大学物理习题详解—振动与波动部分
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大学物理习题详解—振动与波动部分
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第十二章 机械振动
简谐振动
12．1 一倔强系数为k的轻弹簧，下端挂一质量为m的物体，系统的振动周期为1T，若将此弹簧截去一半的长度,下端挂一质量为12m的物体,则系统振动周期2T等于
（A）21T；（B）1T；（C）1T/2；（D）1T/2 ；（E）1T/4． ［ ］
答：（C）
分析：一根弹簧，弹性系数为k，把它截短以后，k不是减小了，而是增大了。弹簧的弹力大小取决于弹簧的形变，在伸长相同的长度x的情况下，弹簧越短，其变形越大，弹力f也越大。而胡克定律为：fkx，即 fkx，因此弹簧变短后弹性系数k增大。
12mTk，弹簧截去一半的长度，倔强系数变为 22kk，下端挂一质量为12m的物体，则系统振动周期2T为： 2T1/21122222mmTkk
12．2 图（下左）中三条曲线分别表示简谐振动中的位移x，速度v和加速度a，下列说法中那一个是正确的？
（A）曲线3、1、2分别表示x、v、a曲线；
（B）曲线2、1、3分别表示x、v、a曲线；
（C）曲线1、3、2分别表示x、v、a曲线；
（D）曲线2、3、1分别表示x、v、a曲线；
（E）曲线1、2、3分别表示x、v、a曲线．
第12. 3题图 00v0v0v(c) (a) (b) 1
t x v a
0 3 2
第12. 2题图 大学物理习题详解—振动与波动部分
107 答：（E）
分析：位移x与加速度a的曲线时刻都是反相的，从图上看曲线1、3反相，曲线2是速度v曲线；
另外，速度比位移的位相超前2，加速度比速度的位相超前2，从图上看曲线3比2超前了2，3是加速度曲线；曲线2比1超前了2，1是位移曲线
12．3 在t=0时，周期为T、振幅为A的单摆分别处于图（上右）(a)、(b)、(c)三种状态，若选单摆的平衡位置为x轴的原点，x轴正向指向右方，则单摆作小角度摆动的振动表达式分别为
（1） ；
（2） ；
（3） ．
答：（1）X=Acos (tT2－2) （2）X=Acos (tT2+2) （3）X=Acos (tT2+)．
分析：关键是写出初位相，用旋转矢量法最方便：
ω x x x
（a）φ= -π/2 ω
ω
（b）φ= π/2 （c）φ= π
12．4 设振动周期为T，则a和b处两振动的时间差t____________。
答： 16T AAx2Atoab大学物理习题详解—振动与波动部分
108 分析：作如图两点振动的旋转矢量，可知
3，3126tTT。
12．5 有一个和轻弹簧相联的小球，沿x轴作振幅为A的谐振动，其表达式用余弦函数表达．若t=0时，球的运动状态为
（1）0x= －A；
（2）过平衡位置向X正方向运动；
（3）过x=2A处向X负方向运动；
（4）过x=2A处向X正方向运动；
试用矢量图示法确定各相应的初位相的值．
解：
12．6 一谐振动的振动曲线如图所示，求振动方程．
解：设振动方程为
0cos()xAt
图中 A=10 cm
由t=0时，5x，并向反方向运动，作旋转矢量图
023 第12. 7题图 x(cm)
·
·
·
· 10
-10 0
-5 2 t (s)
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由t=2时，0x，并向正方向运动，作旋转矢量图
0232
512
5210cos()123xtcm
12． 7 一弹簧振子沿X轴作谐振动，已知振动物体最大位移为mx=0.4 m时，最大恢复力为mF=0.8 N，最大速度为mv=0.8π m/s，又知t=0的初位移为+0.2 m．且初速度与所选X轴方向相反．
（1）求此振动的数值表达式．
（2）求振动能量．
解：（1）A = mx= 0.4 m
mv= ωA ω= 24.08.0Avm
由旋转矢量图知 φ= 3
∴ 振动的数值表达式为：
x =A cos (ωt +φ) = 0.4 cos (2πt +3)
(2) mF= kmx k =
mmxF = 4.08.0 =2 N.1m
振动能量 E = 21k2221mkxA= 0.16 J
φx(m)0.2
-5 · ω t=0
t=2 大学物理习题详解—振动与波动部分
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振动的合成
12．8 图中所画的是两个谐振动的振动曲线，若这两个谐振动是可叠加的，则合成的余弦振动的初位相为
（A）π/2；
（B）π；
（C）3π/2；
（D）0． ［ ］
答：（B）
