4.3两个三角形相似的判定(1)【要点预习】相似三角形的判定三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形 . 有 角对应相等的两个三角形相似.【课前热身】1. 如图，△ABC 中，DE ∥BC ，则下列比例式不成立的是……………………………（ ）A.AD AE AB AC = B.AD DE AB BC = C.AD DE DB BC = D.AD AEDB EC=答案：C2. 如图，P 是△ABC 的边AB 上一点，若∠1= ，则△APC ∽△ACB .答案：∠ACB 3. 图中x = .答案：24. 如图，AB ∥DC ，AC 交BD 于点O ．已知35AO CO =，BO ＝6，则DO =_________. 答案：10【讲练互动】【例1】 如图， D 为△ABC 的AB 边上一点，过点D 作DE //AC 交 BC 于点E ．已知BE ∶CE =2∶1，AC =6cm ，求DE 的长．【分析】先证明△BDE ∽△BAC ，再根据比例线段求出DE 的长. 【解】∵DE ∥AC ，∴ΔBDE ∽ΔBAC ，∴BE DEBC AC=. ∵21BE CE =，∴23BE BC =，∴236DE=，∴DE =4cm. 【绿色通道】利用相似三角形可得到多组比例线段，在运用时要注意结合已知条件及所求的线段来选择相应的比例线段.【变式训练】第1题第2题第3题第4题1. 如图，AB//CD，AE//FD，AE、FD分别交BC于点G、H，则图中共有相似三角形…………………………………………（）A. 4对B. 5对C. 6对D. 7对【解析】由已知易得△BFH∽△BAG∽△CEG∽△CDH.【答案】C【例2】如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，CD是AB边上的高，AE是⊙O的直径．求证：AC·BC=AE·CD．【分析】先将结论化为比例式AC AECD AB=，因此只须证△ACE∽△CDB.【证明】连结CE. ∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE=90°. ∵CD是AB边长的高，∴∠CDB=90°.∴∠ACE=∠CDB. 又∵∠E=∠B，∴△ACE∽△CDB，∴AC AECD AB=，即AC·BC=AE·CD.【绿色通道】已知或求证中出现线段的等积形式时，通常转化为比例式，再考虑比例式所在的三角形相似.【变式训练】2. 将两块完全相同的等腰直角三角板摆放成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内. 请找出图中的相似(不包括全等)三角形，并证明其中的一对．【解】△ABE∽△DAE∽△DCA.∵∠DAE=∠B=45°，∠AEB=∠DEA，∴△ABE∽△DAE.【例3】如图所示，一圆桌正上方3米处有一灯泡（视为一点），圆桌高1米，圆桌面直径为1米，请你求出圆桌面在水平地面上的投影面积.（图中阴影部分）（圆桌面与地面平行）（π取3.14，答案精确到0.1平方米）【解】建立平面图如图. OA=3，AC=1，AB=1 2 .∵AB∥CD，∴△OAB∽△OCB∴OA ABOC CD=，∴CD=142233AB OCOA⨯⋅==.∴S=π·CD2=3.14×49≈1.4 (m2). 答：圆桌面在地面上的投影面积为1.4 m2.【变式训练】3. 九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度3mCD=，标杆与旗杆的水平距离15mBD=，人的眼睛与OBDCABHGFEDCAABCDOE图7ECAHBG地面的高度 1.6m EF =，人与标杆CD 的水平距离2m DF =，求旗杆AB 的高度．【解】∵CD ∥AB ，∴△ECG ∽△EAH ，∴EG CGEH AH=. ∵EG =DF =2m ，EH=FB=17m ，CG =CD-EF =1.4m ， ∴2 1.417AH=，∴AH =11.9m ，∴AB =11.9+1.6=13.5m.【同步测控】基础自测1.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若13AD AB =，DE ＝4，则BC =…………（ ） A ．9 B ．10 C ． 11 D ．122. 有一个角相等的两个等腰三角形…………………………………………………（ ）A. 一定相似B. 一定不相似C. 不一定相似D. 一定全等 3.如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，则图中相似三角形的对数有……（ ）A. 0对B. 1对C. 2对D. 3对4. 如图，在△ABC 中，若∠AED ＝∠B ，DE ＝6，AB ＝10，AE ＝8，则BC 的长为…（ ） A.154 B. 7 C. 152 D. 2455. 如图，∠1＝∠2，请补充条件：________________(写一个即可)，使△ABC ∽△ADE .答案：∠D =∠B 或∠E =∠C6.如图，∠C =∠E =90°，AD =10，DE =8，AB =5，则AC = ．