工程力学B 第10章 弯曲变形

第六章 弯曲变形

一、 是非判断题

1． 梁的挠曲线近似微分方程为EIy’’=M（x）。 （√）

2． 梁上弯矩最大的截面，挠度也最大，弯矩为零的截面，转角为零。 （×）

3． 两根几何尺寸、支撑条件完全相同的静定梁，只要所受载荷相同，则两梁所对应的截面的挠度及转角相同，而与梁的材料是否相同无关。 （×）

4． 等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线的曲率最大值发生在转角等于零的截面处。 （×）

5． 若梁上中间铰链处无集中力偶作用，则中间铰链左右两侧截面的挠度相等，转角不等。 （√）

6． 简支梁的抗弯刚度EI相同，在梁中间受载荷F相同，当梁的跨度增大一倍后，其最大挠度增加四倍。 （×）

7． 当一个梁同时受几个力作用时，某截面的挠度和转角就等于每一个单独作用下该截面的挠度和转角的代数和。 （√）

8． 弯矩突变的截面转角也有突变。 （×）

二、 选择题

1. 梁的挠度是（D）

A 横截面上任一点沿梁轴线方向的位移

B 横截面形心沿梁轴方向的位移

C横截面形心沿梁轴方向的线位移 D 横截面形心的位移

2. 在下列关于挠度、转角正负号的概念中，（B）是正确的。

A 转角的正负号与坐标系有关，挠度的正负号与坐标系无关

B 转角的正负号与坐标系无关，挠度的正负号与坐标系有关

C 转角和挠度的正负号均与坐标系有关

D 转角和挠度的正负号均与坐标系无关

3. 挠曲线近似微分方程在（D）条件下成立。

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265 第十章 应力状态、强度理论与组合变形

在前面各章中，已经讨论了杆件的拉伸与压缩、圆轴的扭转和梁的弯曲三类基本变形。研究问题的基本方法都是以力的平衡方程、变形的几何协调方程及力与变形间的物理方程为主线，得到构件的内力，进而讨论截面的应力，并由此写出强度条件来控制设计的。承受拉伸与压缩的杆件，横截面上是由轴力引起的正应力；承受扭转的圆轴，横截面上是由扭矩引起的剪应力（最大值在外圆周处）；承受弯曲的梁，横截面上有由弯矩引起的正应力（最大值在离中性轴最远处）及由剪力引起的剪应力（最大值在中性轴上）。所建立的强度条件，都是由单一的最大应力（最大正应力或最大剪应力）小于等于相应的许用应力描述的。当某危险点处于既有正应力又有剪应力的复杂状态时，如何判断其强度是否足够？这是本章要讨论的问题。

§10.1 应力状态

10.1.1 平面应力状态的一般分析

若构件只在xy平面内承受载荷，在z方向无载荷作用，则构件中沿坐标平面任取的六面体微元在垂直于z轴的前后二个面上无内力、应力作用。其余四个面上作用的应力都在xy平面内，此即平面应力状态。图10.1示出了平面应力状态的最一般情况。

在垂直于x轴的左右二平面上作用有正应力x和剪应力xy，在垂直于y轴的上下二平面上作用有正应力y 和剪应力yx。且由剪应力互等定理可知必有xy=yx=。现在讨论图中虚线所示任一斜截面上的应力，设截面上正法向n与x轴的夹角为。 o x

图10.1 平面应力状态分析 x y

x y

y yx

yx xy xy

x xy

y yx 

   n

x

b a y —————————————————— 工程力学 ————————————————

266 单位厚度的微元oab如图，截面oa上作用的应力为x和xy，沿x、y方向的内力分别为xabcos和xyabcos；截面ob上作用的应力为y 和yx，沿x、y方向的内力分别为yxabsin和yabsin；设斜截面ab上的应力为n 和n，则斜截面上沿法向、切向的内力则为nab和nab。将上述各力投影到x、y轴上，有平衡方程：Fx=nabcosn absinx abcosyx absin

