n+1元方程所确定的隐函数存在定理及其证明

一元隐函数存在定理是数学中一个重要的定理，它指出，任何一元函数都存在一个隐函数，即一元函数的反函数。

它是由德国数学家卡尔·贝尔（Karl Bier）在1879年提出的，他把它称为“一元函数的反函数存在定理”。

一元隐函数存在定理的定义是：设f(x)是一个一元函数，它的定义域是D，值域是R，则存在一个函数g(x)，使得f(g(x))=x，g(f(x))=x，且g(x)的定义域是R，值域是D。

一元隐函数存在定理的证明：首先，我们假设f(x)是一个一元函数，它的定义域是D，值域是R。

假设存在一个函数g(x)，使得f(g(x))=x，g(f(x))=x，且g(x)的定义域是R，值域是D。

我们假设f(x)的定义域是D，值域是R，则f(x)的反函数g(x)的定义域是R，值域是D。

由于f(x)的定义域是D，值域是R，则f(x)的反函数g(x)的定义域是R，值域是D。

因此，我们可以证明，任何一元函数都存在一个隐函数，即一元函数的反函数。

一元隐函数存在定理的应用：一元隐函数存在定理在数学中有着重要的应用，它可以用来求解一元函数的反函数，从而解决一些复杂的数学问题。

例如，假设有一个一元函数f(x)，它的定义域是[0,1]，值域是[2,3]，我们可以利用一元隐函数存在定理来求解f(x)的反函数g(x)，即g(x)=f-1(x)。

根据一元隐函数存在定理，我们可以知道，f(x)的反函数g(x)的定义域是[2,3]，值域是[0,1]。

因此，我们可以得出f(x)的反函数g(x)的表达式为：g(x)=1-(3-x)。

从上面的例子可以看出，一元隐函数存在定理可以用来求解一元函数的反函数，从而解决一些复杂的数学问题。

结论：一元隐函数存在定理是数学中一个重要的定理，它指出，任何一元函数都存在一个隐函数，即一元函数的反函数。

它的证明和应用都非常重要，可以用来求解一元函数的反函数，从而解决一些复杂的数学问题。

第十八章隐函数定理及其应用一、主要内容与教学要求主要内容隐函数概念，隐函数存在性条件的分析，隐函数（存在惟一性、可微性）定理，隐函数求导。

隐函数组概念，函数行列式，隐函数组定理，隐函数组求导，反函数组与坐标变换。

几何应用。

条件极值与拉格朗日乘数法。

教学要求1 深刻理解隐函数、隐函数组概念，理解隐函数(组)定理的条件和结论。

2 掌握计算函数行列式，隐函数组（包括反函数组）的偏导数的方法。

3会求隐函数给出的平面曲线的切线与法线、隐函数组及参数方程给出的空间曲线的切线与法平面、隐函数给出的空间曲面的切平面与法线。

4 掌握应用拉格朗日乘数法求多元函数条件极值的方法，能将实际问题中的某些极值问题抽象为数学中的条件极值问题。

教学重点（1）隐函数组概念；（2）隐函数微分法；（3）多元函数条件极值的拉格朗日乘数法；（4）空间曲线的切线与法平面。

教学难点（1）隐函数组定理；（2）隐函数求导；（3）几何应用。

二、本章教材处理建议关于隐函数的存在性分析要借助于空间图形以便于直观认识。

要求学生深刻理解隐含书的概念及意义，掌握二元方程确定可微隐函数的充分条件；隐函数组定理是个难点，结合隐函数存在唯一定理讲解透彻。

强调Jacobi行列式的作用，它相当于一元函数的导数；从理论上说，条件极值都可化为普通极值，从解题上说有很多的条件极值不能化为普通极值。

这是因为联系方程（组）的解不一定是初等函数，所以不能直接化成普通极值。

这说明拉格朗日乘数法的优越性。

§ 1 隐函数本节主要介绍由一个方程0),(=y x F 所确定的一元隐函数存在性定理及其求导法，顺便介绍由一个方程所确定的n 元隐函数存在性定理及其求导法.一、隐函数概念1. 隐函数定义以0),(=y x F 为例作介绍 （1） 隐函数是表达函数的又一种方法. 在此之前，我们所接触的函数，其表达式大多是自变量的某个算式，如)sin sin (sin ,1zx yz xy e u x y xyz ++=+=.这种形式的函数称为显函数. 但在不少场合常会遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应法则是由一个方程式所决定的. 这种形式的函数称为隐函数.定义及记号 （P144）2. 隐函数的两个基本问题（1） 隐函数的存在性; （2） 隐函数的解析性质.然而需要指出的是：并不是任一方程都能确定出隐函数。

