2019-2020年九年级数学上册 第22章二次根式复习教案 华东师大版

2019-2020年九年级数学上册第22章二次根式复习教案华东师大版【目的要求】1、使学生通过本章的引言了解学习的必要性，明确学习目的，增强数形结合和用数学的意识。

2、使学生了解二次根式的概念，能根据二次根式的概念，求出二次根号下的一次式中字母的取值范围。

【教学重点】会求出二次根号下的一次式中字母的取值范围。

【教学难点】理解二次根式的概念。

【教学方法】启发式【教学过程】复习提问:1、什么叫代数式？举出代数式的例子。

2、是一个数吗？是一个有理数？是一个实数？是一个式子？是一个代数式？呢？3、什么是勾股定理？在直角三角形中，已知两条直角边为 3 和 4，那么斜边长为多少？新课讲解：在前一章中，我们已经遇到过，，这样的式子，知道符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数。

因为在实数范围内，负数没有平方根。

所以被开方数只能是正数或0，也就是说，被开方数只能是非负数。

一般的，式子 ( a ≥ 0 ) 叫做二次根式。

由于二次根式的被开方数只能取非负值，因此二次根式要有意义就必须被开方数大于等于0。

从形式上看，二次根式必须具备以下两个条件：( 1 ) 必须有二次根号；( 2 ) 被开方数不能小于0 。

例1：x 是怎样的实数时，式子在实数范围内有意义？解：由x －3 ≥ 0 ，得 x ≥ 3当 x ≥ 3 时，式子在实数范围内有意义。

补充例题：例：x 是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义？( 1 ) ( 2 )解： ( 1 ) 由≥ 0 ，解得：x 取任意实数∴当 x 取任意实数时，二次根式在实数范围内都有意义。

( 2 ) 由 x －1 ≥ 0 ，且 x －1 ≠ 0解得：x ＞ 1∴当 x ＞ 1时，二次根式在实数范围内都有意义。

课堂小结：这节课我们介绍了本章可以解决的一些新问题和二次根式的概念。

二次根式的化简（二）【目的要求】1、使学生复习和巩固二次根式性质；2、使学生会根据二次根式性质以及积的算术平方根的性质化简某些二次根式 ( 被开方数除了含有二项式的完全平方外，不含其他加减运算 )。

【教学重点】二次根式性质以及运用。

【教学难点】二次根式性质的运用。

【教学方法】【教学过程】复习提问：1、二次根式有什么性质？2、怎样运用二次根式的性质化简二次根式呢？3、设 x 为任意实数，下面的化简对吗？如果不对，应怎样改正？( 1 ) ( 2 ) ( 3 )4、化简：( 1 ) ； ( 2 ) －；( 3 ) ( m ＜0 ＝ ( 4 ) ( t ＜0 ＝。

5、把第4 题第( 3 )、( 4 )小题中的限定条件“( m ＜0＝”和“( t ＜0 ＝”去掉，这两个小题的答案是什么？新课讲解：1、请同学们看教科书第208页上的例 2 。

分析：当 a ＜3 时，a －3＜0，被开方数是一个负数的平方，所以可以运用二次根式的性质将原式进行化简，即＝ | a －3 | ＝－（ a －3 ）＝ 3 － a注意：在解这道题时，要防止学生出现。

＝－ | a －3 | ＝ a －32、例 2 还有其他解法吗？当 m ＜0 时，m 的相反数是大于0 还是小于0？当 m － n ＜0 时，m － n 的相反数是什么？那么 n － m ＞0 。

