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线路工程控制测量投影变形问题分析和探讨摘要：介绍了线路工程控制测量中应考虑的变形因素，以及减少长度变形的几种常用手段，举例分析了某原水管道连通工程控制测量在地方城建坐标系下采用建立“抵偿高程面”的具体方法，并以实际数据验证其有效性。
关键词：控制测量长度变形抵偿变形投影带抵偿高程面1.问题的提出依据我国的工程测量规范规定，建立平面控制网的坐标系统应该保证长度综合变形不超过2.5cm/km.（相对变形不超过1/40000）。
在线路工程控制测量中，长度变形是一个不可以避免的问题，我们可以采取一些技术手段来使长度变形减弱，将长度变形控制在允许的范围之内，使平面控制点坐标反算边的长度与实地量测的长度相符，以满足工程测量规范的要求。
2.长度投影变形分析由参考文献：2可知，投影变形主要由于以下两种因素引起的：2.1参考椭球面归算变形因素：（1）式中，为平均高程面高程（相对于参考投影面），为地面上的实际长度，为高斯投影归算边长，为归算边两端点横坐标平均值。
2.2高斯投影归算变形因素：（2）式中，≈，一般可以将参考椭球视为圆球，取圆球半径≈6371km。
由公式（1）看出，将实地距离由较高的高程面归化算至较低的参考椭球面时，长度总是缩短的；值与成正比，随增大而增大。
由公式（2）看出，将参考椭球面上的距离化算至高斯平面时，长度总是增长的。
值随增大而增大，离中央子午经线越远变形越大。
理论上，当两项改正值大小相等时，长度变形为零。
（3）由上述分析可知，减少投影长度变形问题的主要思路为以下三种：（1）建立“抵偿变形投影带”高斯投影坐标系“抵偿变形投影带” 高斯投影坐标系的建立是在保持国家统一的椭球投影面不变的基础上，选择合适的中央子午线，使长度高斯投影变形恰好抵偿其投影到归化椭球面所产生的变形。
为了确定“抵偿变形投影带”的中央子午线的位置，取高斯投影坐标正算公式，同时由，。
可算出。
式中，B，L为测区中心位置的维度和经度，为标准分带经度与抵偿变形投影带中央子午线经度之差。
投影于抵偿高程面上的坐标计算方法及其公式推导在抵偿高程面上进行坐标计算时，可以使用水平方向的投影来实现。
具体方法如下：
1.假设我们有一个三维点P(x,y,z)，其中x和y是水平方向的坐标，z是垂直方向的高程。
2.首先，选择一个参考点O(x0,y0,z0)作为原点。
这个参考点可以是任意选择的，通常选择一个已知的基准点或者控制点。
3.计算点P相对于参考点O的水平距离dx和dy。
这可以通过简单的减法运算得到：dx=x-x0和dy=y-y0。
4.然后，计算点P在抵偿高程面上的投影坐标。
投影坐标通常用符号h表示。
可以通过以下公式计算：
h=z-z0
这个公式表示点P的高程值减去参考点O的高程值，即点P在抵偿高程面上的投影高程。
5.最后，我们得到了点P在抵偿高程面上的坐标：(dx,dy,h)。
这样，我们就完成了将三维点P的坐标投影到抵偿高程面上的计算。
需要注意的是，以上计算方法是基于平面坐标系的。
如果涉及到地理坐标系，还需要考虑大地椭球体的形状和坐标转换等因素。
具体的公式推导会涉及到大地测量学和大地基准面理论，超出了本回答的范围。
1。
投影于测区抵偿高程面上的坐标计算公式推导要推导投影面坐标与高程面坐标之间的关系，需要先了解投影面和高程面的定义和性质。
投影面是指地图等在平面上进行地理测量时所使用的平面，通常是由平行于海平面的水平面引入的。
在平面投影测量中，常见的椭球体面和球面都可以作为投影面。
高程面是指以海平面为基准，与投影面上的坐标系相对应的等高线所构成的面。
高程面上的坐标（x，y）对应于投影面上的坐标(X，Y)。
设高程面的等高线方程为h(x,y)，其中x和y表示在投影面上的坐标，h表示对应的高程。
投影面上的坐标与高程面上的坐标之间的关系可以用以下公式表示：X = f(x, y) = x + h(x, y) * cos(α)Y = g(x, y) = y + h(x, y) * sin(α)其中α表示投影面的倾角，f(x,y)和g(x,y)分别表示x和y在投影平面上的坐标。
为了推导这个公式，我们假设一个简单的情况，其中投影面为平行于海平面的水平面，即α=0。
