2010年考研试题

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.)1 1 x ,则a等于( )(1)若limx0 x x a e1(A)0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.(2)设y1, y2 是一阶非齐次微分方程y p x y q x的两个特解,若常数，使y1 y2 是该方程的解,y1 y2 是该方程对应的齐次方程的解,则( )1(A),(B) .(C) ,. (D) .【答案解析】见真题理论验证强化指导部分数二试题一(2).(3)设函数f x , g x具有二阶导数,且g x 0 ,若g x0a 是g x 的极值,则f g x 在x0 取极大值的一个充分条件是( )(A) f a 0. (B) f a 0 . (C) f a 0 . (D)f a 0 .x(4) 设 f xln 10 x g x , x h x ,e 10 ,则当 x 充分大时有( ) (A) g xh xf x. (B) hxg xf x.(C) fx g xh x.(D) g x f x h x .(5) 设向量组 I :1, 2,r 可由向量组II :1,2,s 线性表示,下列命题正确的是( )(A) 若向量组I 线性无关,则rs .(B) 若向量组I 线性相关,则r s . (C) 若向量组II 线性无关,则r s . (D) 若向量组II 线性相关,则r s .(6) 设 A 为4阶实对称矩阵,且 A 2A O ,若 A 的秩为3,则 A 相似于 ()1 1(A)1 .(B)1 .1 11 1(C) 1.(D)1.110, x 01(A) 0.(B).(C)e1.(D) 1e1.为1,3上均匀分布(8) 设 f 1(x ) 为标准正态分布的概率密度, f 2 (x ) 的概率密度,若af x 1( )x 0 f x( )( a 0, b 0)bf 2( )x x 0为概率密度,则a ,b 应满足 ( )(A) 2a3b 4. (B) 3a2b 4. (C) a b 1.(D) ab 2.二、填空题(9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.)x yt 2 x2 确定,则dy. (9) 设可导函数 yy x ( )由方程e dtx sin t dt dxx 01 (10)设位于曲线 y( e x ) 下方, x 轴上方的无界区域为G ,则G 绕 x轴旋转一周所得空间区域的体积是.(11) 设某商品的收益函数为R (p ),收益弹性为1p 3 ,其中 p 为价格,且R (1) 1 ,则R (p ) =.(7) 设随机变量 X 的分布函数 F x ( ) 2 1e x ,( )0 x 1 ,则 PX1=x1(12) 若曲线 y x 3 ax 2 bx 1有拐点(1,0) ,则b.(13) 设 A ,B 为3阶矩阵,且 A 3, B 2 , A1B 2 ,则A B1.n212(14)设X X 1, 2, ,X n是来自总体N (,) (0) 的简单随机样本,统计量TXi ,n i 1则ET .三、解答题(15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分10分)求极限 lim (xx 11)ln 1x .(16) (本题满分10分)计算二重积分(x y dxdy )由曲线 x 1y 2 与直线 x2y 0 及Dx 2y 0围成.(17) (本题满分10分) 求函数uxy2yz 在约束条件x 2y 2z 210 下的最大值和最小值.(18)(本题满分10分)(I ) 比较1ln tln 1tndt与1t nln t dt n 1,2,的大小,说明理由．1n( II ) 记u nln t ln 1t dt n 1,2,,求极限nli m u n ．(19) (本题满分10分)设 函 数 f (x ) 在0,3上 连 续 , 在0,3内 存 在 二 阶 导 数 , 且22f (0)f x dx ( ) f (2) f (3),( I ) 证明存在(0,2) ,使 f ()f (0); ; ( II ) 证明存在(0,3) ,使 f()0 ．(20)(本题满分11分)11 a设A1 ， b11已知线性方程组Ax b 存在2个不同的解． ( I ) 求,a ;( II ) 求方程组Ax b 的通解. (21)(本题满分11 分) 1 (1,2,1)T,求a ,Q ．(22) (本题满分11分) 设二维随机变量(X Y , ) 的概率密度为2f x y ( , )Ae 2x 2xy y2,x,y ,求常数 A 及条件概率密度 f Y X |(y x | ) ．(23)(本题满分11分) 箱中装有6个球,其中红、白、黑球的个数分别为1,2,3 个,现从箱中随机取出2个球, 记 X 为取出的红球个数,Y 为取出的白球个数.( I ) 求随机变量 (X Y ,) 的概率分布；0 设A 141 43a ,正交矩阵 Q 使得 Q T AQ 为对角矩阵,若 Q 的第 1 列为 a( II ) 求Cov X Y( , ) .2010年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题参考答案一、选择题(1)【答案】 (C). 【解析】limx1 1 a exlim x1 1e x1axlimx11e xaxe xlim x1e x axe xx x xx x x1e x axe x lim lim 1 a 1x 0 x x 0 x所以a 2.(2) 【答案】 (A)．【解析】因y 1 y 2 是 y P x y 0 的解,故y 1 y 2 P xy 1y 20,所以y 1P x y1y 2p x y ( ) 20 ,而由已知 y 1P x y1q x, y 2P x y2q x,所以q x0,①又由于一阶次微分方程 ypx yq x是非齐的,由此可知 qx0 ,所以0．由于y 1y 2 是非齐次微分方程 yPx yq x的解,所以y 1 y 2 P x y 1 y 2q x,整理得y 1P x y1y 2P x y2q x ,即q xq x,由q x 0 可知1,②由①②求解得,故应选(A)．(3)【答案】 (B).【解析】f g x ( ) f g x ( )g x ( ) ,f g x( ) fg x ( )g x ( ) fg x ( )g x ( )2fg x ( )g x( )由于g (x 0 ) a 是g (x ) 的极值,所以g x ( 0)0 .所以f g x ( 0 )f gx ( 0 )g x( 0 )fa gx ( 0 )由于g x ( 0 ) 0,要使f g x( )0,必须有f a ( ) 0 ,故答案为B.(4)【答案】 (C).x【解析】因为 lim ( ) lim e 10 lim 10x 1 ,所以,当 x 充分大时,h x ( )g x ( ) .xg x ( )xxx1091又因为 limf x ( ) lim ln 10 xlim 10 ln x x 10 lim ln 9xxg x ( ) xxx1 xx81ln x10 9lim x 10 92 lim l x 10! lim 10 .x1xxxx 所以当 x 充分大时, f x ( ) g x ( ) ,故当 x 充分大, f x ( ) g x ( )h x ( ) .(5) 【答案】 (A)．【解析】由于向量组 I 能由向量组 II 线性表示,所以r (I) r (II) ,即r (1, ,r) r (1, , s ) s 若向量组 I 线性无关,则 r (1, ,r) r ,所以 rr (1, ,r )r (1, ,s )s ,即r s ,选(A).(6) 【答案】 (D). 【解析】设为 A 的特征值,由于 A 2A O ,所以20 ,即 (1)0 ,这样 A 的特 征 值 只 能 为 -1 或 0. 由 于 A 为 实 对 称 矩 阵 , 故 A 可 相 似 对 角 化 , 即11A,r A ()r ()3,因此,1,即 A1.11(7) 【答案】 (C).【解析】离散型随机变量的分布函数是跳跃的阶梯形分段函数,连续型随机变量的分布函数是连续函数.观察本题中F (x ) 的形式,得到随机变量 X 既不是离散型随机变量,也不是连续型随机变量,所以求随机变量在一点处的概率,只能利用分布函数的定义.根据分布函数的定义,函数在某一点的概率可以写成两个区间内概率的差,即P X 1P X1P X 1 F1 F11 e1e1,故本题选(C).(8) 【答案】 (A).x 21 ,1x 3【解析】根据题意知, f 1x(x),f 2x2 140,其它利用概率密度的性质:f x dx1,故a31 a 3f x dx af 1x dxbf 2 x dx2f 1x dxb4 dx24 b1所以整理得到2a 3b 4,故本题应选(A).二、填空题 (9)【答案】1.x y2x2【解析】e t dtxsin t dt ,令x 0,得 y 0,等式两端对 x 求导：e(x y )2(1dydx ) 0xsin t dt 2x sin x 2 ．