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第三章 习题解答

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第三章 复变函数积分1.沿下列路线计算积分∫+i dz z 302。

（1）自原点到i 3+的直线段（2）自原点沿实轴至3，再由3沿垂直向上至i 3+； （3）自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向右至i 3+。

解（1）⎩⎨⎧==,,3t y t x 10≤≤t ，故t t z i 3+=，10≤≤t 。

()dt dz i 3+=于是 ()()dt t t dz z i 3i 32130102++=∫∫+ ()∫+=1023i 3dt t()6i 33101|i)3(31333=+=+=t （2）∫∫∫∫++++=i30i30222221dz z dz z dz z dz z C C 。

1C 之参数方程为⎩⎨⎧==,,3t y t x ()10≤≤t ；2C 之参数方程为 ⎩⎨⎧==,,3t y x ()10≤≤t 故()∫∫∫++=⋅++⋅=i3011222i 3266i i 339dt t dt t dz z 。

（3）∫∫∫∫∫+++=+=i30i 0i3i2222243dz z dz z dz z dt z dz z C C 。

()10i :3≤≤=t t z C ；()10i 3:4≤≤+=t t z C ，故()∫∫∫++=⋅++⋅−=i3011222i 32663i 3i dt t dt t dz z 2．分别沿x y =与2x y =算出、积分()∫++i dz y x102i 的值。

解（1）沿x y =。

此时()10i ≤≤+=t t t z 。

()dt dz i 1+=，于是()()()∫∫+++=+i 101022i 1i i dt t tdz y x()()()∫+−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=++=102i 65612i 31i 1i i 1dt t t 。

（2）沿2x y =，此时()10i 2≤≤+=t t t z 。

()dt t dz 2i 1+=，故()()()∫∫+++=+i 10102222i 1i i dt t t tdz y x()()()()∫∫++=++=113222i i 12i 1i 1dt t t dt t t()i 65612i 31i 1+−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=。

3．设()z f 在单连域D 内解析，C 为D 内任何一条正向简单闭曲线，问()[]()[]∫∫==0Im Re dz z f dz z f CC是否成立，如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。

解 未必成立。

令()z z f =，1:=z C ，则()z f 在全平面上解析，但是()[][]∫∫=πθθ20Re Re i i C de e dz z f ()∫≠=+−=ππθθθθ200i cos i sin cos d()[][]∫∫=πθθ20i i Im Im de e dz z f C ()∫≠−=+−=ππθθθθ200cos i sin sin d4．利用单位圆上1z z =的性质，及柯西积分公式说明2i Czdz π=∫v ，其中C 为正向单位圆周||1z =。

解12i C Czdz dz z π==∫∫v v ，（利用柯西积分公式） 5．计算积分dz zzC∫的值，其中C 为正向圆周：（1）2=z ；（2）4=z 解 （1）因在2||=z 上有2||=z ，4||2==⋅z z z ，从而有zz 4=，故有 i 422||2||2||4π===∫∫∫==dz z dz dz z z z C z Z（2）因在C 上有4||=z ，16||2==⋅z z z ，从而有zz 16=，故有 i 844||4||4||16π===∫∫∫==dz zdz dz z zz C z Z6．利用观察法得出下列积分的值。

