函数的表示方法及分段函数汇编

识和理解能力，此类问题不难解决．
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第二章 函数与基本初等函数 (2011·深圳一模)已知y与x(x≤100)之间的部分对应关 系如下表：
x 11 12 13 14 15 … y 2 1 2 1 2 … 97 48 95 47 93
则x和y可能满足的一个关系式是________．
[答案] 2 y＝ 108－x
[解析]
本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求
x 的值．属于基础知识、基本运算的考查．
x≤1 由 x 3 ＝2
⇒x＝log32，
x＞1 －x＝2⇒x＝－2
无解，故应填 log32.
[答案] log32
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第二章 函数与基本初等函数 3．定义在区间(－1,1)上的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝x， 则f(x)的解析式为________．
[解] ∵f(0)＝0，∴c＝0.
1 1 ∵对于任意 x∈R 都有 f(－ ＋x)＝f(－ －x)， 2 2
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第二章 函数与基本初等函数
1 b 1 ∴函数 f(x)的对称轴为 x＝－ ，即－ ＝－ ，得 a＝b. 2 2a 2 又 f(x)≥x，即 ax2＋(b－1)x≥0 对于任意 x∈R 都成立， ∴a＞0，且 ∆＝(b－1)2≤0. ∵(b－1)2≥0，∴b＝1，a＝1. ∴f(x)＝x2＋x.
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第二章 函数与基本初等函数
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[解析]
2x＝3 若 x≥2
解得 x＝ 3；
无解，故选 D.
[答案] D [点评与警示] 分段函数中的x在不同取值时，对应法则不
同，不要认为是三个不同的函数．

分段函数知识点总结整理分段函数是一种函数表达式，其定义域被分为几个部分，在每个部分，函数的表达式都是不同的。

分段函数在实际问题中有着广泛的应用，而对于学习者而言，掌握分段函数的知识是非常重要的。

本文将通过总结和整理分段函数的知识点，帮助读者更好地理解和掌握这一部分的数学知识。

1.分段函数的基本概念分段函数是由若干个部分组成的函数，每个部分都有自己的定义域和函数表达式。

通常来说，一般形式的分段函数可以表示为：\[ f(x) = \begin{cases} f_1(x), & a_1 \leq x < b_1 \\ f_2(x), & a_2 \leq x < b_2 \\ \vdots \\f_n(x), & a_n \leq x < b_n \\ \end{cases} \]其中，\[ f_1(x), f_2(x), \cdots, f_n(x) \] 分别为不同的函数表达式，\[ a_1, b_1, a_2, b_2,\cdots, a_n, b_n \] 分别为定义域的分割点。

在每个分段区间，函数的表达式可能不同，也可能相同。

2. 分段函数的图像分段函数的图像通常是由若干个部分的图像组成的。

在每个分段区间内，函数的图像可能是一条直线、一个曲线或者其他形式。

需要注意的是，不同分段区间之间可能存在间断点，这些间断点通常需要特别关注。

3. 分段函数的定义域和值域在讨论分段函数的定义域和值域时，需要分别对每个函数表达式的定义域和值域进行分析。

需要注意的是，整个分段函数的定义域和值域需要考虑到每个部分的定义域和值域的并集或交集。

4. 分段函数的性质分段函数的性质通常是由其各个部分的函数表达式决定的。

当各个函数表达式的性质不同的时候，在整体上，分段函数可能具有一些特殊的性质。

例如，分段函数可能是一个单调递增的函数、单调递减的函数或者是非单调的函数。

5. 分段函数的应用分段函数在实际问题中有着广泛的应用。

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经济领域中的应用
分段函数在经济领域中常用于描述成本、价格、收益等随数量变化的情况。例如 ，在分析企业的生产成本时，可以根据产量分段计算固定成本和变动成本，从而 更准确地预测总成本。
分段函数还可以用于描述税收政策、补贴政策等随收入或消费量变化的情况，帮 助政府制定更加合理的经济政策。
函数及其表示三种表 示方法与分段函数
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目录
• 函数及其表示方法 • 分段函数 • 函数及其表示三种表示方法与分段函数的应
用 • 分段函数的实际应用
PART 01
函数及其表示方法
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解析法
01
02
图象法的应用
图象法
通过绘制函数的图像来表示函数，直观地展示函 数的形态和变化趋势。
优点
直观易懂，能够清晰地展示函数的形态和变化趋 势。
缺点
对于复杂函数，绘制图像可能比较困难，且无法 精确表示函数的数学关系。
表格法的应用
表格法
通过表格的形式来表示函数，列出函数在不同自变量下的函数值。
优点
简单明了，能够快速查看函数在不同自变量下的值。
03
定义
解析法是一种通过数学表 达式来表示函数的方法。
特点
解析法精确度高，可以表 示任意函数，但形式可能 较为复杂。
示例
$f(x) = x^2 + 2x + 1$ 表示一个二次函数。
图象法
定义
图象法是通过绘制函数的 图形来表示函数的方法。
特点
图象法直观易懂，可以观 察函数的形状、趋势和变 化规律，但精度有限。

随堂达标自测
1．y 与 x 成反比，且当 x＝2 时，y＝1，则 y 关于 x 的
函数关系式为( )
A．y＝1x
B．y＝－1x
C．y＝2x
D．y＝－2x
解析 设 y＝kx(k≠0)，则 1＝2k，∴k＝2，∴y＝2x.
2．已知函数 f(x)＝xx＋ 2＋11，，xx∈∈[－0，1，1]0，]， 则函数 f(x) 的图象是( )
c＝1，
意得a＋b＋c＝2， 4a＋2b＋c＝5，
a＝1，
Байду номын сангаас
解得b＝0， c＝1，
故 f(x)＝x2＋1.
探究3 换元法(或配凑法)、方程组法求函数解析式 例 3 (1)已知函数 f(x＋1)＝x2－2x，求 f(x)的解析式； (2)已知函数 y＝f(x)满足 f(x)＋2f1x＝x，求函数 y＝f(x) 的解析式．
解析 当 x＝－1 时，y＝0，即图象过点(－1,0)，D 错； 当 x＝0 时，y＝1，即图象过点(0,1)，C 错；当 x＝1 时，y ＝2，即图象过点(1,2)，B 错．故选 A.
3．某种茶杯，每个 2.5 元，把买茶杯的钱数 y(元)表示 为茶杯个数 x(个)的函数，则 y 与 x 的函数关系式为 ____y_＝__2_._5_x_，__x_∈__N_*_____．
(2)把已知条件代入解析式，列出关于待定系数的方程 或方程组．
(3)解方程或方程组，得到待定系数的值． (4)将所求待定系数的值代回所设解析式．
【跟踪训练 2】 (1)已知函数 f(x)＝x2，g(x)为一次函数， 且一次项系数大于零，若 f[g(x)]＝4x2－20x＋25，求 g(x)的 表达式；
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个函数都可以用列表法表示．( × ) (2)任何一个函数都可以用解析法表示．( × ) (3) 函 数 的 图 象 一 定 是 定 义 区 间 上 一 条 连 续 不 断 的 曲 线．( × )