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全一册下 第二章 第12课 二次函数的应用——最值问题.ppt

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二次函数的最值问题课件

二次函数的最值问题课件

顶点法
总结词
利用二次函数的顶点坐标求最值。
详细描述
根据二次函数的顶点公式$(h, k)$，代入原函数求出最值。当$a > 0$时，函数有最小值；当$a < 0$时，函数有 最大值。
导数法
总结词
通过求导数判断函数的单调性，进而 找到最值点。
详细描述
对二次函数求导得到$f'(x) = 2ax + b$，令导数等于0得到临界点$x = frac{b}{2a}$，通过判断单调性找到最 值点。
复杂的二次函数最值问题
总结词
运用配方法或公式法求最值
详细描述
对于复杂的二次函数，可以通过配方法或公式法求出最值 。配方法是通过配方将二次函数转化为顶点式，再利用顶 点式求最值；公式法是利用公式直接求出二次函数的最值 。
总结词
利用导数求最值
详细描述
对于复杂的二次函数，可以利用导数求出函数的极值点， 再根据极值点的位置和函数的单调性判断最值的位置，从 而求出最值。
总结词
结合实际背景求解
详细描述
对于实际应用中的二次函数最值问题，需要结合实际背景 进行分析。例如，在物理学中，可以利用二次函数的最值 求解物体的最大速度、最小压力等；在经济学中，可以利 用二次函数的最值求解成本最低、利润最大等问题。
06
总结与思考
二次函数最值问题的总结
定义与性质
二次函数最值问题主要研究的是 二次函数在特定条件下的最大值 或最小值。这些条件可能包括函 数的开口方向、顶点位置、定义
详细描述
二次函数是数学中常见的一种函数形式，其一般形式为 y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。a决定了抛 物线的开口方向和宽度，b决定了抛物线的左右位置，c决定 了抛物线的上下位置。

二次函数的最值问题(课件)

二次函数的最值问题(课件)

二次函数的单调性
探讨二次函数在定义域内的单调性及其应用。
递增
当二次函数在定义域内递增时，函数值随自变量的 增加而增加。
递减
当二次函数在定义域内递减时，函数值随自变量的 增加而减小。
二次函数的最值存在性定理
研究二次函数在定义域内的最值及其实际应用。
1
最大值存在
当二次函数的系数a为负时，函数在定义域内存在最大值。
2
最小值存在
当二次函数的系数a为正时，函数在定义域内存在最小值。
3
应用举例
高空抛物运动和经济生产成本最小化问题。
求解二次函数的最值
介绍三种方法求解二次函数的最值，并提供实例演示。
配方法
通过坐标变换将二次函数转化 为标准形式，再求解最值。
求导数法
求二次函数的导数，找出极值 点，进而量值。
1 常见错误
对最值问题中容易出现的错误进行梳理和解答。
2 纠正方法
针对学生常见错误，提供具体纠正方法和建议。
3 信息搜索
介绍如何搜索最值问题解题思路和方法的有效途径。
联系与拓展
探讨二次函数最值问题与其他数学知识的联系，以及应用在其他领域的延伸。 如与最优化问题的关系，以及在物理、经济等领域中的应用。
2 完全平方公式
利用完全平方公式，将二次函数转化为平方 项相加的形式，求出零点。
二次函数的图像特点
了解二次函数图像的对称轴和开口方向，以及与函数系数之间的关系。
对称轴
二次函数图像关于垂直于x轴 的直线对称。
开口方向
由二次项系数的正负确定开 口的方向。
函数系数
了解函数系数与图像形状的 关系，如变量a的变化。
二次函数的最值问题
本课件介绍了二次函数的最值问题。包括二次函数的定义和特点、求零点的 因式分解法和完全平方公式、二次函数的图像与对称轴、单调性、最值存在 性定理等。

