@测量旗杆的高度-实验报告

研究性学习课题测量旗杆的高度问题情境设计：对于像旗杆、楼房、树、水塔等这些比较高的物体，除了可以直接测量外，可不可以用间接的方法知道它们的高度呢？我们刚学习过三角形相似的判定条件和性质，请同学们积极思考，看是否可以把那些书本知识应用到这里．开始研究前把学生分成若干小组，教师引导学生先讨论方案，然后再进行户外实际测量，然后进行数据计算，最后组织学生交流讨论，整个研究性学习过程如下．引出问题1．对于旗杆、楼房、树、水塔等比较高物体，除了直接用皮尺测量外，请同学们想一想有哪些间接方法？2．据同学们观察，测绘人员是如何测量他们高度的？3．可不可以利用旗杆的影子，结合我们刚学习过的三角形相似的判定条件和性质知识，来间接测量计算出旗杆的高度？1．该环节的设计目的是：教师创设问题情境，学生充分体会问题情境，激发研究的心向和积极性；2．本课题的目的是激发学生应用三角形相似的判定条件和性质知识的强烈欲望和兴趣，巩固所学知识，同时培养动手能力、合作交流能力．学们思考方案1．将学生分成若干小组，注意不同特点学生的混合；2．鼓励学生到实地观察、积极思考；3．引导学生提出尽可能多的方案；4．方案确定下来之后，进一步引导学生思考具体实施步骤、所需的工具等，制定研究计划．讨论并确定方案1．教师根据本课题特点，确定采用小组研究的活动形式；2．学生了解研究的一般步骤，在这阶段完成问题分析、方案确定、计划制定等工作．执行计划具体做法：学生提出的方案之多完全出乎我的意料之外，按照他们采用的策略分为以下几类：(1)利用阳光下的影子方法一：选一名同学直立于旗杆影子的顶端C处，其他人分为两部分，一部分同学测量该同学的影长BC与身高AC，另一部分同学测量同一时刻旗杆的影长CD，根据测量数据，利用相似三角形的对应边成比例，便能求出旗杆ED的高度．方法二：选一名同学直立于旗杆影子的适当位置，使得人的影子顶端与旗杆影子顶端B重合，其他人分为两部分，一部分同学测量该同学的影长BC与身高AC，另一部分同学测量同一时刻旗杆的影长BD，根据测量数据，利用相似三角形的对应边成比例，便能求出旗杆ED的高度．方法三：选一名同学直立于旗杆底端，使得人AD与旗杆部分“重合”，其他人分为两部分，一部分同学测量该同学的影长BD与身高AD，另一部分同学测量同一时刻旗杆的影长CD，根据测量数据，利用相似三角形的对应边成比例，便能求出旗杆ED的高度．方法四：将人分为两部分，选一名同学随便站直，一部分同学测量该同学的影长a与身高b，另一部分同学测量同一时刻旗杆的影长c，根据测量数据，利用身高与影长的比等于旗杆实际高与其影长的比，便求出旗杆的高度x．(2) 利用标杆如上图每个小组选一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上直立一根高度适当的标杆，观测者适当调整自己所处的位置，当旗杆的顶部A、标杆的顶端E与眼睛C恰好在一条直线上时，其他同学立即测出观测者的脚到旗杆底部的距离BD，以及观测者的脚到标杆底部的距离DF,(或测出标杆到旗杆的距离BF)，还有观测者的眼睛离地面的高度CD，根据测量数据，便能求出旗杆的高度．(使用这种方法时，观测者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端“三点共线”，标杆与地面要垂直．) 利用同一组数据，在教师引导下同学们想出若干种异曲同工的算旗杆高度的方法，学生的积极性被充分调动起来．算法一：算法二：算法三：算法四：(3)利用镜子的反射这种方法比较困难，一般情况下学生很难想到，但是它是多学科知识的综合利用，很有典型意义，教师可以先把工具和用到的物理学知识“入射角等于反射角”介绍给学生，然后通过循序渐进的引导，帮助学生思考、探索．