关于隐函数存在定理证明教学的新探讨1.问题的提出数学分析教学中“隐函数存在定理”的证明，是一个较为复杂，不易被学生很快理解和掌握的定理。

现把该定理复述如下：定理：设F（x，y）在（x，y）的领域内连续，并有连续的偏导数F′（x，y），如果F（x，y）=0?摇?摇?摇F′（x，y）≠0则在（x，y）的某领域内，方程F（x，y）=0有唯一的连续解y=f（x），也就是说，这时存在某η0，使得在［x-η，x+η］上存在着一函数y=y（x），使得：1）y=y（x）；2）y（x）在［x-η，x+η］上连续；3）在［x-η，x+η］上恒等式F（x，y（x））=0成立；4）满足条件1）—3）的函数y（x）是唯一的。

在定理所给条件下，找到满足结论条件的隐函数y=f（x），从几何直观来看就是：若在（x，y）附近z=F（x，y）为光滑曲面，则它在点（x，y）附近与z=0的交线为光滑曲线，并能表示为y为x的函数（当F′（x，y）≠0），如图1所示。

对于这个定理，一般的分析教科书上多采用的传统证法是基于它的几何意义，而从下面几方面去进行推断。

（一）定理的结论，实质是找曲面z=F（x，y）和平面z=0的交线y=f（x），使得这曲线过（x，y）且在x附近连续，唯一。

（二）要这曲线过（x，y）必须曲面过（x，y），即F（x，y）=0。

（三）要这曲线在x附近连续，只需曲面z=F（x，y）在（x，y）附近连续。

（四）要曲线唯一，也就需证，对x附近任一x，有唯一确定的y。

在定理题设中有，F′（x，y）≠0，不妨假定它大于0，由于F′（x，y）连续，因此存在（x，y）的某个领域，其中每一点F′都大于0。

在该领域内，固定x=x，令φ（y）=F（x，y），由于φ′（y）0，因此φ（y）是单调上升的，只要证明存在y及y，使得φ（y）0，φ（y）0，则由一元连续函数的中值定理，就存在一点M（x，y）使F（x，y）=0，这是定理证明的核心。

