第三章数据的离中趋势、偏度峰度
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数据离中趋势、偏度峰度
（ 不分组 ）
(分组)
2、平均差作用：平均差愈小，则标志变动愈小，平均差愈大，则标志变动愈大
例1、某生产班组11个工人日产零件数为15、17、19、20、22、22、23、23、25、26、
30，求平均差
解：
（件）
（件）
• 例2：某车200个工人按日产量分组分配数列如下，计算平均差
已知：
日产量
20—30
则有：
，
(2）若每一个变量值均扩大一个常数倍，方差和标准差也同 比例变化。设a为任意常数，
σ2和σ的简易计算公式
.根据平均数和标准差的关系。 （1）设
，则标准差为多少？
（2）设 ，则标准差系数为多少？
（3）设
，则平均数为多少？
（4）设 ，则平均数为多少？
提示：
4、离散系数 （变异系数）
一群牛的平均体重是180公斤，标准差
三、应用举例
三、应用举例
三、应用举例
解：
2001年我
国农村居 民纯收入 分布状况 计算指标
三、应用举例
同理可计算出其他年份的居民收入分布状况
您看出了
什么？ 三、应用举例
解：
30—40
40—50
50—60
合计
工人数（人）
10 70 90 30 200
3、方差Variance和标准差S.D
测度标志变异最重要，最常用的指标。
标准差＝方差的平方根。
方差——变量值与平均数的离差平方的平均数。
1）标准差定义：是总体中各单位标志值与算术平均数的离差平方的算术平均的平方根。是测定标 志变异最主要的指标。
2）标准差作用：标准差愈小，则标志变动愈小；标准愈大，则标志变动愈大
数据的偏度和峰度理解
数据的偏度和峰度理解数据的偏度和峰度是描述数据分布形态的两个重要统计量。
它们可以帮助我们进一步了解数据的分布特征，从而指导我们选择合适的统计分析方法和进行数据预处理。
1. 偏度（Skewness）：数据的偏度描述了数据分布的不对称性。
它可以告诉我们数据的分布是向左偏斜还是向右偏斜，以及偏斜的程度。
正偏态数据是指数据分布向右偏斜，即数据的右侧尾部比左侧尾部更长。
这意味着数据中较大的值较为常见。
正偏态数据的偏度大于0，偏度值越大，右偏的程度越严重。
负偏态数据是指数据分布向左偏斜，即数据的左侧尾部比右侧尾部更长。
这意味着数据中较小的值较为常见。
负偏态数据的偏度小于0，偏度值越小，左偏的程度越严重。
数据的偏度可以用下面的公式来计算：偏度 = 3 * (平均值 - 中位数) / 标准差偏度的取值范围为负无穷到正无穷。
当偏度为0时，表示数据分布是对称的，左右两侧的一侧尾部与另一侧尾部相似。
2. 峰度（Kurtosis）：峰度描述了数据分布的尖峭程度，即数据分布的峰值高低以及峰顶的平坦程度。
正常态曲线（正态分布）的峰度为3。
当数据的峰度大于3时，表示数据分布比正态分布更尖峭，峰顶更尖；当数据的峰度小于3时，表示数据分布比正态分布更平坦，峰顶更平坦。
数据的峰度可以用下面的公式来计算：峰度 = (数据的四阶矩 - 3 * 数据的方差的平方) / 数据的方差的平方峰度的取值范围从负无穷到正无穷。
当峰度为0时，表示数据分布与正态分布的峰度相同。
当峰度大于0时，表示数据分布比正态分布更尖峭；当峰度小于0时，表示数据分布比正态分布更平坦。
总结：偏度和峰度是描述数据分布形态的两个重要统计量。
偏度描述了数据分布的不对称性，可以帮助我们了解数据的左右偏斜程度；峰度描述了数据分布的尖峭程度，可以帮助我们了解数据的峰值高低和峰顶的平坦程度。
了解数据的偏度和峰度可以指导我们选择合适的统计分析方法，并进行必要的数据处理和变换，以满足分析的要求。
数据分布特征的描述
该项活动中，每月都有数据统计及分析以用来进 行该项活动旳调整与实施。
如：有一组有关病人进入“救济”活动旳时间长 度旳数据：
67个样本：时间长度从1天到185天。
除了对该组数据进行频数方面旳描述和分析外， 下面旳统计措施在描述数据分布特征及分析方面也很 主要：
均值(mean)：35.7天; 中位数(median)：17天； 众数(Mode)：1天
X Me Mo 当分布右偏时（阐明存在极端大旳值）
X Me Mo
3、在偏斜度适度旳情况下，不论是左偏还是右偏，中位数
与算术平均数之差约等于众数与算术平均数之差旳1/3，即有如
下经验公式：
Me
X
1 3 (M O
X)
众数、中位数和均值旳应用场合
• 众数、中位数和均值都是对数据集中趋势旳测度，
1、均值由全部数据计算，包括了全部数据旳信息，具有良 好旳数学性质，当数据接近对称分布时，具有很好旳代表性； 但对于偏态分布，其代表性较差。
Graduates Monthly Graduates Monthly Graduates Monthly
Salary($)
Salary($)
Salary($)
1
2350
5
2255
9
2440
2
2450
6
2210
10
2852
3
2550
7
2390
11
2428
4
2380
8
2630
12
2380
未分组时旳算术平均值为：2440
一、均值（Mean）
均值就是一组数据旳平均值(average value)，用来测 度中心位置(central location)。
偏度与峰度公式偏度与峰度的计算公式及解释
偏度与峰度公式偏度与峰度的计算公式及解释偏度与峰度公式——偏度与峰度的计算公式及解释偏度和峰度是用来描述数据分布形态的统计量。
在许多实际应用中，我们经常需要了解数据的偏度和峰度特性，以便更好地理解数据的分布情况。
本文将介绍偏度和峰度的计算公式，并对其进行解释。
一、偏度公式及解释偏度是用来衡量数据分布的非对称性的统计量，可以判断数据分布的左倾、右倾或对称。
当数据分布的左侧尾部比右侧尾部长时，称为左偏，当右侧尾部比左侧尾部长时，称为右偏。
如果两侧尾部长度差不多，则认为数据分布是对称的。
常用的偏度公式为：偏度 = [(n / ((n-1) * (n-2))) * ∑ ((xi-μ) / σ)^3]其中，n表示数据的个数，xi表示第i个数据值，μ表示数据的均值，σ表示数据的标准差。
