3-2 多项式函数及其图形 137
生活周遭事物的关系，经常是函数关系。例如：人们在
等速运行电扶梯上所移动的距离 (y 米) 与站立时间 (x 秒)，
就是函数 y＝kx，k 为电扶梯每秒移动的速度。本节中，
将介绍数学上基本的函数－多项式函数及其图形的
重要性质。
1
函
数 我们会探究生活中的许多事物所
隐藏的对应关系，便于进行判断和预
测。例如，据报载，台北捷运最长的电
扶梯在忠孝复兴站，已知运行速度为
每秒 0.5 米，每分钟平均运送约 90
位旅客。为疏运旅客，拟加快运行速
度，当速度提升到每秒 0.65 米，北
捷预估调整后运输量可增加 30％，
试问：这个预估是否合理？
设时间 x 秒可运送旅客 y 人，依题意可知，电扶梯宽度固定，只需考虑
电扶梯每米可站立的人数为900.560＝3 (人)，故加速后可运送人数
y＝3×0.65×x＝1.95x，
因此，每分钟可运送旅客 1.95×60＝117，则运量增加1179090×100％＝30％，
故北捷的预估是合理的。
由上可知，时间 x 秒与人数 y 的数学式可表为 y＝1.95x。当 x 值给定时，恰有一个 y 值与之对应，我们称这种对应关系为 y 是 x 的函数。 -2 多项式函数及其图形
此电扶梯长度有39.44米，高度有 19.72 米，约六层楼高。 137 138 第3章 多项式函数
函数的定义
设 x 与 y 是两个变量，若 y 的值随 x 所取的值依某一种对应法则 f 而唯一确定时，称 y 是 x 的函数，用记号 y＝f (x) 表示。其中 x 叫作自变数，y 叫作应变数。并用 f (x0 ) 表示函数 f 在 x＝x0 所对应的函数值。
上述例子时间与人数的函数，可记作 f (x)＝1.95x，当 x＝20 时，对应的函数值为 f (20)＝1.95×20＝39 (人)。
随堂练习 下表为某年每个月份的对应天数。
第 1 页 共 6 页 二次函数与图形面积 练习题
基础题
知识点 二次函数与平面面积
1．如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是( )
A．60 m2
B．63 m2
C．64 m2
D．66 m2
2．用一根长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长方形，那么a的值不可能为( )
A．20 B．40 C．100 D．120
3．用长8 m的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户的最大透光面积是( )
A.6425 m2 B.43 m2
C.83 m2 D．4 m2
4．如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止，设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是(
)
5．如图，利用一面墙(墙的长度不超过45 m)，用80 m长的篱笆围一个矩形场地．当AD＝________时，矩形场地的面积最大，最大值为________．
6．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm，点P从点A开始沿AB向B点以2 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以1 cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当△PBQ的面积为最大时，运动时间t为________s.
第 2 页 共 6 页 7．将一根长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是________ cm2.
8．已知直角三角形两条直角边的和等于20，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大？最大值是多少？
第ｌ０卷第４期２０１０年２月 １６７１—－１８１５（２０１０）４・・１０１８－０３ 科学技术与工程 Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｖｏｌ，１０ Ｎｏ．４ Ｆｏｂ，２０１０ ＠２０１０ Ｓｅｉ。Ｔｅｅｈ．ｇｎｇｎｇ。
计算机技术
一个四次多项式函数的单调性和光滑性分析
陈 勇 刘群锋黄仁泰 （东莞理工学院计算机学院。东荛５２３Ｓ０８）
摘要光滑函数在支持向量机中起着重要作用。Ｃｈｅｎ和Ｍａｎｇａｓａｒｉａｎ用Ｓｉｇｍｏｔｄ函数的积分函数作为光滑函数，提出了一 个光滑的支持向量机。袁玉波等人用一个四次多项式函数作为光滑函数，提出了一个多项式光滑的支持向量机，但未对该多 项式函数的有关性能进行详细分析。提出分析多项式函数的若干性能。结果表明．诫多项式函数具有单调性和二阶光滑性， 为研究光滑支持向量机提供了更好的理论支持。 关键词分类 支持向量机 光滑 中图法分类号ＴＰ１８１； 文献标志码Ａ
