．P(1，3)，r ＝10C ．P(1，－3)，r ＝10D ．P(1，－3)，r ＝10解析：由圆P 的参数方程可知圆心(1，－3)，半径r ＝10.答案：C2．圆x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0的参数方程为( )A.⎩⎨⎧x ＝2＋4cos θ，y ＝－3＋4sin θ(θ为参数) B.⎩⎨⎧x ＝－2＋4cos θ，y ＝3＋4sin θ(θ为参数) C.⎩⎨⎧x ＝2－4cos θ，y ＝3－4sin θ(θ为参数) D.⎩⎨⎧x ＝－2－4cos θ，y ＝3－4sin θ(θ为参数) 解析：圆的方程配方为：(x ＋2)2＋(y －3)2＝16，所以圆的圆心为(－2，3)，半径为4，故参数方程为B 选项．答案：B3．已知圆O 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2＋4cos θ，y ＝－3＋4sin θ(0≤θ<2π)，圆上点A 的坐标是(4，－33)，则参数θ＝( )A.7π6B.4π3C.11π6D.5π3解析：由题意⎩⎨⎧4＝2＋4cos θ，－33＝－3＋4sin θ(0≤θ<2π)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝12，sin θ＝－32(0≤θ<2π)，解得θ＝5π3. 答案：D4．若P(x ，y)是圆⎩⎨⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )A ．36B ．6C ．26D ．25解析：依题意P(2＋cos α，sin α)，所以(x －5)2＋(y ＋4)2＝(cos α－3)2＋(sin α＋4)2＝26－6cos α＋8sin α＝26＋10sin(α－φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中cos φ＝45，sin φ＝35， 所以当sin(α－φ)＝1，即α＝2k π＋π2＋φ(k ∈Z)时，有最大值为36. 答案：A5．直线：3x －4y －9＝0与圆：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的位置关系是( ) A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心 解析：圆心坐标为(0，0)，半径为2，显然直线不过圆心，又圆心到直线距离d ＝95<2. 所以直线与圆相交，但不过圆心．答案：D二、填空题6．已知圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，则它的一个参数方程是______．解析：将x 2＋y 2＝2x 化为(x －1)2＋y 2＝1知圆心坐标为(1，0)，半径r ＝1，所以它的一个参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)． 答案：⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数) 7．已知曲线方程⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，则该曲线上的点与定点(－1，－2)的距离的最小值为________． 解析：设曲线上动点为P(x ，y)，定点为A ，则|PA|＝（1＋cos θ＋1）2＋（sin θ＋2）2＝ 9＋42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4， 故|PA|min ＝9－42＝22－1.答案：22－18．曲线C ：⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)的普通方程为__________．如果曲线C 与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，那么a 的取值范围是________．解析：⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)消参可得 x 2＋(y ＋1)2＝1，利用圆心到直线的距离d ≤r 得|－1＋a|2≤1， 解得1－2≤a ≤1＋ 2. 答案：x 2＋(y ＋1)2＝1 [1－2，1＋2]三、解答题9．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t ＋m ，y ＝12t(t 为参数)． (1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 普通方程；。

1．已知动点 M 和定点 A(5,0)，B(－5,0)．
x2 y2 － ＝1 (1)若||MA|－|MB||＝8，则 M 的轨迹方程是__________________ ； 16 9 x 2 y2 － ＝1(x＜0) (2)若|MA|－|MB|＝8，则 M 的轨迹方程是____________________ ； 16 2 9 2 栏 x y 目 － ＝1(x＞0) (3)若|MB|－|MA|＝8，则 M 的轨迹方程是____________________ ． 链 16 9
2 2
x＝2sec α， ∴参数方程为 (α 为参数)． y＝2tan α

