二次函数的最值问题
复习回顾
已知函数]2,0[,32)(2xxxxf，则)(xf的最小值为 ；最大值为 ．
变式：（1）若]4,2[x，求函数)(xf的最值；（2）若]25,21[x，求函数)(xf的最值；
（3）若]23,21[x，求函数)(xf的最值．
思考：二次函数在闭区间],[nm上的最值通常在何处取得？
题型解析
例1．已知函数]3,1[,22)(2xaxxxf．
（1）求实数a的范围，使得函数)(xf在]3,1[上是单调函数；
（2）若函数)(xf的最小值为2，求实数a的值．
变式：（3）求函数)(xf在]3,1[上的最大值)(ag．
例2．设函数32)(2xxxf在区间]1,[tt上的最小值为)(tg，求)(tg的解析式．
变式：已知函数],3[,22)(2mxxxxf的值域为]5,1[，则实数m的取值范围是 ．
变式：已知函数xxxf221)(在区间],[nm上的最小值是m3，最大值是n3，求nm,的值．
高一数学重点题型及答案
一、二次函数及其应用
1、设函数f(x)=k(x-1)(x+2)（k>0），求f(x)在x=2.5处的最大值
答案：k(2.5-1)(2.5+2)=15k
2、设变量x、y满足约束条件y>｜x｜，求目标函数z=2x+3y的最大值
答案：由约束条件y>｜x｜得出x、y的解空间为y>0且x<0或者y<0且x>0，当y>0且x<0时，z有最大值2x+3y=2(-1)+3y，由此得出最小值z=3。
3、定义在R上的函数f(x)=ax^2+bx+c，满足f(-2)=f(-5)=2，f(2)=8，求a,b,c的值
答案：由f(-2)=f(-5)=2，计算得出b=2；由f(2)=8，计算得出a+b+c=8；由f(-2)=2，计算得出a-2b+c=2，故a=4，b=2，c=2.
二、空间几何
1、变换π：y=2x+1，给出其仿射变换的变换矩阵
答案：变换π：y=2x+1，其中a=2，b=1，则仿射变换的变换矩阵为[a b 0;0 1 0;0 0 1]=[2 1 0;0 1 0;0 0 1]。
2、已知空间中直线l：x=-2y+3，给出其直线方程
答案：已知空间中直线l：x=-2y+3，其直线方程形式为：x+2y-3=0，也可表示为：x-2y+3=0。
3、已知圆C：（x-1）^2+(y-2)^2=4，求圆C的圆心和半径
答案：设圆C：（x-1）^2+(y-2)^2=4，则该圆的圆心为（1,2），半径为2。
当自变量x在某个范围内取值时二次函数的最值问题
1．求下列二次函数的最值：
（1）221yxx； （2）242yxx；
（3）2245yxx； （4）(1)(2)yxx
2 当22x时，求二次函数223yxx的最大值和最小值．
3 当12x时，求函数21yxx的最大值和最小值．
4 当0x时，求二次函数(2)yxx的取值范围．
练习：
1．当31x时，求下列函数最大值与最小值。
（1）221yxx； （2）242yxx。
2．求二次函数2235yxx在22x上的最大值和最小值，并求对应的x的值．
3．对于函数2243yxx，当0x时，求y的取值范围．
4．当0x时，求函数(2)yxx的取值范围。
5．已知二次函数2245yxx，求下列情况函数的最值：
（1）若x取一切实数，该函数有最大值还是最小值，并求出其最值．
（2）当36x时，求函数的最大值和最小值.
（3）当84x时，求函数的最大值和最小值.
（4）当1x时，求函数的取值范围。
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
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学科：数学
专题：二次函数的最值问题
金题精讲
题面：当1≤x≤2时,函数y=2x24ax+a2+2a+2有最小值2, 求a的所有可能取值.
满分冲刺
题面：如图，在平面直角坐标系xOy中,二次函数232yxbxc的图象与x轴交于A(1,0)、B(3,0)两点, 顶点为C.
(1)求此二次函数解析式；
(2)点D为点C关于x轴的对称点，过点A作直线l：3333yx交BD于点E，过点B作直线BK//AD交直线l于K点.问：在四边形ABKD的内部是否存在点P，使得它到四边形ABKD四边的距离都相等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在(2)的条件下，若M、N分别为直线AD和直线l上的两个动点，连结DN、NM、MK，求DNNMMK和的最小值.
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
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讲义参考答案
金题精讲
答案：37或0或2或4
满分冲刺
答案：(1) 2333322yxx;(2) (2，3);(3)8