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工程力学

第10章组合变形

学习目标

(1)了解组合变形的概念及其强度问题的分析方法；

(2)掌握斜弯曲、拉伸(压缩)与弯曲和偏心压缩的应力及强度计算。

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10.1 组合变形的概念

例如，烟囱的变形，除自重W引起的轴向压缩外，还有水平

风力引起的弯曲变形，同时产生两种基本变形，如图10-1(a)所示。又如图10-1(b)所示，设有吊车的厂房柱子，作用在柱

子牛腿上的荷载F，它们合力的作用线偏离柱子轴线，平移

到轴线后同时附加力偶。此时，柱子既产生压缩变形又产生

弯曲变形。再如图10-1(c)所示的曲拐轴，在力F作用下，AB

段同时产生弯曲变形和扭转变形。

10.1 组合变形的概念

图10-1

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10.1 组合变形的概念

上述这些构件的变形，都是两种或两种以上的基本变形的组合，称为组合变形。研究组合变形问题依据的是叠加原理，进行强度计算的步骤如下：

(1)将所作用的荷载分解或简化为几个只引起一种基本变形

的荷载分量。

(2)分别计算各个荷载分量所引起的应力。

(3)根据叠加原理，将所求得的应力相应叠加，即得到原来

荷载共同作用下构件所产生的应力。

(4)判断危险点的位置，建立强度条件。

10.2

例如图10-2(a)所示的横截面为矩形的悬臂梁，外力F作用

在梁的对称平面内，此类弯曲称为平面弯曲。斜弯曲与平

面弯曲不同，如图10-2(b)所示同样的矩形截面梁，外力F

的作用线通过横截面的形心而不与截面的对称轴重合，此

梁弯曲后的挠曲线不再位于梁的纵向对称面内，这类弯曲

称为斜弯曲。斜弯曲是两个平面弯曲的组合，本节将讨论

斜弯曲时的正应力及其强度计算。

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10.2 图10-2

10.2.1 正应力计算

斜弯曲时，梁的横截面

上同时存在正应力和切

应力，但因切应力值很

小，一般不予考虑。下

面结合图10-3（a）所

示的矩形截面梁说明斜

弯曲时正应力的计算方

法。

图10-310.2

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第8章 弯曲变形

本章要点

【概念】平面弯曲，剪力、弯矩符号规定，纯弯曲，中性轴，曲率，挠度，转角。

剪力、弯矩与荷载集度的关系；弯曲正应力的适用条件；提高梁的弯曲强度的措施；运用叠加法求弯曲变形的前提条件；截面上正应力分布规律、切应力分布规律。

【公式】

1. 弯曲正应力

变形几何关系：y 物理关系：Ey

静力关系：0NAFdA，0yAMzdA，2zzAAEIEMydAydA

中性层曲率：1MEI

弯曲正应力应力：，MyI，maxmaxzMW

弯曲变形的正应力强度条件：maxmaxzMW

2. 弯曲切应力

矩形截面梁弯曲切应力：bISFyzzS*)(，AFbhFSS2323max

工字形梁弯曲切应力：dISFyzzS*)(，AFdhFSSmax

圆形截面梁弯曲切应力：bISFyzzS*)(，AFS34max

弯曲切应力强度条件：max 3. 梁的弯曲变形

梁的挠曲线近似微分方程：''EIwMx

梁的转角方程：1()dwMxdxCdxEI

梁的挠度方程：12()ZMxwdxdxCxCEI

练习题

一. 单选题

1、 建立平面弯曲正应力公式zIMy/,需要考虑的关系有（ ）。查看答案

A、平衡关系,物理关系，变形几何关系

B、变形几何关系，物理关系，静力关系；

C、变形几何关系，平衡关系，静力关系

D、平衡关系, 物理关系，静力关系；

2、 利用积分法求梁的变形，不需要用到下面那类条件（ ）来确定积分常数。查看答案

A、平衡条件 B、边界条件

C、连续性条件 D、光滑性条件

3、 在图1悬臂梁的AC段上，各个截面上的（ ）。

A．剪力相同，弯矩不同 B．剪力不同，弯矩相同

C．剪力和弯矩均相同 D．剪力和弯矩均不同