其几何意义是：曲面z=F（x，y）垂直于x轴的平面x=x的交线z=F（x，y），剖面图形如图2所示。

第十八章 隐函数定理及其应用§1 隐函数一、隐函数概念设X R ⊂,Y R ⊂, 函数:F X Y R ⨯→, 对方程(,)0F x y =,若存在集合I X ⊂,J Y ⊂,使得对任何x I ∈,存在唯一的y J ∈满足方程(,)0F x y =,则称(,)0F x y =确定了一个隐函数:f I J →, 记为()y f x =,x I ∈.此时, (,())0F x f x ≡,x I ∈恒成立. 相对地, 形如()y f x =的函数称为显函数.我们说隐函数的产生也是很自然的, 如函数73()y g x x x x ==++严格增, 因而其有反函数, 但不易求出显函数1()x g y -=, 此时只能说方程730y y y x ++-=能确定隐函数1()()dy g x f x -==. 当然, 显函数也可以写成隐函数的形式(,)()0F x y y f x =-=. 显函数的几何意义就是平面上的曲线. 而方程(,)0F x y =确定的隐函数()y f x =在几何意义上就是曲面(,)z F x y =与平面0z =相交得到一条曲线(()y f x =), 此曲线投影到x 轴, 投影为I , 而对每个x I ∈,有唯一的点(,)x y 在该曲线上.注 并不是每一个方程都可以确定一个隐函数,如2210x y ++=.关于隐函数, 我们主要关心两个问题: 1) 隐函数的存在性;2) 隐函数的性质(如连续和可微性等). 二、隐函数存在的直观分析从几何上看, 方程(,)0F x y =确定函数()y f x =.相当于曲线(,)0F x y =与直线0x x =有且仅有一个交点, 这就要求0(,)0F x y =恰好有一个解, 当然至少要有一个解, 即1︒ 00(,)x y ∃, 使得00(,)0F x y =.其次, 若要求曲线(,)0F x y =连续, 则需要假设2︒ 在00(,)x y 的某邻域内, F 连续.最后, 从隐函数的定义, 对一个x , 只能有一个y 满足(,)0F x y =. 这相当于F 作为y 的函数是单射. 因而我们要求F 关于y 严格单调, 或者条件3︒00(,)0y F x y ≠, 且y F 连续 (此时在00(,)x y 的某邻域内,F 关于y 严格单调).如果要求确定的隐函数可微, 则当F 可微时, 由链式法则有0x y F F y '+⋅=, 此时/x y y F F '=-, 即隐函数()y f x =可微. 而要保证F 可微, 一般需假设4︒x F 连续. 三、一元隐函数定理下面我们给出一元隐函数定理. 定理 若下列条件满足1) 函数(,)F x y 在000(,)P x y 为内点的某一区域2D R ⊂上连续; 2) 00(,)0F x y =(初始条件);3) 在D 内存在连续的偏导数(,)y F x y , 且00(,)0y F x y ≠,则在点0P 的某邻域0()U P D ⊂内, 方程(,)0F x y =唯一地确定了一个定义在某区间00(,)x x αα-+上的隐函数()y f x =, 满足1︒ 00()f x y =,00(,)x x x αα∈-+时, 0(,())()x f x U P ∈, 且(,())0F x f x =; 2︒ ()f x 在00(,)x x αα-+上连续.进一步, 若F 在D 上还存在连续的偏导数(,)x F x y , 则方程(,)0F x y =所确定的隐函数3︒ ()y f x =在00(,)x x αα-+内有连续导函数, 且(,)()(,)x y F x y f x F x y '=-.注 a) 为证1︒,2︒, 只需条件: 1) 00(,)0F x y =; 2) 在00(,)x y 的某邻域内F 连续; 3) F 关于y 严格单调.b) 定理中的条件充分而不必要. 如330y x -=在(0,0)不满足(0,0)0y F ≠,但仍确定函数y x =.c) 若条件改为00(,)0x F x y ≠, 则可确定函数()x g y =. 又若00(,)0x F x y ≠与00(,)0y F x y ≠同时成立, 则方程(,)0F x y =将同时确定函数()y f x =和()x g y =,使(,())((),)0F x f x F g y y ==,由于,x y 的对应关系唯一,故它们互为反函数, 且x y F dydx F =-将不变号(如果变号,dy dx 将有零点,在该点dx dy 不存在,与g 可微矛盾), 即隐函数严格单调.例1 反函数存在性定理及其导数.例2 设(,)sin 0F x y y y x ε=--=, 01ε<<. 求dy dx , 22d ydx.例3 讨论Descartes 叶形线3330x y axy +-=所确定的隐函数()y f x =的一阶与二阶导数.例4 设2212z y x =-, 其中()y f x =为方程3330x y xy +-=所确定的隐函数. 求dz dx ,22d z dx.例5 证明: 1) 在(0,0)附近方程2sin()0x y xy ++=可确定函数()y f x =;2) 求f 的导数; 3) (0)f 为极大值.四、n 元隐函数定理下面我们来讨论n 元隐函数定理.定理 设1) 函数12(,,,,)n F x x x y ⋅⋅⋅在以点0000012(,,,,)n P x x x y ⋅⋅⋅为内点的区域1n D R +⊂上连续;2) 000012(,,,,)0n F x x x y ⋅⋅⋅=; 3) 偏导数12,,,,n x x x y F F F F ⋅⋅⋅在D 内存在且连续;4) 000012(,,,,)0y n F x x x y ⋅⋅⋅≠,则在点0P 的某邻域0()U P D ⊂内方程12(,,,,)0n F x x x y ⋅⋅⋅=唯一地确定了一个定义在000012(,,,)n Q x x x ⋅⋅⋅的某邻域0()n U Q R ⊂内的n 元连续函数(隐函数) 12(,,,)n y f x x x =⋅⋅⋅,使得1︒.