椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题及练习(付答案)

（一）椭圆的定义：

1、椭圆的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。

对椭圆定义的几点说明： （1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）；

（2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分； （3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F 1F 2|这个条件。若不然，当这个“常数”等于| F 1F 2|时，我们得到的是线段F 1F 2；当这个“常数”小于| F 1F 2|时，无轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。

（4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1， A 2， B 1， B 2，于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。

（5）中心在原点、焦点分别在x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为：

22

22

2222x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b

+=>>+=>> 相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，2

2

2

a c

b =+。

不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的

焦点坐标为（－c ，0）和（c ，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，－c ）和（0，c ）。椭圆的

焦点在 x 轴上⇔标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上⇔标准方程中y 2

项的分母较大。

（二）椭圆的几何性质：

椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只

要22

22x y 1(a b 0)a b +=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出2222

y x 1(a b 0)a b +=>>的有关性质。总结如下：

几点说明：

（1）长轴：线段12A A ，长为2a ；短轴：线段12B B ，长为2b ；焦点在长轴上。 （2）对于离心率e ，因为a>c>0，所以0

由于22

2

21c a b b e a a

-===-，所以e 越趋近于1，b 越趋近于0，椭圆越扁平；e

越趋近于0，b 越趋近于a ，椭圆越圆。

（3）观察下图，22||,||OB b OF c ==，所以22||B F a =，所以椭圆的离心率e = cos ∠OF 2B 2

（三）直线与椭圆：

直线l ：0Ax By C ++=（A 、B 不同时为0）

椭圆C ：22

22x y 1(a b 0)a b

+=>>

那么如何来判断直线和椭圆的位置关系呢？将两方程联立得方程组，通过方程组的解的

个数来判断直线和椭圆交点的情况。方法如下：

222

201Ax By C x y a

b ++=⎧⎪

⎨+=⎪⎩ 消去y 得到关于x 的一元二次方程，化简后形式如下

20(0)mx nx p m ++=>， 24n mp ∆=-

（1）当0∆>时，方程组有两组解，故直线与椭圆有两个交点； （2）当0∆=时，方程组有一解，直线与椭圆有一个公共点（相切）； （3）当0∆<时，方程组无解，直线和椭圆没有公共点。

注：当直线与椭圆有两个公共点时，设其坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，那么线段AB 的

长度（即弦长）为||AB =k ，

可得：||AB ==12|x x -，然后我们可通过求出方程的

根或用韦达定理求出。

典型例题一

例1 椭圆的一个顶点为()02，

A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．

解：（1）当()02，

A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11

42

2=+y x ； （2）当()02，

A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：

116

42

2=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．

典型例题二

例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．

解：3

1

222⨯⨯=c a c Θ ∴223a c =， ∴3

331-=

e ． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可．

典型例题三

例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB

中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．

解：由题意，设椭圆方程为12

22=+y a

x ，

由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+1012

22y a

x y x ，得()021222=-+x a x a ，

∴222112a a x x x M +=+=，211

1a x y M M +=-=， 41

12===

a

x y k M M OM Θ，∴42=a ， ∴14

22

=+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．

典型例题四

例4椭圆

19252

2=+y x 上不同三点()11y x A ，，⎪⎭

⎫ ⎝⎛594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的距离成等差数列．

（1）求证821=+x x ；

（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ． 证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知：

a

c x c

a AF =

-12

， ∴ 115

4

5x ex a AF -=-=． 同理 25

4

5x CF -

=． ∵ BF CF AF 2=+，且5

9=BF ， ∴ 5

1854554521=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-

x x ， 即 821=+x x ．