广州市高三上学期期中数学试卷(I)卷

xn）
=
∑1 ≤ 푖＜푗 ≤ 푛
푥 푥 ．（∑
푖푗
푥 푥 表示 x1，x2，…，xn 中任意两个数 xi，xj（1≤i＜j≤n）的
푖푗
1 ≤ i＜j ≤ n
3
乘积之和）．则当 n＝3 时，S（x1，x2，x3）的最小值为（ ）
A．﹣2
B．﹣1
C．0
D．1
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.
【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．
【专题】11：计算题．
【分析】利用复数的运算法则化为复数（a﹣i）2＝a2﹣1﹣2ai．再根据在复平面内对应的点在 y 轴负 半轴上的特点即可得出．
【解答】解：∵a∈R，∴复数（a﹣i）2＝a2﹣1﹣2ai．
∵复数（a﹣i）2 在复平面内对应的点（a2﹣1，﹣2a）在 y 轴负半轴上，
5
푛(푎푑 ‒ 푏푐)2 参考公式：K2 = (푎 + 푏)(푐 + 푑)(푎 + 푐)(푏 + 푑) 参考数据：
P（K2≥K0）
0.10
0.05
0.025
0.010
K0
2.706
3.841
5.024
6.635
푥2 푦2
푥2 푦2
20．（12 分）已知椭圆 C1： 8 + 2 = 1 与双曲线 C2： 2 ‒ 푏2 = 1 在一、二、三、四象限分别交于 A、B、
50
服用
x
y
50
总计
M
N
100
设从没服疫苗的动物中任取两只，未感染数为 ξ；从服用疫苗的动物中任取两只，未感染为 η，工作人 员曾计算过.P(ξ = 0) = 398 ⋅ 푃(휂 = 0)

2023-2024学年广东省广州市南沙区高三（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x ∈N |x ≤4}，B ＝{x |x （x ﹣2）＞0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2，3，4}B ．{3，4}C ．[2，4）D ．（2，5]2．已知命题ρ：﹣1＜x ＜2，q ：log 2x ＜1，则p 是q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为2，且a 1、a 6、a 5成等比数列，则S 10＝（ ） A ．103B ．5C ．203D ．204．已知a ＝3e （其中e 为自然对数的底数），b ＝π3，c ＝3π，则（ ） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b5．某学校数学兴趣小组在探究姜撞奶随着时间变化的降温及凝固情况的数学建模活动中，将时间x 分钟与温度y （摄氏度）的关系用模型y =c 1e c 2x （其中e 为自然对数的底数）拟合．设z ＝lny ，变换后得到一组数据：由上表可得线性回归方程z ＝﹣0.06x +a ，则c 1等于（ ） A ．﹣4B ．e ﹣4C ．4.16D ．e 4.166．已知|a →|=2，b →=(1，−1)，|a →−b →|=2√2，则向量a →在向量b →上的投影向量为（ ） A ．(12，−12)B ．(−12，12)C ．（2，﹣2）D ．（﹣2，2）7．直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点．若|AF |＝3|BF |，则|AB |＝（ ） A ．83B ．3C ．163 D ．328．已知函数f （x ）={log a x ，0＜x ＜12a −x ，x ≥12，若对任意x ＞0，f （x ）≥x 3，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[0，e −2e ] B ．[1256，e −2e ] C ．（0，e −3e ]D ．[1256，e −3e ]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，且f （x ）的最小正周期为π，将y ＝f （x ）的图象向左平移π6个单位长度得到函数g （x ）的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．φ=π2B ．ω＝2C ．g （x ）在[0，π]内的零点个数为2D ．g （x ）的图象关于直线x =π12对称 10．任何一个复数z ＝a +bi （其中a ，b ∈R ）都可以表示成：z ＝r （cos θ+i sin θ）的形式．法国数学家棣莫佛发现：z n ＝[r （cos θ+i sin θ）]n ＝r n （cos n θ+i sin n θ）（n ∈N *），我们称这个结论为棣莫佛定理．根据以上信息，则下列说法正确的是（ ）A ．当r ＝1，θ=π4时，z =√22+√22iB ．当r ＝1，θ=π4时，z 4＝1C ．当r ＝1，θ=π4且n 为偶数时，z n 为实数D ．|z |4＝|z 4|11．下列命题中，正确的是（ ）A ．已知随机变量X 服从正态分布N （1，σ2），若P （X ＜4）＝0.8，则P （﹣2＜X ＜1）＝0.3B ．已知P （A ）＞0，P （B ）＞0，P （B |A ）＝P （B ），则P （A |B ）＝P （A ）C ．若A 、B 两组成对数据的样本相关系数分别为r A ＝0.97，r B ＝﹣0.99，则A 组数据比B 组数据的相关性较强D ．将总体划分为两层，通过分层抽样，得到样本数为m ，n 的两层样本，其样本平均数和样本方差分别为x 1，x 2和s 12，s 22，若x 1=x 2，则总体方差s 2=ms 12+ns 22m+n12．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1棱长为2，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，P 、Q 分别为线段A 1C 1、EF 上的动点，M 为ABCD 所在平面内的动点，则下列结论中正确的是（ ）A ．三棱锥P ﹣D 1EF 的体积为定值B．P、Q两点间距离的最小值为2√2 3C．若D1M与DC所成的角为π3，则M点的轨迹为双曲线D．平面D1EF交CC1于点N，则C1N＝2CN三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在(x+1x)5的展开式中，含x3的系数为．14．如果直线3x+4y﹣10＝0被圆x2+y2﹣2ax+a2﹣4＝0截得的弦长为2√3，那么实数a＝．15．已知sinα+cosα=34，则sin2α＝．16．已知点P为双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）右支上的一点，点F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若M为△PF1F2的内心，且S△PMF1＝S△PMF2+12S△MF1F2，则双曲线的离心率为．四、解答题：本题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b cos C+c cos B＝2a cos A．（1）求角A；（2）若△ABC中BC边上中线AD的长度为3，求△ABC面积的最大值．18．（12分）已知数列{a n}的首项为a1=12，且满足a n+1+4a n+1a n﹣a n＝0．（1）证明：数列{1a n}为等差数列；（2）设数列{1a n}的前n项和为S n，求数列{（﹣1）n S n}的前n项和．19．（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为12，焦距为2．（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的左顶点为A，过右焦点F的直线l与椭圆C交于B，D（异于点A）两点，直线AB，AD分别与直线x＝4交于M，N两点，试问∠MFN是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．20．（12分）设函数f(x)=a(x−2lnx)+x−1x2，a∈R．