高等数学第七版下册 同济 部分知识点

练习1-1
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练习1-2
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练习1-3
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高数（下）小结一、微分方程复习要点解微分方程时，先要判断一下方程是属于什么类型，然后属类型的相应解法求出其通解.一阶微分方程的解法小结：二阶微分方程的解法小结：非齐次方程()y py qy f x '''++=的特解*y 的形式为：主要:一阶1、可分离变量方程、线性微分方程的求解； 2、二阶常系数齐次线性微分方程的求解； 3、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解二、多元函数微分学复习要点一、偏导数的求法1、显函数的偏导数的求法 在求xz∂∂时，应将y 看作常量，对x 求导，在求z y ∂∂时，应将x 看作常量，对y 求导，所运用的是一元函数的求导法则与求导公式.2、复合函数的偏导数的求法设()v ,u f z =，()y ,x u ϕ=，()y ,x v ψ=，则x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂，yvv z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ 几种特殊情况：1）()v ,u f z =，()x u ϕ=，()x v ψ=，则dxdv v z x u du dz dx dz ⋅∂∂+∂∂⋅= 2）(),z fx v =，()y ,x v ψ=，则x v v f x f x z ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂，yvu f y z ∂∂⋅∂∂=∂∂ 3）()u f z =，()y ,x u ϕ=则x u du dz x z ∂∂⋅=∂∂，yudu dz y z ∂∂⋅=∂∂3、隐函数求偏导数的求法 1）一个方程的情况设()y ,x z z =是由方程()0=z ,y ,x F 唯一确定的隐函数，则()0≠-=∂∂z zx F F F x z， ()0≠-=∂∂zzy F F F y z或者视()y ,x z z =，由方程()0=z ,y ,x F 两边同时对()x y 或求导解出()z zx y∂∂∂∂或. 2）方程组的情况 由方程组()()⎩⎨⎧==00v ,u ,y ,x G v ,u ,y ,x F 两边同时对()x y 或求导解出()z zx y ∂∂∂∂或即可.二、全微分的求法 方法1：利用公式dz zudy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂=方法2：直接两边同时求微分，解出du 即可.其中要注意应用微分形式的不变性：zz du dv uv dz z z dx dyxy ∂∂⎧+⎪∂∂⎪=⎨∂∂⎪+∂∂⎪⎩三、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法1）设空间曲线Г的参数方程为 ()()()⎪⎩⎪⎨⎧===t z t y t x ωψϕ，则当0t t =时，在曲线上对应点()0000z ,y ,x P 处的切线方向向量为()()(){}000t ,t ,t T '''ωψϕ=，切线方程为()()()000000t z z t y y t x x '''ωψϕ-=-=- 法平面方程为 ()()()()()()0000000=-+-+-z z t y y t x x t '''ωψϕ2）若曲面∑的方程为()0=z ,y ,x F ，则在点()0000z ,y ,x P 处的法向量{}P z y x F ,F ,F n =，切平面方程为()()()()()()0000000000000=-+-+-z z z ,y ,x F y y z ,y ,x F x x z ,y ,x F z y x 法线方程为()()()000000000000z ,y ,x F z z z ,y ,x F y y z ,y ,x F x x z y x -=-=- 若曲面∑的方程为()y ,x f z =，则在点()0000z ,y ,x P 处的法向量()(){}10000-=,y ,x f ,y ,x f n y x，切平面方程为()()()()()00000000=---+-z z y y y ,x f x x y ,x f y x 法线方程为()()1000000--=-=-z z y ,x f y y y ,x f x x y x 四、多元函数极值（最值）的求法 1 无条件极值的求法设函数()y ,x f z =在点()000y ,x P 的某邻域内具有二阶连续偏导数，由(),0x f x y =，(),0y f x y =，解出驻点()00,x y ，记()00y ,x f A xx =，()00y ,x f B xy =，()00y ,x f C yy =.1）若20AC B ->，则()y ,x f 在点()00,x y 处取得极值，且当0A <时有极大值，当0A >时有极小值.2） 若20AC B -<，则()y ,x f 在点()00,x y 处无极值.3） 若02=-B AC ，不能判定()y ,x f 在点()00,x y 处是否取得极值.2 条件极值的求法函数()y ,x f z =在满足条件()0=y ,x ϕ下极值的方法如下：1）化为无条件极值：若能从条件()0=y ,x ϕ解出y 代入()y ,x f 中，则使函数(,)z z x y =成为一元函数无条件的极值问题.2）拉格朗日乘数法作辅助函数()()()y x y x f y x F ,,,λϕ+=，其中λ为参数，解方程组求出驻点坐标()y ,x ，则驻点()y ,x 可能是条件极值点.3 最大值与最小值的求法若多元函数在闭区域上连续，求出函数在区域内部的驻点，计算出在这些点处的函数值，并与区域的边界上的最大（最小）值比较，最大（最小）者，就是最大（最小）值. 主要:1、偏导数的求法与全微分的求法；2、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法3、最大值与最小值的求法三、多元函数积分学复习要点七种积分的概念、计算方法及应用如下表所示：*定积分的几何应用定积分应用的常用公式： (1)面积()()[]⎰-=dx x g x f S b a（X -型区域的面积）(2)体积()⎰=dx x A V b a （横截面面积已知的立体体积）()2b xx a V f x dx π=⎰ （(),,,0y f x x a x b y ====所围图形绕x 轴旋转所得的立体体积）()xy 2b a V x f x dx π=⋅⎰ （(),,,0y f x x a x b y ====所围图形绕y 轴旋转的立体体积）()2()b y c a V f x c dx π==-⎰ （(),,,y f x x a x b y c ====所围图形绕轴y c =旋转的立体体积）(3)弧长()()()b a b S βαθ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩⎰⎰⎰直角坐标形式参数方程形式极坐标形式 计算时注意：（1）正确选择恰当的公式；（2）正确的给出积分上下限；（3）注意对称性使问题简化；（4）注意选择恰当的积分变量以使问题简化．计算多元函数的积分时要注意利用对称性简化积分的计算： 1）、对二、三重及第一类的线面积分，若积分区域关于变量x 对称，则当被积函数关于x 为奇函数时，该积分为0，当被积函数关于变量x 为偶函数时，则该积分为相应一半区域积分的二倍.2）、对第二类的线面积分，关于积分变量的对称性理论与上相同，关于非积分变量的对称性理论与上相反.3）、若积分区域,x y的地位平等（即将表示区域的方程,x y互换不变），则将被积函数中,x y互换积分不变.此称之为轮换对称性.所以：()() ()()()()()()01()1() z z p x p yp y p x p y z u p x z ux y u uϕϕ∂∂-''+=+=''∂∂--。

