高一数学第五章知识点归纳总结
高一数学的第五章主要介绍了一元二次函数以及其相关的知识点。本文将对该章进行一个归纳总结，帮助同学们更好地理解和掌握这些知识。
一、一元二次函数的基本概念
一元二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b和c都是实数，且a不等于零。其中，a称为二次项的系数，b称为一次项的系数，c称为常数项。
二、二次函数的图像特点
1. 开口方向：
当a大于零时，函数的图像开口向上，形如一个“U”字形；
当a小于零时，函数的图像开口向下，形如一个倒立的“U”字形。
2. 对称轴：
一元二次函数的图像都关于其对称轴对称，对称轴的方程为x=-b/2a。
3. 顶点坐标：
对于开口向上的二次函数，其顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(-b/2a)表示将-b/2a代入函数中求得的值；
对于开口向下的二次函数，其顶点坐标同样为(-b/2a, f(-b/2a))。 4. 判别式：
判别式Δ=b^2-4ac可以用来判断一元二次方程的根的性质：
- 当Δ大于零时，方程有两个不相等的实根；
- 当Δ等于零时，方程有两个相等的实根；
- 当Δ小于零时，方程没有实根。
三、一元二次函数的性质
1. 零点：
一元二次方程的零点即为函数与x轴的交点，可以通过解方程来求得。
若Δ大于零，则方程有两个不相等的实根，这两个实根将分别对应图像与x轴的两个交点；
若Δ等于零，则方程有两个相等的实根，图像与x轴仅有一个交点；
若Δ小于零，则方程没有实根，图像与x轴没有交点。
2. 平移变换：
平移变换是指将函数的图像沿着平行于x轴或者y轴的方向进行平移。一元二次函数可以通过平移变换来得到新的函数。
其中，平移变换的一般形式为： - 向左平移h个单位：f(x+h)；
- 向右平移h个单位：f(x-h)；
1 / 24 高考数学复习典型题型与知识点专题讲解
4 函数的基本性质
一、典型例型解题思维（名师点拨）
知识点1 ()(0)afxxax的单调性
知识点2 二次函数区间求最值
知识点3 已知一半求另一半（奇偶性）
知识点4单调奇偶联袂
二、题型归类练专练
一、典型例型解题思维（名师点拨）
知识点1 ()(0)afxxax的单调性
例1．（2021·宁夏·平罗中学高一期中）已知4()fxxx.
（1）判断()fx的奇偶性；
（2）判断函数()fx在(2,)的单调性并用定义证明.
【答案】
（1）函数()fx为奇函数；
（2）fx在区间2,上是增函数；证明见详解.
（1）解：由题可知，4()fxxx，
则函数()fx的定义域为|0xx ，关于原点对称， 2 / 24 又44()()()fxxxfxxx，
所以函数()fx为奇函数.
（2）解：fx在区间2,上是增函数，
证明：12,(2,)xx且12xx，
有12121244()()()()fxfxxxxx
121244()()xxxx121212(4)xxxxxx，
122xx，1212124,40,0xxxxxx,
121212(4)0xxxxxx，即12()()fxfx，
函数()fx在区间2,上是增函数.
名师点评：对于函数()(0)afxxax主要性质如下：
①定义域(,0)(0,)；
②奇偶性：奇函数；
③单调性：当0x时；()(0)afxxax在(0,]a上单调递减；在[,)a的单调增；
④值域与最值：当0x时；()(0)afxxax值域为[2,)a，当xa时，取到最小值2a。 3 / 24
特别提醒同学们函数()(0)afxxax我们称为对钩函数（耐克函数），注意需要0a这个大前提，当0a时都不再是对钩函数，此时不具有对钩函数的性质。
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析
1. 函数的递增区间是___________________ . 【答案】[1,+∞) 【解析】试题分析:,由一元二次函数的单调性可知，开口向上，递增区间在对称轴右侧，递增区间为[1,+∞). 【考点】一元二次函数的单调性. 2. 设是奇函数，且在内是减函数，又，则的解集是 【答案】 【解析】∵是奇函数，且在内是减函数，∴在内是减函数，∵＝＝，∴＝，则当或时，，当或时，，则不等式等价为
①或
②．由①得，解得；由②得，解得，所以的解集为或或．
【考点】1、函数的单调性；2、函数的奇偶性；3．抽象函数；4．函数图象的应用．
3. 已知函数，若对于任意，当时，总有，则区间有可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数有意义，则解得，又因为二次函数在单调递减，在单调递增，若对于任意，当时，总有，则，在上单调递增.而单调递增，故复合函数在单调递增，故选B.
【考点】本题考查复合函数的单调性.
4. 函数在上是增函数，则实数的范围是（ ）
A．≥ B．≥ C．≤ D．≤
【答案】B
【解析】二次函数的图象抛物线开口向下,对称轴为 ,所以函数在 上单调递增；要使函数在上是增函数，必须有 ，解得 .故选B
【考点】1、函数的单调性的概念；2、二次函数的图象和性质
5. 在区间上不是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由初等函数的图像可知C的图像在上是单调递减函数.
【考点】本题考查初等函数，通过初等函数的图像判断其单调性.
6. （本小题满分12分）已知幂函数的图象经过点．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）在区间上是减函数.
【解析】（Ⅰ）属待定系数法求函数解析式，即设出函数方程，代入点计算待定系数
（Ⅱ）利用单调性的定义证明单调性，三步：取数并规定大小，作差比较两函数大小，判断点调性
10、求函数12)(2axxxf在区间[0,2]上的最值．
简析：最值包括最大值和最小值，如何求此二次函数最小值？最大值呢？．
此题的难点是分类标准的确定．
解：1°当0a时，函数()fx在[0,2]上递增，
∴maxmin()(2)34,()(0)1fxfafxf，
2°当01a时，函数()fx在[0,2]上先减后增，且对称轴0(0,1]xa
∴2maxmin()(2)34,()()1fxfafxfaa，
3°当12a时，函数()fx在[0,2]上先减后增，且对称轴0(1,2]xa
∴2maxmin()(0)1,()()1fxffxfaa，
4°当2a时，函数()fx在[0,2]上递减，
∴maxmin()(0)1,()(2)34fxffxfa．
3、已知函数()fx的定义域为1,3，则函数(3)fx的定义域是_________．
简析：抽象函数求定义域问题，明确定义域是指“自变量x的取值集合”，本题答案为[4,6]．
常用的数集有：正整数集N*或N；自然数集N；有理数集Q；整数集Z；实数集R．
练习：设集合222{|40},{|2(1)10}AxxxBxxaxa，若BA，求实数a的取值范围．
解：集合{0,4}A，由BA，则：
1°当B时，即0，即1a时，显然有BA;
2°当B时，记22()2(1)1fxxaxa
① 当{0}B时，有(0)00f，即2101aa，即1a；
② 当{4}B时，有(4)00f，即28701aaa，无解；
③ 当{0,4}B时，有(0)0(4)0ff，即2210870aaa，即1a.
综上：1a或1a.