解 利用柯西－古萨基本定理和柯西积分公式。

7．沿指定曲线的正向计算下列各积分。

（1）∫−Czdz z e 2，1|2:|=−z C （2）22Cdzz a −∫v ，:||C z a a −=（3）i 21z Ce dzz +∫v ，:|2i |3/2C z −= （4）3Czdzz −∫v ，:||2C z = （5）23(1)(1)C dzz z −−∫v :||1C z r =<（6）3cos Cz zdz ∫v ，0C z 为包围＝的闭曲线（7）22(1)(4)Cdzz z ++∫v ，:||3/2C z = （8）sin C zdzz ∫v ，1|:|=z C（9）∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛−Cdz z z 22sin π，2|:|=z C（10）5z C e dz z ∫v ，1|:|=z C解 （1）由Cauchy 积分公式，∫==−=Cz zze e dz z e i 2i 2222ππ（2）解1：∫∫=+=−+=−=CCaz aaz dz a z a z a z dzi 1i 2122ππ，解2：∫∫∫⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−=−CC C dz a z dz a z a a z dz 112122[]i 0i 221a aππ=−= （3）由Cauchy 积分公式，i i i 2i/(i)2i /1-i i z z zCCz e dz e dz z e e z z z ππ=+===++∫∫v v（4）（5）（6）由柯西基本定理知：其结果均为0（7）因被积函数的奇点i ±=z 在C 的内部，i 2±=z 在C 的外部，故由复合闭路定理及Cauchy积分公式有：∫∫∫=+=−+++++=++31|i |2231|i |2222)4)(1()4)(1()4)(1(z Cz z z dzz z dz z z dz =()()()()∫∫=+=−++++−++31|i |231|i |2i4i 1i4i 1z z dz z z z dz z z zi2i2)4i)((1i2)4i)((1i2−==+−+++=z z z z z z ππ033=−=ππ（8）由Cauchy 积分公式，0sin 2isin |0z C zdz z z π===∫v（9）由高阶求导公式，()0'sin i 22sin 22==⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=∫πππz Cz dz z z（10）由高阶求导公式，(4)052i i()|4!12z z z C e dz e z ππ===∫v 8．计算下列各题：1）3i2izedz ππ−∫； 2）06ch 3zdz π∫； 3）i2-isin zdz ππ∫； 4）1sin z zdz ∫；5）i(i)zz e dz −−∫； 6）i211tan (1i )cos zdz z+∫沿到的直线段。

解 1）3i23i2i i02z ze e dz ππππ−−=∫＝2）i /6i61ch 3sh 3|i/33zdz z ππ==−∫ 3）ii2i -i -i-i 1cos 2sin 21sin ()|(sh 2)i 2242z z z zdz dz ππππππππ−==−=−∫∫4）1100sin (sin cos )|sin1cos1z zdz z z z =−=−∫ 5）ii 00(i)(i 1)|1cos1i(sin11)z z z e dz z e −−−=−−=−+−∫6）i2i 221211tan 11(tan tan /2)|(tan1tan 1th 1)i th1cos 22z dz z z z +=+=−+++∫ 9．计算下列积分：1）43(,:||412iCdz C z z z +=++∫v 其中为正向 2）22i,:|1|61Cdz C z z =+∫v 其中－为正向 3）12123cos ,:||2:||3C C C zdz C z C z z =+==∫v 其中为正向，为负向4）16,i 25Cdz C z i ±±∫v 其中为以，为顶点的正向菱形－ 5）3,||1:||1()zCe dz a a C z z a ≠=−∫v 其中为的任何复数，为正向 解 1）43(2i(43)14i 12iCdz z z ππ++=++∫v ＝ 2）2|i|1|i|12i 2/(i)2/(i)01-i i Cz z i z i z dz dz dz z z z −=+=+−=+=++∫∫∫v v v 3）121200333cos cos cos 2i 2i(cos )''|(cos )''|02!2!z z C C C C C z z z dz dz dz z z z z z ππ−===+=−=−=∫∫∫v v v 4）2i iCdzz π=∫v － 5） 当||1a >时，331/()||10()zCe z a z dz z a −≤−∫v 在上解析，故＝； 当||1a <时，32i ()''|i ()2!z za z a Ce dz e e z a ππ==−∫v ＝ 10．证明：当C 为任何不通过原点的简单闭曲线时，210Cdz z=∫v 。

证明当原点在曲线C 内部时，0212i(1)'|0z Cdz zπ===∫v ；当原点在曲线C 外部时，21/z 在C 内解析，故210Cdz z =∫v 。

11．下列两个积分的值是否相等？积分2）的值能否利用闭路变形原理从1）的值得到？为什么？1）||2z zdz z =∫v ； 2）||4z zdz z =∫v解 2i ||202i 0z zdz e d z πθθ−===∫∫v ；2i ||44i 0z zdz e d z πθθ−===∫∫v ，故两个积分的值相等。

但不能利用闭路变形原理从1）的值得到，因zz不是一个解析函数。

12．设区域D 为右半平面，z 为D 内圆周||1z =上的任意一点，用在D 内的任意一条曲线C 连结原点与z ，证明201Re .14zd πζζ⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦∫证明函数211ζ+在右半平面解析，故在计算从0到z 沿任意一条曲线C 的积分时与积分路径无关。

则i 1222i 000011i 2i cos .111422cos 2ze d dx d d x e ηθθηπηζηηζη=+=+++++∫∫∫∫（分子分母同乘以2i 1e η−+），C C 2故 201Re .14z d πζζ⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦∫ 13．设1C 与2C 为相交于M N 、两点的简单闭曲线，它们所围的区域分别为1B 与2B 。

