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《近世代数》课程教案第一章基本概念教学目的与教学要求：掌握集合元素、子集、真子集。
集合的交、并、积概念；掌握映射的定义及应注意的几点问题，象，原象的定义；理解映射的相同的定义；掌握代数运算的应用；掌握代数运算的一般结合运算，理解几个元素作代数运算的特点；理解代数运算的结合律;掌握并能应用分配律与结合律的综合应用；掌握满射，单射，一一映射及逆映射的定义。
理解满射,单射，一一映射及逆映射的定义；掌握同态映射、同态满射的定义及应用；掌握同构映射与自同构的定义；掌握等价关系的定义，理解模n的剩余类。
教学重点:映射的定义及象与原象的定义，映射相同的定义;代数运算的应用，对代数运算的理解;代数运算的结合律；对定理的理解与证明；同态映射，同态映射的定义；同构映射的定义以及在比较集合时的效果;等价关系,模n的剩余类。
教学难点：元素与集合的关系（属于）,集合与集合的关系(包含）；映射定义，应用该定义应注意几点；代数运算符号与映射合成运算符号的区别;结合率的推广及满足结合律的代数运算的定义；两种分配律与⊕的结合律的综合应用；满射，单射，一一映射及逆映射的定义;同态映射在比较两个集合时的结果；模n的剩余类.教学措施：网络远程。
教学时数:8学时.教学过程：§1 集合定义：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合(简称集)。
集合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。
定义：一个没有元素的集合叫做空集，记为∅，且∅是任一集合的子集。
（1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。
（2）集合表示：习惯上用大写拉丁字母A ，B ,C …表示集合，习惯上用小写拉丁字母a ，b ，c …表示集合中的元素. 若a 是集合A 中的元素，则记为A a A a ∉∈否则记为,. 表示集合通常有三种方法： 1、枚举法（列举法）：例:A =｛1，2，3，4｝，B =｛1,2，3,…，100｝. 2、描述法：{})(,)(x p x p x A =—元素x 具有的性质。
近世代数中结合律、交换律及同态的应用作者：吴双权来源：《读书文摘（下半月）》2017年第04期摘要：在近世代数的主要研究对象是所谓代数系统，即带有运算的集合。
近世代数在数学的其他分支和自然科学的许多领域里都有很重要的应用，而在近世代数中，结合律、交换律以及同态是一个重要的概念。
本文探讨了同态和代数运算中结合律的应用以及交换律成立的简便方法。
关键词：结合律；交换律；同态定义：一个[A×B到D]的映射叫做一个[A×B到D]的代数运算。
例题：[A={3}，B={2}，D={对，错}]0：（3.2）→对3[∘]2是一个[A×B到D]的代数运算。
定义：假如[∘]是[A×A到A]的代数运算，我们就说，集合[A]对于代数运算[∘]来说是闭的，也说，[∘]是[A]的代数运算或二元运算。
定义：设[∘]是集合[A]的一个代数运算，如果[∀a，b，c∈A]都有[a∘b∘c=a∘（b∘c）]，则称[∘]满足结合律。
定义：假如对于[A]的n（n≥2）个固定的元[a1，a2，…，an]来说，所有的[π（a1∘a2∘…∘an）]都相等，我们就把由这些步骤可以得到的唯一的结果，用[a1∘a2∘…∘an]来表示。
定理：假如一个集合[A]的代数运算[∘]满足结合律，那么对于[A]的任意n（n≥2）个元[a1，a2，…，an]来说，所有的[π（a1∘a2∘…∘an）]都相等；因此符号[a1∘a2∘…∘an]也就总有意义。
例题：结合律是否成立？思路：考虑[（x∘y）∘z]和[x∘（y∘z）]，共有54个，比较繁琐因为[a∘x=x，x∘a=x]所以[x，y，z]取[a]的话等式成立，只需考虑[x，y，z]取[b，c]情况即可。
定义：一个[A×A到D]的代数运算[∘]适合交换律，如果[∀a，b∈A]都有[a∘b=b∘a]。
定理：设[A]的代数运算[∘]同时满足结合律和交换律，那么[a1∘a2∘…∘an]中的元的次序可以任意掉换。
第 2 讲 一、算律§4-6 结合律、交换律及分配律（2课时)（Associative Law Commutative Law and distributive law ) 定义 任一个D B A 到⨯的映射都叫做D B A 到⨯的一个代数运算。
定义 若A A A 到是⨯ 的代数运算，则可称 是A 的代数运算或称二元运算。
§4、结合律：•代数运算就是二元运算，当元素个数2>时，譬如4321,,,a a a a 同时进行运算:4321a a a a ，这已经超出了我们定义的范围，这个符号至少现在是没有意义的。
•对四个元素我们可以进行两两运算，进行了三次后就能算出结果。
两两运算的过程叫做加括号。