当120(,,,)()n x x x U Q ⋅⋅⋅∈时, 12120(,,,,(,,,))()n n x x x f x x x U P ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈; 2︒.12(,,,)n y f x x x =⋅⋅⋅在0()U Q 内有连续偏导数12,,,n x x x f f f ⋅⋅⋅, 且11,x x yF f F =-22,,n n x x x x yyF F f f F F =-⋅⋅⋅=-.即若F 关于某个变量偏导数不等于0, 则存在以之为因变量的隐函数.例6 讨论方程323(,,)0F x y z xyz x y z =++-=在原点附近所确定的二元隐函数(,)z f x y =及其偏导数.例7 设方程(,,)0F x x y x y z +++=确定(,)z f x y =.求,x y z z .例8 求由方程(,,)0F x y y z z x ---=所确定的函数(,)z z x y =的微分.例9 设(,)u f x ut y ut =+-,求,,x y t u u u .例10 证明: 由方程()()y x z z ϕψ=+所确定的函数(,)z z x y =满足方程2222222()2()0z z z z z z z y x y x y x x y∂∂∂∂∂∂∂⋅-⋅⋅⋅+⋅=∂∂∂∂⋅∂∂∂∂.§2 隐函数组给出线性方程组111122220a xb yc ud v a x b y c u d v +++=⎧⎨+++=⎩ 何时可从中解出(,)u f x y =, (,)v g x y =? 给定一般形式方程组(,,,)0(1)(,,,)0(2)F x y u vG x y u v =⎧⎨=⎩何时可从中解出(,)u f x y =, (,)v g x y =?一、隐函数组定理定理 1 设2,A B R ⊂, ,:F G A B R ⨯→. 00000(,,,)P x y u v =.若1) 00()()0F P G P ==;2) 在0P 的某邻域内, 1,F G C ∈; 3) Jacobi 行列式(,)(,)F G J u v ∂=∂在0P 处值不为0,则存在00(,)x y 的邻域U 及U 上的唯一一组1C 类函数,f g , 使得(,)u f x y =, (,)v g x y =满足1︒ 000(,)u f x y =,000(,)v g x y =,(,,(,),(,))0F x y f x y g x y ≡, (,,(,),(,))0G x y f x y g x y ≡, (,)x y U ∀∈,2︒ 1(,)(,)x F G u J x v ∂=-⋅∂,1(,)(,)y F G u J y v ∂=-⋅∂,1(,)(,)x F G v J u x ∂=-⋅∂,1(,)(,)y F G v J u y ∂=-⋅∂. [()11(,)()(,)xx v xvx v x v x vvF G G F F G u F G G F J J J x v F ψψ+⋅-∂=-==⋅-=-⋅∂]注 若定理条件3) 改为(,)0(,)P F G y v ∂≠∂, 则方程(1), (2)可确定的隐函数组为(,)(,)y y x u v v x u =⎧⎨=⎩. 更一般地, 可先求出,,,x y u v F F F F ,,,,x y u v G G G G , 如0u v uvF FG G ≠, 则可对(,,,)0(,,,)0F x y u vG x y u v =⎧⎨=⎩, 两边关于,x y 求偏导. 如对x 求偏导, 则x u x v x x u x v x F F u F v G G u G v +⋅+⋅=⎧⎨+⋅+⋅=⎩,从而u x v x xu x v x xF u F v FG u G v G ⋅+⋅=-⎧⎨⋅+⋅=-⎩⇒(,)(,)(,)(,)x u x u x u v u vF F FG G G x v u F G F F u v G G -∂-∂==-∂∂, (,)(,)(,)(,)x F G u x v F G u v ∂∂=-∂∂, 类似可以求出,y y u v .例1 讨论方程组222(,,,)0(,,,)10 F x y u v u v x y G x y u v u v xy ⎧=+--=⎨=-+-+=⎩, 在点0(2,1,1,2)P 附近能确定怎样的隐函数组, 并求其偏导数.例2 1) 已知01xu yv yu xv +=⎧⎨+=⎩, 求x u , y u , x v , y v ;2) 设2(,)(,)u f ux v y v g u x v y =+⎧⎨=-⎩, 求,u ux y ∂∂∂∂.3) 设函数(,)u u x y =由方程(,,,)(,,)0 (,)0 u f x y z t g y z t h z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩确定. 求,u u x y∂∂∂∂.二、反函数组定理给定(,)(,)u f x y v g x y =⎧⎨=⎩, 何时有(,)(,)x u v y u v ϕψ=⎧⎨=⎩?设(,,,)(,)0(,,,)(,)0 F x y u v f x y u G x y u v g x y v =-=⎧⎨=-=⎩,00000(,,,)P x y u v =, 由隐函数组定理条件为1) 00()()0F P G P ==, 即000(,)u f x y =, 000(,)v g x y =;2) 在0P 的某邻域内, 1,F G C ∈, 由于1u v F G ==-, 0v u F G ==连续, 故条件2)为在00(,)x y 的某邻域内1,f g C ∈.3)0000(,)(,)(,)(,)0(,)(,)x y x yx y x y f f F G u v g g x y x y ∂∂==≠∂∂.因而我们可得到下面的反函数组定理. 定理2 若1) 000(,)u f x y =, 000(,)v g x y =;2) 在00(,)x y 的某邻域内1,f g C ∈; 3)00(,)(,)0(,)x y u v x y ∂≠∂,则存在00(,)u v 的邻域U 及唯一的一组1C 函数(,)x u v ϕ=,(,)y u v ψ=.