具体方法是：选一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记，观测者看着镜子来回移动，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，其他同学立即测出观测者的脚到镜子上的标记的距离CE，以及旗杆到镜子上的标记的距离BC，还有观测者的眼睛离地面的高度DE，根据测量数据，便能求出旗杆的高度．2．按照既定的方案具体测量、记录所需数据，各小组成员之间需要协同合作；3．根据测量的数据，按方案确定的算法算出旗杆高度，并完成实验报告的纂写．1．激励学生的求知欲与好奇心．在活动中，学生由于亲自动手操作，从一个旁观者和听众变成一个参与者，因此对新的知识产生强烈的好奇心，培养了学生创造精神和实践能力．而且有利于培养学生对数学的情感，增强学生学习的自信心和克服困难的意志力；2．加深学生三角形相似判定条件和性质的理解，通过本活动的训练，学生掌握了解决问题的方法和策略，提高解决问题的能力；3．本课题的完成需要小组成员通力协作，培养了学生的团队精神和合作交流能力；4．测绘工具的使用，培养了学生的动手能力，大部分学生由于初次接触，很多数据要重复多次才能测准，因而本课题让学生明白研究活动的困难，在一定程度上培养了他们不怕吃苦，艰苦奋斗5．反射定理的应用给学生以启发：现实生活中问题解决可能涉及多学科知识，必须培养多学科知识综合利用能力；6．本课题中，学生通过积极思考，提出了很多中可行的方案，问题的解决给学生以很大的成就感，增加了他们学习数学的兴趣；7．通过研究报告的规范书写，培养学生清晰、有条理地表达研究方法和成果能力，做到言之有理、落笔有据．结果展示和经验交流教师组织学生以小组为单位首先通过汇报或作品展览等形式，展示各小组的研究结果，其次讨论分析研究结果的正误，然后交流研究的心得．该环节一方面可以让学生拓展自己思维，了解更多的解决问题途径，另一方面可以培养他们语言表达能力和归纳、小结、反思的习惯和能力．总结与评价教师或教师指导学生自己或相互之间对研究的结果、策略方法、期间的表现等进行评价，总结研究获得的经验教训，探讨弥补的措施．通过鼓励性评价，保持和提高学生研究性学习的兴趣．问题扩展教师可以在活动结束时，给出一些延伸课题，例如：1．研究古埃及金字塔的高度是如何测量出来的?2．一盗窃犯于夜深人静之时潜入某单位作案，该单位的自动摄像系统摄下了他作案的全过程．请你为警方设计一个方案，估计该盗窃犯的大致身高．进一步深化知识，使研究性学习得以延伸，体现研究学习模式的开放性．小结传统的初中数学教育在传递和普及认识成果时，起到了重要的作用，但是严重制约着学生个性的发展，因而我们不得不对其进行深刻的反思，研究性学习是一种能适应新形势发展的需要，能让学生在科学研究的活动中，培养创新意识和激发创造动机的新兴教学理念．本文就如何开发出适合初中数学教学的研究性学习课题作了一定的探索与实践．本文首先阐述了研究性学习的内涵，分析了在初中数学教学中引入研究性学习的必要性；本文的重点是探讨如何开发出适合初中数学教学的研究性学习课题，根据课题是来自数学科学内容，还是来自生活、生产实际，将其分为数学探究型和数学应用型两类分别进行设计研究，详细给出了拼图和勾股定理证明和测量旗杆高度两个案例．通过本课题的研究，作者在教育观念上有了很大转变，理论水平也有所提高，同时培养了自己的开拓与创新意识，提高了教育教学水平，但由于理论水平有限，很多观点还不够全面、不够成熟，诚恳希望各位老师和专家提出宝贵意见．2011．6．30。