（1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．2023-2024学年广东省广州市南沙区高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x∈N|x≤4}，B＝{x|x（x﹣2）＞0}，则A∩B＝（）A．{2，3，4}B．{3，4}C．[2，4）D．（2，5]解：集合A＝{x∈N|x≤4}＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x（x﹣2）＞0}＝{x|x＞2或x＜0}，故A∩B＝{3，4}．故选：B．2．已知命题ρ：﹣1＜x＜2，q：log2x＜1，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件解：由q：log2x＜1⇒0＜x＜2，由﹣1＜x＜2不能够推出0＜x＜2，但由0＜x＜2一定得﹣1＜x＜2，所以p是q的必要不充分条件，故选：B．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为2，且a1、a6、a5成等比数列，则S10＝（）A．103B．5C．203D．20解：等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为2，且a1、a6、a5成等比数列，可得a62=a1a5，即（a1+10）2＝a1（a1+8），解得a1=−25 3，则S10＝10×（−253）+12×10×9×2=203．故选：C．4．已知a＝3e（其中e为自然对数的底数），b＝π3，c＝3π，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b 解：因为函数y＝3x在R上单调递增，y＝x3在R上单调递增，所以3e＜33＜π3⇒a＜b，令y=lnxx，则y′=1x⋅x−lnxx2=1−lnxx2＞0⇒0＜x＜e，所以y=lnxx在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，所以ln33＞lnππ⇒πln 3＞3ln π⇒ln 3π＞ln π3⇒3π＞π3⇒c ＞b ，故选：A ．5．某学校数学兴趣小组在探究姜撞奶随着时间变化的降温及凝固情况的数学建模活动中，将时间x 分钟与温度y （摄氏度）的关系用模型y =c 1e c 2x （其中e 为自然对数的底数）拟合．设z ＝lny ，变换后得到一组数据：由上表可得线性回归方程z ＝﹣0.06x +a ，则c 1等于（ ） A ．﹣4B ．e ﹣4C ．4.16D ．e 4.16解：由表中数据可得，x =15(2+2.5+3+3.5+4)=3，z =15（4.04+4.01+3.98+3.96+3.91）＝3.98，∵z ＝﹣0.06x +a ， ∴a ＝3.98+0.06×34.16，∴z ＝﹣0.06x +4.16，即lny ＝﹣0.06x +4.16， ∴y ＝e 4.16． 故选：D ．6．已知|a →|=2，b →=(1，−1)，|a →−b →|=2√2，则向量a →在向量b →上的投影向量为（ ） A ．(12，−12)B ．(−12，12)C ．（2，﹣2）D ．（﹣2，2）解：b →=(1，−1)，则|b →|=√2，|a →−b →|=2√2， 则a →2+b →2−2a →⋅b →=4+2−2a →⋅b →=8，解得a →⋅b →=−1，故向量a →在向量b →上的投影向量为：a →⋅b→|b →|×b→|b →|=−12b →=(−12，12)．故选：B ．7．直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点．若|AF |＝3|BF |，则|AB |＝（ ） A ．83B ．3C ．163 D ．32解：设直线l 的方程为my ＝x ﹣1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），y 1＞0，联立{my =x −1y 2=4x，化为y 2﹣4my ﹣4＝0， ∴y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4， 又|AF |＝3|BF |，∴AF →=3FB →， ∴﹣y 1＝3y 2，联立解得：y 1＝2√3，y 2=−2√33，m =√33， ∴|AB |＝x 1+x 2+2＝m （y 1+y 2）+4＝4×(√33)2+4=163． 故选：C ．8．已知函数f （x ）={log a x ，0＜x ＜12a −x ，x ≥12，若对任意x ＞0，f （x ）≥x 3，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[0，e−2e ] B ．[1256，e −2e ]C ．（0，e −3e ]D ．[1256，e −3e ]解：当0＜x ＜12时，f （x ）＝log a x ≥x 3，则当0＜a ＜1时，此时若对任意0＜x ＜12，log a x ≥x 3，只需log a 12≥18，即log a 12≥log a a 18，∴a 18≥12，即a ≥1256，∴1256≤a ＜1； 当x ≥12，f （x ）=(1a)x ≥x 3，此时若对任意x ≥12，(1a )x ≥x 3，即ln(1a)x ≥lnx 3，∴xln 1a ≥3lnx ，即ln 1a ≥3lnx x，则只需ln 1a ≥(3lnxx )max ．令g （x ）=3lnx x ，则g ′（x ）=3−3lnxx 2， 当x ∈（0，e ），g '（x ）＞0，g （x ）单调递增； 当x ∈（e ，+∞），g '（x ）＜0，g （x ）单调递减，∴g （x ）max ＝g （e ）=3e ，得ln 1a ≥3e，即a ≤e −3e ．综上可得：1256≤a ≤e−3e ．∴实数a 的取值范围为[1256，e −3e ]．故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，且f （x ）的最小正周期为π，将y ＝f （x ）的图象向左平移π6个单位长度得到函数g （x ）的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．φ=π2B ．ω＝2C ．g （x ）在[0，π]内的零点个数为2D ．g （x ）的图象关于直线x =π12对称 解：f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）是奇函数⇒φ＝k π，k ∈Z ． ∵|φ|＜π，∴φ＝0，故A 错误； 又f （x ）的最小正周期为π⇒T =2πω=π⇒ω＝2，故B 正确； ∴f （x ）＝sin2x ． ∴g （x ）＝sin2（x +π6），∵x ∈[0，π]，∴2x +π3∈[π3，7π3]，当x =π3和x =5π6时，g （x ）＝0，∴g （x ）在[0，π]内的零点个数为2个，故C 正确；又g （π12）＝sin π2=1，为最大值，即g （x ）的图象关于直线x =π12对称，故D 正确．故选：BCD ．10．任何一个复数z ＝a +bi （其中a ，b ∈R ）都可以表示成：z ＝r （cos θ+i sin θ）的形式．法国数学家棣莫佛发现：z n ＝[r （cos θ+i sin θ）]n ＝r n （cos n θ+i sin n θ）（n ∈N *），我们称这个结论为棣莫佛定理．根据以上信息，则下列说法正确的是（ ）A ．当r ＝1，θ=π4时，z =√22+√22iB ．当r ＝1，θ=π4时，z 4＝1C ．当r ＝1，θ=π4且n 为偶数时，z n 为实数D ．|z |4＝|z 4|解：对于A ，当r ＝1，θ=π4时，z =cos π4+isin π4=√22+√22i ，故A 正确；对于B ，当r ＝1，θ=π4时，z 4=cos(4×π4)+isin(4×π4)=−1，故B 错误；对于C，当r＝1，θ=π4且n为偶数时，z n＝cosnπ4+i sinnπ4，取n＝2为偶数，z2＝i为纯虚数，故C错误；对于D，|z|4＝r4，|z4|＝|r4|＝r4，则|z|4＝|z4|，故D正确．