1B 与2B 的公共部分为B 。

如果()f z 在1B B −与2B B −内解析，在1C 、2C 上也解析，证明：12()()C C f z dz f z dz =∫∫v v 。

证明在1B B −上()f z 为解析函数，则由柯西基本定理()0MENGMf z dz =∫v ；同理()0MHNFMf z dz =∫v则()()()()NGMMENMHNNFMf z dz f z dz f z dz f z dz +=+∫∫∫∫，即12()()C C f z dz f z dz =∫∫v v 。

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第三章习题解答

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第三章习题解答一、判断下列说法是否正确，凡对的在括号内打“√”，否则打“×”。

（1）现测得两个共射放大电路空载时的电压放大倍数均为－100，将它们连成两级放大电路，其电压放大倍数应为10000。

( )（2）阻容耦合多级放大电路各级的Q点相互独立，( )它只能放大交流信号。

( )（3）直接耦合多级放大电路各级的Q点相互影响，( )它只能放大直流信号。

( )（4）只有直接耦合放大电路中晶休管的参数才随温度而变化。

( )（5）互补输出级应采用共集或共漏接法。

( )二、现有基本放大电路：A.共射电路B.共集电路C.共基电路D.共源电路E.共漏电路根据要求选择合适电路组成两级放大电路。

（1）要求输入电阻为1kΩ至2kΩ，电压放大倍数大于3000，第一级应采用，第二级应采用。

（2）要求输入电阻大于10MΩ，电压放大倍数大于300，第一级应采用，第二级应采用。

（3）要求输入电阻为100kΩ～200kΩ，电压放大倍数数值大于100，第一级应采用，第二级应采用。

（4）要求电压放大倍数的数值大于10，输入电阻大于10MΩ，输出电阻小于100Ω，第一级应采用，第二级应采用。

（5）设信号源为内阻很大的电压源，要求将输入电流转换成输出电压，且，输出电阻R o＜100，第一级应采用，第二级应采用。

三、选择合适答案填入空内。

（1）直接耦合放大电路存在零点漂移的原因是。

A.电阻阻值有误差B.晶体管参数的分散性C.晶体管参数受温度影响D.电源电压不稳定（2）集成放大电路采用直接耦合方式的原因是。

A.便于设计B.放大交流信号C.不易制作大容量电容（3）选用差分放大电路的原因是。

A.克服温漂B. 提高输入电阻C.稳定放入倍数（4）差分放大电路的差模信号是两个输入端信号的，共模信号是两个输入端信号的。

A.差B.和C.平均值（5）用恒流源取代长尾式差分放大电路中的发射极电阻R e，将使电路的。

A.差模放大倍数数值增大B.抑制共模信号能力增强C.差模输入电阻增大（6）互补输出级采用共集形式是为了使。

教材第三章习题解答

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第三章分子结构习题解答1．用列表的方式分别写出下列离子的电子分布式。

指出它们的外层电子分别属于哪种构型(8、9～17、18或18+2)？未成对电子数是多少？Al3+、V2+、V3+、Mn2+、Fe2+、Sn4+、Pb2+、I－【解答】离子离子的电子分布式外层电子构型未成对电子数Al3+1s22s22p68 0V2+1s22s22p63s23p63d39～17 3V3+1s22s22p63s23p63d29～17 2 Mn2+1s22s22p63s23p63d59～17 5 Fe2+1s22s22p63s23p63d69～17 4 Sn4+1s22s22p63s23p63d104s24p64d105s218+2 0 Pb2+1s22s22p63s23p63d104s24p64d104f145s25p65d106s218+2 0I－1s22s22p63s23p63d104s24p64d105s25p68 02．下列离子的能级最高的电子亚层中，属于电子半充满结构的是_________。

A．Ca2+；B．Fe3+；C．Mn2+；D．Fe2+；E．S2-【解答】B，C。

离子离子的电子分布式属于电子半充满的结构Ca2+1s22s22p63s23p6 ×Fe3+1s22s22p63s23p63d5∨Mn2+1s22s22p63s23p63d5∨Fe2+1s22s22p63s23p63d4×S2-1s22s22p63s23p2 ×3．指出氢在下列几种物质中的成键类型：HCl中_______；NaOH中_______；NaH中_______；H2中__________。