高等数学下册（同济大学第七版）知识点高等数学下册知识点下册预备知识第八章 空间解析几何与向量代数（一） 向量及其线性运算1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a = ，),,(z y x b b b b = ， 则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±, ),,(z y x a a a a λλλλ= ；5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：222z y x r ++= ；2） 两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4） 方向余弦：rz r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα5） 投影：ϕcos Pr a a j u =，其中ϕ为向量a 与u 的夹角。

（二） 数量积，向量积1、 数量积：θcos b a b a=⋅1）2a a a =⋅高等数学（下）知识点 2）⇔⊥b a 0=⋅b az z y y x x b a b a b a b a ++=⋅2、 向量积：b a c⨯= 大小：θsin b a ，方向：c b a ,,符合右手规则1）0=⨯a a 2）b a //⇔0=⨯b a z y x z y x b b b a a a k j i b a =⨯ 运算律：反交换律 b a a b⨯-=⨯（三） 曲面及其方程1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S2、 旋转曲面： yoz 面上曲线0),(:=z y f C ，绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f3、 柱面：0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x F 的柱面 4、 二次曲面1）椭圆锥面：22222zbyax=+2）椭球面：1222222=++czbyax旋转椭球面：1222222=++czayax3）单叶双曲面：1222222=-+czbyax4）双叶双曲面：1222222=--czbyax5）椭圆抛物面：zbyax=+22226）双曲抛物面（马鞍面）：zbyax=-22227）椭圆柱面：12222=+byax8）双曲柱面：12222=-byax9）抛物柱面：ay x=2（四）空间曲线及其方程1、 一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 2、 参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===btz t a y t a x sin cos 3、 空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，消去z ，得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x H（五） 平面及其方程1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n = ，过点),,(000z y x2、 一般式方程：0=+++D Cz By Ax 截距式方程：1=++cz b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n = ，),,(2222C B A n = ，222222212121212121cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=θ⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A⇔∏∏21// 212121C C B B A A ==4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：222000C B A DCz By Ax d +++++=（六） 空间直线及其方程1、 一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程：p z z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s = ，过点),,(000z y x3、 参数式方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mt x x 000 4、 两直线的夹角：),,(1111p n m s = ，),,(2222p n m s = ，222222212121212121cos p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m⇔21//L L 212121p p n n m m ==5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sin p n m C B A CpBn Am ++⋅++++=ϕ⇔∏//L 0=++Cp Bn Am⇔∏⊥L pC n B m A ==第九章 多元函数微分法及其应用（一） 基本概念（了解）1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。

