必修4课件3.2-4简单的三角恒等变换

∴0< α +β < ,∴ α +β = .
恒等式的证明 已知 5sin α=3sin(α-2β),求证:tan(α-β)+4tan β=0.
【解析】因为 5sin α =3sin(α -2β ), 所以 5sin[(α -β )+β ]=3sin[(α -β )-β ], 所以 5sin(α -β )cos β +5cos(α -β )sin β =3sin(α -β )cos β -3cos(α -β )sin β , 所以 2sin(α -β )cos β +8cos(α -β )sin β =0, 即 tan(α -β )+4tan β =0.
(������������������������+������������������������-������)(������������������������-������������������������+������)
=
������+������������������������ ������������������������
cos
������- ������
∴sin = cos ∴cos =
������ ������ ������ ������ ������������ ������
������ ������-������ ������
=4sin cos ,
������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������
,或右边变同于左边,或将左右都进行变换使其左右相等.
问题3 三角恒等变换有哪些技巧?
(1)常值的代换:如“1”的代换就是一种特殊的常值

A．sinθ＋π4 C．2 2sinθ＋π4
B．2 2sinθ＋34π D． 2sinθ＋π4
C
[原式＝2

2sin
θ×
22＋cos
θ×
2
2

＝2

2sin θcos
π4＋cos θsinπ4＝2
2sinθ＋π4.]
第三章 三角恒等变换
3.2 简单的三角恒等变换
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学习目标
核心素养
1.能用二倍角公式推导出半角公式， 体会三角恒等变换的基本思想方法， 以及进行简单的应用．(重点) 2.了解三角恒等变换的特点、变换技 巧，掌握三角恒等变换的基本思想方 法．(重点) 3.能利用三角恒等变换的技巧进行三 角函数式的化简、求值以及证明，进 而进行简单的应用．(难点、易混点)
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(1)D [∵5π＜θ＜6π，∴θ2∈52π，3π，4θ∈54π，32π. 又 cos2θ＝a，
∴sin4θ＝－
1－2cos2θ＝－
1－a 2 .]
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(2)[解]
原式＝ 2csoinsα2α2＋－cos2α2s2inα2＋ 2csoinsα2α2－＋cos2α2s2inα2.
思路点拨：法一：切化弦用二倍角公式由左到右证明；
法二：cos2α 不变，直接用二倍角正切公式变形．
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[证明] 法一：用正弦、余弦公式．
左边＝
cos2α αα
cosα2－
sin2 α
sin2 cos2
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＝cos2cα2o－s2αsin2α2＝ccooss22αα2s－inα2sicno2sα2α2 αα
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3．函数 f(x)＝2sin x＋cos x 的最大值为