7. 要测量河两岸相对的两点A ，B 间的距离，先从B 处出发与AB 成90°角方向，向前走50米到C 处立一BEDC A第1题第3题BDCA第4题BEDCA第5题第6题第7题根标杆，然后方向不变继续朝前走10米到D处，在D处转90°，沿DE方向再走17米，到达E处，使A（目标物）C（标杆）与E在同一直线上（如图），那么可测得A，B的距离是____________米.8. 如图，D为△ABC中BC边上的一点，∠CAD=∠B，若AD＝6，AB=8，BD=7，求DC的长．9．如图，DE∥BC，且DB＝AE，若AB＝5，AC＝10，求AE的长.10. 如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线分别交⊙O，BC于点D，E，连结BD．根据题意条件，找出图中各对相似三角形并加以证明．11.如图，AB ∥CD ，BO ∶CO =1∶4，点E ，F 分别是OC ，OD 的中点，则EF ∶AB 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412. 如图，平行四边形ABCD 中，G 是BC 延长线上一点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交于点F ，则图中相似三角形共有（ ）A. 6对B. 4对C. 5对D. 3对13.如图在ABC △中，90ACB ∠=，CD AB ⊥，DE BC ⊥，那么与ABC △相似的三角形的个数有（ ） A ．1个B ．4个C ．3个D ．2个14. 要判断如图ΔABC 的面积是ΔPBC 面积的几倍，只用一把仅有刻度的直尺，需要度量的次数最少是………………………………………………………………………………（ ） A. 3次 B. 2次 C. 1次 D. 3次以上 15. 如图，已知Rt ABC △的两条直角边AC BC ，的长分别为3，4，以AC 为直径作圆与斜边AB 交于点D ，则AD = ． 16. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =36°，BD 是角平分线．(1) 求证：△ABC ∽△BCD ；（2）求证：BC 是CD 与CA 的比例中项．第11题AB OE F CD第12题 第13题第14题17. 已知：如图，△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°；△A' B'C'中，∠C'=90°， A'C'＝B'C'，能否分别将这两个三角形各分割成两个三角形，使△ABC 所分成的每个三角形与△A'B'C'所分成的每个三角形分别对应相似?若能，请设计一种分割方案；若不能，请说明理由.C /B /A /CBA同步测控参考答案基础自测1.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若13AD AB ，DE ＝4，则BC =…………（ ） A ．9 B ．10 C ． 11 D ．12 答案：D2. 有一个角相等的两个等腰三角形…………………………………………………（ ）A. 一定相似B. 一定不相似C. 不一定相似D. 一定全等 答案：C3.如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，则图中相似三角形的对数有……（ ）A. 0对B. 1对C. 2对D. 3对 答案：D4. 如图，在△ABC 中，若∠AED ＝∠B ，DE ＝6，AB ＝10，AE ＝8，则BC 的长为…（ ） A.154 B. 7 C. 152 D. 245答案：C5. 如图，∠1＝∠2，请补充条件：________________(写一个即可)，使△ABC ∽△ADE .答案：∠D =∠B 或∠E =∠C6.如图，∠C =∠E =90°，AD =10，DE =8，AB =5，则AC =．答案：37. 要测量河两岸相对的两点A ，B 间的距离，先从B 处出发与AB 成90°角方向，向前走50米到C 处立一BEDC A第1题第3题BDCA第4题BEDCA第5题第6题第7题根标杆，然后方向不变继续朝前走10米到D 处，在D 处转90°，沿DE 方向再走17米，到达E 处，使A （目标物）C （标杆）与E 在同一直线上（如图），那么可测得A ，B 的距离是____________米. 答案：858. 如图，D 为△ABC 中BC 边上的一点，∠CAD =∠B ，若AD ＝6， AB =8，BD =7，求DC 的长．解：∵∠CAD =∠B , ∠C =∠C , ∴△ACD ∽△BCA . ∴AD AC CD AB BC AC ==, ∴687AC CDCD AC==+, ∴()37434CD AC AC CD⎧+=⎪⎨=⎪⎩, 解得912CD AC =⎧⎨=⎩.9．如图，DE ∥BC ，且DB ＝AE ，若AB ＝5，AC ＝10，求AE 的长.解：设DB=AE=x . ∵DE ∥BC , ∴AD AEAB AC=. ∴5510x x -=, 解得x =103, 即AE =103. 10. 