dydy将x0, y 0代入上式,得10 .所以1.dxxdx x 02(10)【答案】4【解析】根据绕 x 轴旋转公式, 有2dxVey dxe1ln 2 xe1d ln ln 2x xarctan lnxe2442 .1 33P1.(11)【答案】 pedR p 3dR 1212【解析】由弹性的定义,得1 p ,所以pdp ,即 ln Rln p pC , dp R R p313又R11,所以 C1 .故ln Rln p 1 p 1 ,因此 R p e 3p1.3 33(12)【答案】b3.【解析】函数为 yx 3ax 2bx 1 ,它的一阶导数为 y 3x 2 2ax b ; 二阶导数为ay6x 2a,又因为1,0是拐点,所以 yx10 ,得3过点1,0,所以将x1,y 0 代入曲线方程,得b 3.(13) 【答案】3. A A (1B B )【解析】由于1( E AB B )1B1A ,所以1 1 11B B )A AB B因为 B2 ,所以 B1 B B1321 3 .2(14)【答案】22.1 ( B AA A111 2B,因此1 A BAA【解析】 E T EnXi2 1EnXi21nEX2E X222.n i1n i 1n 三、解答题11ln x1 lnx x 1ln x x1ln e x11lnxlimlim(15)【解析】 lim x x 1lim e ln xe xln xexln xxx其中 ln x xln x x1ln x x ln x xln( e 1) (e 1) e 1ln x e 1ln x ln x1 lim lim limlim e x ( 1)1.xln xx 1xx ln x x x故原式e1.(16)【解析】积分区域 DD 1 D 2 ,1 x y ,0 y1,2y x1y 2D 2x y , 1y 0,2y x1y 2xy3dxdyx 33x y 2 3xy 2y 3 dxdyDD因 为 区 域 D 关 于 x 轴 对 称 , 被 积 函 数 3x 2 y y 3 是 y 的 奇 函 数 ,所以3x 2y y dxdy30．Dx y dxdy3x 3 3xy dxdy 22x 3 3xy dxdy 221DDD 12xln xx211 x 43 x y 22dy2019 4 y 42y 2 1 4 dy 1415 .42(17)【解析】令 F x y z,, ,xy 2yz x 2 y 2 z 2 10,用拉格朗日乘数法得F xy 2x 0,F yx 2z2y0,F z2y 2z 0, F x 2y 2z 2100,又因为该问题必存在最值,并且不可能在其它点处,所以u m ax5 ,u m in5 5 ．(18) 【解析】 (I)当0x 1时0 ln(1x )x,故ln(1t )nt n ,所以ln tln(1t )nln t t n ,则01ln t ln(1t )ndt1ln t t dt n n 1,2, .(II)1 ln t t dt n1ln t t dtnn 111ln td tn1n112 ,故由1n1求解 得六个点：152,1, B A1 , , 21CD0,, E F由于在点A 与B 点处,u ；在点C与 D 处, u；在点E 与F 处, 0u ． 1 2 y y0 u n 0 ln n1 2 ,1根据夹逼定理得0 lim u n lim0 ,所以lim u n 0 .n n n1n2(19)【解析】(I) 因为2 f (0) 0 f x dx( ) ,又因为f x 在0,2上连续,所以由积分中值定理得,至少有一点0,2,使得20 f x dx f 20即2 f 0 2 f ,所以存在0,2,使得f f0 .f 2 f 3(Ⅱ)因为f 2 f 3 2 f 0 ,即 f 0 ,又因为f x 在2,3上连2续,由介值定理知,至少存在一点 1 2,3使得f 1 f 0 .因为f x 在0,2上连续,在0,2上可导,且f 0 f 2 ,所以由罗尔中值定数学(三)试题 第15页 (共4页)微信公众号：考研研学姐答疑资讯QQ 群：451613025理知,Ｃ存在10,2,有f10. 又因为 f x 在2,1上连续,在2,1上可导,且f 2 ff1 ,所以由罗尔中值定理知,存在22,1,有 f20 . 又因为 fx在1,2上二阶可导,且f1f20 ,所以由罗尔中值定理,至少有一点 Ax b 0,3,使得f0 .(20) 【解析】因为方程组有两个不同的解,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于3,进而可以通过秩的关系求解方程组中未知参数,有以下两种方法.方法1：(I)已知Ax b 有2个不同的解,故r A ( ) r A ( ) 3 ,对增广矩阵进行初等行变换,得11 a 1 1 1A1 0 101 01 1 1 11 1a1 111 1 10 10 1 01010112a0 012a 11 1 1 11 111当1时,A0 00 10 01,此时,r A ( ) r A ( ),故Ax b 无解(舍00 0 a00 001 1 1 1微信公众号：考研研学姐答疑资讯QQ 群：451613025当1时, A 0 2 0 1 ,由于r A ( )0 0 0 a 2方法2：已知Axb 有2个不同的解,故r A ()r A () 3 ,因此 A 0,即11A0 10(1) (21)0 ,11知1或-1.当1时,r A () 1 r A () 2 ,此时,Ax b 无解,因此1.由r A () r A ( ) ,得a2.( II ) 对增广矩阵做初等行变换31121 11211 12A0 201 0 2 010 1 0121 1110 0000 0 003x x3x 1 1232微信公众号：考研研学姐答疑资讯QQ群：451613025x 21x 3 231 21因此Ax b的通解为x k 0 ,其中k为任意常数.10 10 1 4(21)【解析】由于A 1 3 a4 a 01 1微信公众号：考研研学姐答疑资讯QQ 群：45161302513 可知原方程组等价为2 ,写成向量的形式,即x 2x 0 1 .列为(1,2,1)T ,故 A 对应于1 的特征向量为1(1,2,1)T .12,即根据特征值和特征向量的定义,有A116141 3 a 41 1a2 12 ,由此可得a 1,12 .故A10 1 141 31 41.微信公众号：考研研学姐答疑资讯QQ 群：45161302514 由EA1 3 1 (4)( 2)(5) 0 ,41可得 A 的特征值为12,24, 35 . 4 由 (2E A x ) 0,即14特征向量为2(1,0,1)T .17 1 4x 11x 20 ,可解得对应于 24 的线性无关的4x 35 由 (3E A x )0 ,即 143(1,1,1)T .1 2 1 4x 11x 2 0 ,可解得对应于35 的特征向量为5 x 3由于 A 为实对称矩阵,1,2,3 为对应于不同特征值的特征向量,所以1,2,3相互正交,只需单位化：111(1,2,1) ,T2( 1,0,1) ,T3(1,1,1)T ,123163取,则Q T AQQ 1,2,351112微信公众号：考研研学姐答疑资讯QQ 群：451613025(22) 【解析】当给出二维正态随机变量的的概率密度 fx , y 后,要求条件概率密度f x y ( ,)f Y X | (y x | ) ,可以根据条件概率公式 f Y X | (y x | )来进行计算.本题中还有待定参 f X ( )x数, A 要根据概率密度的性质求解,具体方法如下.2 22 2 22x f x y dy, A e2x 2xy ydy A e(y x ) xdyf XAexe(y x )dyx 2A e ,x .根据概率密度性质有1f X x dx A ex2dxA,即 A1,1x 2故 f Xx e ,x. 当x时,有条件概率密度f x y ,Ae x 22xy y21x 2 2 21(x y )2 f YXy xf XxAex 2ee ,x ,y.(23)【解析】(I) X 的所有可能取值为 0,1 ,Y 的所有可能取值为 0,1,2 ．C 323 1,其中X 0,Y 0 表示取到的两个球都是黑球；P X0,Y2C 615 5P X 0,Y 1C C 21231 6 2,其中 X 0,Y 1表示取到的一个是白球,一个是C6 15 5黑球；C22 1 ,其中X 0,Y 2 表示取到的两个球都是白球；P X0,Y 22 C6 15P X 1,YC C112313 1,其中X 1,Y 0 表示取到的一个是红球,一个是C6 15 5黑球；P X 1,Y 1C C112212,其中X 1,Y 1表示取到的一个是红球,一个是白球；C6 15 0P X1,Y20 , C6因此二维离散型随机变量X ,Y 的概率分布为2 2 2 1 1E XY 1 1 ,E X0 1 ,I(I),C o v EXYXY EXEY,33 3E Y 012Cov X Y, E XYE X E Y.。