测量旗杆的高度温州实验中学分校 上官光毅【案例背景】本节选自北师大义务教育课程标准实验教材数学八年级下册第四章第七节．之前，学生已学了三角形相似的相关知识，通过本堂课的活动，让学生综合运用相似三角形的判定条件和性质解决问题，加深对三角形相似的理解和认识．“测量旗杆的高度”这一课例有较强的操作性，要求学生小组合作、共同分析和解决问题．在课堂中，我计划与学生一起探索测杆高的三种方法。

在我们共同探索得到第一种方法“利用太阳光是平行光，运用两个三角形相似”可以测出杆高，一位学生提出能否利用这种方法测量金字塔的高度．本身这一问题是作为课后阅读部分的，但基于这位学生的浓厚的兴趣和求知欲，何况这正是培养学生问题意识和自主探索的好机会，于是我及时引导全班同学把注意力转移到这个问题上．原本认为只要简单的应用前面的方法就可以解决问题，但学生们发现金字塔顶的投影在其内部，实际无法测量．在离课堂结束的25分钟时间里头，我经历了好几次“尴尬”的场面．最后一位学生说出了“测两次”的大胆想法，它也直接触动了我的灵感，我们根据相似三角形的概念终于推导出了一条可行的“公式”．离开教室的时候，我一身轻松。

课堂虽然没有按我的计划实施，但它比我以往的任何时候都精彩．【案例描述】（说明：本节内容2课时，第一节是室外活动课，下面展示的是第二节课的课堂实录片段）（一）知识回顾：相似三角形的性质和判定条件（二）建立模型：测量旗杆的高度师：每周我校要举行升旗仪式，怎样求出旗杆的高度呢？生1：科学课中，我们知道由于太阳离我们非常的遥远，因此可以把太阳光看成平行光，如图，在同一时刻，旗杆及影子、旗杆的顶端和影子的端点连线可构成一个直角三角形；同样，人及影子、头顶和影子的端点连线也可构成一个直角三角形．这两个直角三角形相似，利用比例式可求得旗杆的高度．G A B C P O M O E M FE D CB AAC DF ∥Q ∴ABC ∆∽DEF ∆∴AB BC AD AF = ⇒ 旗杆高ADAB AF BC ⋅= 生2：这个方法能用来测金字塔的高度吗？师：（我犹豫了一下）当然能．随即我画出示意图，AB 表示旗杆长度，C 为杆顶在地面上的影子，G 为塔尖在地面上的影子，PO 即为金字塔的高度． 根据图示，由于ABC ∆∽POG ∆． ∴BC OG AB PO ⋅=，BC OG AB ，，均可测， 所以塔高PO 的长可求． 生3：塔尖在地面上的投影实际看不到，OG如何测量呢？我一方面惊诧于学生的发现，一方面仔细回顾金字塔的形状．金字塔不同于树，它是锥形结构的建筑，所以测量金字塔的高PO 的阴影OG 是不现实的．我突然有些尴尬，不知道如何回答学生的疑问．在没有完全想好的情况下，我给自己和学生提了个问题：师：既然不可测量，能否通过计算得到呢？生：好象很麻烦．我注意到如果把OG 分成两条线段，可测的GM 与不可测的OM ，由于金字塔底面是一个正方形，取M 点所在边的中点E ，可构造直角三角形OEM ．根据勾股定理，222EM OE OM +=，EM 可测，OE 恰为边长的一半，所以通过测量和计算最终可以得到OG 的长度．我舒了口气， 并向学生作了耐心的讲解．但学生觉得此法有些烦琐，不仅要多次测量，计算也显得不太精确．因为大多数学生的半信半疑，部分缺乏想象能力的同学也似乎听不明白我在说什么．于是，我又陷入了尴尬的境地．（怎么办呢？）（学生开始议论纷纷，过了2分钟）生4：（大声说道）能不能测两次似乎是看见了希望的曙光，我立刻请他起来解释他的想法，全班同学也开始安静下来． 师：说说你想怎么测？生4：其实我也没有完全想好，我觉得因为标杆长度不变，通过在不同位置测量就会多一些信息．（虽然这位学生讲得不够成熟，但他想到了别人没有想到的东西，我为他的敢于猜想感到振奋．随即我在脑海里作了一下勾勒，觉得学生的想法很值得探索一番．）师：讲得很有道理！（鼓励他具体地表述自己的猜想，并尝试画出示意图）如图，EF CD 、表示不同位置的标杆，即利用标杆测两次．应用相似三角形的理论，如上图所示由Rt MCD ∆∽Rt MAB ∆，Rt NEF ∆∽Rt NAB ∆，可得BMDM AB CD =，即DM AB BM CD ⋅=⋅． ① BNFN AB EF =， 即FN AB BN EF ⋅=⋅． ② ②－①，并注意到EF CD =，得)()(DM FN AB BM BN CD −⋅=−⋅注意BM BN MN −=，可得 DMFN CD MN AB −⋅=． * 只要代入相应的数值，就可以求得金字塔的高度．这正是大家期望的一个可行方案，因为所有的数据都可以测量得到．而且推导出的公式（*）也具有通用性，它可以用来解决类似的测量不可到达底部物体的高．学生们也很认可这个方法，我也表扬了那位提出这个想法的学生．这次的成功使得这个并不优秀的学生更加自信，也更加对数学充满热情．下课铃响了，当我走出教室，我回味着课堂的每一分钟．【课后反思】本课内容是在学生实验活动基础上展开的．课堂中，首先是与学生共同分析收集到的数据，从而使大家认识到：“在同一时刻，任何物体的高度与影长之比相同”．由此，对测量旗杆高度的方法进行探索，在探索中进一步熟悉和运用相似三角形的条件．在课堂前面15分钟，我们已经掌握了一种测量旗杆高度的方法：借助人的身高和影长之比来求．本来可以继续介绍另外两种方法，顺利完成教学任务．但学生提出的“如何测量金字塔的高度”破坏了我的教学程序．但教师不能回避问题，即使是你自己无法解答的．在解决问题的过程中，虽然出现了很多尴尬，但我们还是有很多收获．最后，居然是学生的一个不经意的想法改变了尴尬的局面．所以对于学生的疑问，我们永远需要在意．重复利用相似，并借助方程的知识，最后得到了一个通用的公式．这是课堂的高潮，一个巨大的收获．这个结果的震撼力在于学生发现自身有无限的创造力．在教学活动中，教师要善于激发学生的学习潜能，鼓励学生大胆地创新与实践；要创造性的使用教材，积极开发、利用各种资源，为学生提供丰富的学习素材．学生学习不再是一种被动地吸收知识，通过反复练习强化储存知识的过程，而是通过学生反复研究、探索、思考、概括、交流、练习，使学生亲身经历数学过程，用学生原有的知识处理新的任务，并建构他们自己的意义．数学的学习过程充满了探索的乐趣、创造的乐趣和发现的乐趣，学习过程应该是主动的、活泼和有趣的，本课的教学真实地体现了这些乐趣．温州市优秀数学教学案例三等奖。

