同济版高数大一上册知识点

高等数学（上）期末复习要点

第 1 页 共 9 页 高等数学上册复习要点

一、 函数与极限

（一） 函数

1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；

2、 反函数、复合函数、函数的运算；

3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数；

4、 函数的连续性与间断点；

函数)(xf在0x连续

)()(lim00xfxfxx

第一类：左右极限均存在.

间断点 可去间断点、跳跃间断点

第二类：左右极限、至少有一个不存在.

无穷间断点、振荡间断点

5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论.

（二） 极限

1、 定义

1） 数列极限

axNnNaxnnn , , ,0lim

2） 函数极限

AxfxxxAxfxx)( 0 , ,0 ,0)(lim00时，当

左极限：)(lim)(00xfxfxx 右极限：)(lim)(00xfxfxx 高等数学（上）期末复习要点

第 2 页 共 9 页 )()( )(lim000xfxfAxfxx存在

2、 极限存在准则

1） 夹逼准则：

1）)(0nnzxynnn

2）azynnnnlimlim axnnlim

2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限.

3、 无穷小（大）量

1） 定义：若0lim则称为无穷小量；若lim则称为无穷大量.

2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小

Th1 )(~o;

Th2 limlim lim,~,~存在，则（无穷小代换）

同济六版上册高数总结

微分公式与积分公式

axxaaactgxxxtgxxxxctgxxtgxaxxln1)(logln)(csc)(cscsec)(seccsc)(sec)(22222211)(11)(11)(arccos11)(arcsinxarcctgxxarctgxxxxxCaxxaxdxCshxchxdxCchxshxdxCaadxaCxctgxdxxCxdxtgxxCctgxxdxxdxCtgxxdxxdxxx)ln(lncsccscsecseccscsinseccos22222222CaxxadxCxaxaaxadxCaxaxaaxdxCaxarctgaxadxCctgxxxdxCtgxxxdxarcsinln21ln211csclncscseclnsec22222222CaxaxaxdxxaCaxxaaxxdxaxCaxxaaxxdxaxInnxdxxdxInnnnarcsin22ln22)ln(221cossin222222222222222222222020三角函数的有理式积分：

222212211cos12sinududxxtguuuxuux，　，　，　

两个重要极限：

公式11sinlim0xxx 公式2exxx/10)1(lim

有关三角函数的常用公式

和差角公式： 和差化积公式：

降幂公式: 万能公式：

tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

同济版大一高数知识点

大一高等数学知识点（同济版）

1. 数列与数列极限

数列的概念：数列是按照一定顺序排列的数的集合。

数列的通项公式：表示第n项与n的关系的公式。

数列的极限：表示当n趋近于无穷大时，数列的趋势或稳定的值。

2. 函数与函数极限

函数的定义：函数是一种将输入值映射到输出值的规则。

函数的极限：表示自变量趋近某个值时，函数的趋势或稳定的值。

3. 一元函数的导数与导数应用

导数的定义：表示函数在某一点的瞬时变化率。

导数的计算方法：通过求极限或使用导数的基本运算法则计算。 导函数的应用：求函数在某点的切线方程、解函数的极值问题等。

4. 微分学基本定理与不定积分

微分学基本定理：表示函数的微分与定积分之间的关系。

不定积分的概念：表示函数的原函数的集合。

不定积分的计算方法：通过使用积分的基本公式、换元法、分部积分等方法计算。

5. 定积分与定积分应用

定积分的概念：表示函数在一定区间上曲线下的面积。

定积分的计算方法：通过使用积分的基本公式、换元法、分部积分等方法计算。

定积分的应用：求曲线与坐标轴所围成的面积、求函数的平均值等。

6. 一元函数的级数

级数的概念：由数列的项按一定规律相加而得到的无穷和。 级数的性质：级数的收敛、发散及相关性质。

常见级数的处理方法：通过判断级数的性质，确定级数的和。

7. 二元函数与偏导数

二元函数的定义：函数的自变量为两个变量。

偏导数的定义：表示函数变化率在某一方向上的分量。

偏导数的计算方法：通过将其他自变量视为常数，对某一自变量求导。

8. 二重积分与二重积分应用

二重积分的概念：表示函数在二维区域上的累积。

二重积分的计算方法：通过使用二重积分的基本公式、极坐标系等方法计算。

二重积分的应用：求二维区域的面积、质心坐标等。

一、映射

1、映射的概念

映射：设X、𝑌是两个非空集合，如果存在一个法则𝑓，使得对X中每个元素𝑥，在𝑌中有唯一确定的元素𝑦与之对应，那么称𝑓为从𝑥到𝑦的映射，记作：

𝑓：X→𝑌

举例：

注意事项：

一、无论是定义域还是值域都是非空集合

二、定义域内值必须在值域内有对应的数，而值域内可以不一定。比如上图中定义域中1到4必然都有对应的数在值域内，但是值域内有5个数，必然会留下一个数，不需要全部对应完毕。

三、对于定义域内部的每个𝑥来说，在值域内对应的值都是有且唯一的，不可“一对多”，而值域内数则可以“多对一”，多个定义域内的值可以同时对应同一个值域内的值。

2、特殊映射

满射（X到𝑌上的映射）：值域中的每一个值都被对应。根据映射概念可知，既然值域内部值都被对应，相应定义域内部的值也应当都已对应。而且我们应该知道此时定义域内的值的数量应该等于或许大于值域内值的数量。

单射：定义域内对应值域内的值不同。即𝑥1≠𝑥2，则𝑓(𝑥)1≠𝑓(𝑥)2

一一映射：映射是满射又是单射

3、逆映射

若将原映射的定义域与值域进行对调，则新构成的映射称作：逆映射。记作：𝑓−1 。其中，新构成的这个映射，定义域 𝐷𝑓−1=R𝑓 ，即新的定义域为原映射的值域。而新的值域则是 R𝑓−1=𝑋，因为此时逆映射的定义域需为定义域所在集合全部都是，也就是意味着需要构成逆映射的原映射必须为单射。

1、2、3、4 1、2、3、4、5

𝐷𝑓（定义域） R𝑓（值域） 定义域内值称“原像” 值域内称“像” 4、复合映射

若 g:X→Y1 ，𝑓:Y2 →Z ，则由g与f 可构成复合映射，即：𝑓∘g: X→Z。这个对应法则确定了一个X到Z的映射，表示 𝑓[𝑔(𝑥)] 。由定义可知，g 的值域必须在𝑓的定义域内。且

𝒇∘𝐠 与 𝐠∘𝒇 意义不同。

二、函数

1、函数的概念

函数：若数集𝐷⊂𝑅，则称映射𝑓:𝐷⊂𝑅为定义在𝐷上的函数，通常简记为：