解释：偏度公式的分子是数据的偏差的立方和的平均值。
当xi-μ为正时，表示数据位于均值的右侧；当xi-μ为负时，表示数据位于均值的左侧。
取立方是为了放大差异，并消除正负号的影响。
公式中的除法部分是为了将立方和的平均值进行标准化。
二、峰度公式及解释峰度是用来衡量数据分布的峰态的统计量，可以判断数据分布是平峰、高峰还是低峰。
当数据分布的峰态较高而尖时，称为高峰；当峰态比较平坦时，称为平峰；当峰态较低且宽时，称为低峰。
常用的峰度公式为：峰度 = [(n * (n+1)) / ((n-1) * (n-2) * (n-3))] * ∑ ((xi-μ) / σ)^4 - (3 * ((n-1) ^ 2) / ((n-2) * (n-3)))其中，n表示数据的个数，xi表示第i个数据值，μ表示数据的均值，σ表示数据的标准差。
解释：峰度公式的计算主要是通过数据的四次方差、三次方差和二次方差来衡量峰态。
分子部分的第一项是数据的四次方差的平均值，用来衡量数据分布的峰态的峰度特性；第二项是偏离正态分布的标准峰度，即正态分布的峰度为3.因此，峰度公式的结果减去3之后，可以衡量数据相对于正态分布的偏离程度。
统计学 第三章数据的特征值
• 权数：衡量变量值相对重要性的数值。 • 各个变量值的权数要起作用必须具备两个条件：
一是各个变量值之间有差异； 二是各个变量值的权数有差异。 • 简单算术平均数是加权算术平均数在权数相等时的特例。
2021/7/3
14
算术平均数的性质 p75-76
• 1．各变量值与其算术平均数的离差之和
等于零，即
根据未分组数据计算四分位数时先对数据进行排序然后再确定四分位数所在的位置当四分位数的位置不在某一个具体数值时可根据四分位数的位置按比例分摊四分位数所在位置两侧变量值之差的数值
第三章 数据分布特征的描述
• 第一节 集中趋势——数值平均数 • 第二节 集中趋势——位置平均数 • 第三节 离中趋势的测度 • 第四节 偏度与峰度的 测度
时间：1999 2000 2001 2002 tn 产量：环y比0 发展速y度1 y1/yy20 y2/y1 yy33/y2 yn/yynn-1
定基发展速度 y1/y0 y2/y0 y3/y0 yn/y0
注意：环比发展速度的连乘积=相应的定基发展速度
增长速度= 发展速度-1
环比增长速度=环比发展速度-1 定基增长速度=定基发展速度-1
某年级83名女生身高资料
身高 人数
（CM） （人） 152 1 154 2 155 2 156 4 157 1 158 2 159 2 160 12 161 7 162 8 163 4
2021/7/3
身高 人数
（CM） （人） 164 3 165 8 166 5 167 3 168 7 169 1 170 5 171 2 172 3 174 1 总计 83
n Yn 1 Y0
(i 1,2,, n)
2021/7/3
一是各个变量值之间有差异； 二是各个变量值的权数有差异。 • 简单算术平均数是加权算术平均数在权数相等时的特例。
2021/7/3
14
算术平均数的性质 p75-76
• 1．各变量值与其算术平均数的离差之和
等于零，即
根据未分组数据计算四分位数时先对数据进行排序然后再确定四分位数所在的位置当四分位数的位置不在某一个具体数值时可根据四分位数的位置按比例分摊四分位数所在位置两侧变量值之差的数值
第三章 数据分布特征的描述
• 第一节 集中趋势——数值平均数 • 第二节 集中趋势——位置平均数 • 第三节 离中趋势的测度 • 第四节 偏度与峰度的 测度
时间：1999 2000 2001 2002 tn 产量：环y比0 发展速y度1 y1/yy20 y2/y1 yy33/y2 yn/yynn-1
定基发展速度 y1/y0 y2/y0 y3/y0 yn/y0
注意：环比发展速度的连乘积=相应的定基发展速度
增长速度= 发展速度-1
环比增长速度=环比发展速度-1 定基增长速度=定基发展速度-1
某年级83名女生身高资料
身高 人数
（CM） （人） 152 1 154 2 155 2 156 4 157 1 158 2 159 2 160 12 161 7 162 8 163 4
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身高 人数
（CM） （人） 164 3 165 8 166 5 167 3 168 7 169 1 170 5 171 2 172 3 174 1 总计 83
n Yn 1 Y0
(i 1,2,, n)
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统计学第3章数据分布特征描述
xi fi i1
xf
f1 f2 ... fn
n
fi
f
x x f
i 1
f
举例
表3-3 节能灯泡使用寿命数据
使用寿命 组中 数量 （小时） 值x f
xf
频率 f /Σf
xf/Σf
1000以下 900 2 1800 0.020 18
1000-1200 1100 8 8800 0.080 88
n（xi x) 0
i1
（3）各变量值与算术平均数的离差平方之总和最小。 （从全 部数据看，算术平均数最接近所有变量值）
n（xi x)2 min
i1
性质（3）证明：
（三）调和平均数（Harmonic mean）
➢ 调和平均数，也称倒数平均数。 ➢ 各变量值倒数（1/xi）的算术平均数的倒数。 ➢ 计算公式为：
➢由一组数据的总和（总体标志总量）除以 该组数据的项数（总体单位总量）得到; 算术平均数=总体标志总量/总体单位总量
➢是最常用的数值平均数；
➢根据掌握资料不同，其有多种计算公式。
1．简单算术平均数 ➢对未分组数据，采用简单算术平均数公式。即 把各项数据直接加总，然后除以总项数。 ➢计算公式：
N
xi x i1
例如，改变教师职称结构，而不改变各种职 称教师课时费标准，会改变平均课时费水平。