活动：测量旗杆的高度
教学目标：
1.会测量并记录测量的数据。

2.会根据测量的数据计算旗杆的高度。

3.感受数学与日常生活的密切联系，对比的知识充满好奇。

教学重难点：
根据测量的数据计算旗杆的高度。

教具准备：
1米、2米的竹竿各一根，卷尺一把。

教学过程：
1、介绍具体的测量方法和要求。

5人一组，1人负责填写记录，1人拿1米的竹竿，1人拿2米的竹竿，两人拿米尺测量同一时间的影长。

2、分组分头选择地点开始测量，并填写好测量记录表。

测量时间：测量人：
竹竿竹竿旗杆高度（米） 1 2
影长（米）
3、根据测量数据，计算出竹竿高度和竹竿影长的比值，或竹竿影长和竹竿高度的比值，并发现比值相等。

4、计算旗杆的高度。

活动总结：
小组交流总结：在阳光下，同一时间，同一地点，测量不同的物体，物体的高度与影长的比值相等或物体的影长与物体的高度的比值相等。

5、课后练习
傍晚时分，亮亮、爸爸、妈妈在广场上散步，表中记录了它们三人在同一时间的影长。

爸爸妈妈亮亮影长（米）350 320 300
（1）三人中，最高的是（），最矮的是（）。

（2）如果亮亮的身高是150厘米，你知道爸爸和妈妈的身高吗？。

《测量旗杆的高度》教学设计（附：教学反思）《测量旗杆的高度》教学设计（附：教学反思）一、教学目标（一）教学知识点1.通过测量旗杆的高度的活动，巩固相似三角形有关知识，积累数学活动的经验.2.熟悉测量工具的使用技能，了解小镜子使用的物理原理.（二）能力训练要求1.通过测量活动，使学生初步学会数学建模的方法.2.提高综合运用知识的能力.（三）情感与价值观要求在增强相互协作的同时,经历成功的体验,激发学习数学的兴趣.二、教学重点1.测量旗杆高度的数学依据.2.有序安排测量活动,并指导学生能顺利进行测量.三、教学难点1.方法2中如何调节标杆,使眼睛、标杆顶端、旗杆顶部三点成一线.2.方法3中镜子的适当调节.四、教学方法1.分组活动.2.交流研讨作报告.五、教学过程Ⅰ.创设问题情境，引出课题［师］今天我们要做一节活动课,任务是利用三角形相似的有关知识,测量我校操场上旗杆的高度.请同学们回忆判定两三角形相似的有关条件.［生］对应角相等,两三角形相似;对应边成比例,两三角形相似;有两组对应边成比例且其夹角相等,两三角形相似.Ⅱ.新课讲解［师］好,外边阳光明媚,天公做美,助我们顺利完成我们今天的活动课目——测量旗杆的高度.首先我们应该清楚测量原理.请同学们根据预习与讨论情况分组说明三种测量方法的数学原理.方法一：:利用阳光下的影子.（出示投影片§4.7 A）图4－34从图中我们可以看出人与阳光下的影子和旗杆与阳光下的影子构成了两个相似三角形（如图4－36）,即△EAD∽△ABC，因为直立于旗杆影子顶端处的同学的身高和他的影长以及旗杆的影长均可测量得出，根据可得BC=，代入测量数据即可求出旗杆BC的高度.［师］有理有据.你们讨论得很成功.请乙组出代表说明方法2.方法二:利用标杆.（出示投影片§4.7 B）图4－35如图4－35，当旗杆顶部、标杆的顶端与眼睛恰好在一条直线上时,因为人所在直线AD与标杆、旗杆都平行,过眼睛所在点D作旗杆BC 的垂线交旗杆BC于G,交标杆EF于H,于是得△DHF∽△DGC.