—19学年高二10月月考数学试题(附答案)
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大庆中学2018-2019学年度上学期月考
高二数学试题
考试时间：120分钟 分数：150分
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1. 已知某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取20%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为( )
A. 100，8 B. 80，20 C. 100，20 D. 80，8
2. 已知如程序框图，则输出的i是( )
A. 9
B. 11
C. 13
D. 1
3. “𝑎>2且𝑏>2”是“𝑎𝑏>4”的()
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 用秦九韶算法求多项式𝑓(𝑥)=7𝑥7+6𝑥6+5𝑥5+4𝑥4+3𝑥3+2𝑥2+𝑥，当𝑥=3时，𝑣3的值为( ) A. 27 B. 86 C. 262 D. 789
5. 袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是( )
A. 至少有一个白球；都是白球 B. 至少有一个白球；至少有一个红球
C. 至少有一个白球；红、黑球各一个 D. 恰有一个白球；一个白球一个黑球
6. 已知等差数列{𝑎𝑛}中，𝑆𝑛是{𝑎𝑛}的前n项和，且𝑆3=30，𝑆6=100，则𝑆9的值为(
)
A. 260 B. 130 C. 170 D. 210
7. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的侧面积为( )
8.
A. 8
B. 16 2
C. 10
D. 6 2
9. 2016年2月，为保障春节期间的食品安全，某市质量监督局对超市进行食品检查，如图所示是某品牌食品中微量元素含量数据的茎叶图，已知该组数据的平均数为11.5，则4𝑎+1𝑏的最小值为( )
A. 9 B. 92 C. 8 D. 4
10. 长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为( )
A. 7𝜋2 B. 56𝜋 C. 14𝜋 D. 64𝜋
11. 甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“最佳手气”(即乙领到的钱数不少于其他任何人)的概率是( )
A. 13 B. 310 C. 25 D. 34
12. 在区间[0,1]上随机取两个数x，y，记P为事件“𝑥+𝑦≤23”的概率，则𝑃=( ) A. 23 B. 12 C. 49 D. 29
13. 圆𝐶1：(𝑥−1)2+(𝑦−3)2=9和𝐶2：𝑥2+(𝑦−2)2=1，M，N分别是圆𝐶1，𝐶2上的点，P是直线𝑦=−1上的点，则|𝑃𝑀|+|𝑃𝑁|的最小值是( )
A. 5 2−4 B. 17−1 C. 6−2 2 D. 17
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
14. 已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是______．
15. 将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，…，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的办法分成50个部分.如果第一部分编号为0001，0002，…，0020，从中随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为______．
16. 某学校有8个社团，甲、乙两位同学各自参加其中一个社团，且他俩参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个社团的概率为______ ．
17. 在△𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中𝑎=2，𝑐=3，且满足(2𝑎−𝑐)⋅cos𝐵=𝑏⋅cos𝐶，则𝐴𝐵 ⋅𝐵𝐶 =______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
18. （10分）国家二孩政策放开后，某市政府主管部门理论预测2018年到2022年全市人口总数与年份的关系有如表所示：
年份2018+𝑥(年) 0 1 2 3
4
人口数𝑦(十万) 5 7 8
11
19
(1)请根据表中提供的数据，运用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
(2)据此，估计2023年该市人口总数．
【附】参考公式：𝑏 = 𝑥𝑖𝑛𝑖=1𝑦𝑖−𝑛𝑥𝑦 𝑥𝑖2𝑛𝑖=1−𝑛𝑥2，𝑎 =𝑦−𝑏 𝑥．
19. （12分）在△𝐴𝐵𝐶中，(角A，B，C的对应边分别为a，b，𝑐)，且𝑏sin𝐴= 3𝑎cos𝐵．
(1)求角B的大小； (2)若△𝐴𝐵𝐶的面积是3 34，且𝑎+𝑐=5，求b．