变式 训练
x＝ 3tan θ， 1．已知双曲线的参数方程为 (θ 为参数)， y＝sec θ
则它的两条渐近线所成的锐角是________．
栏 目 链 接
答案：60°
题型2
第二讲 参数方程
2.2 圆锥曲线的参数方程
2.2.2 双曲线的参数方程
栏 目 链 接
1.理解双曲线参数方程的概念。
2.能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程。
3.掌握参数方程化为普通方程的 几种基本方法。
栏 栏 目 目 链 链 接 接
4.利用双曲线的参数方程求确定最值和轨迹问题。
栏 目 链 接
栏 目 链 接
变式 训练
2．已知定点 A(0,4)和双曲线 x2－4y2＝16 上的动点 B， 点 P 分有向线段 AB 的比为 1∶3，则利用双曲线的参数方 程可求得点 P 的轨迹普通方程是_______________．
栏 目 链 接
答案：x2－4(y－3)2＝1
x2 y2 － ＝1 的参数方程为________. 16 9

x＝sec θ，
解：把双曲线方程化为参数方程
(θ 为参
y＝tan θ
数)，
林老师网络编辑整理
18
设双曲线上点 Q(sec θ，tan θ)，则
|PQ|2＝sec2θ＋(tan θ－2)2＝
(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tan θ＋4)＝
2tan2θ－4tan θ＋5＝2(tan θ－1)2＋3，
林老师网络编辑整理
5
2．抛物线的参数方程
如图，抛物线 y2＝2px(p>0)的参数方程为
x＝2pt2，
____y_＝__2_p_t ____t为参数，t＝tan1

α.
林老师网络编辑整理
6
温馨提示 t＝sin1 α(α 是以射线 OM 为终边的角)，即 参数 t 表示抛物线上除顶点之外的任意一点与原点连线的 斜率的倒数．
第二讲 参数方程
林老师网络编辑整理
1
二、圆锥曲线的参数方程 第 2 课时 双曲线的参数方程和
抛物线的参数方程
林老师网络编辑整理
2
[学习目标] 1.了解抛物线和双曲线的参数方程，了 解抛物线参数方程中参数的几何意义(重点)． 2.利用抛 物线和双曲线的参数方程处理问题(重点、难点)．
林老师网络编辑整理
当 tan θ－1＝0，即 θ＝π4时，
|PQ|2 取最小值 3，此时有|PQ|＝ 3.
即 P、Q 两点间的最小距离为 3.
林老师网络编辑整理
19
[迁移探究] (变换条件)已知圆 O1：x2＋(y－2)2＝1 上一点 P 与双曲线 x2－y2＝1 上一点 Q，求 P，Q 两点间 距离的最小值．
解：设 Q(sec θ，tan θ)， 由题意知|O1P|＋|PQ|≥|O1Q|. |O1Q|2＝sec2θ＋(tan θ－2)2＝

，即圆心为(1，－1)，半径为 4 的圆
22 4 － 2 ＝ 62，
2
[例 7]
t x＝－1＋2 直线 y＝ 3t 2
(t 为参数)与圆 x2＋y2＝a(a>0)相
交于 A、B 两点，设 P(－1,0)，且|PA|∶|PB|＝1∶2，求实数 a 的 值．
[解]
法一：直线参数方程可化为：y＝ 3(x＋1) ，
2
4· π＝8. sin 24
8
[例 9]
过点 B(0， －a)作双曲线 x2－y2＝a2 右支的割线 BCD，
又过右焦点 F 作平行于 BD 的直线，交双曲线于 G、H 两点． |BC| |BD| 求证：|GF|· ＝2. |FH|
[证明] 为
当 a＞0 时，设割线的倾斜角为 α，则它的参数方程
法二：将直线参数方程代入圆方程得 t2－t＋1－a＝0 设方程两根为 t1、t2，则 3 Δ＝1－4(1－a)>0⇒a>4. t1＋t2＝1，t1· ＝1－a.(*) t2 由参数 t 的几何意义知 |PA| t1 1 |PA| t2 1 |PB|＝－t2＝2或|PB|＝－t1＝2. t1 1 由t ＝－2，解得 a＝3. 2
能根据条件求椭圆、双曲线、抛物线的参数方程，并利用圆 锥曲线的参数方程解最值、直线与圆锥曲线的位置关系等问题． [例 8] AB 的长． 已知点 P(3,2)平分抛物线 y2＝4x 的一条弦 AB，求弦
[解]
设弦 AB 所在的直线方程为 (t 为参数)，
x＝3＋tcos α y＝2＋tsin α
[例 3]
1 x＝t＋ t sin θ， ① 已知参数方程 y＝t－1cos θ， ② t
(t≠0)．