1. 1984年1月3日，意大利人卡内帕给恩格斯写信，请求他为即将在日内瓦出版的饿《新纪元》周刊的创刊号题词，而且要求尽量用简短的字句来表述未来的社会主义纪元的基本思想，以区别于伟大诗人但丁的对旧纪元所作的“一些人统治，另一些人受苦难”的界定。

恩格斯回答说，这就是：“代替那存在着阶级和阶级对立的资产阶级旧社会的，将是这样一个联合体，在那里，每个人的自由发展是一切人的自由发展的条件。

”这段话表明，马克思主义追求的根本价值目标是（）A．实现人的自由而全面的发展B．实现人类永恒不变的普适价值C．建立一个四海之内皆兄弟的大同世界D．建立一个自由，平等，博爱的理性王国【答案】A【解析】本题考查的考点是马克思主义最崇高的社会理想，即马克思追求的根本价值目标，进入共产主义社会，实现人的自由而全面的发展，所以，正确答案是A选项。

2.有一则箴言：“在溪水和岩石的斗争中，胜利的总是溪水，不是因为力量，而是因为坚持。

”“坚持就是胜利”的哲理在于（）A．必然性通过偶然性开辟道路B．肯定中包含着否定的因素C．量变必然引起质变D．有其因必有其果【答案】C【解析】坚持就是胜利，体现了事物量变发展到一定阶段必然会引起质变，达到事物根本性质的变化，所以，本题体现的是量变必然引起质变，正确答案是选项C。

3. 右边这张照片反映出由于气候变暖，北极冰盖融化，致使北极熊无处可去的场景，颇具震撼力。

它给我们地球上的人类发出的警示是（）A．人与自然的关系成为人与人之间一切社会关系的核心B．生态失衡已成为自然界自身周期演化不可逆转的趋势C．自然地理环境已成为人类社会发展的根本决定力量D．生态环境已日益成为人类反思自身活动的重要前提【答案】D【解析】本题考查人与自然的关系，气候变暖给人类发出的警示是人在对于自然的作用过程中，生态环境已日益成为人类反思自身活动的重要前提，保护自然，协调人和自然的关系是大势所趋，所以，正确答案是选项D。

4. 劳动力成为商品是货币转化为资本的前提条件，这是因为（）A．资本家购买的是劳动力的价值B．劳动力商品具有价值和使用价值C．货币所有者购买的劳动力能够带来剩余价值D．劳动力自身的价值能够在消费过程中转移到新的商品中去【答案】C【解析】劳动力商品的最主要特点，表现在它的使用价值上。