二次函数的应用ppt课件

二次函数的应用ppt课件

②根据题意，得绿化区的宽为
= （x-20）（m），
∴y=100×60-4x（x-20）.又 ∵28≤100-2x≤52，∴24≤x≤36. 即 y 与 x 的函数关系式及 x 的取值范围为 y=-4x2+80x+6 000 （24≤x≤36）；
-7-
2.4 二次函数的应用
（2）y=-4x2+80x+6 000=-4（x-10）2+6 400. ∵a=-4＜0，抛物线的开口向下，对称轴为直线 x= 10. 当 24≤x≤36 时，y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 x=24 时，y 最大=5 616，即停车场的面积 y 的最大值为 5 616 m2； （3）设费用为 w. 由题意，得 w=100（-4x2+80x+6 000）+50×4x（x- 20）=-200（x-10）2 +620 000， ∴ 当 w=540 000 时，解得 x1=-10，x2=30. ∵24≤x≤36，∴30≤x≤36，且 x 为整数， ∴ 共有 7 种建造方案． 题型解法：本题是确定函数表达式及利用函数的性质设计工程方案的问题. 解题过程中应理解：（1）工程总造价是绿化区造价和停车场造价两部分的和； （2）根据投资额得出方程，结合图象的性质求出完成工程任务的所有方案.
（1）解决此类问题的关键是建立恰当的平面直角坐标系； 注意事项
（2）根据题目特点，设出最容易求解的函数表达式形式
-9-
2.4 二次函数的应用
典题精析 例 1 赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系， 其函数的关系式为 y=- x2，当水面离桥拱顶的高度 DO 是 4 m 时，水面宽 度 AB 为 （ ） A． -20 m B． 10 m C． 20 m D． -10 m

二次函数的极值问题. ppt课件

二次函数的极值问题. ppt课件

26
做一做
何时窗户通过的光线最多
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下 半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线 的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最 多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?
解: 1.由4y 7x x 15. 得, y 15 7x x .
由(1)知6 x<15
当垂直于墙的边长为7.5米是，花圃
的面积最大为112.5平方米。
（3）由图象知：当6≤X ≤11时，面积 不小于88平方米.
PPT课件
25
如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道 篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
y（件） 70 50 35
若销售量y是销售价格x的一次函数. (2)若要获得最大的销售利润,每件产品的销售价 格定为多少元？此时每日的销售利润是多少？
设销售利润为W,则 当x 320 160时,
W=(x-120)·y
2
=(x-120)·(-x+200) W=1600
=-x2+320x-2400 PPT课件 则:……
=-2x2+440x+158400
…… =-2(x-110)2+182600
所以,当x…=1…10时,yP有PT课件最大值182600
15
3.某旅社有客房120间,每间房间的日租金为50元, 每天都客满,旅社装修后要提高租金,经市场调查, 如果一间客房的日租金每增加5元,则客房每天出 租会减少6间,不考虑其它因素,旅社将每间客房的 日租金提高到多少元时,客房日租金总收入最高？ 比装修前的日租金的总收入增加多少元？

二次函数的最值问题PPT课件

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【典型例题】
例1.求函数 f (x) x2 2ax 1在区间 2, 4上的最小值。
第1页/共7页
【变式】
变式1：求函数 f (x) x2 2ax 1 在区间2, 4上的
最大值；
变式2：求函数f (x) x2 2ax 1在区间2, 4上的值
域；
变式3：若函数 f (x) x2 2ax 1 在区间2, 4上的最 大值为1，求a 值 ； 变式4：求函数 f (x) ax2 2x 1在区间2, 4上的
求 f (x)的最小值 。
变式2：设a 为实数，求函数f (x) x2 +x a 1 在区间1,3
上的最大值。
第5页/共7页
课堂小结：
关键： 对称轴与区间的关系（单调性） 数学思想方法： 数形结合
分类讨论 等价转换
第6页/共7页
感谢您的观看！
第7页/共7页
最小值 。
第2页/共7页
【典型例题】
例2 .求函数 f (x) x2 4x 4在区间 t,t 1(t R) 上的最小值。来自第3页/共7页【典型例题】
例3.设 a 为实数，函数 f (x) x2+ x a 1(xR)，当 x a
时，求f (x) 的最小值。
第4页/共7页
【变式】
变式1：设 a 为实数，函数 f (x) x2+ x a 1(xR)，