分析：两振动反相，分别作出两振动的旋转矢量图，矢量合为合振动矢量。合振动的振幅为A/2，位相为振幅大的振动的位相。
12．9 一质点同时参与三个同方向、同频率的谐振动，它们的方程分别为：
cos1Axt； 2x=Acos(ωt+3)； 3x =Acos(ωt+32)．
则合振动振幅和初位相为
（A）3A， π；（B）A， 0 ； （C）2A， π/3； （D）2A， π． ［ ］
答：（C）
分析：分别画出三个振动在t=0时的矢量，如图所示。三个矢量的矢量和为合振动在t=0时的矢量。而振动1和振动3的矢量和等于振动2的矢量。
12．10 一系统作谐振动，周期为T，以余弦函数表达振动时，初位相为零，在0≤t≤T/2范围内，系统在t= 、 时刻动能和势能相等．
答：8T ； 83T
分析：振动动能和势能相等
211222kpEEEkA x
第12. 8题图 1x
2x x
A/2
-A 0 t
x
0 x · 2/A /2A 大学物理习题详解—振动与波动部分
111 22111222kxkA 2Ax
213, 44ttT，所以 13,88tTT
12．11 两个同方向的谐振动曲线如图所示，合振动的振幅为 ，合振动的振动方程为 ．
答：21AA；
x = 21()AAcos )22(tT．
分析：两振动反相，合振动的振幅为两振幅差的绝对值，位相为振幅大的振动的位相。
12．12 两个同方向、同频率、振幅均为A的谐振动，合成后振幅仍为A，则这两个分振动的位相差为 ．
答：32。
分析：22222cosAAAA，
1cos2， 23
或者直接从矢量图得出。
12．13 两个物体作同方向、同频率、同振幅的简谐振动．在振动过程中，每当第一个物体经过位移为2/A的位置向平衡位置运动时，第二个物体也经过此位置，但向远离平衡位置的方向运动。利用旋转矢量法求得它们的相位差为_____________。
答：2
分析：依题意画出旋转矢量图．
由图可知两简谐振动的位相差为2．
1A 2A )(1tx
)(2tx x
t T
第12. 12题图
· ω
2/A 物体1
物体2 ω 大学物理习题详解—振动与波动部分
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12．14 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动
1x= 4cos (2 t +6) 2x= 3cos (2 t －65)
其合振动的振幅为_______________，初位相为_______________。（其中x以cm计，t 以秒计）．
答：1cm 6
分析：△φ= )65(6 1x与2x位相相反
合振幅 A = 21AA = 1 cm
位相与原振幅较大的分振动位相相同，即：φ = 1 = 6
12．15 两个同方向的简谐振动方程分别为
1x= 4×210cos 2π( t +81) （SI） 及 2x= 3×210cos 2π( t +41) （SI）
求合振动方程．
解： 1A4×210 m 1 = 4
2A3×210 m 2 = 2
A = )cos(212212221AAAA = 6.48 ×210 m
tgφ =
22112211coscossinsinAAAA = 2.06 φ = 1.12 rad
合振动 x = 21xx = A cos (ωt +φ) = 6.48×210 cos (2πt + 1.12) m 大学物理习题详解—振动与波动部分
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第十三章 机械波
机械波
13．1 一简谐波沿X轴正向传播，t=T/4时的波形曲线如图所示，若振动以余弦函数表示，且此题各点振动的初相取－π到π之间的值，则
（A） 0点的初位相为0=0；
（B） 1点的初位相为1= －π/2；
（C） 2点的初位相为2= π；
（D） 3点的初位相为3= －π/2．
答：（D）．
x · · · · · 0 1 2 3 4 u y
t = 0时波形
分析：初位相为t=0时的位相，因此先画出t=0时的波形图。各点的旋转矢量如图所示，可见0、1、2、3点的位相依次落后π/2。而3点的位移为0，向正方向运动（或速度大于0），所以初位相为3= －π/2.
13．2 图示为一简谐波在t=0时刻的波形图，波速u=200m/s，则图中O点的振动加速度的表达式为
（A）a=0.42cos (πt－π/2 ) （SI）；
（B）a=0.42cos (πt－3π/2 ) （SI）；
（C）a=－0.42cos (2πt－π) （SI）；
（D）a=－0.42cos (2πt+π/2) （SI）． 第13. 1题图 x · ·
· · · 0 1 2 3 4 u y
第13. 2题图 0.1 Y(m)X(m)100 200 u
P
O
y0 1
3 2