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学试题详解及评分参考数 学（一）一．选择题：1 - 8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个 是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上.(1)极限2lim ()()()x x x x a x b ®¥=-+(A)1(B)e(C)a be -(D)b ae -【答】 应选 (C) .【解】 因22ln ln()ln()lim ln()lim()()1/x x x x x x a x b x a x b x®¥®¥---+=-+()()()3222112=lim lim 1x x a b x abx x x a x b a b x x a x b x ®¥®¥---+-+==--+-，所以2lim (()()x a x b x x a x b e ®¥-=-+，故选 (C) .(2)设函数(,)z z x y =由方程(,0y zF x x=确定，其中F 为可微函数，且20F ¢¹，则z z x y x y ¶¶+=¶¶(A)x (B)z (C)x -(D)z-【答】 应选 (B) .【解】 在方程两边分别对x 和对y 求偏导，得122211()0y z F z F x x x x ¶¢¢-+-=¶，12110z F F x x y¶¢¢+=¶于是有 22()z z x y F zF x y ¶¶¢¢+=¶¶， 即z zx y z x y ¶¶+=¶¶，故选 (B) .(3)设,m n均是正整数，则反常积分ò的收敛性(A)仅与m 的取值有关(B)仅与n 的取值有关(C)与,m n 的取值都有关(D)与,m n 的取值都无关【答】 应选 (D) .【解】 显然该反常积分有且仅有两个瑕点0,1x x ==，于是需分成两个积分加以考察：dx =+ò(1)对于，易见被积函数非负，且只在0x +®时无界，于是当1n >时，由+0lim 0x®=及120ò收敛，知收敛；当1n=时12/1mx-:及212101mdx x-ò收敛，知收敛；(2)对于，易见被积函数非负，且只在1x -®时无界，于是当1m >时，由11lim lim 0x x --®®==及1收敛，知 收敛；当1m =时，由21/211ln (1)lim lim 0(1)x x x x ---®®-==-及212101m dx x -ò收敛，知收敛；由此可见，无论正整数,m n如何取值，0ò都是收敛的，故选 (D) .(4) 2211lim()()n nn i j nn i n j ®¥===++åå (A) 12001(1)(1)x dx dy x y ++òò(B)1001(1)(1)xdx dy x y ++òò(C) 11001(1)(1)dx dyx y ++òò(D) 112001(1)(1)dx dyx y ++òò【答】 应选 (D) .【解】 记21(,)(1)(1)f x y x y =++，(){},y 01,01D x x y =££££，知(,)f x y 在D 上可积. 用直线()0,1,2,,i i x x i n n ===L 与()0,1,2,,j j y y j n n===L 将D 分成2n等份，可见22221111211()()(1)(1)n n n ni j i j n i j n i n j n n n=====×++++åååå是(,)f x y 在D 上的二重积分的一个和式，于是112222001111lim ()()(1)(1)(1)(1)nnn i j Dn dxdy dx dy n i n j x y x y ®¥====++++++ååòòòò.故选 (D) . (5)设A 为m n ´矩阵，B 为n m ´矩阵，E 为m 阶单位矩阵. 若AB E =，则(A)秩()r A m =，秩()r B m =(B)秩()r A m =，秩()r B n =(C)秩()r A n =，秩()r B m =(D)秩()r A n =，秩()r B n=【答】 应选 (A) .【解】 因A 是m n ´矩阵，故()r A m £，又()()()r A r AB r E m ³==，故()r A m =. 同理，可得()r B m =，故选 (A) .(6)设A 为4阶实对称矩阵，且2A A O +=. 若A 的秩为3，则A 相似于(A) 1110æöç÷ç÷ç÷ç÷èø(B) 1110æöç÷ç÷ç÷-ç÷èø(C) 1110æöç÷-ç÷ç÷-ç÷èø(D) 1110-æöç÷-ç÷ç÷-ç÷èø【答】 应选 (D) .【解】 设l 为A 的特征值，则由2A A O +=知2+=0l l ，即=0l 或1-. 又因A 是实对 称矩阵，故A 必相似于对角矩阵L ，其中L 的对角线上的元素为特征值1-或0. 再由()3r A =可知()3r L =，故选 (D) .(7)设随机变量X 的分布函数0,0,1(),01,21,1xx F x x e x -<ìïï=£<íï-³ïî则{1}P X ==(A)0 (B)12(C)112e --(D)11e--【答】 应选 (C) .【解】 由分布函数的用途，知{1}(1)(1)P X F F -==-1111122e e --=--=-. (8)设1()f x 为标准正态分布的概率密度，2()f x 为[1,3]-上均匀分布的概率密度，若12(),0()(0,0)(),0af x x f x a b bf x x £ì=>>í>î为概率密度，则,a b 应满足(A)234a b +=(B)324a b +=(C)1a b +=(D)2a b +=【答】 应选 (C) .【解】 由题意，有221()x f x -=，21/4,(1,3)()0x f x Î-ì=íî，其他，()1f x dx +¥-¥=ò而0120()()()f x dx af x dx bf x dx +¥+¥-¥-¥=+òòò()3201=2a b f x dx +ò13=24a b +，于是有13124a b +=，即234a b +=. 故选 (C) .二、填空题：9:14小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)设20,ln(1),t tx e y u du -ì=ïí=+ïîò则220t d y dx == .【答】 应填 0.【解】 因2/ln(1)=/t dy dy dt t dx dx dt e -+=-, 22222ln(1+)12=[][ln(1)]/1t td y d t te t dx dt e dx dt t -=++-+， 故2020t d ydx==.(10)2p =ò.【答】 应填 4p -.【解】t =，则2dx tdt =，于是有2220002cos 2sin 4sin 4cos 4cos 4.t tdt t tt tdt t tdt p pppp p p ==-=-=-òòòò(11)已知曲线L 的方程为1||([1,1])y x x =-Î-，起点是(1,0)-，终点为(1,0)，则曲线积分2Lxydx x dy +=ò.【答】 应填 0.【解法一】 补有向线段:0([1,1])L y x =Î-，起点为(1,0)，终点为(1,0)-，设由L 与L 围成的平面区域为D ，则利用格林公式及区域D 关于y 轴的对称性，得222(2)00LDL LLxydx x dy xydx x dy xydx x dy x x dxdy ++=+-+=---=òòòòò【解法二】 记1:1([1,0])L y x x =+Î-，起点是(1,0)-，终点是(0,1)；2:1([0,1])L y x x =-Î， 起点为(0,1)，终点为(1,0)有12222+LL L xydx x dy xydx x dy xydx x dy+=++òòò 012210=[(1)][(1)]x x x dx x x x dx -+++--òò1212=()(02323-++-=.(12)设22{(,,)|1}x y z x y z W =+££，则W 的形心的竖坐标z = .【答】 应填23.【解】 记(){}22,y 1D x x y =+£，有221x y Ddxdydz dxdy dz +W=òòòòòò22=(1)Dx y dxdy --òò212=(1)d r rdr p q -òò=2p，2212122240011[1()]=(1)223x yDD zdxdydz dxdy zdz x y dxdy d r rdr p p q +W==-+-=òòòòòòòòòò， 从而W 的形心的竖坐标为23DDzdxdydzz dxdydz==òòòòòò. (13)设1(1,2,1,0)Ta =-，2(1,1,0,2)Ta =，3(2,1,1,)Ta a =. 若由123,,a a a 生成的向量空间的维数为2，则a = .【答】 应填 6.【解】 因由123,,a a a 生成的向量空间的维数为2，故矩阵()123,,a a a 的秩为2，而()123112112211013,,=101006020000a a a a æöæöç÷ç÷ç÷ç÷®ç÷ç÷--ç÷ç÷èøèø，故6a =.(14)设随机变量X 的概率分布为{},0,1,2,!CP X k k k ===L ，则2EX =.【答】 应填 2.【解】 由概率分布的性质，有{}01k k P X x ¥===å，即01!k Ck ¥==å，亦即1Ce =，1C e -=.由此可见，X 服从参数为1的泊松分布，于是22()112EX DX EX =+=+=.三、解答题（ 15 ～ 23小题，共94分.）(15)（本题满分10分）求微分方程322xy y y xe ¢¢¢-+=的通解.解：对应齐次方程320y y y ¢¢¢-+=的两个特征根为121,2r r ==，其通解为212x x Y C e C e =+.……4分设原方程的特解形式为*()x y x ax b e =+，则*2((2))xy ax a b x b e ¢=+++，*2((4)22)x y ax a b x a b e ¢¢=++++，代入原方程解得1,2a b =-=-，……8分 故所求通解为212(2)x x xy C e C e x x e=+-+ ……10分(16)（本题满分10分）求函数2221()()x t f x x t e dt -=-ò的单调区间与极值.解： ()f x 的定义域为(,)-¥+¥，由于2222211()x x t t f x xe dt te dt --=-òò，2224423311()2222xxt x x t f x x e dt x ex ex e dt ----¢=+-=òò，所以()f x 的驻点为0,1x =± ……3分列表讨论如下：x (,1)-¥-1-(1,0)-0 (0,1) 1 (1,)+¥()f x ¢-0 +0 -0 +()f x ↘极小↗极大↘极小↗……6分因此，()f x 的单调增加区间为(1,0)-及(1,)+¥，单调减少区间为(,1)-¥-及(0,1)；极小值为(1)0f ±=，极大值为21101(0)(1)2t f te dt e --==-ò……10分(17)（本题满分10分） (I)比较1|ln |[ln(1)]nt t dt +ò与1|ln |(1,2,)ntt dt n =òL 的大小，说明理由；(II)记1|ln |[ln(1)](1,2,)n n u t t dt n =+=òL ，求极限lim n n u ®¥.解：（I ）当01t ££时，因为ln(1)t t +£，所以|ln |[ln(1)]|ln |n n t t t t +£，因此11|ln |[ln(1)]|ln |n n t t dt t t dt+£òò ……4分（II ）由 (I) 知，110|ln |[ln(1)]|ln |n n n u t t dt t t dt £=+£òò.因为1112011|ln |ln 1(1)n n n t t dt t tdt t dt n n =-==++òòò，所以1lim|ln |0nn tt dt ®¥=ò ……8分 从而 lim 0n n u ®¥=……10分(18)（本题满分10分） 求幂级数121(1)21n nn x n -¥=--å的收敛域及和函数. 解：记12(1)()21n nn u x x n --=-， 由于221()21lim lim ()21n n n nu x n x x u x n +®¥®¥-==+，所以当21x <，即||1x <时，1()n u x ¥=å绝对收敛，当||1x >时，1()n u x ¥=å发散，因此幂级数的收敛半径1R =……3分当1x =±时，原级数为11(1)21n n n -¥=--å，由莱布尼茨判别法知此级数收敛，因此幂级数的收敛域为[1,1]-……5分设1211(1)()(11)21n n n S x x x n -¥-=-=-££-å，则122211()(1)1n n n S x x x ¥--=¢=-=+å，又(0)0S =，故201()arctan 1xS x dt x t==+óôõ， ……8分 于是121(1)()arctan ,[1,1]21n nn x xS x x x x n -¥=-==Î--å ……10分(19)（本题满分10分）设P 为椭球面222:1S x y z yz ++-=的动点，若S 在点P 处的切平面与xOy 面垂直，求点P 的轨迹C ，并计算曲面积分I S=，其中S 是椭球面S 位于曲线C 上方的部分.解： 椭球面S 上点(,,)P x y z 处的法向量是{2,2,2}n x y z z y =--r， ……2分点P 处的切平面与xOy 面垂直的充要条件是0({0,0,1})n k k ×==r r r，即20z y -=所以点P 的轨迹C 的方程为222201z y x y z yz -=ìí++-=î，即2220314z y x y -=ìïí+=ïî ……5分取223{(,)|1}4D x y x y =+£，记S 的方程为(,),(,)z z x y x y D =Î，==，所以DI =óóôôôôõõ(D x dxdy =+òò ……8分2Ddxdy p== ……10分(20)（本题满分11分） 设1101011A l l l æöç÷=-ç÷ç÷èø，11a b æöç÷=ç÷ç÷èø. 已知线性方程组Ax b =存在2个不同的解，（I ）求,a l ； （II ）求方程组Ax b =的通解.解：（I ）设12,h h 为Ax b =的2个不同的解，则12h h -是0Ax =的一个非零解， 故2||(1)(1)0l l =-+=A ，于是1l =或1l =- ……4分当1l =时，因为()()r A r A b ¹M ，所以Ax b =无解，舍去. 当1l =-时，对Ax b =的增广矩阵施以初等行变换，有1111013/2()02010101/211110002a A b B a æ-öæ-öç÷ç÷=-=-=ç÷ç÷ç÷ç÷-+èøèøM .因为Ax b =有解，所以2a =- ……8分（II ）当1l =-，2a =-时，1013/20101/20000B æ-öç÷=-ç÷ç÷èø，所以x =A b 的通解为31110201x k æöæöç÷ç÷=-+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèø，其中k 为任意常数. ……11分(21)（本题满分11分） 已知二次型123(,,)Tf x x x x Ax =在正交变换x Qy =下的标准形为2212y y +，且Q 的第3列为,0,22T. （I ）求矩阵A ；（II ）证明A E +为正定矩阵，其中E 为3阶单位矩阵.解：（I ）由题设，A 的特征值为1,1,0,且(1,0,1)T为A 的属于特征值0的一个特征向量.……3分 设123(,,)Tx x x 为A 的属于特征值1的一个特征向量，因为A 的属于不同特征值的特征向量正交，所以1231(,,)001x x x æöç÷=ç÷ç÷èø，即130x x +=.取,0,22T æö-ç÷ç÷èø，(0,1,0)T 为A 的属于特征值1的两个正交的单位特征向量 ……6分令022010022Q æöç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷-ç÷èø，则有110T Q AQ æöç÷=ç÷ç÷èø，故1101112020101T -æöæöç÷ç÷==ç÷ç÷ç÷ç÷-èøèøA Q Q . ……9分评分说明：求出满足条件的一个矩阵A ，即可给9分.（II ）由（I ）知A 的特征值为1,1,0，于是A E +的特征值为2，2，1，又A E +为实对称矩阵，故A E +为正定矩阵.……11分(22)（本题满分11分）设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2222(,),,x xy y f x y Ae x y -+-=-¥<<+¥-¥<<+¥，求常数A 及条件概率密度|(|)Y X f y x .解：因2222()(,)x xy y X f x f x y dy A edy +¥+¥-+--¥-¥==òò22()y x x A e dy+¥----¥=ò222(),x y x x Aeedy x +¥-----¥==-¥<<+¥ò，……4分所以21()x X f x dx e dx A p +¥+¥--¥-¥===ò，从而 1A p=……7分当(,)x Î-¥+¥时，22222|1(,)(|)1()x xy y Y X x X ef x y f y x f x p-+--==222x xy y -+-=2(),x y y --=-¥<<+¥ ……11分(23)（本题满分11分）设总体X 的概率分布为X 1 2 3p1q-2q q -2q其中参数(0,1)q Î未知.以i N 表示来自总体X 的简单随机样本（样本容量为n ）中等于i 的个数（1,2,3i =）.试求常数123,,a a a ，使31i ii T a N==å为q 的无偏估计量，并求T 的方差.解: 记11p q =-，22p q q =-，23p q =. 由于(,),1,2,3i i N B n p i =:，故i iEN np = ……4分 于是22112233123[(1)()]ET a EN a EN a EN n a a a q q q q =++=-+-+ ……6分为使T 是q 的无偏估计量，必有22123[(1)()]n a a a q q q q q -+-+=，因此12132010a a a n a a =ìïï-=íï-=ïî，……8分由此得 12310,a a a n===……9分由于123N N N n ++=，故123111()()1N T N N n N n n n =+=-=-.注意到1~(,1)N B n q -，故1221(1)(1)n DT DN n n nq q q q --=== ……11分。