故选：AD．11．下列命题中，正确的是（）A．已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），若P（X＜4）＝0.8，则P（﹣2＜X＜1）＝0.3B．已知P（A）＞0，P（B）＞0，P（B|A）＝P（B），则P（A|B）＝P（A）C．若A、B两组成对数据的样本相关系数分别为r A＝0.97，r B＝﹣0.99，则A组数据比B组数据的相关性较强D．将总体划分为两层，通过分层抽样，得到样本数为m，n的两层样本，其样本平均数和样本方差分别为x1，x2和s12，s22，若x1=x2，则总体方差s2=ms12+ns22 m+n解：A选项，由正态曲线的性质可得P（X≥4）＝1﹣0.8＝0.2，根据对称性可知P（X≤﹣2）＝0.2，则P（﹣2＜X＜4）＝1﹣P（X≤﹣2）﹣P（X≥4）＝0.6，∴P（﹣2＜X＜1）＝0.3，故A正确；B选项，由P（B|A）＝P（B）得P(AB)P(A)=P(B)，即P（AB）＝P（A）P（B），所以事件A，B相互独立，所以P（A|B）＝P（A），故B正确；C选项，|r|越接近于1，相关性越强，故C错误；D选项，设两层的数据分别是x1，x2，…，x m和x1，x2，…，x n，总体的平均数为x，则x=mx1+nx2 m+n，又x1=x2，∴x=x1=x2，s12=1m∑m i=1(x i−x)2，s22=1n∑n j=1(x j−x)2，∴总体方差s2=1m+n[∑m i=1(x i−x)2+∑n j=1(x j−x)2]=ms12+ns22m+n，故D正确．故选：ABD．12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，E、F分别为AB、BC的中点，P、Q分别为线段A1C1、EF 上的动点，M为ABCD所在平面内的动点，则下列结论中正确的是（）A ．三棱锥P ﹣D 1EF 的体积为定值B ．P 、Q 两点间距离的最小值为2√23C ．若D 1M 与DC 所成的角为π3，则M 点的轨迹为双曲线D ．平面D 1EF 交CC 1于点N ，则C 1N ＝2CN 解：对于选项A ，V P−D 1EF =V D 1−PEF ，点P 在线段A 1C 1上，E 、F 分别为AB 、BC 的中点， 所以A 1C 1∥EF ，所以P 到EF 的距离是定值， 所以△PEF 的面积是定值，D 1到平面PEF 的距离即D 1到平面A 1C 1FE 的距离，是定值， 所以三棱锥P ﹣D 1EF 的体积为定值，故A 对；对于选项B ，当P 、Q 分别为线段A 1C 1、EF 上的中点时， P 、Q 两点间的距离最小，最小值为√(√22)2+22=3√22，故B 错； 对于选项C ，以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 则D 1（0，0，2），C （0，2，0）设M （x ，y ，0），则DC →=(0，2，0)，D 1M →=(x ，y ，−2)， 因为D 1M 与DC 所成的角为π3，所以cos ＜D 1M →，DC →＞=D 1M →⋅DC→|D 1M →||DC →|=2y2√x +y +4=12， 化简得3y 24−x 24=1，所以M 的轨迹是双曲线，故C 正确；对于选项D ，延长EF 交DC 的延长线于点G ，连接D 1G 交CC 1于点N ，点N 即平面D 1EF 与CC 1的交点，由E 、F 分别为AB 、BC 的中点，则CG ＝1， 易证△GNC ∽△GD 1D ，则GC GD=CNDD 1=13，所以DD 1＝CC 1＝3CN ，即C 1N ＝2CN ，故D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．在(x +1x)5的展开式中，含x 3的系数为 5 ．解：展开式中含x 3的项为C 51x 4(1x)=5x 3，所以x 3的系数为5， 故答案为：5．14．如果直线3x +4y ﹣10＝0被圆x 2+y 2﹣2ax +a 2﹣4＝0截得的弦长为2√3，那么实数a ＝ 5或53．解：由圆x 2+y 2﹣2ax +a 2﹣4＝0得，圆的方程为（x ﹣a ）2+y 2＝4， 圆心C 为（a ，0），半径为r ＝2， ∴圆心C 到直线3x +4y ﹣10＝0距离d =|3a−10|√3+4，又∵直线3x +4y ﹣10＝0被圆x 2+y 2﹣2ax +a 2﹣4＝0所截得弦长为2√3， ∴由弦长公式可得，（√32+42）2+（√3）2＝4，∴a ＝5或53，故答案为：5或53．15．已知sin α+cos α=34，则sin2α＝ −716．解：(sinα+cosα)2=1+sin2α=916，∴in2α=−716． 故答案为：−716． 16．已知点P 为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）右支上的一点，点F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，若M 为△PF 1F 2的内心，且S △PMF 1＝S △PMF 2+12S △MF 1F 2，则双曲线的离心率为 2 ．解：如图，设内切圆的半径为r ，又S △PMF 1＝S △PMF 2+12S △MF 1F 2，则根据三角形内切圆的性质可得： 12|PF 1|⋅r =12|PF 2|⋅r +12×12|F 1F 2|⋅r ，∴|PF 1|＝|PF 2|+12|F 1F 2|，∴|PF 1|﹣|PF 2|=12|F 1F 2|，又P 是双曲线右支上一点，∴2a =12|F 1F 2|＝c ， ∴e =c a=2． 故答案为：2．四、解答题：本题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b cos C +c cos B ＝2a cos A ．（1）求角A ；（2）若△ABC 中BC 边上中线AD 的长度为3，求△ABC 面积的最大值．解：（1）∵b cos C +c cos B ＝2a cos A ，由正弦定理a sinA =b sinB =c sinC ，得sin B cos C +sin C cos B ＝2sin A cos A ，∴sin （B +C ）＝2sin A cos A ，∵A +B +C ＝π，∴B +C ＝π﹣A ，∴sin （B +C ）＝sin （π﹣A ）＝sin A ＝2sin A cos A ，∵A 为△ABC 的内角，∴sin A ≠0，∴cosA =12， ∴A =π3； （2）∵AD 是△ABC 中BC 边上中线，则AD →=12AB →+12AC →， 即2AD →=AB →+AC →，可得|2AD →|2=|AB →+AC →|，∴两边平方，可得|2AD →|2=|AB →|2+2|AB →||AC →|cosA +|AC →|2，∴36＝b 2+c 2+bc ≥3bc ，可得bc ≤12，当且仅当b ＝c 时，等号成立，故S△ABC=12bcsinA=√34bc≤3√3，即△ABC面积的最大值为3√3．18．（12分）已知数列{a n}的首项为a1=12，且满足a n+1+4a n+1a n﹣a n＝0．（1）证明：数列{1a n}为等差数列；（2）设数列{1a n}的前n项和为S n，求数列{（﹣1）n S n}的前n项和．证明：（1）∵a n+1+4a n+1a n﹣a n＝0，a1=1 2，a n﹣a n+1＝4a n a n+1，显然a n+1a n≠0，∴1a n+1−1a n=4，∴数列{1a n}是以首项为2，公差为4的等差数列．解：（2）由（1）知1a n=2+(n−1)⋅4=4n−2，数列{1a n}的前n项和为S n=(2+4n−2)n2=2n2，(−1)n S n=2⋅(−1)n n2，设数列{（﹣1）n S n}的前n项和为T n，当n为偶数时，T n=2[−12+22−32+⋯−(n−1)2+n2]，T n=2[3+7+⋯+(2n−1)]=2⋅(3+2n−1)2⋅n2=n(n+1)=n2+n，当n为奇数时，T n=T n−1+2⋅(−1)n n2=(n−1)n+2⋅(−1)n n2=(n−1)n−2n2=−n2−n，∴T n=(−1)n(n2+n)．19．