权数实质
➢权数的实质在于其结构，即结构比例形式（比重 权数）。
➢其更能清晰表明权数之权衡轻重的作用。
权数形式有2种：
➢ 绝对数形式
Mp
➢ 结构比例形式
k
N
xik wi
i 1
N
wi
i 1
k
N
i 1
第三章 集中趋势和离中趋势
很显然，其中中间的四分位数就是中位数。 所以，通常所说的的四分位数是指第一个和 第三个四分位数，分别又称作下四分位数和 上四分位数。
38
（三）分位数
四分位数的计算方法：
与中位数计算相类似
（1）未分组资料计算
首先对数据进行排序，然后确定四分位数
所在位置。
设：下四分位数为 QL
上四分位数为 QU
=1502.5/1460=102.91%
15
15
表二（用于计算调和平均数）
计划完成（%） 企业数（个）
95——100
5
100——105
8
105——110
3
110以上
2
合计
18
实际完成数（万元） 97.5 1230.0 107.5 67.5 1502.5
要求同上：计算18个企业税收收入平均计划完成程度。
32
32
（二）中位数
2、中位数的确定
Hale Waihona Puke 单项数列（2）分组资料确定中位数 组距数列 由单项数列计算中位数：
首先，计算各组的累积次数；
然后，根据中点位置（总次数/2）在累积 次数中确定中位数所在组，以确定中位数。
33
（二）中位数
2、中位数的确定 （2）分组资料确定中位数 由组距数列计算中位数（情况要复杂一些）： 分三步骤： 第一步，计算累积次数； 第二步，计算中位数位置（总次数/2），以
f1 f2 ... fn
f
式中：f—— 代表各组的次数或频数（即各组的单位数）。
比较两个公式，并解释为什么次数f又称之为权数？
9
X x1 x2 n
n
xn
xi
i 1
n
n
38
（三）分位数
四分位数的计算方法：
与中位数计算相类似
（1）未分组资料计算
首先对数据进行排序，然后确定四分位数
所在位置。
设：下四分位数为 QL
上四分位数为 QU
=1502.5/1460=102.91%
15
15
表二（用于计算调和平均数）
计划完成（%） 企业数（个）
95——100
5
100——105
8
105——110
3
110以上
2
合计
18
实际完成数（万元） 97.5 1230.0 107.5 67.5 1502.5
要求同上：计算18个企业税收收入平均计划完成程度。
32
32
（二）中位数
2、中位数的确定
Hale Waihona Puke 单项数列（2）分组资料确定中位数 组距数列 由单项数列计算中位数：
首先，计算各组的累积次数；
然后，根据中点位置（总次数/2）在累积 次数中确定中位数所在组，以确定中位数。
33
（二）中位数
2、中位数的确定 （2）分组资料确定中位数 由组距数列计算中位数（情况要复杂一些）： 分三步骤： 第一步，计算累积次数； 第二步，计算中位数位置（总次数/2），以
f1 f2 ... fn
f
式中：f—— 代表各组的次数或频数（即各组的单位数）。
比较两个公式，并解释为什么次数f又称之为权数？
9
X x1 x2 n
n
xn
xi
i 1
n
n
描述数据离中趋势的统计指标
描述数据离中趋势的统计指标选择一种正确的方法去统计，就能使所统计的数据更准确、更科学。
1。
描述数据离中趋势的统计指标第一种描述离中趋势的统计指标是：标准差。
标准差=标准偏差/真实值。
如果将真实值看成是无限小时，则标准差就表示数据由无限多的值中落到有限个值内的平均数。
在这种情况下，我们把在离中趋势内落入极端值的点的数值称为离群值（ outgroupvalues）。
在这种情况下，如果出现了离群值，那么整体就不会按预定的方向移动，而会产生严重的波动。
因此，在运用这种指标时，我们要特别注意不要把离群值当成是某一个数值的代名词。
标准差用来衡量统计量与其平均数之间差异程度的统计指标。
离中值的大小和变化趋势用标准差进行衡量。
标准差越大，表明两者之间的距离越远；标准差越小，表明两者之间的距离越近。
2。
描述数据离散趋势的统计指标第二种描述离散趋势的统计指标是：方差。
方差=标准差除以真实值。
它反映的是集中趋势的强度或离散程度。
标准差和方差的大小表示集中趋势和离散程度的相对强弱，方差大，集中趋势强，反之，则集中趋势弱。
3。
描述数据的集中趋势的统计指标第三种描述数据的集中趋势的统计指标是：峰度。
峰度=最大值-最小值。
由于峰度不是与总体的变化方向成比例，而只是与测定的样本量的多少有关，因此，它也可以用来反映测定的样本量的多少。
峰度和标准差类似，也是用来反映集中趋势的强弱。
4。
描述数据的离散趋势的统计指标第四种描述数据的离散趋势的统计指标是：偏度。
偏度=峰度的倒数。
峰度愈大，偏度也愈大。
它反映的是变化的幅度，即两组数据的分散性大小。
偏度和标准差类似，也是用来反映集中趋势的强弱。
5。
描述数据聚集程度的统计指标第五种描述数据聚集程度的统计指标是：聚集系数。
聚集系数=（真实值-X）/真实值。
聚集系数的值愈大，说明被测定数据的分散性愈大。
聚集系数愈接近1，说明被测定数据的分散性愈小。
6。
描述离中趋势和离散趋势的综合指标当需要描述数据既有离中趋势又有离散趋势时，需要综合指标。
统计学概论03
n 1 n
式中G表示几何平均数, 表示各项标志值 表示各项标志值. 式中 表示几何平均数,xi表示各项标志值. 表示几何平均数
3-21
(2)加权几何平均数 )
加权几何平均数是各标志值fi次方的连乘积的 加权几何平均数是各标志值 次方的连乘积的 次方根,计算公式为: 次方根,计算公式为: G=
∑ fi
xik = ∑ ( xk ) k =n( xk ) k ∑
i =1 i =1 n n
k xk = ∑ xi / n i =1
n
1/ k
称为k阶幂平均数, 取不同的整数值时, 称为 阶幂平均数,当k 取不同的整数值时, 阶幂平均数 幂平均数就给出不同的数值平均数计算公式. 幂平均数就给出不同的数值平均数计算公式.