在这种情况下，高程面上的坐标与投影面上的坐标是一样的。
然而，在实际的测绘中，投影平面往往是倾斜的，因此需要考虑投影面的倾角α。
我们假设投影面在水平面上的单位向量为n，高程面上特定点的法线向量为N。
由于n和N垂直，我们可以得到以下关系：n·N=0n = (cos(α), sin(α))令 dx 和 dy 表示高程面上两个点之间在投影面上的坐标差值，dh 表示两个点之间的高程差。
根据高程面的定义，我们可以得到以下关系：n · (dx, dy) = dh(cos(α), sin(α)) · (dx, dy) = dhdx * cos(α) + dy * sin(α) = dh将坐标差值和高程差代入投影平面的坐标公式，可以得到以下关系：X' = x + dx = x + (dx * cos(α) + dy * sin(α))Y' = y + dy = y + dh = y + (dx * sin(α) - dy * cos(α))由于 dx 和 dy 都是无穷小量，因此可以将以上两个公式近似为：X = x + dx * cos(α) + dy * sin(α)Y = y + dx * sin(α) - dy * cos(α)根据定义，dx 和 dy 对应于高程面上两点的坐标差值，即dx = ∂h/∂x * dxdy = ∂h/∂y * dy代入公式，可以得到：X = x + ∂h/∂x * dx * cos(α) + ∂h/∂y * dy * sin(α)Y = y + ∂h/∂x * dx * sin(α) - ∂h/∂y * dy * cos(α)简化以上公式，我们可以得到最终的结果：X = x + h * cos(α)Y = y + h * sin(α)其中h(x,y)表示高程面上的高程值。
抵偿高程面上的坐标换算王文忠【摘要】在高海拔或高程变化较大的地区进行工程测量时,为了限制投影变形,一般采用具有抵偿高程面的工程坐标系.本文通过分析工程椭球与国家参考椭球之间的内在联系与差异,推导了工程椭球大地坐标的改正值公式,给出了工程椭球的建立方法及坐标换算方法,从而保证顺利地建立具有抵偿高程面的工程坐标系.【期刊名称】《城市勘测》【年(卷),期】2016(000)002【总页数】4页(P113-115,118)【关键词】抵偿高程面;抵偿带;工程椭球;直接法坐标换算【作者】王文忠【作者单位】河北省地矿局第十一地质大队,河北邢台 054000【正文语种】中文【中图分类】P226+.3在工程测量实践中，为了保持地面实际边长与高斯投影边长的一致，方便成果应用和放样施工，相关规范均对长度变形值做出了限制，一般要求边长相对变形值小于2.5 cm/km。
在高原地区或地形起伏较大的山区丘陵地带，采用国家统一坐标系统难以满足规范要求，需要具体分析测区地形变化情况，建立具有高程抵偿面的高斯投影平面直角坐标系。
地面边长的投影变形值主要由两方面因素引起，即地面长度归算到参考椭球面上的变形和参考椭球面上的边长归算到高斯投影面上的变形。
2.1 地面长度归算到参考椭球面上的变形实测边长所在的平均高程面与参考椭球面存在高差，当边长向参考椭球面归算时，其边长变形值为△S1:其相对变形为:Hm为归算边长的平均大地高，S为归算边的长度，R为参考椭球法截弧曲率半径（其概值约为 6 371 km）。
由相对变形式（2）可知，随着地面大地高的增加，边长归算变形成比例增加，当Hm超过 159 m时，造成的相对变形值已超过1/40000，不能满足规范要求。
2.2 参考椭球面上的边长归算到高斯投影面上的变形距离中央子午线愈远的区域，边长经高斯投影后长度变形越大，其变形值为△S2:投影边长的相对变形为:ym为归算边端点平均东坐标值，Rm为参考椭球平均曲率半径，S0为归算边长。
投影于抵偿高程面上的坐标计算方法及其公式推导
摘要：讨论、分析投影于（任意）抵偿高程面上的平面坐标计算方法及其计算公式的推导。
供同行们讨论与参考。
关键词：交通工程；公路控制测量；投影于（任意）抵偿高程面上的平面坐标计算方法。
0 前言
国家有关规范规定，在大、中型工程测量中，其控制网必须与国家控制点联测，或采用国家坐标系统，以达到测量资源共享、成果共用的目的。
国家坐标系统是采用高斯－克吕格正形投影（简称“高斯投影”），即先由大地面投影到参考椭球面，再由参考椭球面投影到高斯平面；而高程面则是投影到大地水准面上。