一：多元函数概念1.空间：R n 称为n 维空间。

2.邻域：),(000y x P 是二维空间（平面xoy ）上一个点，δ为某一正数，则与点P 0的距离小于δ的点R P y x P 2),,(∈全体，称为P 0的δ邻域。

记作),(0δP U ，即),(0δP U }|||{0δ<=P P P ，几何意义为，以点P 0为圆心，δ为半径的圆内所有点，当该领域不包括圆心P 0时，就称为为P 0的去心δ邻域，记为),(0δP U。

3.点与点集关系：（1）内点：若),(y x P 是空间上一个点，点集E ，存在),(y x P 的某个邻域)(P U ，使得E P U ⊂)(，则),(y x P 为点集E 的一个内点。

证：有),(y x P 是空间上一个点，点集E ，存在),(y x P 的某个邻域)(P U ，使得E P U ⊂)(，假设),(y x P 不是点集E 的内点，此时假设),(y x P 是点集E 的外点，则对于),(y x P 的任意邻域)(P U 都不可能满足E P U ⊂)(，因为该邻域中至少有一点【例如：邻域中心),(y x P 】就不属于该点集，故),(y x P 不是点集E 的外点，若),(y x P 是点集E 的边界点，则P 的δ邻域),(δP U （无论δ多么小），都会使得该邻域有不属于点集E 的部分（除非0=δ），综合上述：),(y x P 既不是点集E 的外点，也不是边界点，所以),(y x P 是点集E 的内点，而此时能找到),(y x P 的某个邻域)(P U 满足题意。

（2）外点：若),(y x P 是空间上一个点，点集E ，存在),(y x P 的某个邻域)(P U ，使得∅=⋂E P U )(，则),(y x P 为点集E 的一个外点。

证明从上，用反证法能得出结论。

（3）边界点：若),(y x P 是空间上一个点，点集E ，),(y x P 的任意邻域)(P U ，使得⎩⎨⎧⊄∅≠⋂E P U E P U )()(，则),(y x P 为点集E 的一个边界点。

第九章基本知识点1. 偏导数的定义及其计算方法（详细概念见书P65起，在此不再赘述）2. 全微分若函数 z = f (x , y ) 在点(x, y ) 可微 ,则该函数在该点偏导数yzx z ∂∂∂∂,必存在,且有y yzx x z z ∆∂∂+∆∂∂=d ，习惯上把自变量的增量用微分表示,于是y d yz x x z z ∂∂+∂∂=d d 3. 多元复合函数的求导法则（1）链式法则“分段用乘，分叉用加，单路全导，叉路偏导”若函数,可导在点)(,)(t t v t u ψϕ==),(v u f z =),(在点v u 处偏导连续,则复合函数))(),((t t f z ψϕ=在点 t 可导, 且有链式法则tvv z t u u z t z d d d d d d ⋅∂∂+⋅∂∂= （2） 全微分形式不变性,),(对v u f z =不论 u , v 是自变量还是因变量，v v u f u v u f z v u d ),(d ),(d +=4. 隐函数求导公式（1） 一个方程的情形yx F Fx y -=d d （隐函数求导公式） （2） 方程组的情形利用雅可比行列式求导（P88起）5. 多元函数微分学的几何应用（1）空间曲线的切线与法平面1) 参数式情况.空间光滑曲线⎪⎩⎪⎨⎧===Γ)()()(:t z t y t x ωψϕ切向量))(,)(,)((000t t t T ωψϕ'''=，切线方程)(')(' )(' 000000t z z t y y t x x ωψφ-=-=-法平面方程))((00x x t -'ϕ)()(00y y t -'+ψ0))((00=-'+z z t ω2) 一般式情况空间光滑曲线⎩⎨⎧==Γ0),,(0),,(:z y x G z y x F 切向量⎝⎛=T ,),(),(M z y G F ∂∂,),(),(Mx z G F ∂∂My x G F ),(),(∂∂⎪⎪⎭⎫，切线方程与法平面方程利用点法式即可求之 （2）曲面的切平面与法线1) 隐式情况 .空间光滑曲面0),,(:=∑z y x F 曲面 ∑ 在点),,(000z y x M 的法向量)),,(,),,(,),,((000000000z y x F z y x F z y x F n z y x =切线方程与法平面方程利用点法式即可求之 2)显式情况空间光滑曲面),(:y x f z =∑法向量)1,,(y x f f n --=，法线的方向余弦22221cos ,1cos yx y yx x f f f f f f ++-=++-=βα,2211cos yx f f ++=γ切平面方程：)(),()(),(0000000y y y x f x x y x f z z y x -+-=- 法线方程：1),(),(0000000--=-=-z z y x f y y y x f x x y x6. 多元函数的极值（1） 利用充分条件求极值（P113）第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点（2） 条件极值1) 简单问题用代入法，转化为无条件极值 2) 一般问题用拉格朗日乘数法（P116起）。

