必修4课件3.2-4简单的三角恒等变换

∴0< α +β < ,∴ α +β = .
恒等式的证明 已知 5sin α=3sin(α-2β),求证:tan(α-β)+4tan β=0.
【解析】因为 5sin α =3sin(α -2β ), 所以 5sin[(α -β )+β ]=3sin[(α -β )-β ], 所以 5sin(α -β )cos β +5cos(α -β )sin β =3sin(α -β )cos β -3cos(α -β )sin β , 所以 2sin(α -β )cos β +8cos(α -β )sin β =0, 即 tan(α -β )+4tan β =0.
(������������������������+������������������������-������)(������������������������-������������������������+������)
=
������+������������������������ ������������������������
cos
������- ������
∴sin = cos ∴cos =
������ ������ ������ ������ ������������ ������
������ ������-������ ������
=4sin cos ,
������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������
,或右边变同于左边,或将左右都进行变换使其左右相等.
问题3 三角恒等变换有哪些技巧?
(1)常值的代换:如“1”的代换就是一种特殊的常值

A．sinθ＋π4 C．2 2sinθ＋π4
B．2 2sinθ＋34π D． 2sinθ＋π4
C
[原式＝2

2sin
θ×
22＋cos
θ×
2
2

＝2

2sin θcos
π4＋cos θsinπ4＝2
2sinθ＋π4.]
第三章 三角恒等变换
3.2 简单的三角恒等变换
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学习目标
核心素养
1.能用二倍角公式推导出半角公式， 体会三角恒等变换的基本思想方法， 以及进行简单的应用．(重点) 2.了解三角恒等变换的特点、变换技 巧，掌握三角恒等变换的基本思想方 法．(重点) 3.能利用三角恒等变换的技巧进行三 角函数式的化简、求值以及证明，进 而进行简单的应用．(难点、易混点)
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(1)D [∵5π＜θ＜6π，∴θ2∈52π，3π，4θ∈54π，32π. 又 cos2θ＝a，
∴sin4θ＝－
1－2cos2θ＝－
1－a 2 .]
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(2)[解]
原式＝ 2csoinsα2α2＋－cos2α2s2inα2＋ 2csoinsα2α2－＋cos2α2s2inα2.
思路点拨：法一：切化弦用二倍角公式由左到右证明；
法二：cos2α 不变，直接用二倍角正切公式变形．
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[证明] 法一：用正弦、余弦公式．
左边＝
cos2α αα
cosα2－
sin2 α
sin2 cos2
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＝cos2cα2o－s2αsin2α2＝ccooss22αα2s－inα2sicno2sα2α2 αα
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3．函数 f(x)＝2sin x＋cos x 的最大值为