（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为12，焦距为2．（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的左顶点为A，过右焦点F的直线l与椭圆C交于B，D（异于点A）两点，直线AB，AD分别与直线x＝4交于M，N两点，试问∠MFN是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解：（1）因为椭圆C的离心率为12，焦距为2，所以{e=ca=122c=2，①又a2＝b2+c2，②联立①②，解得a ＝2，b =√3，则椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；（2）由于B ，D 异于A ，不妨设直线BD 的方程为x ＝my +1，B （x 1，y 1） D （x 2，y 2），联立{x 24+y 23=1x =my +1，消去x 并整理得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0， 由韦达定理得y 1+y 2=−6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4， 因为A （﹣2，0），k AB =y 1x 1+2， 不妨设直线AB 的方程为y =y 1x 1+2(x +2)， 当x ＝4时，可得M(4，6y 1x 1+2)， 同理的N(4，6y 2x 2+2)， 因为F （1，0），所以FM →=(3，6y 1x 1+2)，FN →=(3，6y 2x 2+2)， 此时FM →⋅FN →=9+36y 1y 2(x 1+2)(x 2+2)=9+36y 1y 2(my 1+3)(my 2+3)=9+36y 1y 2m 2y 1y 2+3m(y 1+y 2)+9 ＝9+36⋅−93m 2+4m 2⋅−93m 2+4+3m⋅−6m 3m 2+4+9=9﹣9＝0，则FM →⊥FN →，即∠MFN =π2． 20．（12分）设函数f(x)=a(x −2lnx)+x−1x 2，a ∈R ． （1）当a ＝1时，讨论f （x ）的单调性；（2）若f （x ）有两个零点，求实数a 的取值范围．（1）解：当a ＝1时，f(x)=x −2lnx +1x −1x 2，x ∈(0，+∞)． 则f ′(x)=1−2x −1x 2+2x 3=(x−2)(x−1)(x+1)x 3． 由f ′（x ）＝0得x 1＝2，x 2＝1，x 3＝﹣1（舍去）．当x ∈（0，1）∪（2，+∞）时，f ′（x ）＞0成立，则f （x ）在（0，1）、（2，+∞）上单调递增；当x ∈（1，2）时，f ′（x ）＜0成立，则f （x ）在（1，2）上单调递减．综上，当a ＝1时，函数f （x ）的增区间为（0，1）（2，+∞），减区间为（1，2）．（2）解：因f(x)=a(x −2lnx)+x−1x 2求导得f ′(x)=a(1−2x )+2−x x 3=(x−2)(ax 2−1)x 3，x ∈(0，+∞)． ①当a ＝0时，由f(x)=x−1x 2=0，可得x ＝1，函数f （x ）只有一个零点，不符合题意； ②当a ＜0时，由f ′（x ）＜0可得x ＞2，由f ′（x ）＞0可得0＜x ＜2，所以，函数f （x ）在（0，2）上递增，在（2，+∞）上递减，由f （1）＝a ＜0，取x 0=max{−1a，5}， 令f 1(x)=x −2lnx ，f 2(x)=1x， 则f 1′(x)=1−2x＞0在（2，+∞）内成立， 故f 1（x ）＝x ﹣2lnx 在（2，+∞）上单调递增．则f 1（x 0）＝x 0﹣2lnx 0≥5﹣2ln 5＝1+2（2﹣ln 5）＞1．则f(x 0)=a(x 0−2lnx 0)+1x 0−1x 02≤a +1x 0−1x 02≤−1x 02＜0． 由此得f （x ）有两个零点等价于f(2)=a(2−2ln2)+14＞0， 得a ＞18ln2−8，则18ln2−8＜a ＜0． ③当a ＞0时，f ′(x)=a(1−2x )+2−x x 3=(x−2)(ax 2−1)x 3， （i ）当a =14时，f ′(x)=(x+2)(x−2)24x 3≥0对任意的x ＞0恒成立， f （x ）在（0，+∞）上单调递增，至多只有一个零点，不符合题意；（ii ）当a ＞0且a ≠14时，由f ′（x ）＝0得x 1=2，x 2=1√a x 2=1√a （舍去），若√a2，即当a ＞14时，由f ′（x ）＜0可得√a＜x ＜2，由f ′（x ）＞0可得0＜x 1√a 或x ＞2，此时，函数f （x ）的递增区间为(01√a )、(2，+∞)，单调递减区间为(1√a2)，此时，函数f （x ）有两个极值点； 同理，当0＜a ＜14时，函数f （x ）的递增区间为(0，2)、(√a +∞)，单调递减区间为(2√a)，此时，函数f （x ）也有两个极值点；因为f(2)=a(2−2ln2)+14＞0，f(√a )=2√a +alna −a ．令t=√a∈(0，12)∪(12，+∞)，g(t)=2t+2t2lnt−t2=t2(2t+lnt−1)，令ℎ(t)=lnt+2t−1，其中t∈(0，12)∪(12，+∞)，ℎ′(t)=1t−2t2=t−2t2，当0＜t＜12或12＜t＜2时，h′（t）＜0；当t＞2时，h′（t）＞0．所以，h（t）min＝h（2）＝ln2＞0，所以，g（t）＞0，故f(1√a)=2√a+alna−a＞0．又f(2)=a(2−2ln2)+14＞0，所以，f（x）至多只有一个零点，不符合题意．综上，实数a的取值范围为(18ln2−8，0)．。

2021-2021学年度第一学期 高三级理科数学科期中考试试卷本试卷分选择题和非选择题两部份，共10页，总分值为150分。

考试历时120分钟。

注意事项：一、答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。

二、选择题每题选出答案后，有2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。

3、非选择题必需用黑色笔迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必需写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原先的答案，然后再写上新的答案；不准利用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4、考生必需维持答题卡的整洁和平整。

第一部份选择题(共40分)一、选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的）1．假设集合}0|{≥=x x A ，且B B A = ，那么集合B 可能是（ ） A ．}2,1{ B ．}1|{≤x x C ．}1,0,1{- D ． R 2．以下说法正确的选项是（ ）A ．命题“假设x 2＝1，那么x ＝1”的否命题为“假设x 2＝1，那么x ≠1”B ．命题“∀x ≥0，x 2＋x －1＜0”的否定是“∃x 0＜0，x 20＋x 0－1＜0”C ．命题“假设x ＝y ，那么sin x ＝sin y ”的逆否命题为假命题D ．假设“q p ∨”为真命题，那么p ，q 中至少有一个为真命题3．已知数列{n a }为等差数列，公差2-=d ，n S 为其前n 项和.假设1011S S =，那么1a =（ ） A ．18 B ．20 C ．22 D ．244．将正方形（如图1所示）截去两个三棱锥，取得图2所示的几何体，那么该几何体的左视图为（） 5．在ABC ∆中，已知 30,4,34=∠==B AC AB ,那么ABC ∆的面积是（ ）A ．34B ．38C ．34或38D ．36．设曲线11-+=x x y 在点)2,3(处的切线与直线01=++y ax 垂直，那么=a （ ） A ．2 B ．21 C ．21- D ．2-7．在ABC △中，点P 在BC 上，且2BP PC =，点Q 是AC 的中点，假设()4,3PA =，()1,5PQ =，那么BC =（ ）A ．()2,7-B ．()6,21-C ．