最新八年级一次函数分段函数经典讲解

一次函数中的分段函数一、分段计费问题例1.我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收水费元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨元收费，超过10吨的部分，按每吨元（b＞a）收费．设一户居民月用水吨，应收水费元，与之间的函数关系如图13所示．（1）求的值；某户居民上月用水8吨，应收水费多少元？（2）求的值，并写出当时，与之间的函数关系式；（3）已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元，求他们上月分别用水多少吨？解析：（1）当时，有．将代入，得．∴y=1.5x当x=8时,y=8×1.5＝12（元）．（2）当时，有将，代入，得．∴．故当时，．（3）因，∴甲、乙两家上月用水均超过10吨．设甲、乙两家上月用水分别为吨，吨，则解之，得故居民甲上月用水16吨，居民乙上月用水12吨．二、行程中的分段函数例2。

一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系．根据图象进行以下探究：信息读取（1）甲、乙两地之间的距离为 km；（2）请解释图中点的实际意义；图象理解（3）求慢车和快车的速度；（4）求线段所表示的与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；问题解决（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？解析：（1）900；（2）图中点的实际意义是：当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇．（3）由图象可知，慢车12h行驶的路程为900km，所以慢车的速度为；当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km，所以慢车和快车行驶的速度之和为，所以快车的速度为150km/h．（4）根据题意，快车行驶900km到达乙地，所以快车行驶到达乙地，此时两车之间的距离为，所以点的坐标为．设线段所表示的与之间的函数关系式为，把，代入得解得所以，线段所表示的与之间的函数关系式为．自变量的取值范围是．（5）慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h．把代入，得．此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是112.5km，所以两列快车出发的间隔时间是，即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h．三、与几何图形有关的分段函数例3。

八年级数学一次函数应用知识点归纳八年级数学一次函数的应用知识点归纳1一、分段函数问题分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际。

二、函数的多变量问题解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数三、概括整合(1)简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法;②分段函数思想的应用。

(2)理清题意是采用分段函数解决问题的关键。

常用公式1.求函数图像的k值：(y1-y2)/(x1-x2)2.求与x轴*行线段的中点：(x1+x2)/23.求与y轴*行线段的中点：(y1+y2)/24.求任意线段的长：√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式两个一次函数y1=k1x+b1y2=k2x+b2令y1=y2得k1x+b1=k2x+b2将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1y2=k2x+b2两式任一式得到y=y0则(x0,y0)即为y1=k1x+b1与y2=k2x+b2交点坐标6.求任意2点所连线段的中点坐标：[(x1+x2)/2，(y1+y2)/2]八年级数学一次函数的应用知识点归纳2一.常量、变量：在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量;数值始终不变的量叫做常量。

二、函数的概念：函数的定义：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.三、函数中自变量取值范围的求法：(1)用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。

(2)用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。

(3)用寄次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。

用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一切实数。

(4)若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量的取值范围。

初二数学分段函数知识点解析分段函数是初中数学中的重要内容之一，它通过不同的定义域范围将一个函数分成若干个部分，每个部分使用不同的表达式描述。

分段函数在数学中的应用非常广泛，能够帮助我们更好地理解和解决实际问题。

本文将对初二数学分段函数的知识点进行解析，并以具体的例子来说明其应用。

一、什么是分段函数分段函数（piecewise function），又称离散函数，指的是在定义域上不同区间内可以有不同的表达式。

通常我们用一个大括号表示不同区间上的表达式，例如：\[ f(x)=\begin{cases}x+1, & x<0 \\x^2, & x\geq0\end{cases} \]这个函数在定义域上可以分为两个区间，即负无穷到0和0到正无穷，分别使用了x+1和x^2作为函数表达式。