第三章 中值定理与导数的应用一、知识点梳理1.中值定理费马引理 设函数)(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义，并且在0x 处可导，如果对任一)(0x U x ∈，有))()(( )()(00x f x f x f x f ≥≤或，那么0)(0='x f .罗尔中值定理 如果函数)(x f 满足(1) 在闭区间],[b a 上连续;(2) 在开区间),(b a 内可导;(3) 在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =,那么至少存在一点),(b a ∈ξ,使得0)(=ξ'f .拉格朗日中值定理 如果函数)(x f 满足(1) 在闭区间],[b a 上连续;(2) 在开区间),(b a 内可导；那么至少存在一点),(b a ∈ξ,使等式))(()()(a b f a f b f -ξ'=- 或)()()(ξf ab a f b f '=-- （3-1） 成立.注意 式（3-1）称为拉格朗日中值公式，也可写为x x x f x f x x f Δ)Δ()()Δ(000⋅θ+'=-+ )10(<θ<称为函数的有限增量公式.定理 如果函数)(x f 在区间I 上的导数恒为零,那么)(x f 在区间I 上是一个常数. 柯西中值定理 如果函数)(x f 及)(x F 满足(1) 在闭区间],[b a 上连续；(2) 在开区间),(b a 内可导；(3) 对任一()b a x ,∈，0)(≠'x F ,那么至少存在一点),(b a ∈ξ,使等式)()()()()()(ξξF f a F b F a f b f ''=-- （3-2） 成立.拉格朗日中值定理又称微分中值定理,在微积分学中占有重要的地位.（3-1）式表明函数在一个区间上的平均变化率等于函数在该区间上某一瞬时变化率.罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形))()((b f a f =,而柯西中值定理又是它的推广.2． 洛必达法则定理1(00型) 设 （1）当a x →时,函数)(x f 及)(x F 都趋于零;（2）在点a 的某去心邻域内,)(x f '及)(x F '都存在，且0)(≠'x F ;（3）)()(lim x F x f a x ''→存在(或为无穷大); 那么 )()(lim )()(lim x F x f x F x f a x a x ''=→→. 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.注意 （1）如果)()(x F x f ''当a x →时仍属00型，且这时)(x f '，)(x F '能满足定理1中)(x f ，)(x F 所要满足的条件，那么可以继续使用洛必达法则，即)()(lim )()(lim )()(lim x F x f x F x f x F x f a x a x a x ''''=''=→→→. 且可以以此类推.（2）定理1中,将""a x →改为""+∞→x ,""-∞→x 或者""∞→x ,在相应的条件下,结论也成立. 例如，对于""∞→x 时的未定式00有以下定理. 定理2(0型) 设 （1）当∞→x 时,函数)(x f 及)(x F 都趋于零;（2）当X x >||时, )(x f '及)(x F '都存在，且0)(≠'x F ; （3）)()(limx F x f x ''∞→存在(或为无穷大); 那么 )()(lim )()(lim x F x f x F x f x x ''=∞→∞→. 注意 对于""a x →或""∞→x 时的未定式∞∞型,也有相应的洛必达法则. 3.泰勒公式泰勒（Taylor ）中值定理1 如果函数)(x f 在0x 处具有n 阶导数，那么存在0x 的一个邻域)(0x U ，对任一)(0x U x ∈,有 +-''+-'+=200000)(!2)())(()()(x x x f x x x f x f x f )()(!)(00)(x R x x n x f n n n +-+, （3-3） 其中))(()(0n n x x o x R -= （3-4）公式（3-3）称为)(x f 在0x 处（或按)(0x x -的幂展开）的带有佩亚诺(Peano)余项的n 阶泰勒公式，而)(x R n 的表达式（3-4）称为佩亚诺余项.