((,)u v U ∈), 使得1︒ ((,),(,))u f u v u v ϕψ=, ((,),(,))v g u v u v ϕψ=, 000000(,),(,)x u v y u v ϕψ==; 2︒(,)(,)1(,)(,)u v x y x y u v ∂∂⋅=∂∂. [(,)/(,)x v u v u y x y ∂∂∂=∂∂∂, (,)/(,)x u u v vy x y ∂∂∂=-∂∂∂, (,)/(,)y u u v u x x y ∂∂∂=-∂∂∂, (,)/(,)y u u v v x x y ∂∂∂=∂∂∂.]例3 设sin cos u ux e u vy e u v ⎧=+⎨=-⎩, 求,,,x y x y u u v v .例4 求cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩的反函数组.例5 求sin cos sin sin cos x r y r z r θϕθϕθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩的反函数组.例6 利用sin cos x r θϕ=, sin sin y r θϕ=, cos z r θ=变换2221u u x u y u z ∆=++.例6 已知经过代换2u x yv x ay =-⎧⎨=+⎩后, 方程60zz xy yy z z z +-=化为方程0uv z =,求a 的值.§3 几何应用一、平面曲线的切线与法线平面曲线()y f x =, 在000(,)P x y 处的切线方程000()()y y f x x x '-=-. 若平面曲线由方程(,)0F x y =给出, (,)F x y 在点000(,)P x y 的某邻域内满足隐函数定理条件, 故其在0P 附近可确定连续可微函数()y f x =(或()x g y =). 注意到()y f x =与(,)0F x y =表示的是同一曲线, 故曲线(,)0F x y =在0P 处的切线和法线方程分别为000()()y y f x x x '-=-与0001()()y y x x f x -=--' (或000()()x x g y y y '-=-与0001()()x x y y g y -=--') 又()xy F f x F '=-(或()y xF g y F '=-), 则曲线(,)0F x y =在000(,)P x y 处的切线方程: 000000(,)()(,)()0x y F x y x x F x y y y -+-=, 法线方程: 000000(,)()(,)()0y x F x y x x F x y y y ---=.例1 求Descartes 叶形线 332()90x y xy +-= 在(2,1)处的切线与法线方程.二、空间曲线的切线与法平面 1、 曲线由参数方程给出.设 :(),(),()L x x t y y t z z t ===, ()t αβ≤≤. (1) 下面求L 在其上某点0000(,,)P x y z 处的切线与法线方程, 这里00()x x t =,00()y y t =,00()z z t =,0()t αβ≤≤.假设(1)中三个函数均在0t 处可导且222000(())(())(())0x t y t z t '''++≠,在L 上0P 附近任取一点(,,)P x y z =000(,,)P x x y y z z +∆+∆+∆, 从而连接0P 与P 的割线方程为000x x y y z z x y z---==∆∆∆, 其中00()()x x t t x t ∆=+∆-, 00()()y y t t y t ∆=+∆-, 00()()z z t t z t ∆=+∆-, 又000x x y y z z x y z t t t---==∆∆∆∆∆∆, 令0t ∆→, 则0P P →, 且曲线L 在0P 处的切线方程为000000()()()x x y y z z x t y t z t ---=='''. 进而曲线L 在0P 处的法平面方程为000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z '''-+-+-=.2、曲线由两曲面给出设曲线L 的方程为 (,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩ (2)设1,F G C ∈, 且0(,)0(,)P F G J x y ∂=≠∂. 则由隐函数组定理, 在0P 附近能确定唯一的连续可微函数()x z ϕ=, ()y z ψ=使得1)00()x z ϕ=, 00()y z ψ=,2)1(,)(,)dx F G dz J z y ∂=-⋅∂, 1(,)(,)dy F G dz J x z ∂=-⋅∂. 故曲线L 在0P 处的切线方程为000001P P x x y y z z dx dy dz dz ---==, 即 000000(,)(,)(,)(,)(,)(,)P P P x x y y z z F G F G F G y z z x x y ---==∂∂∂∂∂∂,而L 在0P 处的法平面方程为000000(,)(,)(,)()()()0(,)(,)(,)P P P F G F G F G x x y y z z y z z x x y ∂∂∂-+-+-=∂∂∂.例 2 求曲线22250x y z ++=与锥面222x y z +=所截得的曲线在点(3,4,5)处的 切线与法平面方程.三、曲线的切平面与法线方程设曲面方程由 (,,)0F x y z = (3)给出, 其在0000(,,)P x y z 的某邻域内满足隐函数定理条件. 设000(,,)z F x y z 0≠, 则方程(3)在0P 附近确定唯一1C 函数(,)z f x y =使得000(,)z f x y =且x z F z x F ∂=-∂, y zF zy F ∂=-∂, 从而该曲面在0P 处有切平面与法线其方程分别为000000000000000(,,)(,,)()()(,,)(,,)y x z z F x y z F x y z z z x x y y F x y z F x y z -=----,即 000000()()()()()()0x y z F P x x F P y y F P z z -+-+-= 与000000()()()x y z x x y y z z F P F P F P ---==. 