公路测量常用的处理方法是，采用分带形式，以减小高斯投影产生的长度变形；而高程面的投影，因为测区平均高程面与大地水准面的差值和地球曲率半径相比微不足道，故忽略不计。
然而，随着公路建设的不断扩大与发展，公路（特别是高速公路）从平原微丘区向山岭重丘区（乃至高原地区）延伸，测区高程面由数10m 增加到数百米乃至数千米；由于高程面的不同所产生的长度变形对工程建设的影响是我们必须考虑的问题。
如，据有关计算表明，当大地高程面H＝700m时，其长度变形为11cm/km，远大于规范允许值，这对于重要工程的测量是一个不可忽略的小数。
本文通过分析讨论，提出在（任意）选定的抵偿高程面上的平面坐标的计算方法来解决长度变形问题。
1 独立坐标系中投影于抵偿高程面上的坐标换算
在独立坐标系中，原有坐标X、Y投影高程面为H0，测区平均高程面为H，为使实测边长与成图平面上的边长相一致，不致产生过大的长度投影变形，需将测区平均高程面H作为抵偿高程面（简称投影面），从而建立新的地方独立坐标系统。
利用原有坐标X、Y换算成新的投影面（抵偿高程面）上的独立坐标Xˊ、Yˊ，一般取测区中心或附近点为投影原点（X0、Y0），换算过程中不考虑椭球面正形投影到高斯平面上长度改化变形因素对坐标换算的影响，公式推导如下。
如图1所示：
图1
R-投影区地球平均曲率半径
H0-原坐标投影面高程
H-新坐标投影面（抵偿高程面）高程
X0、Y0-投影原点坐标
X、Y-原坐标
Xˊ、Yˊ-投影于抵偿高程面上的新坐标
因为：
(Xˊ- X0) /（R+H）= （X- X0）/（R+H0）
Xˊ=X0+（X-X0）（R+H）/（R+H0）
所以：Xˊ=X0+(X-X0) 〔1+（H-H0）/(R+H0) （1）
同理：Yˊ=Y0+(Y-Y0) 〔1+（H-H0）/(R+H0) 〕
以上（1）式即为新老坐标投影换算公式
2 投影于抵偿高程面上的高斯平面坐标换算
将1954年北京坐标换算为投影于地方独立抵偿高程面上的高斯平面坐标，按以下两种
方法考虑：
2.1 方法一
该方法是以抵偿高程面作为地方独立参考椭球面，通过计算任一实测边长D0投影于地方独立参考椭球面(即抵偿高程面)并经高斯正形投影改化后，得到新的地方独立坐标系抵偿高程Hp上的高斯平面边长度D2ˊ，与该实测边长在1954年北京坐标系统高斯平面上长度D2（实测边长D0投影于克氏参考椭球上经高斯正形投影改化后在高斯平面上的长度）的比值D2ˊ/ D2关系式，推导出新旧投影面上的高斯平面坐标换算公式。
如图2所示：
图2
D0-实测边长长度
R-投影区地球平均曲率半径
D1-克氏椭球面上长度
D1ˊ-地方独立椭球面（抵偿高程面）上长度
D2-1954年北京坐标系高斯平面上长度
D2ˊ---地方独立坐标系高斯平面上长度（D1ˊ经高斯正形投影改化后得到的长度）
Hm-实测边长两端点平均高程
Hp-抵偿高程面高程（即投影面高程）
Ym-实测边长两端点距1954年北京坐标系中央子午线之平均距离
Ymˊ-实测边长两端点距地方独立坐标系中央子午线之平均距离
X、Y-1954年北京坐标
Xˊ、Yˊ-投影于抵偿高程面上的高斯平面坐标
因为：D1 = D0[1 -Hm/（R+Hm）]
D1ˊ= D1(1 + Hp /R)
D2 = D1(1 +Ym2/2R2)-------高斯正形投影改化公式
D2ˊ= D1ˊ[1 +Ymˊ2/2(R+ Hp)2]
=D1(1 + Hp /R)[1 +Ymˊ2/2(R+ Hp)2]---------高斯正形投影改化公式
所以：
任一边长投影于抵偿高程面上的高斯平面长度与其投影于1954年北京坐标系高斯平面上的长度之比= D2ˊ/ D2=(1 + Hp /R) [1 +Ymˊ2/2(R+ Hp)2] / [1+ Ym2/2R2]
由于长度投影变形与方向无关，且坐标与长度成正比例线性关系。
因此：
Yˊ= Y(1 + Hp /R) [1 +Yˊ2/2(R+ Hp)2]/ [1+ Y2/2R2]
Xˊ= X(1 + Hp /R) [1 +Yˊ2/2(R+ Hp)2]/ [1+ Y2/2R2]
以上（2）式即为投影于抵偿高程面上的高斯平面坐标换算公式，其中Yˊ坐标计算可以通过解一元二次方程求得，或者取Yˊ= Y(1 + Hp /R)式计算，误差较小。
2.2 方法二