∑ x k1 n
∑ x k2 ≤ n
1 k
1 k2
因为算术平均数,几何平均数,调和平均数都是幂 因为算术平均数,几何平均数, 平均数的k阶数由 递减为0又减为 的特例, 阶数由1递减为 又减为-1的特例 平均数的 阶数由 递减为 又减为 的特例,三者之 间的一般数量关系为: 间的一般数量关系为:调和平均数小于几何平均数 小于算术平均数;当各变量相等时, 小于算术平均数;当各变量相等时,调和平均数等 于几何平均数等于算术平均数. 于几何平均数等于算术平均数.
m1 + m2 + + mn = H= m1 m2 mn + ++ x1 x2 xn
∑m
i =1 n
n
i
mi ∑x i =1 i
在权数选择合适时, 在权数选择合适时,加权调和平均数实际上 是加权算术平均数的变形: 是加权算术平均数的变形:
∑m
式中G表示几何平均数, 表示各项标志值 表示各项标志值. 式中 表示几何平均数,xi表示各项标志值. 表示几何平均数
3-21
(2)加权几何平均数 )
加权几何平均数是各标志值fi次方的连乘积的 加权几何平均数是各标志值 次方的连乘积的 次方根,计算公式为: 次方根,计算公式为: G=
∑ fi
xik = ∑ ( xk ) k =n( xk ) k ∑
i =1 i =1 n n
k xk = ∑ xi / n i =1
n
1/ k
称为k阶幂平均数, 取不同的整数值时, 称为 阶幂平均数,当k 取不同的整数值时, 阶幂平均数 幂平均数就给出不同的数值平均数计算公式. 幂平均数就给出不同的数值平均数计算公式.
∑ x k1 n
∑ x k2 ≤ n
1 k
1 k2
因为算术平均数,几何平均数,调和平均数都是幂 因为算术平均数,几何平均数, 平均数的k阶数由 递减为0又减为 的特例, 阶数由1递减为 又减为-1的特例 平均数的 阶数由 递减为 又减为 的特例,三者之 间的一般数量关系为: 间的一般数量关系为:调和平均数小于几何平均数 小于算术平均数;当各变量相等时, 小于算术平均数;当各变量相等时,调和平均数等 于几何平均数等于算术平均数. 于几何平均数等于算术平均数.
m1 + m2 + + mn = H= m1 m2 mn + ++ x1 x2 xn
∑m
i =1 n
n
i
mi ∑x i =1 i
在权数选择合适时, 在权数选择合适时,加权调和平均数实际上 是加权算术平均数的变形: 是加权算术平均数的变形:
∑m
《统计学基础》(第7版)第3章 ——数据的概括性测度(J7)
90
× 30 − 1 = 26.1
100
因此，第90个百分位数在第27个值（92）和第28个值（96）之间0.1
的位置上，因此5% = 92 + 0.1 × 96 − 92 = 92.4。
90% 位置 =
统计学基础（第7版）—贾俊平
4-8
第3章
数据的概括性度量
3.1 集中趋势的度量
众数
众数——一组数据中出现次
−1
30 − 1
2
=
2023/4/3
σ=1 − ҧ 2
=
−1
统计学基础（第7版）—贾俊平
3585
= 11.1185
30 − 1
4 - 15
第3章
数据的概括性度量
3.2 离散程度的度量
离散系数——例题分析
离散系数——标准差与其相应的
【 例3-11】 沿用例2-13。计算各月份空气质量指数（AQI）的
=
=
= 9.4
30
统计学基础（第7版）—贾俊平
4 - 13
第3章
数据的概括性度量
3.2 离散程度的度量
方差和标准差
方差——各变量
值与均值的平均
差异
标准差——上四
分位数与下四分
位数之差
原始数据
分组数据
样本方差为 2
样本方差为 2
σ
=1 − ҧ
2
=
−1
样本标准差s
度量偏度与峰度的统计量
各统计量的的特点及应用场合
用Excel计算描述统计量
2023/4/3
统计学基础（第7版）—贾俊平
4-2
第3章
数据分布特征的统计描述
x xx1x2...xn
n
n
均值，即算术平均数
x 标志值或变量值
见49页例题
20
2、加权法：分组且各组标志值出现的次数 （权数 f ）不相等时，公式：
x xfx1f1x2f2...xnfn
f
f1f2...fn
x 为标志值，又称变量值； f 为各组标志值出现的次数
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21
某厂工人生产情况
第三章 数据分布特征的统计描述
除了统计图和统计表之外，还可以用少量 的特征值（代表值）对数据分布的数量规 律进行精确、简洁的描述。
1
离中趋势：即反映各数据远离中心值的程度 因为即使现象的集中趋势相同，其离中趋势 也可能不同。
离中趋势 (分散程度)
两个不同的曲线表示两个不同的总体，它们的 集中趋势相同但离中趋势不同。
“150个企业的平均计划完成百分数” 就是“150个企 业总的计划完成百分数”。
企业总计划完成百分数 = 总实际数 / 总计划数
计划完成 百分数％ 105~110 110~120 120~130
合计
企业 数n 30 70 50 150
计划产值 f
5700 20500 22500 48700
x
xf
％ 实际值
m 1m x
46
举例:
某蔬菜单价早中晚分别为0.5、0.4、 0.25（元/斤） （1）早中晚各买1元，求平均价格 （2）早中晚各买1斤，求平均价格 （3）早中晚各买2元、3元、4元，求平均价格 （4）早中晚各买2斤、3斤、4斤，求平均价格
47
（1）问：用调和平均。先求早、中、晚购买的斤 数。早 1/0.5=2(斤) 、中 1/0.4=2.5(斤)、晚 1/0.25=4(斤)
数学统计中的偏度和峰度测量