二次函数的应用(最值问题)课件PPT

二次函数的应用(最值问题)课件PPT
2021/3/10
P
6
例2变式： 4.如图，直线y=x-3与x轴、y 轴分别交于B、C两点，抛物 线y=x2+bx+c同时经过B、C两 点，点A是抛物线与x轴的另 一交点， 若点P是直线BC下方抛物线上 一点，四边形ABPC的面积是 否存在最大面积？最大面积是 多少？
2021/3/10
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练习1.
2
例2：如图，直线y=x-3与x轴、 y轴分别交于B、C两点，抛 物 线 y=x2+bx+c同 时 经 过 B 、 C两点，点A是抛物线与x轴 的另一交点
（1）求抛物线解析式 （ 2 ） 若 点 p 在 直 线 BC 上 ， 且
S△ABP=4，求P点坐标
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3
例2变式： 1.如图，直线y=x-3与x轴、y 轴分别交于B、C两点，抛物 线y=x2+bx+c同时经过B、C两 点，点A是抛物线与x轴的另 一交点，若点p在抛物线上， 且S△ABP=4求P点坐标。
如图，在平面直角坐标系中，直线 y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点， 抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点， 并与x轴交于另一点C（点C点A的右 侧），点P是抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式及点C的坐标； （2）若点P在第二象限内，过点P作 PD⊥x轴于D，交AB于点E．当点P运 动到什么位置时，线段PE最长？ 此时PE等于多少？ （3）△PAB的面积是否存在最大面积？ 最大面积是多少？
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例2变式： 2.如图，直线y=x-3与x轴、y 轴分别交于B、C两点，抛物 线y=x2+bx+c同时经过B、C两 点，点A是抛物线与x轴的另 一交点， 若点P是直线BC下方抛物线上 一点，过点P作PE⊥x轴，交 直线BC于点F，求PF的最大 值.

《二次函数的最值》课件


二次函数的最值应用
总结词
了解二次函数最值的实际应用
详细描述
二次函数的最值在实际生活中有着广泛的应用，如建筑学中拱桥的设计、物理学中的抛射运动、经济学中的成本 利润问题等。通过理解和掌握二次函数的最值，可以更好地解决这些实际问题。
03
二次函数最值的实际应用
投资的最优解
总结词
投资组合优化
详细描述
在投资领域，投资者通常面临多种投资选择，如股票、债券、基金等。通过使用二次函数最值的概念 ，可以对投资组合进行优化，以确定最优的投资比例，从而实现最大的收益或最小的风险。
二次函数最值的求法
通过配方法、顶点式、导数法等方法 ，可以求出二次函数的最值。
学习心得分享
01
02
03
理解概念
通过学习本章，我深刻理 解了二次函数最值的定义 和求法，对最值的性质也 有了更深入的认识。
掌握方法
在学习过程中，我掌握了 多种求二次函数最值的方 法，如配方法、顶点式和 导数法等。
实际应用
最大利润问题
总结词
生产与销售策略
详细描述
在生产和销售过程中，企业常常需要制定生产计划和销售策 略。通过建立二次函数模型来表示成本、收益和销售量之间 的关系，可以找到使利润最大的最优解，从而实现企业的盈 利目标。
最小成本问题
总结词
资源分配与调度
详细描述
在资源分配和调度中，最小化成本是一个重要的目标。例如，在物流和运输行业中，运 输成本和时间是关键因素。通过使用二次函数最值的概念，可以优化运输路线和调度方
A 总结词
二次函数的性质总结
B
C
D
解释
这些性质是二次函数的基本特征，对于理 解和解决与二次函数相关的问题非常重要 。