()2,7-D ．()6,21-8．已知函数=)(x f ⎩⎨⎧>+-≤-)0(,1)1()0(,12x x f x x ,把函数x x f x g -=)()(的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,那么该数列的通项公式为（ ） A ．2)1(-=n n a nB ．1-=n a nC ．)1(-=n n a nD ．22-=nn a第二部份非选择题(共 110分)二、填空题（本大题共6小题，每题5分，共30分） （一）必做题（9 ～ 13题）9．已知复数()i i 1i a b +=-（其中,a b ∈R ，i 是虚数单位），那么a b +的值为 10．若920=⎰dx x T，那么常数T 的值为________．11．设,x y 知足约束条件0201x x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩,那么2z x y =+的最大值是 ．12．已知2nx ⎫⎪⎭的展开式中第5项的系数与第3项的系数比为56：3，那么=n ．13．如图，在平面直角坐标系xoy 中，点A 为椭圆E ：22221(0)x ya b a b+=>>的左极点，B 、C 在椭圆上， 假设四边形OABC 为平行四边形，且∠OAB ＝30°，那么椭圆E 的离心率等于 ． （二）选做题（14 ～ 15题，考生只能从当选做一题）14．在极坐标系中,曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为__________FAEDBC15．如图,已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ,E 是AB 延长线上一点,且DF CF ==, 1:2:4::=BE FB AF ,假设CE 与圆相切,那么线段CE 的长为 ．三、解答题（本大题共6小题，共80分. 解许诺写出文字说明，证明进程或演算步骤） 16．（本小题总分值13分）已知函数1()cos )cos 2f x x x x =+-． （Ⅰ）用五点作图法列表，作出函数)(x f 在],0[π∈x 上的图象简图． （Ⅱ）若3()265f απ+=，02πα-<<，求sin(2)4πα-的值． 17．（本小题总分值14分）在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，已知51===AA AC AB ，4=BC ，1A 在底面ABC 的射影是线段BC 的中点O ．（Ⅰ）证明：在侧棱1AA 上存在一点E ， 使得OE ⊥平面C C BB 11，并求出AE 的长； （II ）求二面角111C C B A --的余弦值． 18．（本小题总分值14分）袋中装着标有数学1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每一个小球被掏出的可能性都相等，用ξ表示掏出的3个小球上的最大数字，求：（Ⅰ）掏出的3个小球上的数字互不相同的概率； （Ⅱ）随机变量ξ的概率散布和数学期望；19．（本小题总分值12分）已知21=a ，点()1,+n n a a 在函数x x x f 2)(2+=的图像上，其中*N n ∈（Ⅰ）证明：数列{})1lg(n a +是等比数列； （Ⅱ）设)1()1)(1(21n n a a a T +++= ，求n T （Ⅲ）记211++=n n n a a b ，求数列{}n b 的前项和n S 20．（本小题总分值13分）已知椭圆1:C 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3e =，过1C 的左核心1F 的直1A线:20l x y-+=被圆2222:(3)(3)(0)C x y r r-+-=>截得的弦长为.（Ⅰ）求椭圆1C的方程；（Ⅱ）设1C的右核心为2F，在圆2C上是不是存在点P，知足2122aPF PFb=,假设存在，指出有几个如此的点（没必要求出点的坐标）;假设不存在，说明理由.21．（本小题总分值14分）设函数()()ln ln0,0f x x a x a a=->>且为常数.（Ⅰ）当1k=时，判定函数()f x的单调性，并加以证明；（Ⅱ）当0k=时，求证：()0f x>对一切0x>恒成立；（Ⅲ）若0k<，且k为常数，求证：()f x的极小值是一个与a无关的常数.1-8 ADBB CDBB9.2 10.3 11.5 12.10 13.322 14.251+(2)3()sin[2()]sin()cos .2626625f απαπππαα+=++=+== 17. 解：（此题总分值14分）(Ⅰ)证明:连接AO,再1AOA ∆中,作1OE AA ⊥于点E,因为11//AA BB ,因此1OE BB ⊥, 因为1A O ABC ⊥平面,因此1BC AA O ⊥平面,因此BC OE ⊥,因此11OE BB C C ⊥平面又2211,5,AO AB BO AA =-==得2155AO AE AA ==. (Ⅱ)如图,别离以OA,OB, 1OA 所在直线为x,y,z 轴 ,成立空间直角坐标系,那么(1,0,0)A , 由115AE AA =,得点E 的坐标是42(,0,)55,由(Ⅰ)知平面11B CC 的一个法向量为42(,0,)55OE = 设平面11A B C 的法向量是(,,)n x y z =,由100n AB n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得200x y y z +=⎧⎨+=⎩可取(2,1,1)n =-,因此30cos ,10OE n OE n OE n⋅<>==⋅ 18.（本小题总分值14分）解(Ⅰ) 一次掏出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A,一次掏出的3个小球上有两个数字相同的事件记为B ，那么事件A 和B 是对立事件。

2023-2024学年广东省广州市高三上学期期中数学模拟试题（Ⅰ卷）一、单项选择题：（本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.）1.设集合{0},{21}A x x B x x =>=-<≤∣∣，则()A B ⋂=R ð（）A.{2}x x >-∣B.{0}x x >∣C.{20}xx -<≤∣ D.{01}x x ≤≤∣【正确答案】C【分析】根据补集和交集的定义即可求解.【详解】由已知得：{|0}A x x =≤R ð，而{21}B xx =-<≤∣，所以(){|20}A B x x ⋂=-<≤R ð.故选：C2.各项为正数且公比为q 的等比数列{}n a 中，2311,,2a a a 成等差数列，则53a a 的值为（）A.12B.2C.2D.352-【正确答案】C【分析】根据已知条件{}n a 是等比数列，假设出首项和公比，再根据等差中项性质列式计算即可.【详解】因为23112a a a ，，成等差数列，所以1233122a a a a +=⨯=，即2111a a q a q +=，所以210q q --=，解得152q =或1502q =<（舍去），2352q +=故选:C.3.6x ⎛⎝展开式中的常数项为（）A .480B.240- C.240D.260【正确答案】C【分析】写出二项式展开式的通项，再令x 的指数为0，求出r ，再代入计算可得；【详解】解：6x ⎛ ⎝展开式的通项为：()3662166C 2C rrr r r r r T x x --+⎛=⋅⋅=-⋅⋅ ⎝，令3602r -=，解得4r =，所以展开式的常数项为()4462C 240-⋅=；故选：C4.已知向量()a = ，向量13,22e ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.则向量a 在向量e上的投影向量为（）A.)B.()C.(D.13,44⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】根据投影向量的公式求解即可【详解】a 在e上投影向量)213,32321a e a e e e⎫⋅=⋅===⎪⎪⎭+r rr rrr 故选：A5.