另外，根据 ( m － n )2 ＝ ( n － m )2，这就启发我们用一种新的解法。

课堂练习：课堂小结：在这节课里，我们复习和巩固了二次根式的性质，并利用这一性质以及积的算术平方根的性质对某些二次根式进行了化简。

在化简时，一定要弄清题目中对被开放数所含字母怎样取值的限制条件。

如果被开方数是一个二项式的完全平方，也可以利用以下公式来进行化简：( a － b )2 ＝ ( b － a )2 。

也就是说，把取负值的 ( a － b )换成正值的 b － a ，或者把 b －a 换成正值的 a － b 。

经过这样一交换，我们就可以直接运用＝ x ( x ＞ 0 ) 的性质。

课外作业：教科书习题11. 7A组的第1题和第2题。

在这些题目中，除了特别规定的以外，所有字母都表示正数。

二次根式的性质（三）【目的要求】1、使学生复习、巩固和掌握二次根式的性质：＝ | a | ＝2、使学生会根据二次根式的性质以及积与商的算术平方根的性质对某些稍复杂的二次根式进行化简。

【教学重点】复习、巩固和掌握二次根式的性质。

【教学难点】复习、巩固和掌握二次根式的性质运用。

【教学过程】复习提问：1、二次根式有什么性质？2、化简：( 1 ) ； ( 2 ) ； ( 3 ) ； ( 4 ) 。

3、化简：( 1 ) ( 2 ) ；( 3 ) )5(25102-<++m m m ； ( 4 ) 新课讲解：1、请同学们看教科书第208页上的例 3分析：这道题中的被开方数是一个分式。

经过认真观察，可以发现分母 1－2x ＋x 是一个二项式的完全平方，即。

再看题目对于被开方数所含字母怎样取值的限制条件，即 x ＞1，所以我们不妨把改写成，于是得到本题的解法。

解：∵ x ＞1 ，∴ x ＞0 ，x －1 ＞ 0∴ 12)1(2)1(2212222222-=-=-=+-x xx x x x x x x 要求学生注意以下两点：( 1 )当被开方数是一个分式时，通常先将这个分母和分子进行因式分解，然后运用商与积的算术平方根的性质和二次根式的性质进行化简。

这样做，就能有效地防止出错。

为了简便和减少错误，还可以利用＝，＝等公式( 2 )在例3 中，经过对题目的观察，要同时运用商与积的算术平方根的性质，还要用运用 x ＞0 与 x －1＞0 这两个条件。

x ＞0 与 x －1＞0 这两个条件缺一不可，要在解的过程中通过推理确认这两个条件是具备的， ∵ x ＞1，∴ x ＞ 0， x －1＞0 这个推理步骤必须写出来。

课堂练习：教科书209页上的练习。

课堂小结：在这节课里，我们再次复习和巩固二次根式的性质，并利用这一性质以及商与积的算术平方根的性质对某些稍复杂的二次根式进行了化简。

在化简时，一定把被开方数进行因式分解，而且要注意题目中对被开方数所含字母怎样取值的限制条件，并善于利用＝，＝等公式，就能使化简过程简便一些，并且少出错误。

“商”的算术平方根的性质教学目的：使学生通过学习“商”的算术平方根的性质，进一步加深对二次根式意义的理解，初步掌握“被开方数中含有分母的二次根式”的化简，提高运算能力，观察分析问题的能力，通过向学生渗透“转化”、“类比”等数学思想，培养学生发现知识、归纳推理的能力。

教学重点：学习“被开方数中含分母（分母中不含字母）”的二次根式的化简教学难点：化去根式内的分母教改实验设想：根据教学过程的“普遍性和特殊原理”，通过学生在课堂上有效学习实践活动设计，贯彻“主体参与，分层指导，及时反馈，激励评价”原则，创设学习情境，优化学习过程，提高学习效率，探索代数课教学中“公式、性质”课的素质教育型课堂教学模式。