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题及参考答案一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。

1、222ln 1()()()()lim lime lime()()xx x xx x a x b x a x b x x x xx a x b ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭→∞→∞→∞⎛⎫==⎪-+⎝⎭()()2()()()()lim elim e a b x ab a b x abxx x a x b x a x b x x -+⎛⎫-+ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭→∞→∞==e a b -=方法二22()()lim lim 1()()()()xxx x x x x a x b x a x b x a x b →∞→∞⎛⎫⎛⎫--+=+ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭()()()()()()()()lim 1lim 1()()()()x a x b a b x abxxa b x ab x a x b x x a b x ab a b x ab x a x b x a x b -+-+⋅-+-+→∞→∞⎛⎫⎛⎫-+-+=+=+ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭()lim()()()ee x a b x abxa b x a x b →∞-+--+==（2）等式两边求全微分得：12d d 0y z F F x x ⎛⎫⎛⎫''⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即 1222d d dz d 0x y y x x z xF F x x --''+=12(d d )(dz d )0F x y y x F x z x ''⇒⋅-+⋅-= 12122dz d d yF zF F x y xF F '''+∴=-'' 所以有，1212222yF zF F zF z z xy x y z u y xF F F ''''+∂∂+=-==∂∂'''（3）、【解析与点评】：显然0,1x x ==是两个瑕点，有=+⎰对于的瑕点0x =，当0x +→21ln (1)mnx x -=-等价于221(1)mm nx--，而21120m nxdx -⎰收敛（因,m n 是正整数211m n⇒->-），故收敛；对于的瑕点1x =，当1(1,1)(0)2x δδ∈-<<12122ln (1)2(1)n m n mx x <-<-，而2112(1)m x dx -⎰显然收敛，故收敛。