平面直角坐标系中，角α的终边经过点()3,4P -，则2cos +π=2α⎛⎫⎪⎝⎭（）A.110B.15C.45D.910【正确答案】B【分析】首先根据三角函数定义得到3cos 5α=-，再根据余弦二倍角公式和诱导公式求解即可.【详解】角α的终边经过点()3,4P -，5r ==，所以3cos 5α=-.()2311+cos +2π1+cos 15cos +π====22225-ααα⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B6.已知直线1:0l x ay a +-=和直线2:(23)20l ax a y a --+-=，若12l l ∥，则a 的值（）A.1或3-B.1-或3- C.1D.3-【正确答案】D【分析】利用两直线平行列方程即可求解.【详解】因为直线1:0l x ay a +-=和直线2:(23)20l ax a y a --+-=，且12l l ∥，所以(23)1a a a ⨯=--⨯，解得：1a =或3a =-.当1a =时，1:10l x y +-=，2:10l x y +-=，1l 与2l 重合，不合题意，舍去；当3a =-时，1:330l x y -+=，2:3950l x y -+-=，即9305x y -+=，所以12l l ∥符合题意.故选：D7.某车间生产一种圆台型纸杯，其杯底直径为R ，杯口直径为2R ，高为ℎ，将该纸杯装满水（水面与杯口齐平），现将一直径为2R 的小铁球缓慢放入杯中，待小铁球完全沉入水中并静止后，从杯口溢出水的体积为纸杯容积的17，则h R=（）A.5B.4C.3D.6【正确答案】B【分析】利用圆台及球的体积公式结合条件即得.【详解】由题可得圆台型纸杯的体积为22217ππ3412R R h V R h ⎛⎫=+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭，小铁球的体积为33433ππ3416R R ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，由题可得2317π71216R h R =⨯，即4h R =.故选：B.8.已知ln 2a =，5log 2b =，14e c =，则（）A.a b c <<B.a c b<< C.b c a<< D.b a c<<【正确答案】D【分析】根据对数函数和指数函数的单调性进行放缩，即可得到答案【详解】14=e >1c ，又5ln 21ln 2log 2ln 5>>=，得到c a b >>故选：D二、多项选择题：（本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）9.已知函数()π1cos2xf x =+，则（）A.()f x 的最小正周期为4πB.()f x 在区间[]1,1-上单调递减C.使()f x 取得最小值的x 的集合为{}42,Zx x k k =+∈D.()f x 的图象可由曲线π1sin 2xy =-向右平移1个单位长度得到【正确答案】CD【分析】利用余弦型函数的周期性可判断A 选项；利用余弦型函数的单调性可判断B 选项；利用余弦型函数的最值可判断C 选项；利用三角函数图象变换可判断D 选项.【详解】对于A 选项，函数()f x 的最小正周期为2π4π2T ==，A 错；对于B 选项，当11x -≤≤时，πππ222x -≤≤，所以，函数()f x 在区间[]1,1-上不单调，B 错；对于C 选项，当()f x 取最小值时，()π2ππZ 2xk k =+∈，解得()42Z x k k =+∈，所以，使()f x 取得最小值的x 的集合为{}42,Z x x k k =+∈，C 对；对于D 选项，因为()()π1π1cos1sin22x xf x -=+=-，所以，()f x 的图象可由曲线π1sin 2xy =-向右平移1个单位长度得到，D 对.故选：CD.10.数列{}n a 的首项为1，且121n n a a +=+，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（）A.37a =B.数列{}1n a +是等比数列C.21n a n =-D.121n n S n +=--【正确答案】AB【分析】根据题意可得()1121n n a a ++=+，从而可得数列{}1n a +是等比数列，从而可求得数列{}n a 的通项，再根据分组求和法即可求出n S ，即可得出答案.【详解】解：∵121n n a a +=+，可得()1121n n a a ++=+，又112a +=∴数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，故B 正确；则12n n a +=，∴21nn a =-，故C 错误；则37a =，故A 正确；∴()12122212n n nS n n +-=-=---，故D 错误.故选：AB .11.已知曲线22:19x y C m+=，12,F F 分别为曲线C 的左､右焦点，则下列说法正确的是（）A.若3m =-，则曲线C的渐近线方程为3y x =±B.若27m =-，则曲线C的焦点到渐近线的距离为C.若5m =，P 为C 上一个动点，则1PF 的最小值为2D.若6m =，P 为C 上一个动点，则12PF F △面积的最大值为【正确答案】ABD【分析】结合已知条件，根据椭圆和双曲线的性质即可求解.【详解】若3m =-，曲线22:193x y C -=表示焦点在x 轴上的双曲线，渐近线方程为33y x =±，故A 正确；若27m =-，曲线22:1927x y C -=，易知右焦点(6,0)F ，其中一条渐近线为y =，即0y -=，由双曲线对称性可知，曲线C的焦点到渐近线的距离为d =，故B 正确；若5m =，曲线22:195x y C +=，则29a =，25b =，2224c a b =-=，则1PF 的最小值为1a c -=，故C 错；若6m =，曲线C ：22196x y +=，此时3,a b c ===12PF F △面积的最大值为11222c b ⨯⨯=⨯=，故D 正确；故选：ABD.12.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别是11C D ，1C C ，1A A 的中点，则（）A.M ，N ，B ，1D 四点共面B.异面直线1PD 与MN 所成角的余弦值为1010C.平面BMN 截正方体所得截面为等腰梯形D.三棱锥-P MNB 的体积为13【正确答案】BCD【分析】根据直线与直线的位置关系判定A ；由异面直线所成角求解判定B ；作出截面判定C ；由体积公式判定D【详解】对于A ，易知MN 与1BD 为异面直线，所以M ，N ，B ，1D 不可能四点共面，故A 错误；对于B ，连接1CD ，CP ，易得1//MN CD ，所以1PD C ∠为异面直线1PD 与MN 所成角，设2AB =，则112253CD D P PC ===，，，所以2221(22)(5)10cos 102225PD C ∠==⨯⨯，所以异面直线1PD 与MN 所成角的余弦值为1010，故B 正确；对于C ，连接1A B ，1A M ，易得1//A B MN ，所以平面BMN 截正方体所得截面为梯形1MNBA ，故C 正确；对于D ，易得1//D P BN ，因为1D P ⊄平面MNB ，MN ⊂平面MNB ，所以1//D P 平面MNB ，所以11111112323P MNB D MNB B MND V V V ---===⨯⨯⨯⨯=，故D 正确.故选：BCD（Ⅱ卷）三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知i 是虚数单位，复数z 满足()1i i z -=，则z =______.【正确答案】22【分析】化简复数，再由复数的模长公式求解即可.【详解】因为()1i i z -=，所以()()()i 1i i i 11i 1i 1i 1i 222z +-====-+--+，所以22112222z ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为.2214.已知抛物线的标准方程为28y x =-，则抛物线的焦点坐标为___________.