例3 求椭球面222236x y z ++=在(1,1,1)处的切平面方程与法线方程.例4 =(0)a >的切平面在坐标轴上截距之和为常数.§4 条件极值一、条件极值极值问题↔定义域↔条件的限制例 1 设计一个容量为V 的长方形开口水箱, 试问水箱的长x , 宽y , 高z 分别为多少时其表面积最小.(,,)2()S x y z xz yz xy =++ (0,0,0)x y z >>>满足条件 xyz V = ———— 条件极值问题条件极值问题 求(目标)函数()u f x =, 12(,,,)n n x x x x D R =⋅⋅⋅∈⊂在 (约束)条件()0i g x =, 1,2,,i m =⋅⋅⋅, m n <下的极值.设{,()0,1,2,,}i E x D g x i m =∈==⋅⋅⋅, a E ∈. 若存在开球(,)B a r D ⊂,使(,)x E B a r ∈⋂时,()()f x f a ≥(或()()f x f a ≤), 则称f 在a 达到(满足条件()0i g x =)的条件极小(极大)值.例1的解二、条件极值的必要条件 (3n =,2m ≥来讨论)设3D R ⊂为开域, 12,,:f g g D R →为1C 函数, 123(,,)x x x x D =∈. 若f 在点123(,,)a a a a =处达到条件极值, 且111123222123rank 2ag g g xx x g g g x x x ∂∂∂⎛⎫ ⎪∂∂∂⎪= ⎪∂∂∂ ⎪∂∂∂⎝⎭,(1grad ()g a ,2grad ()g a 线性无关). 则存在12,R λλ∈, 使得1212()()()0j j jg g fa a a x x x λλ∂∂∂++=∂∂∂, 1,2,3j =. 即a 是Lagrange 函数1122L f g g λλ=++的驻点.三、Lagrange 乘法求()u f x =, 1(,,)n n x x x D R =⋅⋅⋅∈⊂在条件()0i g x =, (1,2,,)i m =⋅⋅⋅下的极值.方法为1︒ 作Lagrange 函数1111(,,,,,)()()()n m m m L x x f x g x g x λλλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+, x D ∈.2︒ 令0 (1,,)iLi n x ∂==⋅⋅⋅∂, 0 (1,,)j L j m λ∂==⋅⋅⋅∂, 求驻点. (m n +个方程, m n +个未知量)3︒ 求D 中使1,,,m f g g ⋅⋅⋅不为1C 的点, 及使1rank(grad ,,grad )m g g m ⋅⋅⋅<的点.(这些点与驻点成为可能的极值点).4︒ 用无条件极值方法判断上述可能点是否为极值点. 例2 重解例1.例3 求抛物面22x y z +=被平面1x y z ++=截成一个椭圆, 求该椭圆到原点的最长和最短距离.例4 求(,,)f x y z xy yz =+在条件222x y +=, 2y z +=下的极值.例5 求平面一点00(,)x y 到直线0Ax By C ++=的最短距离.例6 求(,,)f x y z xyz =在条件1111x y z r++= (,,,)x y z r R +∈下的极小值, 并证明11113()a b c-++≤, ,,a b c R +∀∈.例7 求目标函数222000(,,)()()()f x y z x x y y z z =-+-+-在约束条件Ax By ++0Cz D +=下的最小值.例8 求1212(,,,)n n f x x x x x x ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅在12n x x x a ++⋅⋅⋅+=约束条件下的最大值.例9 已知12(,,),(,,),(,)G x y z G x y z f x y 都是可微的,(,)(,,(,))i i g x y G x y f x y =, 1,2i =.求证:121112221(,)(,)x y xy z xyzf fg g G G G x y G G G --∂=∂.例11 183P , 5.例10 183P 11二次型, 特征值问题.例12 183P , 12.例13 184P , 14.若函数组(,),(,)u u x y v v x y ==有连续的偏导数, 而(,),(,)x x s t y y s t ==有连续偏导数, 则(,)(,)(,)(,)(,)(,)u v u v x y s t x y s t ∂∂∂=⋅∂∂∂. [设(),()y f x x t ϕ==, 则dy dy dx dt dx dt=⋅.]Jacobi 行列式的几何意义一元 ()y f x =, 0x , 0x x x =+∆, 00()()y f x x f x ∆=+∆-称||||y x ∆∆为f 在0x 到0x x +∆的平均伸缩系数.若0x ∆→, 极限00000()()||limlim |()|||x x f x x f x y f x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆, 则称0|()|f x '为映射f 在0x 处的伸缩系数. (导数的几何意义)若函数组(,),(,)u u x y v v x y ==在开区域G 存在连续的偏导数且(,)x y G ∀∈,(,)(,)0(,)u v J x y x y ∂=≠∂. 函数组将xy 平面的开区域G 变换成uv 平面上的开区域1G ,点00(,)x y G ∈映为点10000((,),(,))u x y v x y G ∈, 则包含点00(,)u v 的面积微元d σ'与对应的包含点00(,)x y 的面积微元d σ之比为00|(,)|J x y . 即0000(,)(,)|(,)|(,)x y d u v J x y d x y σσ'∂==∂.。