因为可以量得AE、AB,观测者身高AD、标杆长EF,且DH=AE DG=AB 由得GC=∴旗杆高度BC=GC+GB=GC+AD.［同学A］我认为还可以这样做.过D、F分别作EF、BC的垂线交EF于H，交BC于M，因标杆与旗杆平行，容易证明△DHF∽△FMC∴由可求得MC的长.于是旗杆的长BC=MC+MB=MC+EF.［师］你想得很周到，大家有如此出色的表现，老师感到骄傲，请丙组同学出代表讲解.图4－36方法三、利用镜子的反射.（出示投影片§4.7 C）这里涉及到物理上的反射镜原理，观测者看到旗杆顶端在镜子中的像是虚像，是倒立旗杆的顶端C′，∵△EAD∽△EBC′且△EBC′≌△EBC∴△EAD∽△EBC,测出AE、EB与观测者身高AD，根据，可求得BC=.［师］同学们清楚原理后，请按我们事先分好的三大组进行活动，为节省时间，每组分出三个小组分别实施三种方法，要求每小组中有观测员，测量员，记录员，运算员，复查员.活动内容是：测量我校操场上地旗杆高度.［同学们紧张有序的进行测量］［师］通过大家的精诚合作与共同努力，现在各组都得到了要求数据和最后结果，请各组出示结果，并讨论下列问题：1.你还有哪些测量旗杆高度的方法？2.今天所用的三种测量方法各有哪些优缺点？通过下表对照说明测量数据的误差情况，以及测量方法的优劣性. （出示投影片§4.7 D）对照上表，结合各组实际操作中遇到的问题，我们综合大家讨论情况做出如下结论.1.测量中允许有正常的误差.我校旗杆高度为20 m，同学们本次测量获得成功.2.方法一与方法三误差范围较小，方法二误差范围较大，因为肉眼观测带有技术性，不如直接测量、仪器操作得到数据准确.3.大家一致认为方法一简单易行，是个好办法.4.方法三用到了物理知识，可以考查我们综合运用知识解决问题的能力.5.同学们提出“通过测量角度能否求得旗杆的高度呢”.有大胆的设想，老师很佩服，在大家学习了三角函数后相信会有更多的测量方法呢.Ⅲ.课堂练习高4 m的旗杆在水平地面上的影子长6 m，此时测得附近一个建筑物的影子长24 m，求该建筑物的高度.图4－37分析：画出上述示意图，即可发现：△ABC∽△A′B′C′所以=于是得，BC==16 （m）.即该建筑物的高度是16 m.六、课时小结这节课我们通过分组活动，交流研讨，学会了测量旗杆高度的几种常用方法，并且明白了它的数学原理——相似三角形的有关知识，初步积累了一些数学建模的经验.Ⅴ.课后作业习题4.91.以组为单位完成一份实践报告.附：习题答案与提示：2.小树高4 m.3.参考方案：选取罪犯直立时的影像并量取长度，再选当时室内一参照物并量取参照物实际高度和它影像的高度，由罪犯实际身高∶罪犯影像长=参照物实际高度∶参照物影像高度.可得罪犯实际身高. Ⅵ.活动与探究雨后初晴，同学们在操场上玩耍，可看到积水中的影子，你能否利用积水测量旗杆的高度？其中原理是什么？（借鉴课本中测量旗杆的高度的方法2）.●板书设计§4.7 测量旗杆的高度一、测量原理：相似三角形对应边成比例.二、三种测量方法的优缺点三、课堂练习（学生画示意图）四、小结课后反思：《测量旗杆的高度》作为一节活动课来呈现意在更好地让学生在实际操作中掌握相似三角形的判定与性质。