二、分段函数的定义域和值域对于分段函数来说，每个区间上都有一个对应的函数表达式。

因此，我们需要确定每个区间的定义域。

在上面的例子中，第一个区间定义域为负无穷到0，第二个区间定义域为0到正无穷。

而对于整个分段函数的定义域，应该是各个区间定义域的并集。

在上面的例子中，整个函数的定义域为负无穷到正无穷，即(-∞, +∞)。

值域的确定需要分别计算每个区间的值域，然后取所有值域的并集。

对于上面的例子来说，第一个区间的值域为(-∞, 1)，第二个区间的值域为[0, +∞)。

因此，整个函数的值域为(-∞, 1]。

三、分段函数的图像和性质分段函数的图像通常由各个区间的图像组成。

在上面的例子中，第一个区间图像为一条斜率为1的直线，第二个区间图像为一条开口向上的抛物线。

分段函数具有一些特殊的性质。

首先，分段函数的图像是不连续的，因为在不同的区间上使用了不同的表达式。

其次，分段函数可能具有端点处的间断点。

例如，在上面的例子中，函数在x=0处具有间断点，因为0既属于第一个区间也属于第二个区间。

四、分段函数的应用举例分段函数在实际问题中具有广泛的应用。

八年级数学分段函数知识点数学是一门需要思维和逻辑能力的学科，而分段函数则是数学中一个比较抽象和难以理解的概念。

在八年级数学教学中，分段函数是一个非常重要的知识点，本文将详细介绍八年级数学分段函数知识点。

一、什么是分段函数分段函数是指一个函数根据自变量不同的取值范围，将一个函数分成不同的部分。

通俗地说，就是一个函数可以有不同的定义域上的表达式。

例如，当x<0时，f(x)=x+3；当x≥0时，f(x)=x-2。

这就是一个简单的分段函数。

二、表示方式分段函数可以用多种方式进行表示。

最常见的方式是用大括号将不同条件下的函数表达式括起来表示。

例如，如下函数就是一个分段函数。

-2x+1 (x>=0)f(x)=x+3 (x<0)另外，也可以用数学符号 Iverson括号表示分段函数，如下：f(x)=[x>=0](-2x+1)+[x<0](x+3)三、分段函数的应用分段函数是数学中十分重要的概念，它在很多领域里都有广泛的应用。

例如，在物理学、经济学、社会学等领域中，分段函数被广泛应用。

在数学中，分段函数常常和绝对值函数一起使用。

例如，对于一个函数f(x)=|x|，它在不同条件下的定义域可能不同。

当x≥0时，f(x)=x；当x<0时，f(x)=-x。

这就是一个分段函数。

四、常见的分段函数1. 常函数：当x属于一个给定的区间时，f(x)等于一个常数c。

例如，f(x)= 2，当x属于[-1,1]时。

2. 反比例函数：当x属于一个给定的区间时，f(x)等于1/x。

例如，f(x)=1/x，当x属于(0,∞)。

3. 绝对值函数：当x属于一个给定的区间时，f(x)等于|x|。

例如，f(x)=|x-1|，当x属于[1,3]。

4. 仿射函数：当x属于一个给定的区间时，f(x)等于ax+b，其中a和b为常数。

例如，f(x)=2x+1，当x属于[0,1]。

五、练习题1. 求下列函数f(x)的解析式：当x≤0时，f(x)=x+1；当0<x≤1时，f(x)=x+2；当x>1时，f(x)=2x-3。

例说一次函数中的分段函数朱河镇初级中学 史又成分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图像）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况或以上，解答时需分段讨论。

它是考查分类思想，读取、搜集、处理图像信息等综合能力的综合题。

是近几年中考数学中经常遇到的题型。

通常是正比例函数的图像和一次函数的图像构成。

下面我们归纳分析如下，供学习时参考。

一、正比例函数与一次函数构成的分段函数解答这类分段函数问题的关键,就是分别确定好正比例函数的解析式和一次函数的解析式。

【例1】某家庭装修房屋，由甲、乙两个装修公司合作完成，选由甲装修公司单独装修3天，剩下的工作由甲、乙两个装修公司合作完成．工程进度满足如图1所示的函数关系，该家庭共支付工资8000元．（1）完成此房屋装修共需多少天？（2）若按完成工作量的多少支付工资，甲装修公司应得多少元？【分析】本题是一道与工程有关的分段函数问题，通过图像可观察到，在0到3天之间时，工程进度y (元)是工作时间x (天)的正比例函数,当x ≥3时, 工程进度y (元)是工作时间x (天)的正比例函数.【解】（1）设正比例函数的解析式为：y=k 1x ，因为图像经过点（3，41），所以，41= k 1×3，所以k 1=121， 所以y=121x ，0＜x ＜3 设一次函数的解析式（合作部分）是y=k 2x+b ，（0k k b ≠，，是常数） 因为图像经过点（3，41），（5，21），所以， 由待定系数法得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⨯=+⨯21541322b k b k ，解得：81,812-==b k ． ∴一次函数的表达式为8181-=x y ，所以，当1y =时，11188x -=，解得9x = ∴完成此房屋装修共需9天。