隐函数存在定理注: ∧P 读作P roof .定理1 设),(y x F 满足下列条件：i) x F ,y F 在D :a x x ≤-∧||,b y y ≤-∧||上连续; ii) 0),(=∧∧y x F (通常称为初始条件); iii) 0),(≠∧∧y x F y . 则有以下三个结论:(1)0>∃α, 使得在点),(∧∧∧y x P 的某一个邻域内, 方程0),(=y x F 唯一地确定了一个定义在区间),(αα+-∧∧x x 内的隐函数)(x f y =, 满足)(∧∧=x f y .换句话说, 存在定义在),(αα+-∧∧x x 内的函数)(x f y =, 满足0)](,[≡x f x F , 且)(∧∧=x f y ;(2))(x f y =在),(αα+-∧∧x x 上连续;(3))(x f y =在),(αα+-∧∧x x 上有连续的导数, 且),(),()(y x F y x F x f y x -='.定理2 设函数),,,,(21y x x x F n 满足下列条件:i) 偏导数),,2,1(n i F i x =和y F 在D :),,2,1(||n i a x x i i i =≤-∧,b y y ≤-∧||上连续, 其中0>b ,),,2,1(0n i a i =>;ii) 0),,,,(21=∧∧∧∧y x x x F n ; iii) 0),,,,(21≠∧∧∧∧y x x x F n y . 则有以下结论成立:(1)存在),,,(21∧∧∧∧n x x x Q 的一个邻域)(∧Q O , 使得在点),,,,(21∧∧∧∧∧y x x x P n 的某个邻域内, 方程0),,,,(21=y x x x F n 唯一地确定了一个定义在)(∧Q O 的n 元隐函数),,,(21n x x x f y =, 满足),,,(21∧∧∧∧=n x x x f y .换句话说, 存在函数),,,(21n x x x f y =,∈),,,(21n x x x )(∧Q O , 使得当∈),,,(21n x x x )(∧Q O 时,,,,,[21n x x x F ),,,(21n x x x f 0]≡,且),,,(21∧∧∧∧=n x x x f y ;(2)),,,(21n x x x f y =在)(∧Q O 内连续;(3)),,,(21n x x x f y =在)(∧Q O 内有连续的偏导数, 且n i y x x x F y x x x F f n x n x x i i i ,,2,1,),,,,(),,,,(2121 =-=.定理3 设函数),,,(v u y x F 和),,,(v u y x G 满足:i) 在点),,,(∧∧∧∧∧v u y x P 的某个邻域U 内, F ,G 对各变元均有一阶连续偏导数; ii) 0)(=∧P F ,0)(=∧P G (称为初始条件); iii) 0),(),(≠∂∂=∧∧PPv u G F J.则有以下结论成立:(1)在点∧P 的某个邻域U ⊂∆内, 方程组⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F 唯一地确定一组函数),(y x u u =,),(y x v v =,它们定义在),(∧∧y x 的某个邻域D 内, 当D y x ∈),(时,∆∈),,,(v u y x ,满足),(∧∧∧=y x u u ,),(∧∧∧=y x v v ,且D y x y x v y x u y x G y x v y x u y x F ∈⎩⎨⎧≡≡),(,0)],(),,(,,[,0)],(),,(,,[; (2)),(y x u u =及),(y x v v =在D 内连续;(3)),(y x u u =及),(y x v v =在D 内有关于x ,y 的偏导数, 且),(),(1v x G F J x u ∂∂-=∂∂, ),(),(1v y G F J y u ∂∂-=∂∂, ),(),(1x u G F J x v ∂∂-=∂∂, ),(),(1y u G F J y v ∂∂-=∂∂.定理4 设函数组),(y x u u =,),(y x v v =满足i) 在),(∧∧∧y x P 的某邻域D 内对x ,y 有连续偏导数; ii) ),(∧∧∧=y x u u ,),(∧∧∧=y x v v ; iii) 0),(),(≠∂∂=∧∧PPv u G F J.则在),(∧∧∧y x Q 的某邻域D '内存在唯一一组反函数),(v u x x =,),(v u y y =使得(1)),(∧∧∧=v u x x ,),(∧∧∧=v u y y ,且当D v u '∈),(时D y x ∈),(,有)],(),,([v u y v u x u u ≡, )],(),,([v u y v u x v v ≡;(2)),(v u x x =,),(v u y y =在D '内存在连续的一阶偏导数, 且y v J u x ∂∂=∂∂1, yu J v x ∂∂-=∂∂1, x v J u y ∂∂-=∂∂1, xu J v y ∂∂=∂∂1.推论1 在定理4的条件下有1),(),(),(),(=∂∂⋅∂∂y x v u v u y x .推论2 设函数组),(y x u u =,),(y x v v =在开集D 内有连续偏导数, 且在D 内),(),(y x v u ∂∂恒不为零, 则由函数组定义的映射)(:D T D T →的像集)(D T 是uv 平面上的开集.推论3 在推论2的条件下, 设D E ⊂是任一有界闭集, 则它的像集))()((D T E T ⊂也是有界闭集, 且E 的内点映射为)(E T 的内点, E 的边界点映射为)(E T 的边界点映射.定理5 设有n 个m n +元函数),,,,,,,(2121n m i y y y x x x F ),,2,1(n i =,满足i) 在点),,,,,,,(2121∧∧∧∧∧∧∧n m y y y x x x P 的某邻域U 内有对各变元的连续偏导数; ii) n i P F i ,,2,1,0)( ==∧; iii) .0),,,(),,,(2121≠∂∂=∧Pn n y y y F F F J则有以下结论成立:(1) 在∧P 的某邻域内, 方程组0),,,,,,(121=n m i y y x x x F ,n i ,,2,1 =,唯一地确定函数组),,,(21m i i x x x f y =,n i ,,2,1 =,它们定义在),,,(21∧∧∧m x x x 的某邻域D 内, 使得),,,(21∧∧∧∧=m i i x x x f y ,n i ,,2,1 =,且当D x x x m ∈),,,(21 时有恒等式0)],,,(,),,,,(,,,,[2121121≡m n m m i x x x f x x x f x x x F ;(2) 这组函数),,2,1(n i f i =在D 内连续;(3) 这组函数),,2,1(n i f i =在D 内对个变元有连续的偏导数, 且对j x ),,2,1(n j =的偏导数可由下面方程组解出:02211=∂∂∂∂++∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂jn n i j i j i j i x fy F x f y F x f y F x F ),,2,1(n j =.。

