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全国2010年1月高等教育自学考试
《高等数学(一)》试题及答案
课程代码:00020
试题部分
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题2分,共10分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选
或未选均无分。
1.函数f (x )=arcsin ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-21x 的定义域为( ) A.[-1,1] B.[-1,3] C.(-1,1) D.(-1,3)
2.要使无穷级∑∞=0n n aq
(a 为常数,a ≠0)收敛,则q =( )
A.0.5
B.1
C.1.5
D.2
2页
3.函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=1
312)(3
x x x x x f 在x =1处的导数为( ) A.1 B.2 C.3 D.不存在
4.函数y =x 2-ln(1+x 2)的极小值为( )
A.3
B.2
C.1
D.0
5.下列反常积分收敛的是( ) A.⎰+∞12d 1
x x B.⎰+∞1d 1x x C.⎰+∞1d ln x x D.⎰+∞
1d ln x x
x 二、填空题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.设⎩⎨
⎧≤->=0101)(x x x f ,g (x )=x 2+1,则f [g (x )]=_______________. 7.1arctan lim 2+∞→x x
x =_______________.
8.∞
→n lim n [ln (n +2)-ln n ]=_______________. 9.函数⎩
⎨⎧≤≤-<≤-=21e e 10)(x x x k x f x 在x =1处连续,则k =_______________. 10.设函数y =ln sin x ,则y ″=_______________.
11.设函数y =x 2e -x ,则其弹性函数
Ex Ey =_______________. 12.曲线x
x y ln =的水平渐近线为_______________. 13.不定积分⎰-22d x x
=_______________.
14.微分方程(1+x 2)d y -(1+y 2)d x =0的通解是_______________.
15.设z=y x 322e -,则y
x z ∂∂∂2=_______________. 三、计算题(一)(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
16.求极限x
x x x x x sin cos lim 0--→. 17.求曲线y =x -2arctan x 的凹凸区间.
18.求函数f (x )=x 4-2x 2+5在区间[-1,2]上的最大值和最小值.
19.已知函数f (x )满足⎰+=C x x x f x e d )(,求⎰x x f d )(.
3页 20.方程xyz -ln(xyz )=1确定了隐函数z =z (x,y ),求y
z x z ∂∂∂∂,. 四、计算题(二)(本大题共3小题,每小题7分,共21分)
21.设y =x sin x +x arctan e x ,求y ′.
22.计算定积分I =⎰+1
0d )1ln(x x x . 23.计算二重积分I =⎰⎰D y y x y d d e 2
,其中D 是由y =x ,x =1,x =2及x 轴所围成的闭区域. 五、应用题(本大题9分)
24.过抛物线y =x 2+1上的点(1,2)作切线,该切线与抛物线及y 轴所围成的平面图形为D .
(1)求切线方程;
(2)求D 的面积A ;
(3)求D 绕x 轴旋转一周的旋转体体积V x .
六、证明题(本大题5分)
25.证明:当x >0时,1+x x +>12
1. 答案部分。