数学统计中的偏度和峰度测量数学统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科。
在统计学中，我们经常使用各种测量指标来描述和衡量数据的特征。
其中，偏度和峰度是两个重要的测量指标，用于描述数据分布的形状和偏斜程度。
一、偏度测量偏度是用来描述数据分布的偏斜程度的指标。
它可以告诉我们数据分布在平均值附近是如何分布的。
偏度可以分为正偏和负偏两种情况。
正偏表示数据分布的尾部偏向于右侧，也就是数据的右侧尾部比左侧尾部更长。
这种情况下，数据的平均值会被拉向右侧，形成一个长尾。
例如，假设我们研究一个城市的收入分布，如果大部分人的收入都比较低，但是有一小部分人的收入非常高，那么这个数据分布就是正偏的。
负偏则表示数据分布的尾部偏向于左侧，也就是数据的左侧尾部比右侧尾部更长。
这种情况下，数据的平均值会被拉向左侧，形成一个长尾。
例如，假设我们研究一个班级的学生成绩分布，如果大部分学生的成绩都比较高，但是有一小部分学生的成绩非常低，那么这个数据分布就是负偏的。
偏度的计算公式是通过计算数据的三阶中心矩来得到的。
三阶中心矩是指数据减去平均值后的立方和的平均值。
如果偏度为0，则表示数据分布是对称的；如果偏度大于0，则表示数据分布是正偏的；如果偏度小于0，则表示数据分布是负偏的。
二、峰度测量峰度是用来描述数据分布的峰态的指标。
它可以告诉我们数据分布的尖峰程度和厚尾程度。
峰度可以分为正峰和负峰两种情况。
正峰表示数据分布的峰态比较尖，也就是数据分布的峰值比较高且陡峭。
这种情况下，数据分布的尾部比较短，数据集中在中心位置附近。
例如，假设我们研究一个班级的身高分布，如果大部分学生的身高都集中在某个区间内，而且没有太多的离群值，那么这个数据分布就是正峰的。
负峰则表示数据分布的峰态比较平坦，也就是数据分布的峰值比较低且平缓。
这种情况下，数据分布的尾部比较长，数据集中度较低。
例如，假设我们研究一个城市的房价分布，如果大部分房价都集中在一个区间内，但是有一些极高或极低的房价，那么这个数据分布就是负峰的。
第3章 统计数据分布特征的描述
M O = LM 0 +
农民家庭年人均纯收入情况表 农民家庭数（户） 240 480 1 050 600 270 210 120 30 3 000
计
f M o - f M o -1
´ d M o ( f M o - f M o -1 ) + ( f M o - f M o +1 )
3.1
统计变量集中趋势的测定
统计学是关于收集、分析、表述和解释统计数据的方法论科学，她对统计数据的收集、分析、表述 和解释虽然要从每一个数据着手，但其着眼点即研究目的却是在于统计数据整体或者说研究现象的总体 特征。在一个统计总体中，每一个个体即统计单位都有自己的特征和属性，具体地就表现出不同的标志 值，我们不能用其中的某一个或某几个的标志值来代表全部数据的特征，而必须使用所有数据的代表值 来表述总体特征，这就必须测定变量的集中趋势。
1050 - 600 ´ 200 = 1551.8 （元） (1050 - 480) + (1050 - 600)
在不等距分组的条件下，众数必须根据频数密度或频率密度来计算。 众数是按照数据的位置计算的，它的长处是易于理解，不受极端数值的影响。当数据分布存在明显 的集中趋势，且有显著的极端值时，适合使用众数。但是其灵敏度、计算功能和稳定性差，具有不唯一 性，所以当数据分布的集中趋势不明显或存在两个以上分布中心时，便不适合使用众数（前者无众数， 后者为双众数或多众数，也等于没有众数） 。 2.中位数（Median） 中位数和众数一样，也是一种位置代表值，但是，它不能用于定类数据，只能在顺序及以上的数据 中使用，所以又称为次序统计量，用 Me 表示。 中位数是将总体中的数据按顺序排列后，处于数列中点位置上的那个数据值或变量值，或者说中位 数是累计频率数列中，累计频率为 0.50 所对应的变量值。 从中位数概念可见：在总体中，小于中位数的数据个数占一半，大于中位数的数据个数也占一半， 即中位数是将数据按大小顺序排列后，位于二等分点上的那个数据值。用中位数来代表总体中所有标志 值的一般水平，可以避免极端值的影响，在有的情况下更具有代表性。例如，人口的平均年龄会受到个 别特别长寿人口年龄的影响，使计算结果偏大，而年龄中位数则可以较好地体现人口年龄结构的特征， 国际上就使用人口的年龄中位数（30 岁）作为人口老龄化的一个判断标准。 中位数的确定方法，根据所掌握的数据不同而有所不同： （1）由顺序数据和未分组的数量数据确定中位数。这种情况下，确定中位数的方法是：先将总体 中的全部数据顺序排列，然后确定中位数的位置，处于中位数位置的标志值就是中位数。 顺序数据中位数的位置：
农民家庭年人均纯收入情况表 农民家庭数（户） 240 480 1 050 600 270 210 120 30 3 000
计
f M o - f M o -1
´ d M o ( f M o - f M o -1 ) + ( f M o - f M o +1 )
3.1
统计变量集中趋势的测定
统计学是关于收集、分析、表述和解释统计数据的方法论科学，她对统计数据的收集、分析、表述 和解释虽然要从每一个数据着手，但其着眼点即研究目的却是在于统计数据整体或者说研究现象的总体 特征。在一个统计总体中，每一个个体即统计单位都有自己的特征和属性，具体地就表现出不同的标志 值，我们不能用其中的某一个或某几个的标志值来代表全部数据的特征，而必须使用所有数据的代表值 来表述总体特征，这就必须测定变量的集中趋势。
1050 - 600 ´ 200 = 1551.8 （元） (1050 - 480) + (1050 - 600)