【解答】极性共价键；极性共价键；离子键；非极性共价键。

4．对共价键方向性的最佳解释是_________。

A．键角是一定的； B．电子要配对；C．原子轨道的最大重叠； D．泡利原理。

【解答】C。

分析：原子间相互成键时，必须符合原子轨道最大重叠原则和对称性匹配原则，因而原子间形成共价键时，总是按确定的方向成键，这决定了共价键的方向性。

第三章习题解答

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第3章 力学基本定律与守恒律 习题及答案1．作用在质量为10 kg 的物体上的力为i t F)210(+=N ，式中t 的单位是s ，(1)求4s 后，这物体的动量和速度的变化．(2)为了使这力的冲量为200 N ·s ，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度j 6-m ·s -1的物体,回答这两个问题．解: (1)若物体原来静止，则i t i t t F p t 1401s m kg 56d )210(d -⋅⋅=+==∆⎰⎰,沿x 轴正向，ip I imp v111111s m kg 56s m 6.5--⋅⋅=∆=⋅=∆=∆ 若物体原来具有6-1s m -⋅初速，则⎰⎰+-=+-=-=t tt F v m t m F v m p v m p 000000d )d (,于是⎰∆==-=∆t p t F p p p 0102d,同理， 12v v ∆=∆,12I I=这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理． (2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即⎰+=+=tt t t t I 0210d )210(亦即 0200102=-+t t 解得s 10=t ，(s 20='t 舍去)2．一颗子弹由枪口射出时速率为10s m -⋅v ，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为 F =(bt a -)N(b a ,为常数)，其中t 以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量．(3)求子弹的质量． 解: (1)由题意，子弹到枪口时，有0)(=-=bt a F ,得ba t =(2)子弹所受的冲量⎰-=-=tbt at t bt a I 0221d )(将bat =代入，得 ba I 22=(3)由动量定理可求得子弹的质量202bv a v I m == 3．如图所示，一质量为m 的球，在质量为M 半径为R 的1/4圆弧形滑槽中从静止滑下。

量子力学周世勋习题解答第三章

量子力学周世勋习题解答第三章

第三章习题解答3.1 一维谐振子处在基态t i x e x ωαπαψ2222)(--=，求：(1)势能的平均值2221x U μω=； (2)动能的平均值μ22p T =；(3)动量的几率分布函数。

解：(1) ⎰∞∞--==dx e x x U x 2222222121απαμωμωμωμωππαμω ⋅==⋅=2222221111221ω 41= (2) ⎰∞∞-==dx x p x p T )(ˆ)(2122*2ψψμμ ⎰∞∞----=dx e dx d e x x 22222122221)(21ααμπα ⎰∞∞---=dx e x x 22)1(22222αααμπα][222222222⎰⎰∞∞--∞∞---=dx e x dx e x x ααααμπα]2[23222απααπαμπα⋅-=μωμαμαπαμπα⋅===442222222 ω 41=或 ωωω 414121=-=-=U E T (3) ⎰=dx x x p c p )()()(*ψψ 212221⎰∞∞---=dx ee Px i xαπαπ⎰∞∞---=dx eePx i x222121απαπ⎰∞∞--+-=dx ep ip x 2222222)(21 21αααπαπ ⎰∞∞-+--=dx ee ip x p 222222)(212 21αααπαπ παπαπα2212222p e -=22221απαp e-=动量几率分布函数为 2221)()(2απαωp ep c p -==#3.2.氢原子处在基态0/301),,(a r e a r -=πϕθψ，求：(1)r 的平均值；(2)势能re 2-的平均值；(3)最可几半径； (4)动能的平均值；(5)动量的几率分布函数。

解：(1)ϕθθπτϕθψππd rd d r re a d r r r a r sin 1),,(0220/23020⎰⎰⎰⎰∞-==⎰∞-=0/233004dr ar a a r04030232!34a a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2203020/232020/232202/2322214 4 sin sin 1)()2(000a e a a e drr ea e d drd r e a e d drd r e ra e r e U a r a r a r -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞-∞-∞-ππππϕθθπϕθθπ(3)电子出现在r+dr 球壳内出现的几率为 ⎰⎰=ππϕθθϕθψω02022 sin )],,([)(d drd r r dr r dr r e a a r 2/23004-=2/23004)(r e a r a r -=ω 0/2030)22(4)(a r re r a a dr r d --=ω 令 0321 , ,0 0)(a r r r drr d =∞==⇒=，ω当0)( ,0 21=∞==r r r ω时，为几率最小位置/22203022)482(4)(a r e r a r a a dr r d -+-=ω08)(230220<-=-=e a dr r d a r ω ∴ 0a r =是最可几半径。