思考6：参照上述分析，cosα cosβ ， sinα sinβ 分别等于什么？其变换功能 如何？
1 c o sc a o s b = c o s ( ab ++ )c o s ( ab -) [ ] 2
1 s i n a s i n b = -[ c o s ( ab +)c o s ( ab -) ] 2
作业： P143习题3.2A组： 1(5)(6)(7)(8) ，2，3，4，5.
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。 26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。 27、生活中没有理想的人，是可怜的。 28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。 29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。 30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。 31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。 32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。——荀况 33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。 34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。 35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。 36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。 37、理想的书籍是智慧的钥匙。 人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。—— 鲁 迅 2 人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。 —— 席慕蓉 3 做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。—— 萧楚女 4 所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。—— 鲁 迅 5 人类的希望像是一颗永恒的星，乌云掩不住它的光芒。特别是在今天，和平不是一个理想，一个梦，它是万人的愿望。—— 巴 金 6 我们是国家的主人，应该处处为国家着想。—— 雷 锋 7 我们爱我们的民族，这是我们自信心的源泉。—— 周恩来 8 春蚕到死丝方尽，人至期颐亦不休。一息尚存须努力，留作青年好范畴。—— 吴玉章 9 学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点东西，必须从不自满开始。对自己，“学而不厌”，对人家，“诲人不倦”，我们应取这种态度。—— 毛泽东 10 错误和挫折教训了我们，使我们比较地聪明起来了，我们的情就办得好一些。任何政党，任何个人，错误总是难免的，我们要求犯得少一点。 犯了错误则要求改正，改正得越迅速，越彻底，越好。—— 毛泽东 38、理想犹如太阳，吸引地上所有的泥水。 9．君子欲讷于言而敏于行。 ——《论语》 译：君子不会夸夸其谈，做起事来却敏捷灵巧。 10．二人同心，其利断金；同心之言，其臭如兰。 ——《周易》 译：同心协力的人，他们的力量足以把坚硬的金属弄断；同心同德的人发表一致的意见，说服力强，人们就像嗅到芬芳的兰花香味，容易接受。 11．君子藏器于身，待时而动。 ——《周易》 译：君子就算有卓越的才能超群的技艺，也不会到处炫耀、卖弄。而是在必要的时刻把才能或技艺施展出来。 12．满招损，谦受益。 ——《尚书》 译：自满于已获得的成绩，将会招来损失和灾害；谦逊并时时感到了自己的不足，就能因此而得益。 13．人不知而不愠，不亦君子乎？ ——《论语》 译：如果我有了某些成就，别人并不理解，可我决不会感到气愤、委屈。这不也是一种君子风度的表现吗？知缘斋主人 14．言必信 ，行必果。 ——《论语》 译：说了的话，一定要守信用；确定了要干的事，就一定要坚决果敢地干下去。 15．毋意，毋必，毋固，毋我。 ——《论语》 译：讲事实，不凭空猜测；遇事不专断，不任性，可行则行；行事要灵活，不死板；凡事不以“我”为中心，不自以为是，与周围的人群策群力，共同完成任务。 16．三人行，必有我师焉，择其善者而从之，其不善者而改之。——《论语》 译：三个人在一起，其中必有某人在某方面是值得我学习的，那他就可当我的老师。我选取他的优点来学习，对他的缺点和不足，我会引以为戒，有则改之。 17．君子求诸己，小人求诸人。 ——《论语》 译：君子总是责备自己，从自身找缺点，找问题。小人常常把目光射向别人，找别人的缺点和不足。很多人（包括我自己）觉得面试时没话说，于是找了一些名言，可以在答题的时候将其穿插其中，按照当场的需要或简要或详细解释一番，也算是一种应对的方法吧 1．天行健，君子以自强不息。 ——《周易》 译：作为君子，应该有坚强的意志，永不止息的奋斗精神，努力加强自我修养，完成并发展自己的学业或事业，能这样做才体现了天的意志，不辜负宇宙给予君子的职责和才能。 2．勿以恶小而为之，勿以善小而不为。 ——《三国志��

二倍角的正弦，余弦，正切公式： sin 2 2sin cos
cos 2 cos2 sin2
降角升次
2cos2 1 1 2sin2
tan
2
2 tan 1 tan2
cos2 1 cos 2
2
tan2 1 cos 2 1 cos 2
sin2 1 cos 2
2
升角降次
sin2=
3
1 sin 2 3 1 cos 2
2
6
1 sin 2 3 cos 2 3
2
6
6
通过三角变换把形如 y=asinx+bcosx的函数 转化为形如 y=Asin(+)的函数, 从而使问题得到简化
1 3
3 2
sin
2
1 2
cos
2
3 6
1 sin 2 3
3 6 6
由于0 , 所以当 2 ,即 时,
2
2
思考 在例3证明过程中用到了哪些数学思想方法?
例3证明中用到换元思想， ①式是积化和差的形式， ②式是和差化积的形式；
在后面的练习142页当中还有六个关于积化和 差、和差化积的公式．
例4 求函数y sin x 3 cos x的周期，最大值和最小 值
分析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相 应的值.
解 y sin x 3 cos x
点评：例３是三角
2
1 2
sin
x
3 2
cos
x
恒等变换在数学中 应用的举例，它使 三角函数中对函数
2sin x cos cos x sin
3
3
的性质研究得到延 伸，体现了三角变 换在化简三角函数