20. （12分）共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值(百分制)按照[50,60)，[60,70)，…，[90,100]分成5组，制成如图所示频率分直方图．
(1)求图中x的值；
(2)求这组数据的平均数和中位数；
(3)已知满意度评分值在[50,60)内的男生数与女生数的比为3:2，若在满意度评分值为[50,60)的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女生的概率．
21. （12分）已知数列 𝑎𝑛 是等比数列，𝑎2=4，𝑎3+2是𝑎2和𝑎4的等差中项．
(1)求数列 𝑎𝑛 的通项公式；
(2)设𝑏𝑛=2log2𝑎𝑛−1，求数列 𝑎𝑛⋅𝑏𝑛 的前n项和𝑇𝑛．
22. （12分）如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，底面为直角梯形，𝐴𝐷//𝐵𝐶，∠𝐵𝐴𝐷=90∘，𝑃𝐴⊥底面ABCD，M、N分别为PC、PB的中点.𝑃𝐴=𝐴𝐵．
(1)求证：𝑀𝑁//平面PAD；
(2)求证：𝑃𝐵⊥𝐷𝑀．
23. （12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆𝑥2+𝑦2−12𝑥+32=0的圆心为Q，过点𝑃(0,2)且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B．
(1)求k的取值范围；
(2)是否存在常数k，使得向量𝑂𝐴 +𝑂𝐵 与𝑃𝑄 共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．
大庆中学2018-2019学年度上学期月考（高二数学）
答案和解析
【答案】
1. A 2. C 3. A 4. C 5. C 6. D 7. B 8. B
9. C 10. C 11. D 12. A
13. 0.1 14. 0795 15. 18 16. −3
17. 解：(1)由题设，得𝑥=2，𝑦=10， 𝑥𝑖5𝑖=1𝑦𝑖=0×5+1×7+2×8+3×11+4×19=132， 𝑥𝑖25𝑖=1=02+12+22+32+42=30，
∴𝑏 = 𝑥𝑖𝑛𝑖=1𝑦𝑖−𝑛𝑥𝑦 𝑥𝑖2𝑛𝑖=1−𝑛𝑥2=132−5×2×1030−5×22=3.2，𝑎 =𝑦−𝑏 𝑥=3.6． ∴所求y关于x的线性回归方程为𝑦 =3.2𝑥+3.6．
(2)由(1)及题意，当𝑥=5时，𝑦 =3.2×5+3.6=19.6．
据此估计2023年该市人口总数约为196万．
18. 解：(1)∵𝑏sin𝐴= 3𝑎cos𝐵，
∴𝑎sin𝐴=𝑏 3cos𝐵，又∵𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵，
∴ 3cos𝐵=sin𝐵，∴tan𝐵= 3，∵0<𝐵<𝜋，∴𝐵=𝜋3．
(2)∵𝑆△𝐴𝐵𝐶=12𝑎𝑐sin𝐵= 3𝑎𝑐4=3 34，
∴𝑎𝑐=3∴𝑎2+𝑐2=(𝑎+𝑐)2−2𝑎𝑐=19，
∴𝑏2=𝑎2+𝑐2−2𝑎𝑐⋅cos𝐵=16，∴𝑏=4．
19. 解：(1)由(0.005+0.02+0.035+0.030+𝑥)×10=1，
解得𝑥=0.01．
(2)这组数据的平均数为55×0.05+65×0.2+75×0.35+85×0.3+95×0.1=77．
中位数设为𝑚，则0.05+0.2+(𝑚−70)×0.035=0.5，
解得𝑚=5407．
(3)满意度评分值在[ [50,60)内有100×0.005×10=5人，
其中男生3人，女生2人．记为21321,,,,BBAAA,
记“满意度评分值为[50,60)的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件A
通过列举知总基本事件个数为10个，A包含的基本事件个数为6个，利用古典概型概率公式可知，
53)(AP
20. 解：(1)设数列 𝑎𝑛 的公比为q， 因为𝑎2=4，所以𝑎3=4𝑞，𝑎4=4𝑞2．因为𝑎3+2是𝑎2和𝑎4的等差中项，所以2 𝑎3+2 =𝑎2+𝑎4．
即2 4𝑞+2 =4+4𝑞2，化简得𝑞2−2𝑞=0．因为公比𝑞≠0，所以𝑞=2．
所以𝑎𝑛=𝑎2𝑞𝑛−2=4×2𝑛−2=2𝑛(𝑛∈𝑁∗).
(2)因为𝑎𝑛=2𝑛，所以𝑏𝑛=2log2𝑎𝑛−1=2𝑛−1．
所以𝑎𝑛𝑏𝑛= 2𝑛−1 2𝑛．
则𝑇𝑛=1×2+3×22+5×23+⋅⋅⋅+ 2𝑛−3 2𝑛−1+ 2𝑛−1 2𝑛， ①
2𝑇𝑛=1×22+3×23+5×24+⋅⋅⋅+ 2𝑛−3 2𝑛+ 2𝑛−1 2𝑛+1 . ②
①−②得，
−𝑇𝑛=2+2×22+2×23+⋅⋅⋅+2×2𝑛− 2𝑛−1 2𝑛+1，
=2+2×4 1−2𝑛−1
1−2− 2𝑛−1 2𝑛+1=−6− 2𝑛−3 2𝑛+1，
所以𝑇𝑛=6+ 2𝑛−3 2𝑛+1．
21. 证明：(1)因为M、N分别为PC、PB的中点，
所以𝑀𝑁//𝐵𝐶，且𝑀𝑁=12𝐵𝐶．
又因为𝐴𝐷//𝐵𝐶，所以𝑀𝑁//𝐴𝐷．
又𝐴𝐷⊂平面PAD，MN不属于平面PAD，所以𝑀𝑁//平面PAD．
(2)因为AN为等腰三角形ABP底边PB上的中线，所以𝐴𝑁⊥𝑃𝐵．
因为𝑃𝐴⊥平面ABCD，𝐴𝐷⊂平面ABCD，所以𝐴𝐷⊥𝑃𝐴．
又因为𝐴𝐷⊥𝐴𝐵，且𝐴𝐵∩𝐴𝑃=𝐴，所以𝐴𝐷⊥平面PAB．
又𝑃𝐵⊂平面PAB，所以𝐴𝐷⊥𝑃𝐵．