思考6：参照上述分析，cosα cosβ ， sinα sinβ 分别等于什么？其变换功能 如何？
1 c o sc a o s b = c o s ( ab ++ )c o s ( ab -) [ ] 2
1 s i n a s i n b = -[ c o s ( ab +)c o s ( ab -) ] 2
作业： P143习题3.2A组： 1(5)(6)(7)(8) ，2，3，4，5.
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。 26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。 27、生活中没有理想的人，是可怜的。 28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。 29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。 30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。 31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。 32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。——荀况 33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。 34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。 35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。 36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。 37、理想的书籍是智慧的钥匙。 人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。—— 鲁 迅 2 人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。 —— 席慕蓉 3 做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。—— 萧楚女 4 所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。—— 鲁 迅 5 人类的希望像是一颗永恒的星，乌云掩不住它的光芒。特别是在今天，和平不是一个理想，一个梦，它是万人的愿望。—— 巴 金 6 我们是国家的主人，应该处处为国家着想。—— 雷 锋 7 我们爱我们的民族，这是我们自信心的源泉。—— 周恩来 8 春蚕到死丝方尽，人至期颐亦不休。一息尚存须努力，留作青年好范畴。—— 吴玉章 9 学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点东西，必须从不自满开始。对自己，“学而不厌”，对人家，“诲人不倦”，我们应取这种态度。—— 毛泽东 10 错误和挫折教训了我们，使我们比较地聪明起来了，我们的情就办得好一些。任何政党，任何个人，错误总是难免的，我们要求犯得少一点。 犯了错误则要求改正，改正得越迅速，越彻底，越好。—— 毛泽东 38、理想犹如太阳，吸引地上所有的泥水。 9．君子欲讷于言而敏于行。 ——《论语》 译：君子不会夸夸其谈，做起事来却敏捷灵巧。 10．二人同心，其利断金；同心之言，其臭如兰。 ——《周易》 译：同心协力的人，他们的力量足以把坚硬的金属弄断；同心同德的人发表一致的意见，说服力强，人们就像嗅到芬芳的兰花香味，容易接受。 11．君子藏器于身，待时而动。 ——《周易》 译：君子就算有卓越的才能超群的技艺，也不会到处炫耀、卖弄。而是在必要的时刻把才能或技艺施展出来。 12．满招损，谦受益。 ——《尚书》 译：自满于已获得的成绩，将会招来损失和灾害；谦逊并时时感到了自己的不足，就能因此而得益。 13．人不知而不愠，不亦君子乎？ ——《论语》 译：如果我有了某些成就，别人并不理解，可我决不会感到气愤、委屈。这不也是一种君子风度的表现吗？知缘斋主人 14．言必信 ，行必果。 ——《论语》 译：说了的话，一定要守信用；确定了要干的事，就一定要坚决果敢地干下去。 15．毋意，毋必，毋固，毋我。 ——《论语》 译：讲事实，不凭空猜测；遇事不专断，不任性，可行则行；行事要灵活，不死板；凡事不以“我”为中心，不自以为是，与周围的人群策群力，共同完成任务。 16．三人行，必有我师焉，择其善者而从之，其不善者而改之。——《论语》 译：三个人在一起，其中必有某人在某方面是值得我学习的，那他就可当我的老师。我选取他的优点来学习，对他的缺点和不足，我会引以为戒，有则改之。 17．君子求诸己，小人求诸人。 ——《论语》 译：君子总是责备自己，从自身找缺点，找问题。小人常常把目光射向别人，找别人的缺点和不足。很多人（包括我自己）觉得面试时没话说，于是找了一些名言，可以在答题的时候将其穿插其中，按照当场的需要或简要或详细解释一番，也算是一种应对的方法吧 1．天行健，君子以自强不息。 ——《周易》 译：作为君子，应该有坚强的意志，永不止息的奋斗精神，努力加强自我修养，完成并发展自己的学业或事业，能这样做才体现了天的意志，不辜负宇宙给予君子的职责和才能。 2．勿以恶小而为之，勿以善小而不为。 ——《三国志��

二倍角的正弦，余弦，正切公式： sin 2 2sin cos
cos 2 cos2 sin2
降角升次
2cos2 1 1 2sin2
tan
2
2 tan 1 tan2
cos2 1 cos 2
2
tan2 1 cos 2 1 cos 2
sin2 1 cos 2
2
升角降次
sin2=
3
1 sin 2 3 1 cos 2
2
6
1 sin 2 3 cos 2 3
2
6
6
通过三角变换把形如 y=asinx+bcosx的函数 转化为形如 y=Asin(+)的函数, 从而使问题得到简化
1 3
3 2
sin
2
1 2
cos
2
3 6
1 sin 2 3
3 6 6
由于0 , 所以当 2 ,即 时,
2
2
思考 在例3证明过程中用到了哪些数学思想方法?
例3证明中用到换元思想， ①式是积化和差的形式， ②式是和差化积的形式；
在后面的练习142页当中还有六个关于积化和 差、和差化积的公式．
例4 求函数y sin x 3 cos x的周期，最大值和最小 值
分析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相 应的值.
解 y sin x 3 cos x
点评：例３是三角
2
1 2
sin
x
3 2
cos
x
恒等变换在数学中 应用的举例，它使 三角函数中对函数
2sin x cos cos x sin
3
3
的性质研究得到延 伸，体现了三角变 换在化简三角函数

【解题过程】(1)∵
∴sin2 ＋asin cos －cos2 ＝1，解得a＝2.
∴f(x)＝sin2x＋2sinxcosx－cos2x＝sin2x－cos2x＝ sin 当2x－ ＝2kπ－ (k∈Z)，
即x＝kπ－ (k∈Z)时，sin
有最小值－1，则f(x)的最小值为－
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②此公式不要死记硬背，只需同一个角的正余弦即可，所以可以从不 同的角度构造角，从而利用不同的公式进行合角， ③通常遇到的辅助角都是常见的特殊角，如果提完系数发现括号里不 是特殊角的正余弦，那么可用抽象的 来代替，再在旁边标注 的一 个三角函数值.
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活动4 巩固基础，检查反馈 例1：化简下列三角函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ)+B的形式：
ABCD是扇形的内接矩形，记 积最大？并求出这个最大面积.
，问当角 取何值时，矩形ABCD的面
Q
D
C
【解题过程】
OA
BP
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（1）通过三角恒等变换推导辅助角公式并应用到三角函数中，对函
数
的性质进一步研究.
（2）通过用角为自变量建立函数模型，从而求解相应最值，既促进
简单的三角恒等变换（第1课时）
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两角和差的正余弦公式. 二倍角公式及变形.
检测下预习效果：
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探究一：公式
●活动1 公式 你能把函数 ①
②
的变形过程.
的理论基础