【解题过程】(1)∵
∴sin2 ＋asin cos －cos2 ＝1，解得a＝2.
∴f(x)＝sin2x＋2sinxcosx－cos2x＝sin2x－cos2x＝ sin 当2x－ ＝2kπ－ (k∈Z)，
即x＝kπ－ (k∈Z)时，sin
有最小值－1，则f(x)的最小值为－
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②此公式不要死记硬背，只需同一个角的正余弦即可，所以可以从不 同的角度构造角，从而利用不同的公式进行合角， ③通常遇到的辅助角都是常见的特殊角，如果提完系数发现括号里不 是特殊角的正余弦，那么可用抽象的 来代替，再在旁边标注 的一 个三角函数值.
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活动4 巩固基础，检查反馈 例1：化简下列三角函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ)+B的形式：
ABCD是扇形的内接矩形，记 积最大？并求出这个最大面积.
，问当角 取何值时，矩形ABCD的面
Q
D
C
【解题过程】
OA
BP
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（1）通过三角恒等变换推导辅助角公式并应用到三角函数中，对函
数
的性质进一步研究.
（2）通过用角为自变量建立函数模型，从而求解相应最值，既促进
简单的三角恒等变换（第1课时）
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两角和差的正余弦公式. 二倍角公式及变形.
检测下预习效果：
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探究一：公式
●活动1 公式 你能把函数 ①
②
的变形过程.
的理论基础

§3.2简单的三角恒等变换
1
»复习与回顾
请写出二倍角的正弦、余弦、正切公式
S2： sin 2 2 sin cos
C 2： cos 2 cos sin 2 2s o c 1 1 2 n is
2 2
2

2 tan T2： tan 2 1 tan 2
2

2
, cos
2

2
, tan
2

2
.
半角公式：
S :
2
1 cos si n 2 2 1 cos cos 2 2
1 cos 2 tan 2 1 cos cos 2

C :
2

T :
2

si n

【练习】求证：
1 (1) sin cos [sin ( ) sin ( )] 2 1 ( 2) cos sin [sin ( ) sin ( )] 2
在区间 [0,

2 m的值及此函数当x∈R时的最小值及
] 上的最大值为6，求常数
取得最小值时x的集合.
【练习】教材复习参考题.
感受三角变换的魅力
提高练习：
辅助角
求函数 y 3 sin( 2 x ) cos2 x 的最小值 .
3
求函数递 增区间.
14
实践体会三角变换的魅力
提高练习：
【变式练习】
1 ( 3) cos cos [cos( ) cos( )] 2 1 (4) sin sin [cos( ) cos( )] 2
5sin sin 2 sin

Q
设矩形ABCD的面积为S，则
D
C
S AB BC (cos 3 sin )sin
3
sin cos 3 sin2
O αA B P
3
1 sin 2 3 (1 cos 2 ) 1 sin 2 3 cos 2 3
2
6
2
6
6
1 ( 3 sin 2 1 cos 2 ) 3 1 sin(2 ) 3
于是OA 3 DA 3 BC 3 sin O α A
BP
3
3
3
AB OB OA cos 3 sin
3
一、例题分析
例3、如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为60°的
扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接形。
∠COP=α，求当α取何值时，矩形ABCD的面积最大？
并求出这个最大面积.
分析：考虑式子中是关于cosx和sinx的二次式，故可 考虑降幂升角，容易得
f ( x) sin 2x cos 2x 2
2 sin(2x ) 2
4
结合三角函数的图像和性质可求得结果
例2、已知a (5 3 cos x, cos x)，b (sin x, 2cos x)，
函数f
(x)
a
所以函数f ( x)的最小正周期是T
例2、已知a (5 3 cos x, cos x)，b (sin x, 2cos x)，
函数f
(x)
a
b
2
b
5sin(2x ) 7
62
(2)当 x 时，求函数f ( x)的值域。
6
2
解：(2)当 x 时， 2x ( , 7 )
函sin数(26f x( x)的6 )值2域(为12(,11,)1，7)故。6f