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.) (1) 函数()f x =( ) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.(2) 设12,y y 是一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解,若常数λμ，使12y y λμ+是该方程的解,12y y λμ-是该方程对应的齐次方程的解,则( ) (A) 11,22λμ==. (B) 11,22λμ=-=-. (C) 21,33λμ==. (D) 22,33λμ==. (3) 曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切,则a = ( )(A) 4e. (B) 3e. (C) 2e. (D) e.(4) 设,m n 是正整数,则反常积分⎰的收敛性 ( )(A) 仅与m 的取值有关. (B) 仅与n 的取值有关.(C) 与,m n 取值都有关. (D) 与,m n 取值都无关.(5)设函数(,)z z x y =,由方程(,)0y zF x x=确定,其中F 为可微函数,且20F '≠,则z z x y x y∂∂+=∂∂( ) (A) x . (B) z . (C) x -. (D) z -.(6) ()()2211lim n nn i j n n i n j →∞===++∑∑ ( ) (A) ()()1200111x dx dy x y ++⎰⎰. (B) ()()100111x dx dy x y ++⎰⎰. (C) ()()1100111dx dy x y ++⎰⎰. (D) ()()11200111dx dy x y ++⎰⎰. (7) 设向量组12I :,,,r ααα可由向量组12II :,,,s βββ线性表示,下列命题正确的是( )(A) 若向量组I 线性无关,则r s ≤. (B) 若向量组I 线性相关,则r s >.(C) 若向量组II 线性无关,则r s ≤. (D) 若向量组II 线性相关,则r s >.(8) 设A 为4阶实对称矩阵,且2A A O +=,若A 的秩为3,则A 相似于 ( ) (A) 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (B) 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (C) 1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (D) 1110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 二、填空题(9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.) (9) 3阶常系数线性齐次微分方程220y y y y ''''''-+-=的通解为y = .(10) 曲线3221x y x =+的渐近线方程为 . (11) 函数()ln 120y x x =-=在处的n 阶导数()()0n y = . (12) 当0θπ≤≤时,对数螺线r e θ=的弧长为 .(13) 已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速率增加,宽w 以3cm/s 的速率增加.则当cm 12l = ,cm 5w =时,它的对角线增加的速率为 .(14)设,A B 为3阶矩阵,且132,2A B A B -==+=，,则1A B -+= .三、解答题(15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分11分)求函数2221()()x t f x x t e d -=-⎰的单调区间与极值.(16)(本题满分10分) ( I ) 比较()10ln ln 1n t t dt +⎡⎤⎣⎦⎰与10ln n t t dt ⎰()1,2,n =的大小,说明理由；( II ) 记()10ln ln 1n n u t t dt =+⎡⎤⎣⎦⎰()1,2,n =,求极限lim n n u →∞. (17)(本题满分10分)设函数()y f x =由参数方程22,(1)()x t t t y t ψ⎧=+>-⎨=⎩所确定,其中()t ψ具有2阶导数,且5(1)(1) 6.2ψψ'==，已知223,4(1)d y dx t =+求函数()t ψ. (18)(本题满分10分)一个高为l 的柱体形贮油罐,底面是长轴为2a ,短轴为2b 的椭圆.现将贮油罐平放,当油罐中油面高度为32b 时(如图),计算油的质量.(长度单位为m,质量单位为kg,油的密度为常数ρkg/m 3) (19) (本题满分11分)设函数(,)u f x y =具有二阶连续偏导数,且满足等式2222241250u u u x x y y∂∂∂++=∂∂∂∂,确定a ,b 的值,使等式在变换,x ay x by ξη=+=+下化简为20u ξη∂=∂∂. (20)(本题满分10分)计算二重积分2 sin D I r θ=⎰⎰,其中(),|0sec ,04D r r πθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭. (21) (本题满分10分)设函数()f x 在闭区间[]0,1上连续,在开区间()0,1内可导,且(0)0f =,1(1)3f =,证明：存在1(0,)2ξ∈,1(,1)2η∈,使得22()()=.f f ξηξη''++(22)(本题满分11分) 设110111a A b λλλ ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= - 0= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1 1 ⎝⎭⎝⎭，,已知线性方程组Ax b =存在两个不同的解．( I ) 求λ,a ;( II ) 求方程组Ax b =的通解.(23)(本题满分11 分)设0141340A a a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,正交矩阵Q 使得T Q AQ 为对角矩阵,若Q 的第1列为2,1)T ,求,a Q .。