支持向量机是一种建立在坚实的理论的基础之 上的新的理论体系。在Ｖａｐｎｉｋ等人做了大量开创 性的工作后，该理论得到不断发展和成熟，得到了越 来越广泛的重视，成为一种新的数据挖掘方法。支 持向量机由于其自身的显著优点，在手写数字识别、 语音识别、人脸识别、文本分类等问题上有着广泛应 用。而光滑的支持向量机又比一般支持向量机具有 更好的分类性能及效率，其中光滑函数起了重要作 用¨ Ｊ。１９９６年，Ｃｈｅｎ等人针对数学规划问题中 正号函数不光滑的问题，提出了一个光滑函数，即 Ｓｉｇｍｏｉｄ函数的积分函数…；２００１年，Ｌｅｅ等人用 Ｓｉｇｍｏｉｄ函数的积分函数作为光滑函数，提出了光滑 的支持向量机 ｊ。２００５年，袁玉波等人用一个四次 多项式函数 ｐ２（ ，ｋ）善 ｆ ， ≥ ｛一而１（ ＋１）３（ 一３），一 ＜ ＜ ，｜Ｉ｝＞ｏ，
≤一｝。 提出了多项式光滑的支持向量机 。２００７年，熊金 志等人用插值函数和积分的方法，提出了一类新的 光滑函数 。２００８年，熊金志等人用多项式光滑函 数，提出多项式光滑的支持向量机的一般模型…， 还解决了该研究方向上若干个理论问题 ｍ 。然 而，他们都未对该四次多项式函数的单调性和光滑 性进行详细分析。为进一步完善光滑支持向量机理 论，本文对该多项式函数进行研究，专门分析它的单 调性和光滑性Ｉ＇￣－Ｊ题。
２０ 福建中学数学 ２００９年第ｌ２期 对共轭点Ｐ（ｍ，０）和点ＱＩ—ａ，０ ｌ（ ≠０，ｍ≠ａ）．探 究１－６其实就是基于这种特殊情形而得到的各种不 同命题。当然它们都是成立的．如果把以上所有探 ，２ ．．２ 究题中的椭圆 ＋ ＝ｌ（ａ＞ｂ＞０）都换成双曲线 ａ Ｄ— ｖ２ １，２ 告＝１（０＞０，ｂ＞０），结论仍然成立． ａ Ｄ ，．２ ２ 如果把以上所有探究题中的椭圆 ＋ ｌ＿＝１ ａ 一 ｆａ＞ｂ＞０１换成抛物线Ｙ ＝２ｐｘ，情况会怎样呢？ 因为抛物线的主轴（对称轴）与抛物线的一个 交点是顶点，另一个交点是无穷远点．根据“成调和 共轭的四点中，如果有一个点为无穷远点，则与其 配偶的那一点必为以另一点偶为端点的线段的中 点”ｌ】］可知，抛物线对称轴上的这一对共轭点关于顶 点对称，即若其中一个点为Ｐ（ｍ，０）ｆｍ≠０１，则其 共轭点就为Ｑ（一ｍ，０）．读者可以类比上述探究写出 抛物线Ｙ ＝２ｐｘ条件下的命题．文章开头提到的题２ 就是这样的一个实例． 参考文献 【１］梅向明，刘增贤．高等几何．北京：高等教育出 版社．２００８ ［２】叶洪康．谈一道圆锥曲线习题的探究所得．福建 中学数学，２００９（５），２ｌ 四次函数及五次函数图象的对称性初探 耿小平 江苏省兴化市第一中学（２２５７００） 众所周知，二次函数Ｙ：ａｘ ＋ ＋ｃ（ａ≠０）的图 象关于直线ｘ＝一 轴对称，三次函数 ２ａ Ｙ＝ａｘ ＋ ＋ｃｘ＋ｄ的图象（ａ≠０）关于点 （一＿ｂ，厂（一 ））中心对称．据此自然地猜测四次函数 ｊ日 ｊ口 的图象是轴对称的，不过，这一猜想很容易被推翻， 通过函数作图软件可知Ｙ＝ｘ 关于Ｘ＝０对称。而 Ｙ＝Ｘ ＋Ｘ 却不是轴对称的．那么，哪些四次函数具 备轴对称性呢？本文将探究这一问题． 对于四次函数 Ｙ＝ｆ（ｘ）＝ａｘ ＋ ＋ｃｘ ＋出＋Ｐ（口≠０）． 如果它的图象是轴对称的，不妨设对称轴为 ＝，，则ｆ（ｔ＋Ｘ）＝ｆ（ｔ—Ｘ）． 事实上，ｆ（ｔ＋Ｘ）＝ｆ（ｔ—Ｘ） ａＩ（ｔ＋ ） 一（ｆ＿ ） ］＋ｂＦ（ｔ＋ ） 一（卜 ） ］ ＋ｃＩ（，＋ ） 一（ｆ—ｘ） Ｉ＋ ［（，＋ ）一（ｆ— ）】：０ 铮（４ｔａ＋ｂ）ｘ ＋（４ｔ ａ＋３ｔ ｂ＋２ ＋ｄ）ｘ＝０． 由 的任意性知４ｔａ＋ｂ＝０，…（１） ４ｔ ａ＋３ｔ ｂ＋２ｔｃ＋ｄ：０．…（２） Ｌ 由（１）得ｔ＝一 ，从而可得 疋埋１看四次凼效Ｙ＝几 ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ （日≠０）的图象是轴对称的．则对称轴为 ＝一 ． 斗口 将ｆ＝一 代入（２）整理可得 —一 ｂ（６ ４ ）． ｑ日 口一 下面，进一步说明当 ＝一 ｂ－￣（ｂＺ－４ａｃ）时， ＝／（ ）＝ ＋ ＋ ＋ ＋Ｐ（ｄ≠０）关于ｘ＝一 ｂ 对称． 由前文知。＿厂（ｆ＋ ）＝ｆ（ｔ—Ｘ） §（４ｔａ＋６） ＋（４ｔ ａ十３ｔ ｂ＋２ｔｃ＋ｄ）ｘ：０。 而当ｆ＝一—ｂ—， ：一——ｂ４ａ ８ａ （扫一一４口ｃ）时・ ￡ ４ ＿４（一 ） ０， ４ｔ ａ＋３ｔ ｂ＋２ｔｃ＋ｄ ３ａ＋３（一 ＋２（一 ｂ 一４ ＝０． ￣ＤＡｆ（一 ｂ 一 ． 综上所述，有： 定理２四次函数ｙ： ： ＋ｂｘ ＋