§3.2简单的三角恒等变换
1
»复习与回顾
请写出二倍角的正弦、余弦、正切公式
S2： sin 2 2 sin cos
C 2： cos 2 cos sin 2 2s o c 1 1 2 n is
2 2
2

2 tan T2： tan 2 1 tan 2
2

2
, cos
2

2
, tan
2

2
.
半角公式：
S :
2
1 cos si n 2 2 1 cos cos 2 2
1 cos 2 tan 2 1 cos cos 2

C :
2

T :
2

si n

【练习】求证：
1 (1) sin cos [sin ( ) sin ( )] 2 1 ( 2) cos sin [sin ( ) sin ( )] 2
在区间 [0,

2 m的值及此函数当x∈R时的最小值及
] 上的最大值为6，求常数
取得最小值时x的集合.
【练习】教材复习参考题.
感受三角变换的魅力
提高练习：
辅助角
求函数 y 3 sin( 2 x ) cos2 x 的最小值 .
3
求函数递 增区间.
14
实践体会三角变换的魅力
提高练习：
【变式练习】
1 ( 3) cos cos [cos( ) cos( )] 2 1 (4) sin sin [cos( ) cos( )] 2
5sin sin 2 sin

Q
设矩形ABCD的面积为S，则
D
C
S AB BC (cos 3 sin )sin
3
sin cos 3 sin2
O αA B P
3
1 sin 2 3 (1 cos 2 ) 1 sin 2 3 cos 2 3
2
6
2
6
6
1 ( 3 sin 2 1 cos 2 ) 3 1 sin(2 ) 3
于是OA 3 DA 3 BC 3 sin O α A
BP
3
3
3
AB OB OA cos 3 sin
3
一、例题分析
例3、如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为60°的
扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接形。
∠COP=α，求当α取何值时，矩形ABCD的面积最大？
并求出这个最大面积.
分析：考虑式子中是关于cosx和sinx的二次式，故可 考虑降幂升角，容易得
f ( x) sin 2x cos 2x 2
2 sin(2x ) 2
4
结合三角函数的图像和性质可求得结果
例2、已知a (5 3 cos x, cos x)，b (sin x, 2cos x)，
函数f
(x)
a
所以函数f ( x)的最小正周期是T
例2、已知a (5 3 cos x, cos x)，b (sin x, 2cos x)，
函数f
(x)
a
b
2
b
5sin(2x ) 7
62
(2)当 x 时，求函数f ( x)的值域。
6
2
解：(2)当 x 时， 2x ( , 7 )
函sin数(26f x( x)的6 )值2域(为12(,11,)1，7)故。6f

[类题尝试] 已知函数 f(x)＝sin2x－sin2x－π6，x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期；
(2)求 f(x)在区间－π3，π4上的最大值和最小值． 解：(1)由已知，有 f(x)＝1－c2os 2x－1－cos22x－π3 ＝12
12cos
2x＋
3 2 sin
2x
－
1 2
cos
2x ＝
6 A. 6
B．－
6 6
30 C. 6
D．－
30 6
解析：由题意知α2∈0，π2，所以 cos α2＞0，
α2＝
1＋cos 2
α＝
30 6.
答案：C
3．已知 cos α＝35，α∈32π，2π，则 sin α2等于(
)
A.
5 5
B．－
5 5
4
25
C.5
D. 5
解析：由题知α2∈34π，π，所以 sin α2>0，
2 θ 2
＝
1 θθ
cos 2sin 2
＝sin2 θ＝右边．
所以原式成立．
法二 左边＝（（1＋1＋sinsiθn－θ＋cocsoθs）θ）2＋（（1＋1＋sisninθθ－＋cocsosθθ））2
＝2（（11＋＋ssiinn
θ）2＋2cos2 θ θ）2－cos2 θ
＝2si4n＋θ＋4s2insiθn2 θ
1．半角公式
[知识提炼·梳理]
温馨提示 对于半角公式，要求会推导，不要求记忆．
2．辅助角公式
asin x＋bcos x＝
a2＋b2sin(x＋φ)cos φ＝
a a2＋b2，
sin φ＝ a2b＋b2，其中 φ 称为辅助角，它的终边所在象