泰勒（Taylor ）中值定理2 如果函数)(x f 在0x 的某个邻域)(0x U 内具有直到()1+n 阶导数,那么对任一)(0x U x ∈,有+-''+-'+=200000)(!2)())(()()(x x x f x x x f x f x f )()(!)(00)(x R x x n x f n n n +-+, （3-5） 其中10)1()()!1()()(++-+ξ=n n n x x n f x R (ξ介于0x 与x 之间). （3-6） 公式（3-5）称为)(x f 在0x 处（或按)(0x x -的幂展开）的带有拉格朗日余项的n 阶泰勒公式，而)(x R n 的表达式（3-6）称为拉格朗日余项.在泰勒公式（3-3）中，如果取00=x ，则有带有佩亚诺(Peano)余项的麦克劳林(Maclaurin)公式+''+'+=2!2)0()0()0()(x f x f f x f )(!)0()(n n n x o x n f ++. （3-7） 在泰勒公式（3-5）中，如果取00=x ，则ξ介于0与x 之间.因此可以令()10<<=θθξx ，于是得到带有拉格朗日余项的麦克劳林公式+''+'+=2!2)0()0()0()(x f x f f x f ()1)1()(!1)(!)0(+++++n n n n x n x f x n f θ ()10<<θ. （3-8）常用函数的n 阶麦克劳林展开式：)(!!212n n x x o n x x x e +++++= ; )()!12()1(!7!5!3sin 2121753n n n x o n x x x x x x +--++-+-=-- ; )()!2()1(!6!4!21cos 122642++-++-+-=n n n x o n x x x x x ; )()1(32)1ln(132n n n x o nx x x x x +-+-+-=+- ; )(1112n n x o x x x x+++++=- ; +-++=+2!2)1(1)1(x x x αααα )(!)1()1(n n x o x n n ++--+ααα .4.函数的单调性与曲线的凹凸性（1）函数单调性的判别法定理1 设函数)(x f y =在],[b a 上连续,在),(b a 内可导.1）如果在),(b a 内0)(≥'x f ,且等号仅在有限多个点处成立，那么函数)(x f y =在],[b a 上单调增加；2）如果在),(b a 内0)(≤'x f ,且等号仅在有限多个点处成立，那么函数)(x f y =在],[b a 上单调减少.如果函数)(x f 在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且在区间内只有有限个驻点，那么驻点和导数不存在的点有可能是函数单调区间的分界点.（2）曲线的凹凸性与拐点定义 设)(x f 在区间I 上连续,如果对I 上任意两点21,x x ,恒有 2)()(22121x f x f x x f +<⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 那么称)(x f 在区间I 上的图形是(向上)凹的（或凹弧）;如果恒有2)()(22121x f x f x x f +>⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 那么称)(x f 在区间I 上的图形是(向上)凸的（或凸弧）.定理2 设)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内具有一阶和二阶导数,那么1）若在),(b a 内0)(>''x f ,则)(x f y =在],[b a 上的图形是凹的.2）若在),(b a 内0)(<''x f ,则)(x f y =在],[b a 上的图形是凸的.设)(x f y =在区间I 上连续，0x 是I 的内点.如果曲线)(x f y =经过点))(,(00x f x 时,曲线的凹凸性改变了,则称点))(,(00x f x 是这曲线的拐点.找区间I 上连续曲线)(x f y =的拐点可按以下步骤：1） 求)(x f ''；2） 令0)(=''x f ，解出该方程在区间I 内的实根，并求出在区间。