在不等距分组的条件下，众数必须根据频数密度或频率密度来计算。 众数是按照数据的位置计算的，它的长处是易于理解，不受极端数值的影响。当数据分布存在明显 的集中趋势，且有显著的极端值时，适合使用众数。但是其灵敏度、计算功能和稳定性差，具有不唯一 性，所以当数据分布的集中趋势不明显或存在两个以上分布中心时，便不适合使用众数（前者无众数， 后者为双众数或多众数，也等于没有众数） 。 2.中位数（Median） 中位数和众数一样，也是一种位置代表值，但是，它不能用于定类数据，只能在顺序及以上的数据 中使用，所以又称为次序统计量，用 Me 表示。 中位数是将总体中的数据按顺序排列后，处于数列中点位置上的那个数据值或变量值，或者说中位 数是累计频率数列中，累计频率为 0.50 所对应的变量值。 从中位数概念可见：在总体中，小于中位数的数据个数占一半，大于中位数的数据个数也占一半， 即中位数是将数据按大小顺序排列后，位于二等分点上的那个数据值。用中位数来代表总体中所有标志 值的一般水平，可以避免极端值的影响，在有的情况下更具有代表性。例如，人口的平均年龄会受到个 别特别长寿人口年龄的影响，使计算结果偏大，而年龄中位数则可以较好地体现人口年龄结构的特征， 国际上就使用人口的年龄中位数（30 岁）作为人口老龄化的一个判断标准。 中位数的确定方法，根据所掌握的数据不同而有所不同： （1）由顺序数据和未分组的数量数据确定中位数。这种情况下，确定中位数的方法是：先将总体 中的全部数据顺序排列，然后确定中位数的位置，处于中位数位置的标志值就是中位数。 顺序数据中位数的位置：
集中和离散趋势
K n(n 1) ( xi x )4 3[ ( xi x )2 ]2 (n 1) (n 1)(n 2)(n 3)s 4
分组
K
4 ( M x ) fi i i 1
k
ns
4
3
峰度系数
K=0，数据服从标准正态分布 K>O，数据呈尖峰分布 K<0，数据呈平峰分布
总体方差
2
样本方差
2 ( X X ) i i 1
N
N
2 ( x x ) i i 1 n
s2
n 1
自由度
概念
一组数据中可以自由取值的个数 当样本数据的个数为n时，若样本均值 x 确 定后，只有n－1个数据可以自由取值，其中必 有一个数据不能自由取值，所以自由度为n－1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
A、B两组学生成绩
6 方差和标准差
方差（Variance）
各变量值与其平均数离差平方的平均数
图示 变量值 平均数 变量值 到均值 的距离
标准差（Standard
deviation，S.D.）
方差的平方根 标准差越大，变量值越分散，平均数解释力越低
方差的计算公式
小结
集中－离散
众数－异众比例 中位数－极差 四分位数－四分位差 平均数－方差、标准差、标准误、离散系数 选用哪组测度指标要根据掌握的数据的类型和分 析目的来确定
小结
表1 不同层次数据的集中趋势测量指标 众数 分 定类 变量值 类 定序 连 定距 变量值 续 组中值 定比 计算 中位数 平均数
统计学 第三章习题参考答案(书上习题)向蓉美
第三章习题参考答案1.数据分布特征可以从集中趋势、离中趋势及分布形态三个方面进行描述。
平均指标是在反映总体的一般水平或分布的集中趋势的指标。
测定集中趋势的平均指标有两类：位置平均数和数值平均数。
位置平均数是根据变量值位置来确定的代表值，常用的有：众数、中位数。
数值平均数就是均值，它是对总体中的所有数据计算的平均值，用以反映所有数据的一般水平，常用的有算术平均数、调和平均数、几何平均数和幂平均数。
变异指标是用来刻画总体分布的变异状况或离散程度的指标。
测定离中趋势的指标有极差、平均差、四分位差、方差和标准差、以及离散系数等。
标准差是方差的平方根，即总体中各变量值与算术平均数的离差平方的算术平方根。
离散系数是根据各离散程度指标与其相应的算术平均数的比值。
矩、偏度和峰度是反映总体分布形态的指标。
矩是用来反映数据分布的形态特征，也称为动差。
偏度反映指数据分布不对称的方向和程度。
峰度反映是指数据分布图形的尖峭程度或峰凸程度。
2.三批产品的平均废品率为：x̅=25+30+45251.5%+302%+451%=1.3%（因为题目给了废品的数量和废品率，可以计算出总的产品数，所以用废品数除以总产品数得到平均废品率）3.该月这批产品的平均废品率为：x̅=100%−√(100%−1.5%)×(100%−2%)×(100%−2.5%)×(100%−1%) 4=1.75%（这道题错的比较多，首先应该选择几何平均（教材P54：几何平均数常用于总量等于各个数据之积的现象求平均数，如发展速度、某些比率的平均），然后不能直接将废品率进行几何平均（教材P55：计算几何平均数的前提是各个变量值的乘积有经济意义，废品率*废品率是没有经济意义的），应该先计算平均合格率（因为经过连续工序的产品的总合格率=每道工序的合格率之积，这是有经济意义的），再用100%减去平均合格率得到平均废品率）4.先对数据做一个从小到大的排序：186 188 190 199 202 207 208 211 213 215 217 218 219 221 222 223 224 226 228 230 231 234 241 242 245 247 251 253 260 272（1）均值：224.1中位数：222.5众数：不存在（2）切尾均值：223.73（3）下四分位数Q1的位置是：30+14=7.75=734第7个数是208，第8个数是211所以下四分位数Q1=208+34×(211−208)=210.25同理，上四分位数Q2的位置是：3(30+1)4=23.25=2314第23个数是241，第24个数是242所以上四分位数Q2=241+14×(211−208)=241.25极差=272-186=86；四分位差=241.25-210.25=31（4）平均差AD=∑|x−x̅|n=16.4467方差σ2=∑(x−x̅)2n=433.4233标准差σ=√∑(x−x̅)2n=20.81885.