sin( ) sin cos cos sin 简记为:S(α-β)
一、复习:两角和的正弦、余弦、正切公式:
sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin
tan
tan tan 1 tan tan
二sin 2 2sin cos
＝3(cosx 2)2 1 33
又 x 2 , 1 cosx 1 ,
3 当x＝ 2
3
32
时，(cosx) min
1 2
,
y2max＝145
;
当x＝
3
时，(cosx) max
1 2
, ymin＝
1 4.
七、y （a sinx+cosx)+bsinxcosx型
例7 求函数y sinx+cosx+sinxcosx的最值. <分析>注意到（sinx+cosx）2＝1 2sinxcosx.可把sinx+cosx
sin2 1 cos 2
2
降幂升角公式
二、讲授新课：
例1.试以cos表示sin2 ,cos2 ,tan2 .
2
2
2
半角公式
sin 1 cos ,
2
2
cos 1 cos ,
2
2
tan 1 cos .
符号由α所在象限决定. 2
1 cos
2
1．半角公式
sin 1 cos
分析:要求当角取何值时,矩形ABCD的面积 S最大, 可分二步进行. ①找出S与之间的函数关系; ②由得出的函数关系,求S的最大值.
解 在Rt△OBC中,OB=cos,BC=sin 在Rt△OAD中,

学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
填要点·记疑点
以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形，是三 角恒等变换的重要特点.例如，在二倍角公式中 2α 是 α 的二倍， α 是α2的二倍，那么 cos α 能用α2的三角函数表示出来吗？反过来， 你能用 cos α 表示出 sin2α2，cos2α2，tan2α2吗？
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
反思与感悟 研究形如 f(x)＝asin2ωx＋bsin ωxcos ωx＋ccos2ωx 的性质时，先化成 f(x)＝ a2＋b2sin(ωx＋φ)＋c 的形式再解答.
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
课堂检测
跟 踪 训 练 2 已 知 函 数 f(x) ＝ 3 sin 2x－π6 ＋ 2sin2 x－1π2 (x∈R).
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
(2)求函数 f(x)在区间π8，34π上的最小值和最大值. 解 因为 f(x)＝ 2sin2x－π4在区间π8，38π上为增函数，在区间 38π，34π上为减函数，又 fπ8＝0，f38π＝ 2， f34π＝ 2sin32π－π4＝－ 2cos π4＝－1， 故函数 f(x)在区间π8，34π上的最大值为 2，最小值为－1.
要点疑点 深入探究 课堂检测
和一些简单的应用.
填要点·记疑点
1.半角公式
(1)S 2
：sin
α2＝ ±
(2)C ：cos 2
α2＝
±
1－cos α 2；
1＋cos α 2；
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
填要点·记疑点
±
(3)T ：tan 2
α2＝

号决定，φ 与点(a，b)同象限.( √ )
3.sin x＋ 3cos x＝2sinx＋π6.( × )
提示
sin x＋
3cos
x＝212sin
x＋
3 2 cos
x＝2sinx＋π3.
2 题型探究
PART TWO
题型一 应用半角公式求值
例1
已知 sin θ＝45，52π<θ<3π，求 cos
2θ和 tan
要证原式，可以证明11＋ ＋ssiinn
4θ－cos 4θ＋cos
44θθ＝1－2tatnanθ2θ.
∵左边＝sin sin
4θ＋1－cos 4θ＋1＋cos
4θ＝ 2sin 4θ 2sin
2θcos 2θcos
2θ＋2sin22θ 2θ＋2cos22θ
＝ 2sin 2cos
2θcos 2θsin
2θ＋sin 2θ＋cos
知识点二 辅助角公式
辅助角公式：
asin x＋bcos x＝
a2＋b2sin(x＋θ).其中tan
θ＝ba
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.若 α≠kπ，k∈Z，则 tan
α2＝1＋sicnoαs
1－cos α
＝ α
sin α
恒成立.(
√
)
2.辅助角公式 asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)，其中 φ 所在的象限由 a，b 的符
跟踪训练 2
1－sin 化简：
α－cos
αsin
α2＋cos
α 2(－π<α<0).
2－2cos α
解