高等数学第七版教材下册高等数学是大学数学中的重要课程之一，它是对中学数学的深入扩展与拓展，为学生打下数学思维和理论基础。

本文将介绍高等数学第七版教材下册的内容，包括章节和主要知识点。

第一章：多元函数积分学本章主要介绍多元函数的积分学，包括二重积分和三重积分的概念、性质以及计算方法。

通过对累次积分的研究，学生将掌握面积和体积的计算技巧，深入理解多元函数的积分性质。

第二章：曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分是另一项重要内容，本章主要讲解曲线积分的定义、计算方法以及曲面积分的概念与性质。

通过实例的讲解，学生将能够灵活运用曲线积分和曲面积分解决实际问题。

第三章：无穷级数无穷级数是高等数学中的一大难点，本章将介绍级数的概念、收敛性、收敛域以及常见的特殊级数。

通过学习无穷级数的理论与计算方法，学生将能够对函数进行逼近和展开，掌握级数的求和技巧。

第四章：Fourier级数Fourier级数是工科和物理科学领域中常用的数学工具，本章将介绍Fourier级数的定义、性质以及计算方法。

通过学习Fourier级数的理论与应用，学生将能够理解信号的频域表示和傅里叶变换的原理。

第五章：偏微分方程偏微分方程是数学与物理学中的重要研究对象，本章将介绍常见的二阶偏微分方程及其分类。

通过学习偏微分方程的理论与解法，学生将能够解决与物理、工程和经济等领域相关的实际问题。

第六章：多元函数的Taylor公式Taylor公式是数学分析中的重要工具，本章将介绍多元函数的Taylor公式及其推广形式。

通过学习Taylor公式的理论与运用，学生将能够近似计算函数的值和导数的值，提高数学问题的求解能力。

第七章：场论基础场论是现代物理学中的基础理论，本章将介绍向量场、标量场和矢量场的概念与性质。

通过学习场论的基础知识，学生将能够理解物理和工程中与场相关的问题，并掌握解决方法。

总结高等数学第七版教材下册包含了多元函数积分学、曲线积分与曲面积分、无穷级数、Fourier级数、偏微分方程、多元函数的Taylor公式和场论基础等内容。

高等数学（第七版·下册）同济大学知识点一、多元函数微分学多元函数微分学是高等数学中的一个重要分支，研究的是多元函数的导数、微分以及应用。

在本章中主要介绍了以下几个知识点：1. 偏导数与全微分•偏导数：多元函数的偏导数是指函数在某一点上某个自变量的变化率。

•全微分：多元函数的全微分是在某一点上，函数值关于自变量的微小变化量。

2. 高阶偏导数与多元函数的泰勒展开式•高阶偏导数：多元函数的高阶偏导数是指对多个自变量进行重复求导的结果。

•多元函数的泰勒展开式：用多项式逐次逼近函数的方法，可以近似表示函数在某一点附近的取值。

3. 隐函数与参数方程的求导•隐函数求导：对于由方程定义的函数，可以通过偏导数求导的方法来求解其导数。

•参数方程求导：对于由参数方程定义的函数，可以通过链式法则将参数的导数转化为函数关于参数的导数。

4. 方向导数与梯度•方向导数：多元函数在某一点沿着给定方向的变化率。

•梯度：多元函数的梯度是一个向量，它的方向指向函数值增加最快的方向，模表示变化率最大的值。

5. 多元函数的极值与条件极值•多元函数的极值：函数取得的最大值或最小值。

•条件极值：在满足一定条件下，函数取得的最大值或最小值。

6. 格林公式与高斯公式•格林公式：二维平面上的曲线积分与这个曲线所围成的区域上的面积分之间的关系。

•高斯公式：三维空间中，某个闭合曲面上的散度与这个曲面所围成的空间区域内的体积分之间的关系。

二、多元函数积分学多元函数积分学是研究多元函数的积分以及应用的学科。

本章介绍了以下几个知识点：1. 二重积分•二重积分的概念：二重积分是将二元函数沿着某一平面区域上的小面积元素进行累加得到的量。

•二重积分的性质：二重积分具有线性性、可加性、保号性等性质。

2. 二重积分的计算方法•基本的计算方法：可以通过把二重积分化为累次积分的形式进行计算。

•坐标变换法：通过变换坐标系，使得被积函数的形式更简单，从而更容易计算。

高等数学同济第七版下册笔记
以下是高等数学同济第七版下册的部分笔记：
1. 向量代数与空间解析几何：
复习笔记：包括向量及其线性运算、数量积、向量积、混合积、平面及其方程、空间直线及其方程、曲面及其方程、空间曲线及其方程等。