（2）由正比例函数的解析式：y=121x ，可知：甲的工作效率是112 ， 所以，甲9天完成的工作量是：139124⨯=， ∴甲得到的工资是：3800060004⨯=（元） 【评析】在这里未知数的系数的意义是表示他们的工作效率。

认清分段函数,解决收费问题定义：一般地，如果有实数a i, a2, a3 .......... k i,k, 2k3 ......... b,b2,b3 ............... 且a i W a z W a s ............ 函数Y与自变量X之间存在-k i x+b i x < a i（k 2x+b2 a i< x w a2 ①的函数解析式，则称该函数解析式为X的分Ksx+b s a 2<x w a s应该指出：（一）,函数解析式①这个整体只是一个函数，并非是Y=KX+b Y=KX+b2……等几个不同函数的简单组合,而k i x+b i, k2x+b2……是函数Y的几种不同的表达式.。

所以上例中Y= { u =沆fl这个整体只是一个函数，不能认为它是两个不同的函数，只能说110X和110X 80%混同一函数中的自变量X在两种不同取值范围内的不同表达式。

（二），由于k l,k2,k3……b l,b2,b3是实数,所以函数Y在X的某个范围内的特殊函数，如正比例函数和常数函数。

（三）,由于问题的不同，当然分段函数也可能在自变量某范围内不是一次函数而是其他形式的函数，在这里我们不予讨论。

（四）,一次函数的分段函数是简单的分段函数。

分段函数应用题分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论。

在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型。

收费问题与我们的生活息息相关，如水费问题、电费问题、话费问题等，这些收费问题往往根据不同的用量，采用不同的收费方式.以收费为题材的数学问题多以分段函数的形式出现在中考试题中，下面请看几例一、话费中的分段函数例1 （四川广元）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x （分钟）与相应话费y （元）之间的函数图象如图1所示：（1）月通话为100分钟时，应交话费_____ 元；（2）当x> 100时，求y与x之间的函数关系式;（3）月通话为280分钟时，应交话费多少元？分析：本题是一道和话费有关的分段函数问题，通过图象可观察到，在0到100分钟之间月话费y（元）是月通话时间x（分钟）的正比例函数，当x> 100时,月话费y（元）是月通话时间x（分钟）的一次函数.解：（1 ）观察图象可知月通话为100分钟时，应交话费40元；（2）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b 由图上知：x=100 时,y=40 ; x=200 时，时，y=601□ ― 「40=100k+b l k =丄则有，解之得5[60 = 200k + b |l b = 201 所求函数关系式为y x 20..51 1（3）把x=280 代入关系式y x 20,得y 280 20 =765 5即月通话为280分钟时，应交话费76元.二、水费中的分段函数例2（广东）某自来水公司为了鼓励居民节约用水，采取了按月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数关系如图2.（1）分别写出当0 w x< 15和x > 15时,y与x的函数关系式；（2）若某户该月用水21吨，则应交水费多少元？分析:本题是一道与收水费有关的分段函数问题•观察图象可知，0 w x w 15时y是x 的正比例函数；x> 15时,y是x的一次函数.27 9解：⑴当0 < x< 15时，设y=kx,把x=15,y=27代入，得27=15k,所以k= ,所以15 5y= x;当x> 15 时，设y=ax+b,将x=15,y=27 和5x=20,y=39.5 代入，得'15a +b =27,20a + b = 39.5解得a=2.5,b=-10.5所以y=2.5x-10.5(2)当该用户该月用21吨水时，三、电费中分段函数例3 (广东)今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y (元)与用电量x (度)的函数图象是一条折线(如图3所示)，根据图象解下列问题：(1)分别写出当0< x< 100和x > 100时，y与x的函数关系式；(2 )利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；(3)若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电？分析:从函数图象上看图象分为两段，当0 < x< 100时，电费y是电量x的正比例函数当x > 100时,y是x的一次函数，且函数图象经过点(100,65)和(130,89),设出相应的函数关系式,将点的坐标代入即可确定函数关系式，根据函数关系式可解决问题.解：(1)设当0 < x < 100时,函数关系式为y=kx,将x=100,y=65代入，得k=0.65,所以y=0.65x;设当x > 100时,函数关系式为y=ax+b，将x=100,y=65和x=130,y=89代入，得100^^65,解得a=0.8,b=-15.所以y=0.8x-15 J30a +b =89.综上可得“ °.65x(°仝X-p.8x-15(x > 100)100)⑵用户月用电量在0度到100度之间时海度电的收费的标准是0.65元;超出100度时,每度电的收费标准是0.80元.（3）用户月用电62度时，用户应缴费40.3元,若用户月缴费105元时,该户该月用了150 度电.谈谈中考中的分段函数分段函数，是近几年中考数学中经常遇到的题型。