小结 研究形如 f(x)＝asin2ωx＋bsin ωxcos ωx＋ccos2ωx 的性 质时，先化成 f(x)＝ a2＋b2sin(ωx＋φ)＋c 的形式再解答．
跟踪训练 2 已知函数 f(x)＝ 3sin2x－π6＋2sin2x－1π2 (x∈R)． (1)求函数 f(x)的最小正周期；
(2)求使函数 f(x)取得最大值的 x 的集合．
∴OA＝
33DA＝
33BC＝
3 3 sin
α，
∴AB＝OB－OA＝cos
α－
3 3 sin
α.
设矩形 ABCD 的面积为 S，则 S＝AB·BC
＝cos
α－
3 3 sin
αsin
α＝sin
αcos
α－
33sin2α
＝12sin
2α－
63(1－cos
2α)＝12sin
2α＋
3 6 cos
2α－
3 6
前置学习
1．半角公式
1－cos α (1)S ：sin α2＝_±________2____；
2
1＋cos α (2)C ：cos α2＝_±________2____；
2
1－cos α (3)T ：tan α2＝_±_____1_＋__c_o_s_α_ (无理形式)
2
sin α
1－cos α
＝_1_＋__c_o_s__α__＝___s_in__α____(有理形式)．
3.2 简单的三角恒等变换
高一必修4
本节目标
1．能用二倍角公式导出半角公式以及万能公式，体会其中的三角恒等变换的 基本思想方法，以及进行简单的应用． 2．了解两角和与差的正弦、余弦公式导出积化和差、和差化积公式的基本方 法．理解方程思想、换元思想在整个变换过程中所起的作用． 3．了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法， 能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简 单的应用．

2．给值求值问题的解题策略 已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值． 解题关键：把“所求角”用“已知角”表示． (1)当“已知角”有两个时， “所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差 的形式或者和或差的二倍形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和、差或 倍数关系，然后应用诱导公式、和差公式、倍角公式求解．
(2)cos 40°＋cos 60°＋cos 80°＋cos 160°＝________.
[解析]
解法一：cos
20°cos
40°·cos
80°＝sin
20°cos
20°cos 40°cos sin 20°
80°
1
＝2sin
40°cos 40°cos sin 20°
80°
＝14sins8in0°2c0o°s 80°
θ .
cos2
cos2
∵0<θ<π，∴0<2θ<π2，∴cos2θ>0，∴原式＝－cos θ.
2．证明：cos θ－cos φ＝－2sin
θ＋φ 2 sin
θ－φ 2.
[证明] 因为θ＝θ＋2 φ＋θ－2 φ，φ＝θ＋2 φ－θ－2 φ，
所以cos θ－cos φ
＝cosθ＋2 φ＋θ－2 φ－cosθ＋2 φ－θ－2 φ
第四章 三角函数 解三角形
第四节 简单的三角恒等变换
[复习要点] 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、 余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但 对这三组公式不要求记忆)．
理清教材•巩固基础
知识点 半角公式(不要求记忆)
1－cos α 1．sin α2＝_±_______2____；