该方法是首先将原坐标X、Y（1954年北京坐标）进行高斯投影反算，求得大地坐标经纬度L、B。
然后在考虑抵偿高程面投影时，重新建立地方独立参考椭球，以抵偿高程面作为地方独立参考椭球面，即在克氏椭球基础上改变参考椭球长轴a、短轴b的长度，aˊ=a+ Hp，但扁率α（α=1/298.3）、偏心率e保持不变，bˊ= aˊ（1-α），来确定新的地方独立参考椭球面参数。
最后令大地坐标B、L保持不变，通过高斯投影正算，求得新建立的地方独立参考椭球面上的高斯平面坐标Xˊ、Yˊ，即为投影于抵偿高程面上的高斯平面坐标。
从而间接达到改变投影面（抵偿高程面）时，进行高斯平面坐标换算之目的。
3 算例
本算例为厦蓉高速公路江西与湖南两省交界处湖南境内高速公路平面控制点，三级GPS点R213的高斯平面坐标投影换算。
该控制点为1954年北京坐标系（中央子午线为114˚00′00″），坐标为X=2836154.404，Y=405740.074（投影面高程为：0）。
高速公路1/2000公路地形图为1954北京坐标系，中央子午线为114˚00′00″，为减小长度变形，投影面高程采取Hp =500m。
应用前述三种方法分别计算该控制点投影于抵偿高程面（Hp=500m）上的坐标（即该控制点在1/2000公路地形图坐标系统中的坐标值）如下。
3.1 按独立坐标系计算投影于抵偿高程（Hp=500m）面上的坐标
投影原点为：X0 =0，Y0=500000，H0=0
H=500，X=2836154.404，Y=405740.074，取R=6378245。
代入公式（1）得：Xˊ=2836376.734，Yˊ=405732.685
3.2 按方法一计算投影于抵偿高程（Hp =500）面上的高斯平面坐标
Hp =500，X=2836154.404，Y=405740.074，取R=6378245
代入公式（2）得：Xˊ=2836376.734，Yˊ
=405732.685
按方法一计算的投影于抵偿高程面上的高斯平面坐标结果与按独立坐标系计算的投影于抵偿高程面上的坐标结果相一致。
3.3 按方法二计算投影于抵偿高程（Hp=500m）面上的高斯平面坐标
（1）根据1954年北京坐标X=2836154.404，Y=405740.074，进行高程投影反算得大地坐标为：B=25˚37′45″.5921，L=113˚ 03′41″.3175。
（2）在克氏椭球面基础上，考虑建立地方独立参考椭球面，并确定其椭球面参数。
其中扁率α=1/298.3，偏心率e保持不变，a=6378245，d= 6335552.7175
aˊ= a+ Hp =6378245+500=6378745
bˊ= aˊ（1-α）=6357361.343
dˊ= bˊ2/aˊ=6336049.372。
则对应于新建立的地方独立参考椭球的子午弧长计算公式
S= A0×B/ρ-( B0×sinB+ C0×sin3 B+ D0×sin5 B+E0×sin7B)cosB
中的系数分别为：
A0ˊ=( dˊ/ d) A0=6367558.4969×(6336049.372/6335552.7175)
=6368057.6604
B0ˊ=( dˊ/ d) B0=32005.7798×( dˊ/ d) =32008.2888
C0ˊ=( dˊ/ d) C0=133.9238×( dˊ/ d) =133.9343
D0ˊ=( dˊ/ d) D0=0.6973×( dˊ/ d) =0.6974
E0ˊ=( dˊ/ d) E0=0.0039×( dˊ/ d) =0.0039
③取控制点的大地经纬度不变：L=113˚03′41″3175，B=25˚37′45″5921，利用高斯投影正算公式，计算新建立的地方独立参考椭球面上的高斯平面坐标为：
Xˊ=2836376.733，Yˊ=405732.684
3.4 三种方法计算结果差数
Xˊ1- Xˊ2=2836376.734-2836376.733=0.001
Yˊ1- Yˊ2=405732.685-405732.684=0.001
4 结语
选定（任意的）抵偿高程面，从而建立独立的参考椭球面，然后在这个椭球体面上计算新的高斯平面坐标的方法，解决了高原地区公路测量（乃至其它工程测量）因大地面投影产生的变形问题。
这是对投影理论和测量学的又一应用。