教学过程：板书安排：课前准备：⑴书写投影片；⑵准备验收用纸。

注：本人将这个班的学生在数学学习方面分为A组 (优秀生)，B组 (一般学生) 和C组 (学习困难生，10人左右) 三组，以便分层指导。

*1 实际课堂上学生樊小光又提出了下列作法：证明：根据：，∵，，∴。

*2 实际教学中，学生出的题：①，②，③，④，⑤。

三、对教学设计的评价对本教学模式的教学设计拟从以下几个方面给予评价（满分100分）。

1、教学目标的确定（10%）其中，知识0.4，能力0.4，德育0.2。

2、教学过程的设计（60%）（1）教学内容及重点、难点的确定（10%）；（2）教师活动的设计（10%），学生活动的设计（20%），学生心理、能力发展内容的设定（10%）；（3）教学手段的运用（10%）。

3、教学效果的检测（30%）其中，学生测验成绩0.6，听课教师评议0.4。

这节课，通过教学过程的设计，加强了学生在课堂上的有效学习实践活动，既突出和保证了学生的主体地位，又较好发挥了教师的主导作用，整堂课中，学生不是在教师的讲授中被动的接受知识，而是在教师的引导下（由教师设计好的各环节的学习活动）通过参与学习全过程来完成学习任务，这堂课较好体现了“活动性、自主性、创造性”（如：学生通过实例自己发现知识并加以证明、自己出题进行练习、自己出题进行验收、小组讨论突破难点等）。

特别是在实现分层指导上的一些作法值得借鉴（如：对不同程度的学生的复习提问、学生自己给自己出验收题、课堂练习时，教师按不同程度，分别组织学生进行不同的练习等），从而使这节课达到了教学目的和教改实验目的。

教师的教学严谨，课堂上注重创造热烈、和谐的学习氛围，师生关系融洽。

教学中注意渗透了“数形结合、转化、类比”等数学思想并注意培养学生的能力。

这常课的教学过程设计是成功的。

存在的不足是：发现知识时，对于作为引例的两个问题利用的不够好，其中问题１中的“......边长的比”的表述不准确，应为“边长的比值”，否则会给学生造成一定程度的思维障碍。

教学过程中，一个学生曾提出另一证法（见*1），而教师没有意识到。

对于学生所出的“⑤”一题仅指导学生补充了条件“a>b”，而未加以分类讨论，使学生失去了提高的机会。

教学过程中，对“商的算术平方根性质的实质揭示的不够，尤其是小结时，不够深入。

”最简二次根式教材分析作用与地位作为二次根式乘、除法与加减法的过渡桥梁的“最简二次根式”这一节课在本章中起着承上启下的作用，必须先复习与巩固已学过的乘、除法知识。

另一方面，本小节的内容，显然是下一小节“二次根式的加减法”的基础，因为加减法就是在识别“同类的”最简二次根式的前提下进行的。

目的与要求本课的内容比较单纯，就是要求学生掌握化简一个二次根式成最简二次根式的方法。

当然，这首先需要知道什么是最简二次根式（即本节课的重点），让学生了解最简二次根式的概念，不在于能否背出定义，关键还是遇到实际式子能够加以判断（也就是本节课的难点），所以应在练习中让学生熟悉这个概念。

我采用启发式教学并借助实物投影以扩充教学容量。

背景在实际问题中，遇到二次根式，一般应把它先化简，这会给解决问题带来方便，把二次根式化简，至少有以下三种用途：（1）、把一个二次根式化简后，可避免因误差积累而造成的结果不准确。

（2）、把两个二次根式化简后，它们的乘除法运算可能变得简单，例如:⋅27=⋅；15 ÷2===。

432=612332（3）、把一组二次根式化简成最简二次根式后，可以对同类二次根式进行加法、减法运算(这将在下一小节中学习)．学生们在前面已经看到了这些用途，实际上，看到这些用途是第二位的，最重要的是从这些用途中领会把复杂化为简单，把未知化为已知，从而使问题得以解决的思想方法。

教学过程分成以下几个步骤一、提出问题：（投影显示）两个问题首先是对二次根式乘、除法的复习；其次通过两种解法对比得出将繁杂的二次根式化为简单的二次根式后，使解决问题更加容易。