数学C1版课件人教版必修4 第三章3.2 简单的三角恒等变换优思教辅共享课件分享人：教员–黄钟吕CONTENTS 半角公式的应用01积化和差、和差划积公式的应用02三角恒等式的证明03目录角的构造技巧与公式的灵活运用0405向量与三角知识的综合运用3．2简单的三角恒等变换重点：①半角的正弦、余弦、正切公式及推导．②积化和差公式及和差化积公式的推导．难点：公式的运用．1．半角公式、和积互化公式不要求记忆，要求能够结合题目特点选用公式．若想记忆公式可参照下列口诀：(1)半角公式无理半角常戴帽，半角确定帽前号；数1余弦加减连，余弦用加正弦减，半角正切不用记，同角弦切有关系．若要不用符号式，分母正弦分子减．(2)和差化积公式正和正余弦、正差正后迁、余加余弦积、余减反正弦．(3)积化和差公式正余正弦和，余正正弦差，余积余弦和，正积反余差．注：“反”即添负号换名称．2．倍角公式、半角公式与和(差)角公式的内在联系：3．注意下列问题(1)应用半角公式注意正负号的确定，半角公式根号前的正负号由α2所在的象限确定，能避免开方的尽量避免．(2)注意理解简单的三角变换的思路：①观察不同三角函数式结构形式方面的差异；②观察不同三角函数式所包含的角的差异，以及这些角的三角函数种类方面的差异．③依据“差异”选取变换途径及公式．(3)根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面加以考虑：①运用公式之后，能否出现特殊角；②运用公式之后，能否进行提取公因式，能否约分，能否合并或消项；③运用公式之后，能否使三角函数式结构更加简单，各种关系更加明显，从而为下一步选用公式进行变换创造条件．(4)在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名，若是高次函数，必须用降幂公式降为一次．对于三角函数的和差化积，有时因使用公式不同或选择解题的思路不同，化积结果可能不一致．引入辅助角公式也是一种化积公式，在解题中有广泛应用．[例1] 化简：1＋sin θ－cos θ1＋sin θ＋cos θ＋1＋sin θ＋cos θ1＋sin θ－cos θ.[解析] 解法一：∵tan θ2＝1－cos θsin θ＝sin θ1＋cos θ＝1＋sin θ－cos θ1＋sin θ＋cos θ， ∴1tan θ2＝1＋sin θ＋cos θ1＋sin θ－cos θ∴原式＝tan θ2＋1tan θ2＝sin θ2cos θ2＋cos θ2sin θ2＝1cos θ2sin θ2＝2sin θ.解法二：原式＝2sin 2θ2＋2sin θ2cosθ22cos 2θ2＋2sin θ2cosθ2＋2cos 2θ2＋2sin θ2cos θ22sin 2θ2＋2sin θ2cos θ2＝sin θ2cos θ2＋cos θ2sin θ2＝1cos θ2sin θ2＝2sin θ.解法三：原式＝(1＋sin θ－cos θ)2＋(1＋sin θ＋cos θ)2(1＋sin θ＋cos θ)(1＋sin θ－cos θ)＝2(1＋sin θ)2＋2cos 2θ(1＋sin θ)2－cos 2θ＝4＋4sin θ2sin θ＋2sin 2θ＝2sin θ.已知3π2<θ<2π，化简1＋sin θ－1－sin θ＝______.[解析] 原式＝|sin θ2＋cos θ2|－|sin θ2－cos θ2|，∵3π2<θ<2π，∴3π4<θ2<π，从而sin θ2＋cos θ2<0，sin θ2－cos θ2>0， 则原式＝－(sin θ2＋cos θ2)－(sin θ2－cos θ2) ＝－2sin θ2.[例2] 已知cos α＝35，α的终边在第四象限，求sin α2，cos α2，tan α2的值．[解析] 因为α是第四象限的角，所以 2k π＋3π2<α<2k π＋2π(k ∈Z )k π＋3π4<α2<k π＋π(k ∈Z )， 当k 为偶数时，α2是第二象限角， 此时，sin α2＝1－cos α2＝55，cos α2＝－1＋cos α2＝－255； tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－12；当k 为奇数时，α2是第四象限角，此时， sin α2＝－1－cos α2＝－55， cos α2＝1＋cos α2＝255， tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－12.已知|cos θ|＝35，且5π2<θ<3π，则sin θ2＝________，cosθ2＝________，tan θ2＝________.[答案] －255 －552[解析] ∵|cos θ|＝35，5π2<θ<3π， ∴cos θ＝－35，5π4<θ2<3π2. ∵cos θ＝1－2sin 2θ2，∴sin θ2＝－1－cos θ2＝－1＋352＝－255. 又cos θ＝2cos 2θ2－1，有cos θ2＝－1＋cos θ2＝－55.∴tan θ2＝sin θ2cos θ2＝2.[例3]化简求值(1)求sin10°·sin30°·sin50°·sin70°的值；(2)求sin75°－sin15°的值．[解析](1)解法一：原式＝－14(cos60°－cos40°)sin70°＝－18sin70°＋14sin70°cos40°＝－18sin70°＋18(sin110°＋sin30°)＝－18sin70°＋18sin70°＋116＝116.解法二：原式＝12cos20°cos40°cos80°＝sin20°cos20°cos40°cos80°2sin20°＝sin40°cos40°cos80°4sin20° ＝sin80°cos80°8sin20°＝sin160°16sin20°＝116.(2)解法一：sin75°－sin15°＝2cos45°sin30° ＝2×22×12＝22.解法二：sin75°－sin15°＝cos15°－sin15° ＝2⎝⎛⎭⎪⎪⎫cos15°×22－sin15°×22 ＝2cos(15°＋45°)＝2cos60°＝2×12＝22.已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，则sin(α＋β)的值为________．[答案] 1213[分析] 对于这类题目，前面我们曾用两边平方相加减产生过cos(α±β)，但sin(α＋β)的展开式为异名积，因此不能用前面用过的方法．如果两个等式分别用和差化积公式变形，再相除可得tan α＋β2的值，进而可求sin(α＋β)的值．[解析] ∵cos α－cos β＝12，∴－2sin α＋β2sin α－β2＝12.①∵sin α－sin β＝－13，∴2cos α＋β2sin α－β2＝－13.②①÷②得－tan α＋β2＝－32.∴tan α＋β2＝32. ∴sin(α＋β)＝2sin α＋β2cos α＋β2sin 2α＋β2＋cos 2α＋β2＝2tan α＋β21＋tan 2α＋β2＝2×321＋94＝1213.[例4] 证明：tan 3x 2－tan x 2＝2sin xcos x ＋cos2x .