一次函数分段函数在数学中，一次函数是指最高次项为一次的函数，也称为一次多项式函数，一般表达式为y=kx+b，其中k和b都为常数。

而分段函数则是一种函数，其定义域被分为几个不相交的区间，每个区间内有不同的函数表达式。

因此，一次函数分段函数就是将一次函数在不同的区间内用不同的函数表达式来描述的函数。

一次函数分段函数的定义一次函数分段函数的定义如下：设I为实数集上的一个区间，f(x)为一次函数，g(x)为定义在I上的另一个函数，若存在实数a1,a2,…,an-1(n>1)，使得I被这些实数分成了n个互不相交的区间I1=[a1,a2),I2=[a2,a3),…,In-1=[an-1,an)，且在每个区间内f(x)和g(x)的表达式不同，则称定义在I上的函数h(x)为一次函数分段函数。

一次函数分段函数的图像特征由于一次函数的图像是一条直线，因此一次函数分段函数的图像也是由若干条直线段组成的。

每个区间内的直线段斜率和截距都不同，因此直线段的形状和位置也不同。

在每个区间的交界处，一次函数分段函数的图像是一个开口向下或开口向上的折线。

一次函数分段函数的性质一次函数分段函数具有以下性质：1.一次函数分段函数在每个区间上都是连续的。

2.一次函数分段函数在每个区间的端点上都是左右极限存在的。

3.一次函数分段函数在每个区间内都是可导的，但在每个区间交界处可能不可导。

4.一次函数分段函数是一个分段函数，因此其定义域是由若干个不相交的区间组成的。

5.一次函数分段函数的图像是由若干条直线段组成的，直线段的斜率和截距都不同。

6.一次函数分段函数的图像在每个区间的交界处是一个开口向下或开口向上的折线。

一次函数分段函数的应用一次函数分段函数在实际应用中有广泛的应用，如：1.电费计算：电费的计算采用阶梯电价的方式，即电力部门将电费标准分为若干个阶梯，每个阶梯内的电价不同。

因此，电费的计算可以采用一次函数分段函数的方式来描述。

2.税收计算：税收的计算采用分段征税的方式，即将纳税人的收入分为若干个阶段，每个阶段内的税率不同。

八年级上册分段函数知识点分段函数是高中数学中比较重要的一部分，而在八年级上册课程中，也会涉及一些基础的分段函数知识点。

下面我们就来一起看看，八年级上册分段函数的相关知识点。

1. 分段函数的定义分段函数是指一个函数，它根据自变量的范围可以被分成多个部分。

每个部分都可以用一个函数式来表示，因此整个函数也可以用若干个函数式表示。

其中，每个函数式称为一个分段函数的部分。

2. 分段函数的图像分段函数的图像常常是由多个线段构成的折线。

每个线段的斜率和截距分别与该线段所对应的函数式有关。

3. 分段函数的性质分段函数的定义域和值域都是由该函数的各部分共同决定的。

在不同的自变量范围内，这些部分以不同的方式组合起来，因此函数的图像也相应地发生变化。

此外，由于每个部分都是连续的函数，因此分段函数的图像也是连续的。

这就意味着，在一段区间内，任何一个点的邻域内都存在函数值。

然而，这并不意味着分段函数是可导的。

因为在分段的交界处，函数的导数可能会发生突变。

4. 求解分段函数求解分段函数最基本的方法就是将自变量代入相应的函数式中，并计算出函数值。

通常情况下，我们需要在不同区间内使用不同的函数式进行计算。

这样，我们就可以得到整个函数的值。

需要注意的是，当自变量处于多个区间的交界处时，我们需要对交界点的函数值进行比较。

具体来说，如果交界点处的函数值相等，那么该点就是分段函数的连续点；反之则是分段函数的不连续点。

5. 常见的分段函数在八年级上册的课程中，我们会遇到一些比较简单的分段函数。

比如：y = { x - 1 (x ≤ 2){ -x + 3 (x > 2)这是一个关于自变量 x 的分段函数。

当x ≤ 2 时，函数的部分为 y = x - 1；当 x > 2 时，函数的部分为 y = -x + 3。

在 x = 2 时，两部分的函数值相等，因此该点是分段函数的连续点。

6. 总结通过以上的介绍，我们可以看出，八年级上册的分段函数知识点是比较简单的。