八年级下册数学数据的集中趋势
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八年级下册数学数据的集中趋势
一、平均数。
1. 算术平均数。
- 定义：一般地，对于n个数x_1,x_2,·s,x_n，我们把(1)/(n)(x_1 + x_2+·s+x_n)叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记为¯x。
- 示例：求数据2，4，6的平均数。
- 解：n = 3，x_1=2，x_2 = 4，x_3=6。
- 根据平均数公式¯x=(1)/(n)(x_1 + x_2+·s+x_n)，可得¯x=(1)/(3)(2 +
4+6)=(1)/(3)×12 = 4。
2. 加权平均数。
- 定义：若n个数x_1,x_2,·s,x_n的权分别是w_1,w_2,·s,w_n，则¯x=(x_1w_1+x_2w_2+·s+x_nw_n)/(w_1 + w_2+·s+w_n)叫做这n个数的加权平均数。
- 示例：某学校对学生的综合成绩进行评定，其中平时作业占30%，期中考试占30%，期末考试占40%。小明的平时作业成绩为85分，期中考试成绩为90分，期末考试成绩为80分，求小明的综合成绩。
- 解：设平时作业成绩x_1 = 85，权w_1=0.3；期中考试成绩x_2 = 90，权w_2 = 0.3；期末考试成绩x_3 = 80，权w_3=0.4。
- 根据加权平均数公式¯x=(x_1w_1+x_2w_2+·s+x_nw_n)/(w_1 +
w_2+·s+w_n)，可得¯x=(85×0.3 + 90×0.3+80×0.4)/(0.3+0.3 + 0.4)
- 先计算分子：85×0.3+90×0.3 + 80×0.4=25.5+27+32=84.5。
- 分母0.3 + 0.3+0.4 = 1。 - 所以¯x=84.5分。
二、中位数。
1. 定义。
- 将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数是这组数据的中位数。
2. 示例。
- 求数据3，5，4，1，6的中位数。
- 解：先将数据从小到大排列为1，3，4，5，6。
- 因为数据个数n = 5（奇数），所以中位数是4。
- 求数据2，4，6，8的中位数。
- 解：将数据从小到大排列为2，4，6，8。
- 因为数据个数n = 4（偶数），中间两个数是4和6，则中位数为(4 +
6)/(2)=5。
三、众数。
1. 定义。
- 一组数据中出现次数最多的数据叫做众数。
2. 示例。
- 求数据1，2，2，3，3，3，4的众数。
- 解：在这组数据中3出现的次数最多（3次），所以众数是3。 - 注意：一组数据可能有一个众数，也可能有多个众数，甚至没有众数。例如数据1，2，3，4没有众数；数据1，1，2，2有两个众数1和2。
四、平均数、中位数、众数的联系与区别。
1. 联系。
- 平均数、中位数和众数都是描述一组数据集中趋势的统计量。
- 在实际问题中，它们都可以用来代表一组数据的“平均水平”。
2. 区别。
- 平均数：它利用了所有数据的信息，所有数据的变化都会引起平均数的变化，受极端值影响较大。例如数据1，2，3，4，100，平均数为(1 + 2+3+4 +
100)/(5)=22，100这个极端值对平均数影响很大。
- 中位数：它是中间位置的数（或中间两个数的平均数），不受极端值的影响。对于上述数据1，2，3，4，100，中位数是3。
- 众数：它是出现次数最多的数据，可能不唯一，也不受极端值影响。例如在数据1，1，2，2，3中，众数是1和2。