课后习题详解：对每个章节的习题进行详细的解答，包括向量的线性运算、向量的数量积、向量的向量积、向量的混合积、平面方程、空间直线方程、曲面方程、空间曲线方程等。

2. 多元函数微分法及其应用：
复习笔记：包括多元函数的基本概念、偏导数、全微分、多元复合函数的求导法则、隐函数的求导公式、多元函数微分学的几何应用、方向导数与梯度、多元函数的极值及其求法等。

课后习题详解：对每个章节的习题进行详细的解答，包括多元函数的偏导数、全微分、多元复合函数的求导法则、隐函数的求导公式等。

3. 重积分：
复习笔记：包括二重积分的概念与性质等。

课后习题详解：对每个章节的习题进行详细的解答，包括二重积分的计算等。

以上是高等数学同济第七版下册的部分笔记，如需获取更多内容，建议查阅相关教辅练习或咨询专业人士。

高等数学同济第七版教材详解高等数学是大学阶段的一门重要学科，是数学的一门分支学科，主要涉及微积分、线性代数和概率统计等内容。

同济大学出版社出版的《高等数学同济第七版》是一本广泛使用的教材，本文将对该教材进行详细解析和介绍。

第一章微积分微积分是高等数学的核心部分，也是学习高等数学的基石。

在《高等数学同济第七版》中，微积分的内容全面而详细。

首先介绍了数列和函数的概念，然后讲解了极限和连续性的理论基础。

在微分学部分，详细介绍了导数的定义、性质和求法，并且以各种各样的应用问题加深学生对导数的理解。

在积分学部分，详细介绍了不定积分、定积分的定义、性质和求法，以及定积分的几何应用。

第二章线性代数线性代数是高等数学中的另一个重要分支，主要研究向量空间和线性变换。

在《高等数学同济第七版》的线性代数部分，首先介绍了矩阵的基本概念和运算规律，然后讲解了行列式的性质和求法。

接着介绍了线性方程组的解法，包括高斯消元法和矩阵的逆等。

最后介绍了特征值和特征向量的概念，以及对角化的方法。

第三章概率统计概率统计是应用数学中的一个重要分支，主要研究随机事件和概率。

在《高等数学同济第七版》中，概率统计的内容包括了概率的基本概念和性质，条件概率和独立性，随机变量及其分布，以及数理统计和参数估计等。

该教材运用具体的例题和实际应用问题，帮助学生理解概率统计的概念和方法。

第四章微分方程微分方程是高等数学的一个重要分支，也是工科和理科等领域中常用的数学方法。

在《高等数学同济第七版》中，微分方程的内容包括了一阶微分方程和二阶线性常微分方程等。

教材从方程的基本概念和解法开始，讲解了可分离变量、齐次方程、线性方程、二阶线性方程等不同类型的微分方程解法。

通过具体的例题和应用问题，学生可以更好地理解和掌握微分方程的解题方法。

第五章多元函数微分学多元函数微分学是高等数学的一个重要内容，主要研究多元函数的极限、偏导数和全微分等。

在《高等数学同济第七版》中，多元函数微分学的内容全面且详细。

第七章：微分方程第一类：（可分离变量型——包括一阶齐次线性微分方程）方程可以化为dy y g dx x f )()(=形式，用分离变量微分法；第二类：（非线性齐次型）方程可以化为)(x y dx dy ϕ=的形式，用u xy =替换法；一种较特殊的方程c b a y x c by ax dx dy 111++++=（*）在不同情况下可经过不同的变化来属于第一、二类微分方程1.01==c c 时，(1111x y x y x y b a yx by ax dx dy b a b a ϕ=++=++=属于第二类微分方程；2.01≠⋅c c 时，首先考虑b a ba 11=（&）成不成立；（1）不成立：根据此时的（*）并不属于第二类，可以重新构造分子、分母，来使得新形成的常数都为零，为了计算简便，引入的新参数必须与x、y 齐次,故设m X x +=、n Y y +=，这样就确保了dX dx =、dY dy =，故c b a b a c b a n m Y X cbn am bY aX y x c by ax dx dy dX dY 11111111++++++++=++++==，为了使这个式子属于第二类微分方程，则必须像 1.