[解析] 解法一：2sin x cos x ＋cos2x ＝sin xcos 3x 2cos x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2cos 3x 2cos x 2＝sin 3x 2cos x 2－cos 3x 2sin x 2cos 3x 2cos x 2＝sin 3x 2cos 3x 2－sinx 2cos x 2＝tan 3x 2－tan x 2.解法二：tan 3x 2－tan x 2＝sin 3x 2cos 3x 2－sin x 2cos x 2＝sin 3x 2·cos x 2－cos 3x 2·sin x 2cos 3x 2cos x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2cos 3x 2cos x 2＝sin x cos 3x 2cos x 2＝2sin xcos x ＋cos2x .求证：cos2x ＋cos2y 1＋cos2(x ＋y )＝cos(x －y )cos(x ＋y ).[证明] 左边＝2cos(x ＋y )cos(x －y )2cos 2(x ＋y )＝cos(x －y )cos(x ＋y )＝右边.[例5]设A、B、C是△ABC的三个内角，求证：sin2A＋sin2B＋sin2C＝4sin A sin B sin C.[分析]左和右积，故考虑和差化积，然后利用A＋B＝π－C转化．[证明]∵A＋B＋C＝π，∴sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)．∴原式左边＝2sin(A＋B)cos(A－B)＋sin2[π－(A＋B)]＝2sin(A＋B)[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝2sin C·(－2)sin A·sin(－B)＝4sin A sin B sin C＝右边．在△ABC中，求证：cos A＋cos B＋cos C＝1＋4sin A2sinB2sinC2.[证明] ∵A ＋B ＝π－C ， ∴cos A ＋B 2＝sin C 2，cos(A ＋B )＝－cos C ，左边＝2cos A ＋B 2cos A －B 2－cos(A ＋B )＝2cos A ＋B 2(cos A －B 2－cos A ＋B 2)＋1＝1＋2sin C 2·(－2)·sin A 2·sin(－B 2) ＝1＋4sin A 2sin B 2sin C 2＝右边．[例6]求sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°的值．[分析]从不同的观察角度入手，可产生不同的解题思路．①从特殊角入手，∵40°＝30°＋10°，这样整个式子中只含10°角的正余弦，便于化简有解法一．②从平方关系sin2α＋cos2α＝1入手，可构造对偶式，这样两式相加减都容易化简，有解法二．③平方可降幂，积可化和差，然后由变形后的式子考虑下步变形方法有解法三．④从a 2＋b 2＋ab 入手考虑完全平方式(a ＋b )2，化同名，和差化积可产生特殊角，故有解法四．[解析] 解法一：因为40°＝30°＋10°，于是原式＝sin 210°＋cos 2(30°＋10°)＋sin10°cos(30°＋10°)＝sin 210°＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32cos10°－12sin10°2＋sin10° ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32cos10°－12sin10°＝34(sin 210°＋cos 210°)＝34.解法二：设x ＝sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°，y ＝cos 210°＋sin 240°＋cos10°sin40°，则x ＋y ＝1＋1＋sin10°cos40°＋cos10°sin40°＝2＋sin50°＝2＋cos40°x －y ＝cos80°－cos20°－12＝－sin50°－12＝－cos40°－12，因此，2x ＝32，x ＝34.解法三：原式＝1－cos20°2＋1＋cos80°2＋12(sin50°－sin30°)＝1＋12(cos80°－cos20°)＋12sin50°－14＝34＋12(－2sin50°sin30°)＋12sin50°＝34.解法四：原式＝(sin10°＋cos40°)2－sin10°·cos40°＝(cos80°＋cos40°)2－sin10°·cos40°＝(2cos60°·cos20°)2－12(sin50°－sin30°)＝1＋cos40°2－12cos40°＋14＝34.解法五：令sin10°＝a ＋b ，cos40°＝a －b ，则a ＝12(sin10°＋cos40°)＝12(sin10°＋sin50°)＝sin30°cos20°＝12cos20°，b ＝12(sin10°－cos40°)＝12(sin10°－sin50°)＝cos30°sin(－20°)＝－32sin20°.原式＝(a ＋b )2＋(a －b )2＋(a ＋b )(a －b )＝3a 2＋b 2＝34cos 220°＋34sin 220°＝34.[点评]解法一：通过对该题中两个角的特点分析，巧妙地避开了和差化积与积化和差公式．当然运用降次、和积互化也是一般方法．解法二：利用正余弦函数的互余对偶，构造对偶式，组成方程组，解法简明．解法五：运用代数中方程的方法，将三角问题代数化处理，解法新颖别致，不拘一格，体现了数学的内在美．在此基础上，通过分析三角函数式中的角度数之间的特定关系，作推广创新．求值：sin220°＋cos280°＋3sin20°cos80°＝________.[答案]1 4[解析]令x＝sin220°＋cos280°＋3sin20°cos80°y＝cos220°＋sin280°＋3cos20°sin80°，则x＋y＝2＋3sin100°，x －y ＝－cos40°＋cos160°－32＝－2sin100°sin60°－32＝－3sin100°－32，∴x ＝14.自己试解下列各题并总结你的解题体会． ①求sin 220°＋cos 250°＋sin20°cos50°的值； 求cos 273°＋cos 247°＋cos47°cos73°的值；②求sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)的值； 求cos 2α＋sin 2(α＋30°)－cos αsin(α＋30°)的值；③求sin2α＋cos2(α＋60°)＋3sinαcos(α＋60°)的值；求cos2α＋sin2(α＋60°)－3cosαsin(α＋60°)的值；④若x＋y＝2kπ＋π3(k∈Z)，则sin2x＋sin2y＋sin x sin y为定值3 4；若x＋y＝2kπ＋2π3(k∈Z)，则sin2x＋sin2y－sin x sin y为定值34；⑤若sin(β－α)＝a2或sin(α＋β)＝－a2，则sin2α＋cos2β＋a sinαcosβ＝1－14a 2.。

