计数原理 排列组合

基础--综合--能力--创新

1 排列,组合,二项式定理

一.两个基本计数原理

㈠分类计数原理(加法原理):做一件事情,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有1m种不同的方法,在第二类办法中有2m种不同的方法,……,在第n类办法中有nm种不同的方法.那么完成这件事共有nmmmN21种不同的方法.

㈡分步计数原理(乘法原理):做一件事情,完成它需要分成n个步骤,做第一步有1m种不同的方法,做第二步有2m种不同的方法,……,做第n步有nm种不同的方法,那么完成这件事有nmmmN21种不同的方法.

㈢分类计数原理和分步计数原理的联系与区别:两个原理是排列组合的基础和核心,既可用来推导排列数、组合数公式,也可用来直接解题.

1.它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算.

2.只不过利用分类计算原理时,每一种方法都可能独立完成事件;如需连续若干步才能完成的则是分步.利用分类计数原理,重在分“类”,类与类之间具有独立性和并列性;利用分步计数原理,重在分步;步与步之间具有相依性和连续性.比较复杂的问题,常先分类再分步.

★乘法原理:可．以有．．重复．．元素．．的排列(“邮筒投信”问题)

★从m个不同元素中,每次取出n个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序排成一排,那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个,所以从m个不同元素中,每次取出n个元素可重复排列数为m·m·… m = mn..

.1例将n件物品放入m个抽屉中,不限放法,共有多少种不同放法？(解:nm种)

.2例有5封不同的信，投入3个不同的信箱中，那么不同的投信方法总数为多少？(解:53种)

三.排列与排列数

(1)排列的概念:从n个不同元素中,任取)(nmm个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出)(nmm个元素的一个排列．

(2)排列数的定义:从n个不同元素中,任取)(nmm个元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出)(nmm个元素的排列数。排列数用符号mnA表示．

计数原理与排列组合题型解题方法总结

计数原理

一、知识精讲

1、分类计数原理：

2、分步计数原理：

特别注意:两个原理的共同点：把一个原始事件分解成若干个分事件来完成。

不同点：如果完成一件事情共有n类办法，这n类办法彼此之间相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情，求完成这件事情的方法种数，就用分类计数原理。分类时应不重不漏（即任一种方法必须属于某一类且只属于这一类）

如果完成一件事情需要分成n个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成 每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事情的方法种数就用分步计数原理。各步骤有先后，相互依存，缺一不可。

3、排列

(1)排列定义,排列数

(2)排列数公式:

(3)全排列列:

4.组合

(1)组合的定义,排列与组合的区别;

(2)组合数公式:

(3)组合数的性质

二、.典例解析

题型1:计数原理

例1.完成下列选择题与填空题

(1)有三个不同的信箱,今有四封不同的信欲投其中,则不同的投法有 种。

A.81 B.64 C.24 D.4

(2)四名学生争夺三项冠军,获得冠军的可能的种数是( )

A.81 B.64 C.24 D.4

(3)有四位学生参加三项不同的竞赛,

①每位学生必须参加一项竞赛,则有不同的参赛方法有 ;

②每项竞赛只许有一位学生参加,则有不同的参赛方法有 ;

计数原理与排列组合知识点总结

计数原理和排列组合是高中数学中重要的概念和工具，在各种数学问题的解决过程中起到了重要的作用。本文将对计数原理和排列组合的相关知识点进行总结和介绍。

一、计数原理

计数原理通过分析一个问题中的各个步骤或条件，来确定解决问题的方式和策略。常用的计数原理有加法原理、乘法原理、容斥原理和抽屉原理等。

1. 加法原理

加法原理适用于多个事件发生的情况，它指出如果一个事件发生的方式有m种，另一个事件发生的方式有n种，那么这两个事件发生的总方式数为m+n。

2. 乘法原理

乘法原理适用于多个事件发生的情况，它指出如果一个事件发生的方式有m种，另一个事件发生的方式有n种，则这两个事件发生的总方式数为m×n。

3. 容斥原理

容斥原理适用于计算多个集合的并集的情况。它指出如果有n个集合，分别有A1,A2,...,An个元素，那么这n个集合的并集中元素的个数为： |A1∪A2∪...∪An| = Σ|Ai| - Σ|Ai∩Aj| + Σ|Ai∩Aj∩Ak| - ... + (-1)^(n-1)|A1∩A2∩...∩An|。

4. 抽屉原理

抽屉原理也称为鸽笼原理，它指出如果有m+1个物体放入m个抽屉中，那么至少会有一个抽屉中放入两个或两个以上的物体。

二、排列组合

排列组合是计数原理的一个重要应用，用于解决选择和安排问题。它包括排列和组合两个不同的概念。

1. 排列

排列是指从一组元素中按一定顺序选取若干元素的方式，其中元素的选取不可重复。常见的排列问题有全排列和有限排列。

- 全排列是指将一组元素全部进行排列，例如3个元素的全排列有3!

= 3×2×1 = 6种。

- 有限排列是指从一组元素中选取若干个元素进行排列，其中元素的选取数目有限。例如从3个元素中选取2个进行排列，有3×2 = 6种不同的排列方式。

2. 组合

组合是指从一组元素中选择若干元素的方式，其中元素的选取不按顺序进行，而是以集合的形式呈现。常见的组合问题有全组合和有限组合。 - 全组合是指将一组元素全部进行组合，例如3个元素的全组合有2^3 = 8种。

排列：

1、排列的概念：从n个不同元素中取出m (mWn)个元素，按照一定的顺序排成一列， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

2、全排列：把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做这n个元素的一个全排列。

3、排列数的概念：从n个不同元素中取出m (mWn)个元素的所有排列的个数，叫做从 n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号白；表示。

4、阶乘：自然数1到n的连乘积，用n!=1X2X3X・・・Xn表示。

规定：0!=1

5、排列数公式：*”n (n-1)(n-2)(n-3)…(n-m+1)='卡—活"。

组合：

1、组合的概念：从n个不同元素中取出m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个组合。

2、组合数的概念：从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同

元素中取出m个元素的组合数用符号C；表示。

b=屋=题…---掰+。_ /

3、组合数公式：1H 史 耀！ 的I一对；

4、组合数性质： K - … ,

5、排列数与组合数的关系：量二5,

排列与组合的联系与区别：

从排列与组合的定义可以知道，两者都是从n个不同元素中取出m个(mWn, n, m£N) 元素，这是排列与组合的共同点。它们的不同点是：排列是把取出的元素再按顺序排列成一 列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可以，取出的元素与顺序无关.只 有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列，否则就不相同；而对于组合，只要两 个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合，如a, b与b, a是两个不同的 排列，但却是同一个组合。

排列应用题的最基本的解法有:

(1)直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素，称为元素 分析法，或以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置，称为位置分析法;

(2)间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不符合要求的排列数。