研究性学习课题研究报告——测量旗杆的高度研究课题名称：测量学校旗杆的高度所教年级：九年级研究学科：数学所在学校：大同县杜庄中学指导老师:王春梅课题成员：马英黎明张家辉李瑶一、课题背景、意义及介绍1、背景说明：如何测量旗杆的高度，我们知道可以利用数学解决一些实际问题。

现在我们学了三角函数后，当然也要学以致用。

所以这次我们是用“三角函数”的知识来测量以学校操场为水平面的其他物体的高度。

2、课题的意义:学习了解直角三角形内容之后，为了进一步提高学生对知识的应用，能应用解直角三角形解决一类观测实际问题,对学校的旗杆、建筑物的高度进行测量，进一步了解数学建模思想，能将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系。

3、课题介绍活动的内容有三条,活动一：测量倾斜角；活动二：测量底部可以到达的物体的高度；活动三:测量底部不可以到达的物体的高度;先在课堂上讨论、设计方案，然后进行室外的实际测量，活动结束时，应要求学生写出活动报告.重点是让学生经历设计活动方案、自制仪器或运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程.能够对仪器进行调整和对测量的结果进行矫正，从而得出符合实际的结果。

综合运用之间三角形的边角关系的知识解决实际问题，培养学生不怕困难的品质，发展学生的合作意识和科学精神。

二、研究性学习的教学目标和方法（一)知识与技能1、经历活动设计方案2、经历运用仪器进行实地测量及撰写活动报告的过程。

3、能利用直角三角形的边角关系的知识解决实际问题。

（二)过程与要求1、经历活动设计方案2、经历运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程。

3、回顾、整理已学过的测高的方法以及相关知识。

综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题。

4、经历运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程.5、能够对所得到的数据进行分析,能够对仪器进行调整和对测量结果进行矫正，从而得出符合实际的结果。

6、能综合应用直角三角形的边角关系的知识解决实际问题。