【正确答案】()2,0-【分析】由抛物线方程可直接得出【详解】由抛物线方程28y x =-，可得28p -=-，即=4p ，且焦点在x 轴负半轴，则焦点坐标为()2,0-.故()2,0-15.已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a β⊂，b αβ= ，则“//a α”是“//a b ”的___________条件.（填：“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“不充分也不必要”）【正确答案】充要【分析】利用线面平行的性质定理与判定定理即可判断出关系．【详解】解：a β⊂，b αβ= ，则“//a α”⇒“//a b ”，反之也成立．a β∴⊂，b αβ= ，则“//a α”是“//a b ”的充要条件．故充要．16.已知P 是直线3480x y ++=上的动点，,PA PB 是圆222210x y x y +--+=的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为______________．【正确答案】【分析】确定圆心为()1,1C ，半径1r =，将四边形的面积转化为PACB S =，计算点到直线的距离得到答案.【详解】222210x y x y +--+=，即()()22111x y -+-=，圆心为()1,1C ，半径1r =，2PACB PCA S S PA CA ==⨯=△PC 最小时，面积最小.min 3PC ==，故四边形PACB=故四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ，现有如下三个条件分别为：条件①55a =；条件②12n n a a +-=；条件③24S =-；请从上述三个条件中选择能够确定一个数列的两个条件，并完成解答.您选择的条件是___________和___________.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【正确答案】（1）()25N n a n n *=-∈（2）69n nT n =-+【分析】（1）若选①②时，由12n n a a +-=可得数列{}n a 是以公差2d =的等差数列，再由55a =求出1a ，从而可求出通项公式，或由()55n a a n d =+-⨯可求出通项公式，若②③时，由12n n a a +-=可得数列{}n a 是以公差2d =的等差数列，再由24S =-55a =求出1a ，从而可求出通项公式，若选①③无法确定数列，（2）由（1）可得()()111111252322523n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅-⋅---⎝⎭，然后利用裂项相消求和法可求得n T 【小问1详解】选①②时：解法1：由12n n a a +-=可知数列{}n a 是以公差2d =的等差数列，又55a =得()5151a a d =+-⨯，得13a =-，故()321n a n =-+-，即()25Nn a n n *=-∈解法2：由12n n a a +-=可知数列{}n a 是以公差2d =的等差数列，又55a =得()55n a a n d =+-⨯，则()552n a n =+-⨯，即()25N n a n n *=-∈选②③时：由12n n a a +-=可知数列{}n a 是以公差2d =的等差数列，由24S =-可知124a a +=-，即1224a +=-得13a =-，故()321n a n =-+-，即()25N n a n n *=-∈选①③这两个条件无法确定数列.【小问2详解】()()111111252322523n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅-⋅---⎝⎭11111111123111132523n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1112323n ⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭11646n =---所以69n n T n =-+18.如图，在ABC 中，120BAC ∠= ，1AB =，3AC =，点D 在线段BC 上，且12BD DC =．（1）求AD 的长；（2）求cos DAC ∠．【正确答案】（1）3AD =（2）7【分析】（1）用a、b 表示AD，再根据a、b的长度和夹角可求出结果；（2）根据夹角公式可求出结果.【小问1详解】设AB a = ，AC b = ，则()112121333333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC a b =+=+=+-=+=+uuu r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r r r．2222221421233999AD AD a b a a b b⎛⎫==+=+⨯⨯⋅+ ⎪⎝⎭uuu r uuu r r r r r r r 42171213cos12099999=⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯=o．故3AD =．【小问2详解】因为221213333cos 73a b b a b b AD AC DAC AD AC ⎛⎫+⋅⋅+ ⎪⋅∠===⋅r r r r r r uuu r uuu r uuu r uuur 22111333237⎛⎫⨯⨯⨯-+⨯ ⎪==．所以cos 7DAC ∠=19.为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，几对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定．某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”．从该校学生中随机选取了100名学生，调查得到如下表所示的统计数据．时间/mint [)0,12[)12,24[)24,36[)36,48[)48,60[]60,72人数630351964（1）从该校任选1名学生，估计该学生每日使用手机的时间小于36min 的概率；（2）估计该校所有学生每日使用手机的时间t 的中位数；（3）以频率估计概率，若在该校学生中随机挑选3人，记这3人每日使用手机的时间在[]48,72的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望()E X ．【正确答案】（1）71100；（2）28.8min ；（3）分布列见解析，()310E X =.【分析】（1）由频率估计概率即得；（2）设中位数为0t ，由中位数定义知024350.50.3612100t -⨯=-，即得；（3）由题可得13,10X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，然后利用二项分布的概率公式可得概率，进而可得分布列及期望.【小问1详解】由表格数据可知：学生每日使用手机的时间小于36min 共有6303571++=人，∴所求概率71100p =；【小问2详解】设中位数为0t ，由表格数据知：使用手机的时间t 小于24分钟的频率为3691100252=<，使用手机的时间t 小于36分钟的频率为7111002>，故[)024,36t ∈，024350.50.3612100t -∴⨯=-，解得：028.8t =，即估计该校所有学生每日使用手机的时间t 的中位数为28.8min ；【小问3详解】由题可得学生每日使用手机的时间在[]48,72内的概率为10110010=，则13,10X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()3172901101000P X ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,()213112431C 110101000P X ⎛⎫==⋅⋅-= ⎪⎝⎭,()212311272C 110101000P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()3113101000P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,所以X 的分布列为：X0123P 7291000243100027100011000所以()1331010E X =⨯=.