河南省安阳市第三十六中学2017-2018学年高二数学上学期第二次月考试题(含解析)
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河南省安阳市三实验中学2017-2018学年高二上学期第二次月考
数学试题
1. 在△ABC中，已知，则角A大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由余弦定理知，所以,故选A.
2. 两灯塔A,B与海洋观察站C的距离都等于a(km), 灯塔A在C北偏东30°,B在C南偏东60°,则A,B之间相距（ ）
A. a (km) B. a(km) C. a(km) D. 2a (km)
【答案】C
【解析】如图，由题意可得，在中， ，∴。即则A、B之间相距为。选C。
3. 已知数列为等差数列，且，则公差d的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
4. 已知不等式的解集是，则的值为（ ）
A. B. C. D.
- 2 - 【答案】A
【解析】∵不等式的解集是，
∴ 是的两根，且，
∴ 解得：，所以，故选A.
5. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，则这个三角形一定是（ ）
A. 等边三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】C
【解析】由余弦定理得：，所以
，即，所以，故选C.
6. 已知等比数列满足，，则（ ）
A. 64 B. 81 C. 128 D. 243
【答案】A
【解析】∵ ，∴，
∴ ，
∴ ，故选A.
7. 已知实数x、y满足 ，则目标函数的最小值是 ( )
A -9 B.15 C.0 D.-10
【答案】A
【解析】作出可行域如图：
当直线向上移动，过点A时，有最小值， - 3 - 由解得，所以，故选A.
8. 对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当时，恒成立；当时，要使不等式恒成立，则需，解得，综上，故选B.
9. 已知变量x,y满足约束条件 则的取值范围是( )
A. B. C. D. (3,6]
【答案】A
【解析】作出可行域如图：
三角形的三个顶点坐标分别为，表示可行域内的点与原点连线的斜率，观察图象可知，当时，斜率有最大值，当时有最小值，故的取值范围，故选A.
点睛：平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．
10. 等比数列的前项和为，若，则的值为（ ）
A. -3 B. -1 C. 1 D. 3
【答案】A
- 4 - 【解析】试题分析：，故选A．
考点：等比数列．
11. 等差数列，的前项和分别为，，若 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵ ，而
∴ ，故选B.
12. 已知等差数列中，，公差，则使前项和为取最小值的正整数的值是（ ）
A. 4和5 B. 5和6 C. 6和7 D. 7和8
【答案】C
【解析】试题分析：，所以使前项和取最小值的正整数的值为6和7
考点：数列性质
13. 不等式的解集为________.
【答案】
【解析】∵
∴ 或
所以不等式的解集是.
14. 设是等差数列的前项和,且，则________．
【答案】
【解析】试题分析：因为，所以又成等差数列,所以即
考点：等差数列性质 - 5 - 15. 在中，角，，所对边长分别为，，，若，则的最小值为_________.
【答案】
【解析】试题分析：,当且仅当，即为等腰三角形时等号成立，所以的最小值为.
考点：1.余弦定理；2.基本不等式.
【名师点睛】本题考查余弦定理与基本不等式，属中档题；利用基本不等式求最值的基本类型及策略：1.知和求积的最值，解决此类问题的关键是和为定值，积有最大值；2.知积求和的最值，明确积为定值，和有最小值，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式的条件；3.构造不等式求最值，在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量代替”或“常数”的替换，构造不等式求解.
16. 已知，，则的最小值为___________.
【答案】3
【解析】∵ ，
∴
，
当且仅当时，等号成立，故填.
点睛：本题主要考查了不等式，不等式求最值问题，属于中档题.解决此类问题，重要的思路是如何应用均值不等式或其他重要不等式，很多情况下，要根据一正、二定、三取等的思路去思考，本题根据条件构造，研究的式子乘以1后变形，即可形成所需条件，应用均值不等式.
17. 在△ABC中，分别是角对边，已知，求及C.
【答案】, .
【解析】试题分析：已知两角一边求其余的边，先根据内角和定理求角，再选用正弦定理，求其余的边即可.
- 6 - 试题解析：
由正弦定理得
18. 设等差数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）求的前项和及使得最大的序号的值．
【答案】（1）；（2）当时，取得最大值．
【解析】试题分析：（1）根据条件，通过解方程组即可求出通项公式；（2）写出前n项和后，利用二次函数求最值即可.
试题解析：（1）由及，得
可解得
所以数列的通项公式为．
（2）由（1）知，．
因为，
所以当时，取得最大值．
- 7 -
19. 在中，分别为角的对边，若．
（1）求角的大小；
（2）已知，求面积的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）利用正弦定理统一为角的三角函数，再根据两角和正弦公式化简即可；（2）由余弦定理及均值不等式得出的最大值，从而求出面积的最大值.
试题解析：（1）∵，∴，
由正弦定理得，
整理得，
∴，
在中，，∴，.
（2）由余弦定理得，又，∴
∴，当且仅当时取“=”，∴的面积.
即面积的最大值为.
20. 设数列的前项和，数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
- 8 - 【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）根据与的关系，可求出通项公式；（2）根据数列通项公式特点，利用裂项相消法求数列的和即可.
试题解析：（1）时，，
，∴
∴ ，
∴数列的通项公式为：．
(2)
．
点睛：本题考查了等差数列的定义，求数列的前n项和即数列的最大值与恒成立问题，属于难题.解决数列的证明问题时，一般要紧扣等差等比的定义，用定义证明，数列求和时，一般根据通项的特点选择合适的求和方法，其中裂项相消和错位相减法考查的比较多，在涉及数列的恒成立问题时，一般要考虑数列项的最值或前n项和的最值，进行转化处理即可.
21. 已知,是方程的两根，数列是公差为正的等差数列，数列的前项和为，且.（N*）
(Ⅰ)求数列，的通项公式； (Ⅱ)记= ，求数列的前项和.
【答案】（1），（2）.
【解析】试题分析：（1）根据条件，利用解方程的方法求等差数列的通项公式，利用与的关系构造等比数列，求其通项；（2）根据数列通项的特点，采用错位相减法求数列的和.
试题解析：(1)由.且得，
在中,令得 当时, ， - 9 - 两式相减得，
∴.
(2)
∴ ，
，
∴
∴
............
22. 已知顶点在单位圆上的△，角，，所对的边分别是，，，且．
（1）求的值；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】试题分析：（1）根据正弦定理，化为三角函数，利用两角和正弦定理求解；（2）根
- 10 - 据正弦定理化为三角函数，利用辅助角公式化简三角函数求求其值域即可.
试题解析：（1）因为，
由正弦得，，
所以．
因为，且，所以．
（2）由，得，
由，得，，
所以
．
因为，所以，即，
所以．
点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.