因为是定序数据，集中趋势应该选择众数和中位数（教材P58：算数平均数只适用于定量数据，中位数适用于定量和定序数据，众数适用于定量、定序和定类数据）；离中趋势应该选择异众比率（教材P63：以上的变异指标均只适用于定量数据，对于定性数据，可以计算“异众比率”来衡量集中趋势值众数的代表性）①从中位数来看，甲城市为“一般”，乙城市为“不满意”，甲城市优于乙城市。
峰度和偏度的判断标准
峰度和偏度的判断标准峰度和偏度是统计学中常用的两个概念，它们可以用来描述数据分布的形态和偏斜程度。
在实际应用中，峰度和偏度的判断标准对于数据分析和决策具有重要的意义。
本文将从峰度和偏度的定义、计算方法和判断标准三个方面来介绍它们的应用。
一、峰度的定义和计算方法峰度是用来描述数据分布形态的指标，它反映了数据分布的峰态程度。
峰度的计算方法是将数据分布的四阶中心矩除以方差的平方，即：峰度 = (X - μ)⁴ / σ⁴其中，X是数据集合，μ是数据的平均值，σ是数据的标准差。
峰度的值越大，说明数据分布的峰态越高，数据集中在平均值附近的概率越大；峰度的值越小，说明数据分布的峰态越低，数据集中在平均值附近的概率越小。
二、峰度的判断标准峰度的判断标准是根据峰度的值来判断数据分布的形态。
一般来说，峰度的值在3左右被认为是正常的，如果峰度的值大于3，则说明数据分布的峰态比正态分布更高，数据集中在平均值附近的概率更大；如果峰度的值小于3，则说明数据分布的峰态比正态分布更低，数据集中在平均值附近的概率更小。
三、偏度的定义和计算方法偏度是用来描述数据分布偏斜程度的指标，它反映了数据分布的不对称性。
偏度的计算方法是将数据分布的三阶中心矩除以标准差的三次方，即：偏度 = (X - μ)³ / σ³其中，X是数据集合，μ是数据的平均值，σ是数据的标准差。
偏度的值越大，说明数据分布的偏斜程度越大，数据分布向右偏斜；偏度的值越小，说明数据分布的偏斜程度越小，数据分布趋于对称。
四、偏度的判断标准偏度的判断标准是根据偏度的值来判断数据分布的偏斜程度。
一般来说，偏度的值在-1到1之间被认为是正常的，如果偏度的值大于1，则说明数据分布向右偏斜，数据集中在平均值的右侧；如果偏度的值小于-1，则说明数据分布向左偏斜，数据集中在平均值的左侧。
峰度和偏度是用来描述数据分布形态和偏斜程度的指标，它们可以帮助我们更好地理解数据的特征和规律。
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变异系数包括：
全距系数v R
R x
A.D x
平均差系数
v AD
标准差系数v
x
第四节偏太、峰度的测度 （标准差的应用）
• 一、偏态及其测度 • 二、峰度及其测度
一、偏态及其测度
偏态
是对分布偏斜方向及程度的测度。
利用偏态系数既可以判 断分布的偏斜方向，还 可测度偏斜的程度
利用众数、中位数和均 值之间的关系判断分布 的偏斜方向
75.37 （分）
2
f
( x x ) f
2
4992.5926 54
92.4554
f
9.62
（分）
方差和标准差具有以下数学性质 （1） 若每一个变量值加上一个常数，方差和标准差
不变。设a为任意常数，
则有：
，
yi xi a
y x
2
2
y x
(2）若每一个变量值均扩大一个常数倍，方差和标准
2 2 2
2
n
( 65 74 . 5 ) ( 72 74 . 5 ) ( 76 74 . 5 ) ( 85 74 . 5 )
2 2 2
2
4 2 2 2 2 ( 9 . 5 ) ( 2 . 5 ) (1 . 5 ) (10 . 5 )
209 4
4
7 . 2 （分）
全距、平均差、方差和标准差有计量单位， 是标志变异的绝对指标。 而且指标的大小不仅 取决于变量值的差异程度，还取决于变量值水
平的高低。因而，对于具有不同水平的数列，
或不同量纲的数列，都不能直接用全距、平均
差、方差和标准差来比较平均数代表性的大小。
为了消除平均水平的影响，只能用相对形式—
—变异系数进行比较。
一、变异指标的概念和作用
二、变异指标的种类及计算方法
• 一、变异指标的概念和作用
• (一) 变异指标的概念：又称标志变动度，它 是综合反映总体各个单位标志值的差异程度 或离散程度。
(二)变异指标的作用：
1、变异指标反映总体各单位标志值分布的离中趋势 2、变异指标可以说明平均指标的代表性程度 3、变异指标说明现象变动的均匀性或稳定性程度
3 . 37 %
表明该地大学生月消费支出的频数分布属于正偏分布，众数对 算术平均数的偏斜程度为3.37%，即存在轻微程度的偏态分布
在计算偏态系数时，如果公式中的众数不易计算，可用中位数代替
x
n
x
x 1 x 2 ..... x 2 n
15 17 ..... 30 11
242 11
22
（件）
AD
x x n
x 1 x x 2 x ... x n x n
15 22 17 22 ... 30 22 11
偏态系数计算方法有很多，比较常用的是：
SK (X
M
0
)
X
3
K
i
X
3
Fi
i1
N
皮尔逊测定法
3
动差测定法
例24：根据例11某地大学生消费支出资料计算偏态系数 已知平均数为458元，众数454.35元，标准差108.3元，则：