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知,,24,,AB CD AD CD CD AB BC BP ADP ⊥===∥ 是等边三角形，E 为DP 的中点.（1）证明：⊥AE 平面PCD .（2）若PA =，求平面PBC 与平面PAD 所成锐二面角的余弦值.【正确答案】（1）证明见解析（2）63【分析】（1）由题意可证得AE PD ⊥，AE PC ⊥，再由线面垂直的判定定理即可证明；（2）以E 为坐标原点，,,EP EA EF 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -.分别求出平面PBC 与平面PAD 法向量，再由二面角的向量公式代入即可得出答案.【小问1详解】证明：取PC 的中点F ，连接EF ，BF .因为AE 是等边ADP △的中线，所以AE PD ⊥.因为E 是棱PD 的中点，F 为PC 的中点，所以//EF CD ，且12EF CD =.因为1//,2AB CD AB CD =，所以//EF AB ，且EF AB =，所以四边形ABFE 是平行四边形，所以//AE BF .因为BC BP =，F 为PC 的中点，所以BF PC ⊥，从而AE PC ⊥.又PC PD P ⋂=，,PC PD ⊂平面PCD .所以⊥AE 平面PCD .【小问2详解】解：由（1）知⊥AE 平面PCD ，因为CD ⊂平面PCD ，所以AE CD ⊥，又AD CD ⊥，,,AE AD A AE AD ⋂=⊂所以CD ⊥平面ADP ，从而EF ⊥平面ADP .以E 为坐标原点，,,EP EA EF 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -.因为等边PAD的边长为)()(),,(,P B C-()()2,4PB PC =-=- .设平面PBC 的法向量为(),,m x y z =，由00PB m PC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2040z z ⎧-++=⎪⎨-+=⎪⎩，令1x =，则0,y z ==，所以加(m = .又平面PAD 的一个法向量为()0,0,1n =，所以cos ,3m n m n m n ⋅<>=== ，即平面PBC 与平面PAD所成锐二面角的余弦值为3.21.已知点()11,0F -，圆()222116F x y -+=：，点Q 在圆2F 上运动，1QF 的垂直平分线交2QF 于点P .（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）直线l 与曲线C 交于M N 、两点，且MN 中点为()1,1，求直线l 的方程.【正确答案】（1）22143x y +=（2）3470x y +-=【分析】（1）由椭圆的定义求解，（2）由点差法得直线斜率后求解，【小问1详解】由题可知，1PF PQ=则122212422PF PF PQ PF QF F F +=+==>=由椭圆定义知P 的轨迹是以1F 、2F 为焦点，且长轴长为4的椭圆，∴21a c ==，，∴2223b ac =-=∴P 的轨迹方程为C ：22143x y +=【小问2详解】设1122,,()()M x y N x y ，,∵M N ，都在椭圆22+143x y =上，∴2211+143x y =，2222+143x y =，相减可得12121212()()()()+043x x x x y y y y -+-+=，又MN 中点为()1,1，∴12122,2x x y y +=+=，∴121234y y x x -=--，即直线l 的斜率为34-，∴直线l 的方程为31(1)4y x -=--，即3470x y +-=,因为点()1,1在椭圆内，所以直线3470x y +-=与椭圆相交于两点，满足条件.故直线l 的方程为3470x y +-=.22.设函数23ln 2()2,()2,e e x xx x f x ax ax g x ax a x =+-=++∈R ．（1）讨论()f x 的单调性;（2）若[1,0)a ∈-，求证：()43<+g x a ．【正确答案】（1）单调性见解析（2）证明见解析【分析】（1）求导可得()()112e x f x x a ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭，再0a ≤和0a >两种大情况讨论，在0a >时根据导函数的两根的大小关系讨论分析即可；（2）整理所证不等式为()232ln e 2x x ax ax x x +-<-，再根据（1）结论得出212e e x x ax ax +-<，再构造证明()33ln 22x x -≥即可【小问1详解】由题，()()112212e e x x x f x ax a x a -⎛⎫'=+-=-- ⎪⎝⎭①当0a ≤时，120x a e -<，令()0f x '=则1x =，故当(),1x ∈-∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；②当0a >时，令()0f x '=则11x =，2ln 2x a =-：当ln 21a -<，即12ea >时，在当(),ln 2x a ∈-∞-和()1,+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当()ln 2,1x a ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当ln 21a -=，即12ea =时，()0f x '≥，()f x 单调递增；当ln 21a ->，即102e a <<时，在当(),1x ∈-∞和()ln 2,a -+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当()1,ln 2x a ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减；综上所述，当0a ≤时，()f x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减；当12e a >时，()f x 在(),ln 2a -∞-和()1,+∞上单调递增，在()ln 2,1a -上单调递减；当12ea =时，()f x 单调递增；当102e a <<时，()f x 在(),1-∞和()ln 2,a -+∞上单调递增，在()1,ln 2a -上单调递减【小问2详解】由题，即证3ln 2243,[1,0)ex x ax a a x ++<+∈-，即233ln 22e 2x x x ax a x ⎛⎫++<+ ⎪⎝⎭，得()232ln e 2x x ax ax x x +-<-.由（1）可得当[1,0)a ∈-时()22e x x f x ax ax =+-()f x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故2111122e e e e x x ax ax a a a +-≤+-=-<，当且仅当1x =时取等号.设()()3ln 2h x x x =-，则()()312x h x x-'=，故在()0,1上()0h x '<，()h x 单调递减；在()1,+∞上()0h x '>，()h x 单调递增.故()()312h x h ≥=，即()33ln 22x x -≥，故()21332ln e e 22x x ax ax x x +-<<≤-，故()232ln e 2x x ax ax x x +-<-即得证本题主要考查了求导分类讨论分析函数单调性的问题，同时也考查了构造函数证明不等式的问题，需要联系前问的结论化简不等式再证明，属于难题。