一样，常数都为零，即0111=++=++c b a n m c bn am （A ），因为（&）不成立，所以011≠-ab a b ，故可解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=b ba c cb b a a ac a b m a b c n 11111111，则此时就有)(1111111X Y X Y X Y ba Y X bY aX y x c by ax dx dy dX dYb a b ac b a ϕ=++=++=++++==，属于第二类微分方程；（2）成立：由（1）中叙述可知，当（&）式成立时，方程组（A ）无解，则（2）中的方法不可行，故考虑整体替换，即设λ==b a b a 11，c b a b a c b a y x c y x y x c by ax dx dy 11111111)(++++=++++=λ，再令y x u b a 11+=，此时⇒=+++=⇒++=-=)(1111111u g u c u dx du u c u dx du dx dy a c b c b a λλduu g dx x f )()(=（1)(=x f ），属于属于第一类微分方程；第三类：（可降阶微分型）1.),(y x f y '=''型[y 的二阶微分方程中不含y 型]，用p y ='替换法；2.),(y y f y '=''型[y 的二阶微分方程中不含x 型]，用p y ='替换法；第四类：（一阶非齐次线性微分型）方程可化为)()(x Q y x p dxdy =+的形式，用背公式或者常数变易法；公式：一阶非齐次线性微分方程的通解（简称“非通”）y =e e dx x p dx x p dxx Q C ⎰⎰+⎰)()()(【背诵口诀：C+Q(X)积分含e 的P(x)积分方，再除以e 的P(x)积分方】；常数变易法：第一步：先求一阶齐次微分方程（即一阶非齐次微分方程右端为零时的方程）的通解（运用第一类微分方程的解法）；第二步：令第一步求得的通解中的常数C 为u ，求出y '；第三步：将第二步得到的⎩⎨⎧='=y y 代入一阶非齐次微分方程中得到一个关系式（只引入了一个参数u ，一个关系式足矣），消掉y '、y 后（第一、二步都是为这个消掉y '、y 做准备），解得u '，再利用积分求得u ；第四步：将u 代入第二步替换后的通解中，即求得一阶非齐次微分方程的通解；一种较特殊的方程y n x Q y x p dxdy )()(=+（伯努力方程）（*）在不同情况下可经过不同的变化来属于第一、四类微分方程1.当n=1时,dx x p x Q ydy y x Q y x p dx dy )]()([)()(-=⇒=+，属于第一类微分方程；2.当n=0时，)()(x Q y x p dx dy =+，属于第四类微分方程；3.当n 1,0≠时，方程变形得)()(1x Q x p dx dy y y n n =+--，令C z dy dz dxdz dx dy y y n y n n n n +=⇒=⇒=-----1)1()1(，取y n z -=1，则有)1(n dx dz dx dy y n -=-代入y n x Q y x p dx dy )()(=+后变形得)()1()()1(x Q n z x p n dx dz -=-+，令)()()1(2x x p n p =-，)()()1(2x x Q n Q =-)()(22x z x dx dz Q p =+⇒，属于第四类微分方程；第五类：（二阶非齐次线性微分型）方程可化为)()()(x f y x Q y x p y =+'+''的形式，用背公式或者常数变易法(过程与第四类中的常数变易法类似)--------用【已知“齐通找非齐特”，或者“已知齐一特”法】；公式：对于二阶非齐次线性微分方程的通解（简称“非通”）y 等于该非齐次方程对应的齐次方程的通解加上该非齐次方程的一个特解，即非通-非特=齐通【容易证明，对于n 阶非齐次线性微分方程都有这个结论】常数变易法：第一步：已知二阶齐次微分方程（即二阶非齐次微分方程右端为零时的方程——第六类方程）的通解；第二步：令第一步求得的通解中的常数C1、C2分别为u u 21,，求出y '、y ''；第三步：将第二步得到的⎪⎩⎪⎨⎧=''='=y y y 代入二阶非齐次微分方程中得到一个关系式①（两个引入参数u u 21,，一个关系式不够，还需要得到一个关系式，而且得到的这个关系式为了求出u u 21,，故为了最简单地求解出这两个参数，就不允许在y ''中出现u u ''''21,，而又因为u u 21,均不为常数，故在y '定会出现u u ''21,，而要划线部分同时成立，则必须在y '中将u u ''21,抵消掉，而y u y u y u y u y '''+'++='22112211，故令02211='+'y u y u ②，为了更方便的求解，所以需要得到更简单的①式，所以将②式在第二步中就运用，这样得到的①式为)(2211x f y u y u =''+''②，联立①②就可解得u u ''21,），再利用积分求得u u 21,；第四步：将u u 21,代入第二步替换后的通解中，即求得二阶非齐次微分方程的通解。