隐函数定理及其证明隐函数定理：如果:nmmf ⨯→是k C 映射，满足(1) 00(,)0f =x y ， (2)00(,)f∂∂x y y可逆。

则存在12,0δδ>以及唯一的k C 映射01:(,)mh B δ→x 使得：对任意01δ-<x x ，02δ-<y y ，(,)0f =x y 当且仅当()h =y x 。

分析：【由一元到多元】如果1m =时定理成立，则我们可以把一般情形转化为1m =的情形。

理由如下： 令100(,)(,)(,)f g f -⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭x y x y x y y 。

则(,)0f =x y 当且仅当(,)0g =x y ，从而00(,)0g =x y 。

100(,)(,)(,)gf f -⎛⎫∂∂∂= ⎪∂∂∂⎝⎭x y x y x y y y y ， 因此00(,)gI ∂=∂x y y 。

因此00(,)1m mgy ∂=∂x y 。

如果一维时定理成立，则我们得到k C 映射(,)m h x y ，其中11(,,)m y y -=y ，使得在00(,)x y 的一个邻域中，(,,)0m m g y =x y 当且仅当(,)m m y h =x y 。

因此(,)0g =x y 当且仅当(,)0g =x y ，121(,,(,))(,,(,))(,)(,,(,))m m m m g h g h g g h -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭x y x y x y x y x y x y x y 。

112211(,,(,))(,,(,))(,)(,,(,))(,,(,))(,)(,)(,,(,))(,,(,))(,)m m m m mm m mm m m m m m m m mh g g h h y y h g g h h g y y g g h h h y y --∂∂∂⎛⎫+ ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂+ ⎪∂∂∂=∂ ⎪∂ ⎪⎪∂∂∂ ⎪+ ⎪∂∂∂⎝⎭x y x y x y x y x y y x y x y x y x y x y x y y y x y x y x y x y x yy ，11100000000222000000000011100000000(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)m m m m m m m m m m m mh g g g y y h g g g g y y g g g h y y ---∂∂∂∂⎛⎫⎛+ ⎪ ∂∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂∂+ ⎪∂∂∂==∂∂ ⎪∂ ⎪ ⎪∂∂∂∂ ⎪+ ⎪∂∂∂∂⎝⎝⎭x y x y x y x y y y x y x y x y x y x y y y y x y x y x y x y yy 1m I -⎫⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎭。

ｎ＋１元方程所确定的隐函数存在定理及其证明
摘要：本文对多元向量值函数的微分中值定理进行了证明，在此基础上，利用微分学及在映射下变量与变量的关系证明了这个隐函数存在定理。

关键词：多元向量值函数微分中值定理隐函数存在定理
一、引言
在数学分析中，微分中值定理和隐函数存在定理，都是重要的定理.但在现有的文献中，对这些定理都没有系统的叙述和证明.在文献[1]中，对二元向量值函数给出了这些定理.本文把这些重要的定理推广到了元向量值函数.本文采用的定理和记号见文献[1].
二、证明微分中值定理
三、证明隐函数存在定理
这个定理有多种证明方法，如
(1)对隐函数的维数作数学归纳法的递推证明，见文献[3]；
(2)用不动点原理先证明反函数定理，再推广处理隐函数定理；
(3)采用把向量函数方程确定隐函数(组)的问题，直接归化为纯量函数方程的形式来证明，见文献[2]；
(4)利用在映射下变量与变量的关系证明，见文献[1].
参考文献：
[1]丁晓庆. 工科数学分析[M]，北京：科学出版社，2002.
[2]华东师范大学数学系. 数学分析[M]，北京：高等教育出版社，1999.
[3]黄玉民、李成章. 数学分析[M]，北京：科学出版社，1999.
(责任编辑：毕庆国)
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