如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线分别交⊙O ，BC 于点D ，E ，连结BD ．根据题意条件，找出图中各对相似三角形并加以证明．解：相似三角形有：△ACE ∽△ADB ∽△BDE . 证明如下： ∵AD 平分∠BAC , ∴∠1=∠2. 又∠CBD =∠2, ∴∠2=∠1=∠CBD . 又∠C =∠D =∠D , ∴△ACE ∽△ADB ∽△BDE .能力提升11.如图，AB ∥CD ，BO ∶CO =1∶4，点E ，F 分别是OC ，OD 的中点，则EF ∶AB 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B12. 如图，平行四边形ABCD 中，G 是BC 延长线上一点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交于点F ，则图中相似三角形共有…………………………………………………………（ ） A. 6对 B. 4对 C. 5对 D. 3对解析：由题设可得以下相似三角形：△ADF ∽△GCF ∽△GBA , △ABE ∽△FDE , △ADE ∽△GBE ,△第11题ABOE F CD第12题第13题第14题ABD ∽△CDB . 答案：A13.如图在ABC △中，90ACB ∠=，CD AB ⊥，DE BC ⊥，那么与ABC △相似的三角形的个数有…………………………………………………………（ ） A ．1个B ．4个C ．3个D ．2个解析：由题设可得以下相似三角形：△BDE ∽△DCE ∽△BCD ∽△CAD ∽△BAC . 答案：B14. 要判断如图ΔABC 的面积是ΔPBC 面积的几倍，只用一把仅有刻度的直尺，需要度量的次数最少是………………………………………………………………………………（ ） A. 3次 B. 2次 C. 1次 D. 3次以上解析：设AP 的延长线交BC 于D . 因此, 只要将刻度尺一端与A 点重合, 置于AD 上, 直接度量一次读出AP 和AD 的长度, 易证ΔABC 的面积是ΔPBC 面积的倍数关系即为AD 与PD 的比值.答案：C15. 如图，已知Rt ABC △的两条直角边AC BC ，的长分别为3，4，以AC 为直径作圆与斜边AB 交于点D ，则AD = ．解析：连结CD . ∵AC 是⊙O 的直径, ∴∠ADC =90°. 又∠ACB = 90°, ∠A =∠A , ∴△ACD ∽△ABC ,∴AD ACAC AB=, 结合已知可求得AD 的长. 答案：9516. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =36°，BD 是角平分线．(1) 求证：△ABC ∽△BCD ；（2）求证：BC 是CD 与CA 的比例中项． 证明：(1) ∵AB=AC , ∠A =36°，∴∠ABC =∠ACB =72°. ∵BD 是角平分线, ∴∠ABD =∠CBD =36°. ∴∠BCD=∠A . 又∠C =∠C , ∴△ABC ∽△BCD . (2) ∵△ABC ∽△BCD , ∴BC ACCD BD=. ∵∠C =∠BDC =72°, ∴BD=BC . ∴BC ACCD BC=, 即BC 是CD 与CA 的比例中项. 创新应用17. 已知：如图，△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°；△A' B'C'中，∠C'=90°， A'C'＝B'C'，能否分别将这两个三角形各分割成两个三角形，使△ABC 所分成的每个三角形与△A'B'C'所分成的每个三角形分别对应相似?若能，请设计一种分割方案；若不能，请说明理由.解：如按上图分割.C /B /A /CBA45︒45︒30︒60︒45︒45︒60︒30︒D /D C /B /A /C BA。
知识点1 图形相似的定义定义：我们把形状相同的图形叫做相似图形. （1）两个图形相似，其中一个图形可以看做是由 另一个图形放大或缩小得到的. （2）全等图形可以看成是一种特殊的相似图形， 即不仅形状相同，大小也相同. （3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是相同，与图形的大小、位置无关，这也 是相似图形的本质.【例1】下列图形不是相似图形的是( )A.同一张底片冲洗出来的两张不同尺寸的照片B.用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原 有图案C.某人的侧身照片和正面照片D.大小不同的两张同版本中国地图 解析：依据图形相似的定义，某人的侧身照片和正 面照片是两个不同角度的照片，它们的形状不同，因此不是相似图形. 答案：C知识点2 线段成比例注意：在a cb d ，b=c 时，我们把b 叫做a,d 的比例中 项，此时b 2=ad. 点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC (AC >BC )，如果AC 是线段AB 和BC 的比例中项，且ACAB＝BC AC ＝5－12≈0.618，则C 点叫做线段AB 的黄金分割点．