初中数学《二次函数的应用(最值问题)》优质课PPT课件

如图2
活动4 如图3．如果一边靠墙足 够长，饲养室中间有一道隔墙用建筑 材料建成．建筑材料可建围墙的总长 为50m不变。
这时建成的饲养室的面积最大， 应该如何建？最大面积是多少？
如图3
活动5 那中间有2道、3道…、 n道建筑材料隔墙，要使饲养室的面 积最大，又如何呢？
…
比较 饲养室中间没有、1道、 2道、…、n道 建筑材料隔墙，你能得到什么结论？
如图1
活动2 如图2，如果饲养室的一 面靠现有墙．建一间矩形的奶牛饲养室, 建筑材料可建围墙的总长为50m不变。
要使建成的饲养室的面积最大，应 该如何建？最大面积是多少？
如图2
活动3 若靠墙最大可利用20m。 建筑材料可建围墙的总长为50m不 变。 这时饲养室的面积最大又是多少 呢？ 这个问题如何解决呢？
活动6 设计题：我的地盘我做主
小组合作
请同学们设计一些简。 条件不变：建筑材料可建围墙的总长为 50m，并且一边靠墙足够长。
要求⑴画出图形； ⑵计算出图形的最大面积。
二次函数的应用（最值问题）
求函数 y x2 2x 3 的最大值
（或最小值）和对应的自变量的值。
自变量的取值范围为 0 x 3
则函数最大值（或最小值）和对应的自 变量的值又是多少？
活动1 如图1，某农场拟建一间 矩形的奶牛饲养室．已知计划中的建筑 材料可建围墙的总长为50m。
要使建成的饲养室的面积最大，应 该如何建？最大面积是多少？