2 25
所以 cos θ=- 1-sin2 ������=-25. 于是
5π 4
7
<
������ 2
<
3π , 2
故 sin 2=-
������
1-cos������ =2
1- -25 2
7
=-5,
4
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答案:(1)× (2)× (3)× (4)
.
(
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I ZHU YU XI
EZUO XUEXI
ANGTANG JIAN
探究一
5π
用半角公式解决求值问题
24 ������ ������ ������ ������
【例 1】 已知 2 <θ<3π,且 sin θ=25,求 sin 2,cos 2,tan 2,cos 4的 值.
I ZHU YU XI
EZUO XUEXI
ANGTANG JIAN
3.做一做:已知 cos
������ = 2
1 α= ,且 5
α 为锐角,则 sin
������ = 2
,cos
.
解析:∵α∈ 0,
������ ∴2
∈
������ 2
π 0, 4
π 2
,
,
1-cos������ 2
∴sin
cos
������ 2
3.2 简单的三角恒等变换
-1-
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1－cos α 2，
1＋cos α 2，
(S )
2
(C )
2
1－cos 1＋cos
αα＝1＋sincoαs
1－cos
＝ α
sin α
α
.
(T )
2
8
题型探究
9
类型一 应用半角公式求值
例1
若π2＜α＜π，且 cos α＝－35，则 sin 2α＝
25 5
.
解析 因为 cos α＝1－2sin2α2，
答案
αα
α
tan2α＝ sin cos
2α＝
sin2·2cos α
2 cos2·2cos
2α＝1＋sincoαs 2
， α
α
αα
tan
2α＝ sin
2α＝ sin
2·2sin α
2α＝1－sincoαs
α .
cos 2 cos 2·2sin 2
7 答案
梳理 正弦、余弦、正切的半角公式
sin α2＝ ± cos α2＝± tan α2＝±
sin α、cos α 都可以表示成 tan 2α＝t 的“有理式”，将其代入式子中，
从而可以对式子求值.
11
跟踪训练 1
若 tan θ2＋ 1 θ＝m，则 sin θ＝
2 m
.
tan 2
解析 因为 tanθ2＋ 1 θ＝m， tan2
即tanta2θ2n＋θ2 1＝m，所以tanta2θ2n＋θ2 1＝m1 ，
所以 2sin2α2＝1－c2os α＝45，
又因为π4＜2α＜π2，所以
sinα2＝2
5
5 .
解析 10 答案
容易推出下列式子：