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题参考答案一、选择题(1)【答案】 (C).【解析】本题属于未定式求极限,极限为1∞型,故可以用“e 的抬起法”求解．()()2lim xx xx a x b →∞⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦()()2lnlim x x x a x b x e ⋅-+→∞=()()2lim lnx x x x a x b e→∞⋅-+=,其中又因为()()2222()()lim ln lim ln 1()()()()lim()()()lim()()x x x x x x x a x b x x x a x b x a x b x x x a x b x a x b a b x abxx a x b a b→∞→∞→∞→∞--+⋅=+-+-+⎡⎤--+⎣⎦=-+-+=-+=-⎡⎤⎣⎦故原式极限为a b e -,所以应该选择(C). (2)【答案】 (B).【解析】122212122221x z y z y zF F F F F yF zF zx x x x x F F xF F x⎛⎫⎛⎫''''-+-⋅+⋅ ⎪ ⎪'''+∂⎝⎭⎝⎭=-=-==∂''''⋅, 112211y z F F F z x y F F F x'⋅''∂=-=-=-∂'''⋅, 1212222yF zF yF F z z z xy z x y F F F ''''+⋅∂∂+=-==∂∂'''． (3) 【答案】 (D).【解析】0x =与1x =都是瑕点.应分成=+⎰,用比较判别法的极限形式,对于,由于121012[ln (1)]lim 11mnx n mx xx+→--=.显然,当1201n m<-<,则该反常积分收敛. 当120n m -≤,1210[ln (1)]lim mx nx x+→-存在,此时实际上不是反常积分,故收敛.故不论,m n 是什么正整数,总收敛.对于,取01δ<<,不论,m n 是什么正整数,1211211[ln (1)]lim lim ln (1)(1)01(1)mnmx x x xx x x δδ--→→-=--=-,所以收敛,故选(D).(4)【答案】 (D). 【解析】()()222211111()nnn n i j i j n n n i n j n i n j =====++++∑∑∑∑22111()()n nj i n n j n i ===++∑∑ 12220211111lim lim ,11()nn n n j j n dy j n jn y n →∞→∞====+++∑∑⎰ 1011111lim lim ,11()n n n n i i n dx i n i n x n→∞→∞====+++∑∑⎰()()2222111111lim lim()()n nn nn n i j j i n n j n i n i n j →∞→∞=====++++∑∑∑∑ 221(lim )nn j n n j →∞==+∑1(lim )nn i nn i→∞=+∑1120011()()11dx dy x y =++⎰⎰()()11200111dx dy x y =++⎰⎰. (5)【答案】 (A).【解析】由于AB E =,故()()r AB r E m ==.又由于()(),()()r AB r A r AB r B ≤≤,故(),()m r A m r B ≤≤ ①由于A 为m n ⨯矩阵,B 为n m ⨯矩阵,故(),()r A m r B m ≤≤ ②由①、②可得(),()r A m r B m ==,故选A. (6)【答案】 (D).【解析】设λ为A 的特征值,由于2A A O +=,所以20λλ+=,即(1)0λλ+=,这样A 的特征值只能为-1或0. 由于A 为实对称矩阵,故A 可相似对角化,即AΛ,()()3r A r =Λ=,因此,1110-⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭,即1110A -⎛⎫⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭. (7) 【答案】 (C).【解析】离散型随机变量的分布函数是跳跃的阶梯形分段函数,连续型随机变量的分布函数是连续函数.观察本题中()F x 的形式,得到随机变量X 既不是离散型随机变量,也不是连续型随机变量,所以求随机变量在一点处的概率,只能利用分布函数的定义.根据分布函数的定义,函数在某一点的概率可以写成两个区间内概率的差,即{}{}{}()()1111111110122P X P X P X F F e e --==≤-<=--=--=-,故本题选(C).(8)【答案】 (A).【解析】根据题意知,()221x f x e-=(x -∞<<+∞),()21,1340,x f x ⎧ -≤≤⎪=⎨⎪ ⎩其它利用概率密度的性质:()1f x dx +∞-∞=⎰,故()()()()03121001312424a a f x dx af x dx bf x dx f x dxb dx b +∞+∞+∞-∞-∞-∞=+=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰ 所以整理得到234a b +=,故本题应选(A).二、填空题 (9) 【答案】0.【解析】因为 ()()22ln 1ln 1tttdy t e dx e -+==-+-,()()()()22222ln 12ln 11tt t td te d y dt t e t e e dx dt dx t -+⎡⎤=⋅=-⋅-+⋅-⎢⎥+⎣⎦,所以220t d y dx ==. (10)【答案】 4π-.t =,2x t =,2dx tdt =,利用分部积分法, 原式220cos 22cos 2sin t t tdt t tdt t d t πππ=⋅==⎰⎰⎰20002sin 2sin 4cos t t t tdt td t πππ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰0004cos cos 4cos 4sin 4t t tdt t ππππππ⎡⎤=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰. (11) 【答案】0.【解析】12222LL L xydx x dy xydx x dy xydx x dy +=+++⎰⎰⎰()()()01221011x x dx x dx x x dx x dx -=+++-+-⎰⎰()()0122122xx dx x x dx -=++-⎰⎰1322310223223x x x x -⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211203223⎛⎫⎛⎫=--++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(12) 【答案】23. 【解析】 ()2221221211000211212021r rrz d rdr zdxdydz d rdr zdz dxdydz d rdr dz d r rdrππππθθθθΩΩ⎛⎫⎪⋅ ⎪⎝⎭==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰4211222r d r dr πθπ⎛⎫-⎪⎝⎭=⎰⎰126204122r r d πθπ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎰20112266322d πθπππ⋅===⎰.(13)【答案】6a =.【解析】因为由123,,ααα生成的向量空间维数为2,所以123(,,)2r ααα=. 对123(,,)ααα进行初等行变换：123112112112211013013(,,)1010130060202000a a a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以6a =.(14) 【答案】2.【解析】利用离散型随机变量概率分布的性质,知{}001!k k CP X k Ce k ∞∞======∑∑,整理得到1C e -=,即 {}111!!k e P X k e k k --===.故X 服从参数为1的泊松分布,则()()1,1E X D X ==,根据方差的计算公式有()()()222112E X D X E X =+=+=⎡⎤⎣⎦.三、解答题(15)【解析】对应齐次方程的特征方程为2320λλ-+=,解得特征根121,2λλ==,所以对应齐次方程的通解为212x x c y C e C e =+．设原方程的一个特解为*()xy x ax b e =+,则()()*22x y axax bx b e '=+++,()()*2422x y axax bx a b e ''=++++,代入原方程,解得1,2a b =-=-,故特解为*(2)xy x x e =--． 故方程的通解为*212(2)x x x c y y y C e C e x x e =+=+-+． (16)【解析】因为22222222111()()x x x t t t f x x t e dt xe dt te dt ---=-=-⎰⎰⎰,所以2224423311()2222x x t x x t f x x e dt x ex ex e dt----'=+-=⎰⎰,令()0f x '=,则0,1x x ==±.又22421()24x t x f x e dt x e --''=+⎰,则21(0)20t f e dt -''=<⎰,所以2211111(0)(0)(1)22t t f t e dt e e ---=-=-=-⎰是极大值.而1(1)40f e-''±=>,所以(1)0f ±=为极小值.又因为当1x ≥时,()0f x '>；01x ≤<时,()0f x '<；10x -≤<时,()0f x '>；1x <-时,()0f x '<,所以()f x 的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞-,()f x 的单调递增区间为(1,0)(1,)-+∞.(17)【解析】 (I)当01x <<时0ln(1)x x <+<,故[]ln(1)nn t t +<,所以[]ln ln(1)ln nn t t t t +<,则[]11ln ln(1)ln nn t t dt t t dt +<⎰⎰()1,2,n =.(II)()111101ln ln ln 1n n n t t dt t t dt td t n +=-⋅=-+⎰⎰⎰ ()211n =+,故由 ()1210ln 1n n u t t dt n <<=+⎰,根据夹逼定理得()210lim lim01n n n u n →∞→∞≤≤=+,所以lim 0n n u →∞=.(18)【解析】(I) (1)1222(1)1122(1)(1)2(1)121lim lim (1)(1)2121n n n n n n n n n nx x n n xx n n +-++--→∞→∞--⋅+-+=--⋅--222(21)21lim lim 2121n n n x n x x n n →∞→∞--==⋅=++, 所以,当21x <,即11x -<<时,原级数绝对收敛.当21x >时,原级数发散,因此幂级数的收敛半径1R =.当1x =±时,11211(1)(1)2121n n n n n x n n --∞∞==--⋅=--∑∑,由莱布尼兹判别法知,此级数收敛,故原级数的收敛域为[]1,1-.(II) 设1122111(1)(1)()2121n n nn n n S x x x x n n --∞∞-==⎛⎫--=⋅=⋅⋅ ⎪--⎝⎭∑∑,其中令 12111(1)()21n n n S x xn -∞-=-=⋅-∑()1,1x ∈-, 所以有 12221111()(1)()n n n n n S x xx ∞∞---=='=-⋅=-∑∑ ()1,1x ∈-,从而有 12211()1()1S x x x '==--+ ()1,1x ∈-, 故 11201()(0)arctan 1xS x dx S x x =+=+⎰,()1,1x ∈-.1()S x 在1,1x =-上是连续的,所以()S x 在收敛域[]1,1-上是连续的.所以()arctan S x x x =⋅,[]1,1x ∈-.(19)【解析】 ( I )令()222,,1F x y z x y z yz =++--,故动点(),,P x y z 的切平面的法向量为()2,2,2x y z zy --,由切平面垂直xOy ,故所求曲线C 的方程为222120x y z yz z y ⎧++-=⎨-=⎩. ( II ) 由⎩⎨⎧=-=-++,02,1222y z yz z y x 消去z ,可得曲线C 在xOy 平面上的投影曲线所围成的xOy 上的区域223:{(,)|1}4D x y x y +≤,由()()x x yz z y x '='-++1222,由 dxdy zy yzz y dxdy y z x z dS 24412222--++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=,故(2DDDx y zI x dxdy xdxdy ∑-==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰12Dπ==⋅=. (20)【解析】因为方程组有两个不同的解,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于3,进而可以通过秩的关系求解方程组中未知参数,有以下两种方法.方法1：( I )已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,对增广矩阵进行初等行变换,得111110101010111111a A a λλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111111010101010110011a a λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----+⎝⎭⎝⎭ 当1λ=时,11111111000100010000000A a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,此时,()()r A r A ≠,故Ax b =无解(舍去)．当1λ=-时,111102010002A a -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪+⎝⎭,由于()()3r A r A =<,所以2a =-,故1λ=- ,2a =-.方法2：已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,因此0A =,即211010(1)(1)011A λλλλλ=-=-+=,知1λ=或-1.当1λ=时,()1()2r A r A =≠=,此时,Ax b =无解,因此1λ=-.由()()r A r A =,得2a =-.( II ) 对增广矩阵做初等行变换31012111211121020102010102111100000000A ⎛⎫- ⎪----⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭可知原方程组等价为1323212x x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,写成向量的形式,即123332110210x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭.因此Ax b =的通解为32110210x k ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪⎪⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭,其中k 为任意常数.(21)【解析】 ( I )由于二次型在正交变换x Qy =下的标准形为2212y y +,所以A 的特征值为1231,0λλλ===.由于Q 的第3列为22T ⎛ ⎝⎭,所以A 对应于30λ=的特征向量为22T⎛ ⎝⎭,记为3α. 由于A 是实对称矩阵,所以对应于不同特征值的特征向量是相互正交的,设属于121λλ==的特征向量为()123,,Tx x x α=,则30T αα=,即13022x x +=. 求得该方程组的基础解系为()()120,1,0,1,0,1TTαα==-,因此12,αα为属于特征值1λ=的两个线性无关的特征向量.由于12,αα是相互正交的,所以只需单位化：())1212120,1,0,1,0,1T Tααββαα====-. 取()12302,,10002Q ββα⎛⎪⎪==⎝⎭,则110T Q AQ ⎛⎫ ⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭,且1T Q Q -=, 故 1102201011022TA Q Q ⎛⎫- ⎪ ⎪=Λ= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. ( II )A E +也是实对称矩阵,A 的特征值为1,1,0,所以A E +的特征值为2,2,1,由于A E +的特征值全大于零,故A E +是正定矩阵.(22)【解析】当给出二维正态随机变量的的概率密度(),f x y 后,要求条件概率密度|(|)Y X f y x ,可以根据条件概率公式|(,)(|)()Y X X f x y f y x f x =来进行计算.本题中还有待定参数,A 要根据概率密度的性质求解,具体方法如下.()()22222222()(),xxy y y x x xy x X f x f x y dy A e dy A e dy Ae e dy +∞+∞+∞+∞-+--------∞-∞-∞-∞====⎰⎰⎰⎰2,x x -=-∞<<+∞.根据概率密度性质有()21x X f x dx edx A π+∞+∞--∞-∞===⎰,即1A π-=,故()2x X f x -=,x -∞<<+∞.当x -∞<<+∞时,有条件概率密度()()()22222222(),,,x xy y x xy y x y Y X X f x y f y x x y f x -+--+---==-∞<<+∞-∞<<+∞.(23)【解析】()()()22123~,1,~,,~,N B n N B n N B n θθθθ--()()()()31122331i i i E T E a N a E N a E N a E N =⎛⎫==++ ⎪⎝⎭∑()()221231a n a n a n θθθθ=-+-+()()212132na n a a n a a θθ=+-+-.因为T 是θ的无偏估计量,所以()E T θ=,即得()()12132010na n a a n a a =⎧⎪-=⎨⎪-=⎩,整理得到10a =,21,a n =31a n=.所以统计量 ()()12323111110T N N N N N n N n n n n=⨯+⨯+⨯=⨯+=⨯-.注意到1(,1)N B n θ-,故()()()11211D T D n N D N n n⎡⎤=⨯-=⨯⎢⎥⎣⎦()11n θθ=-.。