[类题尝试] 已知函数 f(x)＝sin2x－sin2x－π6，x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期；
(2)求 f(x)在区间－π3，π4上的最大值和最小值． 解：(1)由已知，有 f(x)＝1－c2os 2x－1－cos22x－π3 ＝12
12cos
2x＋
3 2 sin
2x
－
1 2
cos
2x ＝
6 A. 6
B．－
6 6
30 C. 6
D．－
30 6
解析：由题意知α2∈0，π2，所以 cos α2＞0，
α2＝
1＋cos 2
α＝
30 6.
答案：C
3．已知 cos α＝35，α∈32π，2π，则 sin α2等于(
)
A.
5 5
B．－
5 5
4
25
C.5
D. 5
解析：由题知α2∈34π，π，所以 sin α2>0，
2 θ 2
＝
1 θθ
cos 2sin 2
＝sin2 θ＝右边．
所以原式成立．
法二 左边＝（（1＋1＋sinsiθn－θ＋cocsoθs）θ）2＋（（1＋1＋sisninθθ－＋cocsosθθ））2
＝2（（11＋＋ssiinn
θ）2＋2cos2 θ θ）2－cos2 θ
＝2si4n＋θ＋4s2insiθn2 θ
1．半角公式
[知识提炼·梳理]
温馨提示 对于半角公式，要求会推导，不要求记忆．
2．辅助角公式
asin x＋bcos x＝
a2＋b2sin(x＋φ)cos φ＝
a a2＋b2，
sin φ＝ a2b＋b2，其中 φ 称为辅助角，它的终边所在象

sin( ) sin cos cos sin 简记为:S(α-β)
一、复习:两角和的正弦、余弦、正切公式:
sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin
tan
tan tan 1 tan tan
二sin 2 2sin cos
＝3(cosx 2)2 1 33
又 x 2 , 1 cosx 1 ,
3 当x＝ 2
3
32
时，(cosx) min
1 2
,
y2max＝145
;
当x＝
3
时，(cosx) max
1 2
, ymin＝
1 4.
七、y （a sinx+cosx)+bsinxcosx型
例7 求函数y sinx+cosx+sinxcosx的最值. <分析>注意到（sinx+cosx）2＝1 2sinxcosx.可把sinx+cosx
sin2 1 cos 2
2
降幂升角公式
二、讲授新课：
例1.试以cos表示sin2 ,cos2 ,tan2 .
2
2
2
半角公式
sin 1 cos ,
2
2
cos 1 cos ,
2
2
tan 1 cos .
符号由α所在象限决定. 2
1 cos
2
1．半角公式
sin 1 cos
分析:要求当角取何值时,矩形ABCD的面积 S最大, 可分二步进行. ①找出S与之间的函数关系; ②由得出的函数关系,求S的最大值.
解 在Rt△OBC中,OB=cos,BC=sin 在Rt△OAD中,

学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
填要点·记疑点
以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形，是三 角恒等变换的重要特点.例如，在二倍角公式中 2α 是 α 的二倍， α 是α2的二倍，那么 cos α 能用α2的三角函数表示出来吗？反过来， 你能用 cos α 表示出 sin2α2，cos2α2，tan2α2吗？
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
反思与感悟 研究形如 f(x)＝asin2ωx＋bsin ωxcos ωx＋ccos2ωx 的性质时，先化成 f(x)＝ a2＋b2sin(ωx＋φ)＋c 的形式再解答.
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
课堂检测
跟 踪 训 练 2 已 知 函 数 f(x) ＝ 3 sin 2x－π6 ＋ 2sin2 x－1π2 (x∈R).
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
(2)求函数 f(x)在区间π8，34π上的最小值和最大值. 解 因为 f(x)＝ 2sin2x－π4在区间π8，38π上为增函数，在区间 38π，34π上为减函数，又 fπ8＝0，f38π＝ 2， f34π＝ 2sin32π－π4＝－ 2cos π4＝－1， 故函数 f(x)在区间π8，34π上的最大值为 2，最小值为－1.
要点疑点 深入探究 课堂检测
和一些简单的应用.
填要点·记疑点
1.半角公式
(1)S 2
：sin
α2＝ ±
(2)C ：cos 2
α2＝
±
1－cos α 2；
1＋cos α 2；
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
填要点·记疑点
±
(3)T ：tan 2
α2＝