Sk x M
o
458 454 . 35 108 . 3
某车间有两个生产小组，某周5天的产量如下：
甲：171，172，172，172，173（件） 乙：220，190，170，150，130（件） • 两组的平均日产量均为172件。 • 平均日产量172件的代表性甲组比乙组好，为 什么？
• 前面已学过总量指标、相对指标和平均指标, 借助这些指标,我们对现象总体的规模、结构、 比例和一般水平等有了认识。但这些指标不能 反映总体各单位的差异情况,相反地它们却把 各单位的差异抽象化，把各单位的差异给掩盖, 为了说明总体中各单位标志之间的差异和分布 变异情况我们又引进一个指标------变异指标--说明总体数量特征的另一个指标---------变异指 标。
x
2
（3）设 2 36 , x 2 360 ，则平均数为多少？ （4）设
，
V 17 . 2 %, x
2
174
则平均数为多少？
4、离散系数 （变异系数）
一群牛的平均体重是180公斤，标
准差是18公斤；一群羊的平均体重是
15公斤，标准差是3公斤，能不能说羊
的平均体重的代表性高些？为什么？
例： 工人人数：100——200 200——300 300——400 R=400-100＝３００ 50——60 60——80 80以上 R=（80+20）- （50-10）＝6０
3、全距作用：全距R越大，说明总体各单位标志值变 动越大（越分散），全距R越小，说明总体各单位 标志值变动越小（越集中）。 4、优点、缺点 ： 优点：计算方便、意义明确；常用于产品质量检查和 控制 缺点：由于全距取决于极端标志值，会带有偶然性， 所以它不能全面反映标志的变异程度，也不能用以 评价平均指标的代表性好坏。
1、变异指标反映总体各单位标志值分布的离中趋势。 变异指标越大，则说明标志值分布愈分散，总体的同质性也愈 差，反之， 变异指标越小，则说明标志值分布愈集中，总体的同质性也愈 高． 2、变异指标可以说明平均指标的代表性程度， 变异指标越小，平均指标代表性越好，反之，变异指标越大， 平均指标代表性越差。 3、变异指标说明现象变动的均匀性或稳定性程度。 变动指标越小，则现象变动均匀性、稳定性越好，反之，则现 象变动均 匀性、稳定性越差。
集中趋势(Central tendency)
•
——平均指标
一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度
•
• •
测度集中趋势就是寻找数据一般水平的代表值或中心值
不同类型的数据用不同的集中趋势测度值 选用哪一个测度值来反映数据的集中趋势，要根据所掌握的 数据的类型来确定
离中趋势（差异程度）——变异指标
第三节 离中趋势的测度
;
2
xi f i fi
2
xi f i f i
2
.根据平均数和标准差的关 系。 （1）设 x 600 , V 25 %
，
提示：
则标准差为多少？
x 20 , x
2
＝
n
x
2
(
n
x )
2
（2）设
，
450
则标准差系数为多少？
10 70 90
解：
x
xf f
x1 f 1 x 2 f 2 x 3 f 3 x 4 f 4 f1 f 2 f 3 f 4
8400 200
50—60
合计
42
30
200
25 10 35 70 45 90 55 30 10 70 90 30
成绩（分） 55 65 75 85 85 合计
x
学生人数 2 15 19 15 3 54
xf f 2 ( x x ) f
xx -20.37 -10.37 -0.37 9.63 19.63 ——
( x x) f
2
829.8738 1613.0535 2.6011 1391.0535 1156.0107 4992.5926
3 .1
（件）
• 例2：某车200个工人按日产量分组分配数列如下，计算平均差 已知： 1 25 , x 2 35 , x 3 45 , x 4 55 x 日产量 工人数（人）
f 1 10 , f 2 70 , f 3 90 , f 4 30
20—30 30—40 40—50
2、平均差（平均离差） 1）平均差的定义：是各单位标志值对算术平均数的离差绝对值的算术平均数， 用MD表示，是测定标志值变异程度的另一种方法。
A D
x x n
（ 不分组 ）A D
x x f
f
(分组)
2、平均差作用：平均差愈小，则标志变动愈小，平均差愈大，则标志变动 愈大 例1、某生产班组11个工人日产零件数为15、17、19、20、22、22、23、23、 25、26、30，求平均差 解：
6 .6
3、方差Variance和标准差S.D
测度标志变异最重要，最常用的指标。
标准差＝方差的平方根。
方差——变量值与平均数的离差平方的平均数。
x x n
2
2
2
2
x x f
x
x f
2
f
x x n
2
f
1）标准差定义：是总体中各单位标志值与算术平均数的离差平方的算术平均 的平方根。是测定标志变异最主要的指标。 2）标准差作用：标准差愈小，则标志变动愈小；标准愈大，则标志变动愈大
二、变异指标的种类 1、全距(极差Range)
2、平均差（Average Deviation) 3、方差Variance和标准差S.D
4、变异系数（离散系数 ）
二、变异指标的种类 1、全距(极差Range)：
1）全距的定义：（极差）是标志的最大值与最小值之差，以R 表示 R=最大值— 最小值 2、组距式分组时， 闭口的组距R=最未组的上限-第一组的下限； 开口的组距R=（最未组的下限+相邻组组距）-（第一组的上限相邻组的组距） 例：产值（万元）：50以下