【例2】已知线段a 、b 、c 、d 成比例线段，其中 a=2 m ，b=4 m ，c=5 m ，则d=（）A.1 mB.10 mC. mD. m解析：根据比例线段的定义得到a∶b=c∶d,然后把a=2 m，b=4 m，c=5 m代入进行计算即可∵线段a、b、c、d是成比例线段∴a∶b=c∶d而a=2 m，b=4 m，c=5 m∴d= bca452⨯= =10 m答案：B知识点3 相似多边形及其性质定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.注意：（1）仅有角相等，或仅有对应边成比例的两个多边形不一定相似.（2）相似比的值与两个多边形的前后顺序有关.【例3】如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，求∠α、∠β的大小和EH 的长度解：∵四边形ABCD和四边形EFGH相似，∴∠α=∠B=83°，∠D=∠H=118°，∠β=360°-(83°+78°+118°)=81°，EH：AD=HG：DC∴EH24 2118=∴EH=28(cm)．答：∠=83°，∠=81°，EH=28cm．ABC 相似，且 △DEF 的最大边长为20，则△DEF 的周长为 解：∵△DEF ∽△ABC ，△ABC 的三边之比为2：3：4 ∴△DEF 的三边之比为2：3：4 又∵△DEF 的最大边长为20∴△DEF 的另外两边分别为10、15 ∴△DEF 的周长为10+15+20=45 答案：45知识点1 相似三角形的判定定理1平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 因为DE ∥BC ，所以图中△ABC ∽△ADE.【例1】如图所示，已知在ABCD中，E 为AB 延长线 上的一点，AB =3BE ，DE 与BC 相交于点F ，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//CD,AD//BC∴△BEF∽△CDF,△BEF∽△AED∴△BEF∽△CDF∽△AED∴当△BEF∽△CDF时，相似比k1=BE/CD=1/3 ；当△BEF∽△AED时，相似比K2=BE/AE=1/4；当△CDF∽△AED时，相似比K3=CD/AE=3/4 .知识点2 相似三角形的判定定理2三边成比例的两个三角形相似．这种判定方法是常用的判定方法，也就是说两个三角形只要三条对应边的比相等，就可判定这两个三角形相似.C知识点1 相似三角形的判定定理3两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．如图所示，在△ABC与△DEF中，∠B=∠E，23AB BCDE EF==，可判定△ABC∽△DEF.注意在利用该方法时，相等的角必须是已知两对应边的夹角，才能使这两个三角形相似，不要错误地认为是任意一角对应相等，两个三角形就相似.注意：在两个直角三角形中，若两组直角边的比相等，则这两个直角三角形相似．【例1】如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF=3FD，△ABE与△DEF相似吗？为什么？知识点2 相似三角形的判定定理4两角分别相等的两个三角形相似如图所示，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，那么△ABC∽△A1B1C1.注意：在两个直角三角形中，若有一个锐角对应相等，则这两个直角三角形相似．知识点3 相似三角形的判定定理的综合运用判定三角形相似的几种基本思路：（1）条件中若有平行线，可采用相似三角形基本定理；（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹边成比例；（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；（5）条件中若有等腰关系，可找顶角相等或一对底角相等，也可找底和腰对应成比例.知识点1 性质一：相似三角形对应线段的比等于似比相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比.已知一个三角形三边长为8，6，12，另一个三角形有一条边为4，要使这两个三角形相似，则另外两边长分别为．知识点2 性质二：相似三角形周长的比等于相似比两个相似三角形对应中线的比为1：4，它们的周长之差为27cm，则较大的三角形的周长为cm．解：令较大的三角形的周长为x cm 小三角形的周长为(x-27)cm由两个相似三角形对应中线的比为1：4得1：4=(x-27)：x，解得x=36 cm答案：36知识点3 相似三角形面积的比等于相似比的平方两个相似三角形的周长是2：3，它们的面积之差是60cm2，那么它们的面积之和是.解：∵两个相似三角形的周长是2：3∴它们的相似比为2：3，面积的比为4：9设两个三角形的面积分别为4k，9k由题意得，9k-4k=60，解得k=12∴两个三角形的面积分别为48cm2，108cm2∴它们的面积之和是48+108=156cm2答案：156cm2。