二次函数最值PowerPoint 演示文稿


某新建商场设有百货部、服装部和家电部三个经营部，共有 190名售货员，计划全商场日营业额(指每天卖出商品所收到 的总金额)为60万元，由于营业性质不同，分配到三个部的 售货员的人数也就不等，根据经验，各类商品每1万元营业 额所需售货员人数如表（1），每1万元营业额所得利润情况 如表（2）。商场将计划日营业额分配给三个经营部，设分 配给百货部，服装部和家电部的营业额分别为x，y和z（单 位：万元，x、y、z都是整数）。（1）请用含x的代数式分 别表示y和z；（2）若商场预计每日的总利润为C（万元）， 且C满足19≤C≤19.7。问商场应如何分配营业额给三个经营 部？各应分别安排多少=8cm BC=6cm，∠B＝90°，点P从点A开始沿AB边向 点B以2厘米／秒的速度移动，点Q A 从点B开始沿BC边向点C 以1厘米／秒的速度移动， 如果P、Q分别从A、B 同时出发。 Ｐ 求几秒后ΔPBQ的面积最大？ 最大面积是多少？
C
Ｑ
B
2、有一根长为40cm的铁丝，把它 弯成一个矩形。当矩形的长、宽各 是多少时，矩形的面积最大？最大 面积是多少？
A
D
B
C
4.快艇和轮船分别从A地和C地同时出发，各沿着所指 方向航行（如图所示），快艇和轮船的速度分别是每 小时40km和每小时16km.已知AC＝145km，经过多少 时间，快艇和轮船之间的距离最短？（图中AC⊥CD） 145km
C A
D
5.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件， 每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减 少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发 现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多 售出2件. （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应 降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利 最多？
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全一册下
第二章 二次函数
第12课 二次函数的应用(1)— y＝－2(x－10)2＋200，当 x＝__1_0___时，y 取得最 _大___值＝___2_0_0___.
2．二次函数 y＝(x－2)2＋50，当 x＝__2__时，y 取得最_小___值 ＝___5_0__.
(2)要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少
元？此时每日销售利润是多少元？
x/元
15
20
30
…
y/件
25
20
10
…
解：(1)设 y＝kx＋b，则 15k＋b＝25， 20k＋b＝20， ∴kb＝＝－401. ， ∴y＝－x＋40
(2)设利润为 w 元，则 w＝(x－10)(40－x) ＝－x2＋50x－400 ＝－(x－25)2＋225 ∴当销售价定为 25 元时，最大利润为 225 元．
第3关 9．公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离 s(m)与时间 t(s)的 函数关系式 s＝20t－5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于 惯性汽车要滑行_2__s 才能停下来，最大的滑行距离为_2_0__m.
10．某宾馆有 50 个房间供游客住宿．若每个房间每天的定价 为 180 元，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加 10 元 时，就会有一个房间空闲．另外需宾馆对每个居住房间每天支出 20 元的各种费用．房价定为多少时，宾馆利润最大？
三、过关检测 第1关 7．如图，△ABC 中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝ 12 cm.点 P 从点 A 开始，沿 AB 边向点 B 以每秒 1 cm 的 速度移动；点 Q 从点 B 开始，沿着 BC 边向点 C 以每秒 2 cm 的速度移动．如果 P，Q 同时出发，问经过几秒钟 △PBQ 的面积最大？最大面积是多少？
得 40 x20 2x 1200 ,解得x1 10或 x2 20
（2）设当降价x元时，平均每天获得利润y元，依题意，
得 y 40 x20 2x = 2 x 152 1250
∴当 x 15 时，y取最大值，最大值为1250 即当降价15元时，可获得最大利润，最大利润是1250元
6．一种新上市的文具，进价为 20 元，试销阶段发现：当销售 单价是 25 元时，每天的销售量为 250 件，销售单价每上涨 1 元， 每天的销售量就减少 10 件．
(1)写出每天所得的销售利润 y(元)与涨价 x(元)之间的函数关 系式；
(2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大．
解：(1)25－20＝5， y＝(5＋x)(250－10x)＝－10x2＋200x＋1250 (2)y＝－10(x－10)2＋2250 当 x＝10，ymax＝2250 即单价为 25＋10＝35 元时，销售的最大利润为 2250 元．
S△PBQ＝12PB·BQ＝12(6－t)·2t＝－(t－3)2＋9 ∴经过 3 秒钟△PBQ 的面积达到最大值 9 cm2.
第2关 8．某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价 x(元) 与产品的日销售量 y(件)之间的关系如下表： (1)求出日销售量 y(件)与销售价 x(元)的函数关系式(y 是 x 的一 次函数)；
5．(例 2)天虹商场在销售中发现：安踏运动鞋平均每天可售出 20 双，每双盈利 40 元，如果每双降价 1 元，那么每天可多售出 2 双．
(1)要想平均每天销售盈利 1 200 元，那么每双运动鞋应降价多 少元？
(2)当降价多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？
解：（1）设每双运动鞋应降价x元，依题意，
二、新课学习 3．(例 1)要用总长为 20 m 的铁栏杆，一面靠墙 (墙长为 12 m)围成一个矩形 ABCD 花圃，设 AB＝x m．矩形 ABCD 的面积 y m2. (1)求 y 与 x 之间的函数关系式； (2)当 x 为何值时，花圃的面积最大？最大面积是多少？
(1)y＝x(20－2x)或 y＝－2x2＋20x (2)y＝－2(x－5)2＋50，当 x＝5 时， 花圃的面积最大，最大面积为 50 m2.
解：设定价增加 x 元，宾馆所得利润为 y 元，则 y＝(180＋x－20)(50－1x0) y＝－110x2＋34x＋8000
其中 0≤x≤500，且 x 为 10 的倍数 当 x＝－2ba＝170 时 ∴房价定为 180＋170＝350 元时，宾馆利润最大 ∴ymax＝4ac4－a b2＝10890(元)
4．有一根长为 20 cm 的铁丝，把它弯成一个矩形 ABCD，其 中 AB＝x cm，矩形面积为 y cm2.
(1)求 y 与 x 之间的函数关系式； (2)当 x 为何值时，矩形的面积最大？最大面积为多少？ (1)y＝x(10－x)或 y＝－x2＋10x (2)当 x＝5 时，矩形最大面积为 25 cm2.
谢谢！