2010年考研英语真题与答案解析从2010年开始，全国硕士研究生入学考试的英语试卷分为了英语（一）和英语（二）。

英语（一）即原统考“英语”。

英语（二）主要是为高等院校和科研院所招收专业学位硕士研究生而设置的具有选拔性质的统考科目。

英语一考试形式、考试内容与试卷结构（一）考试形式考试形式为笔试。

考试时间为180分钟。

满分为100分。

试卷包括试题册和答题卡。

答题卡分为答题卡1和答题卡2。

考生应将1~45题的答案按要求填涂在答题卡1上，将46~52题的答案写在答题卡2上。

（二）考试内容试题分三部分，共52题，包括英语知识运用、阅读理解和写作。

第一部分英语知识运用该部分不仅考查考生对不同语境中规范的语言要素（包括词汇、表达方式和结构）的掌握程度，而且还考查考生对语段特征（如连贯性和一致性等）的辨识能力等。

共20小题，每小题0.5分，共10分。

在一篇240~280词的文章中留出20个空白，要求考生从每题给出的4个选项中选出最佳答案，使补全后的文章意思通顺、前后连贯、结构完整。

考生在答题卡1上作答。

第二部分阅读理解该部分由A、B、C三节组成，考查考生理解书面英语的能力。

共30小题，每小题2分，共60分。

A节（20小题）：主要考查考生理解主旨要义、具体信息、概念性含义，进行有关的判断、推理和引申，根据上下文推测生词的词义等能力。

要求考生根据所提供的4篇（总长度约为1600词）文章的内容，从每题所给出的4个选项中选出最佳答案。

考生在答题卡1上作答。

B节（5小题）：主要考查考生对诸如连贯性、一致性等语段特征以及文章结构的理解。

本部分有3种备选题型。

每次考试从这3种备选题型中选择一种进行考查。

考生在答题卡1上作答。

备选题型有：1）本部分的内容是一篇总长度为500~600词的文章，其中有5段空白，文章后有6~7段文字。

要求考生根据文章内容从这6~7段文字中选择能分别放进文章中5个空白处的5段。

2）在一篇长度约500~600词的文章中，各段落的原有顺序已被打乱，要求考生根据文章的内容和结构将所列段落（7~8个）重新排序，其中有2~3个段落在文章中的位置已给出。

2010年全国研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）若1)1(1lim =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--x e a x x ，则a 等于（C ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【解析】=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→x x e a x x )1(1lim 0⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-→x x x ae e x )1(1lim 0=111lim00=+-=+-→→a e im al xe x x x x ，因此a =2（2）设21y y ，是一阶线性非齐次微分方程)()('x q y x p y =+的两个特解，若常数λ，程的解，则是该方程对应的齐次方是该方程的解，使2121y y y y μλμλμ-+（A ）（Ａ）λ＝，21μ＝，21 （Ｂ）λ＝－，21μ＝－，21（Ｃ）λ＝32，μ＝31 （Ｄ）λ＝32，μ＝32【解析】根据已知有)()(),()(2211x q x p y y x q x p y y =+"=+"λλ。

于是将2121y y y y μλμλ-+和分别代入方程左边得)(21''+y y μλ+))((21y y x p μλ+)()(x q μλ+= )(21''-y y μλ+))((21y y x p μλ-)()(x q μλ-=21y y μλ+为方程解1=+⇒μλ，21y y μλ-为齐次方程解0=-⇒μλ，解得21==μλ （３）设函数)(x f ，)(x g 具有二阶导数，且0)(<''x g ，若a x g =)(0是)(x g 的极值，则))((x g f 在0x 取极大值的一个充分条件是（B ）（Ａ）)(a f '＜０ （Ｂ）)(a f '＞０ （Ｃ）)(a f ''＜０ （Ｄ）)(a f ''＞０【解析】根据已知得0)(0='x g ，0)(0<''x g 。