加括号的方法显然不止一种:4321])[(a a a a ；4321)]([a a a a ；)()(4321a a a a … … …加括号的方法不一样，其运算的结果是否一样？例1:设,Z A =“ ”是整数中的减法：则特取Z ∈3,5,2， 63)52(-=--，而0)35(2=--)35(23)52(--≠--∴其运算的结果不一样。
例2：设,Z A =“ ”是整数中的加法:则 )()(,,,t s r t s r Z t s r ++=++∈∀定义1:设 是集合A 的一个代数运算，如果A c b a ∈∀,,都有)()(c b a c b a =,则称 满足结合律。
例2、 “+”在Z 中适合结合律。
例1、 “—”在Z 中不满足结合律。
思考题：就结合律成立与交换律不成立分别各举一例。
上述实例告诫我们，并不是每一个代数运算都能满足结合律的。
注意： 定义2:设A 中的代数运算为 ，任取)2(>n n 个元素n a a a ,,,21 ，如果所有加括号的方法最后算出的结果是一样的，那么这个结果就用n a a a 21来表示。
注意：从定义2可知，“n a a a 21")2(>n 也可能是有意义的。
定理1（p11。
定理）：如果A 的代数运算 满足结合律,那么 对于A 的任意)2(≥n n 个元素n a a a ,,,21 来说，所有加括号的方 法运算的结果总是唯一的,因此,这一唯一的结果就可用n a a a 21来表示。
证明:因n 是有限数，所以加括号的方法必是有限的。
•任取一种加括号的方法)(21n a a a π，往证:)()(2121n n a a a a a a =π•对n 用数学归纳法。
当n=2时,结论成立。
假设对〈n,结论成立，即所有加括号的方法运算的结果是唯一的。
设2121)(b b a a a n =π，1b 和2b 分别是i 和i n -个元素经加括号而运算的结果.1,1-≤--≤n i n n i ，由归纳假设，。
））（][]}[{(][][)(2121212121212121n i i i n i i i n i i i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a b b a a a ++++++====π§5、交换律定义3：设 是集合A 的一个代数运算，如果A b a ∈∀,都有a b b a =,则称 满足交换律。
定理2：设A 的代数运算 同时满足结合律和交换律,那么n a a a 21中的元的次序可以任意掉换.证明：用数学归纳法。
当n=2时定理成立，假设当元素的 个数为1-n 时，定理成立,元素的个数为n 时，设 12n i i i a a a是12,,,n a a a 的按任意一个次序相乘的结果。
这里的12,,n i i i是1,2，n 的一个排列，而12,,,n i i i a a a 是12,,,n a a a 的一个排列。
因此，有k i n a a = 。
所以，12121112111211121112()[()]()[()][()()]()n k k n k k n k k n k k n i i i i i i n i i i i i i i n i i i i i n i i i i i nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+-+-+-+=====满足交换律的运算一般用“+”表示。
§6、分配律定义4：设B A ,都是集合，而是A A B →⨯的代数运算， 而⊕是A 的代数运算，如果A a a B b ∈∀∈∀21,,，都有1212()()()ba a ba ba ⊕=⊕那么称,⊕满足左分配律。
定理3：设B A ,和,⊕如上，如果⊕满足结合律，且,⊕满足左分配律，那么A a a aB b n ∈∀∈∀,,,,21 ，都有1212()()()()n n ba a ab a b a ba ⊕⊕⊕=⊕⊕⊕[论证思路]•采用数学归纳法,归纳假设1-n 时命题成立。
定义5：设B A ,和,⊕同上，若A a a B b ∈∀∈∀21,,，若有 1212()()()a a b a b a b ⊕=⊕,那么称,⊕满足右分配律定理4：设B A ,和,⊕同上,若⊕适合结合律,而,⊕适合右分配律。
那么1211,,,,,()()()n n nb B a a a A a a b a b a b ∀∈∀∈⊕⊕=⊕⊕都有。
注意:定义4与定义5，、定理3与定理4是对称的两对概念，所以定理4的证明可依据定理3的思路解之。
作业：12P ②，16P 。
二、一一映射,同态及同构§7、1、一一映射(双射。
Bijection ）在高等代数中,已对各类映射作了系列性的介绍，这里只简要的复习。
定义1、设ϕ是集合A 到A 的映射，且ϕ既是单的又是满的，则称ϕ是一个一一映射（双射）。
定理1：设ϕ是A 到A 的一个双射，那么由ϕ可诱导出 (可确定出）A 到A 的一个双射1-ϕ（通常称1-ϕ是ϕ的逆映射） 结论：设A A →:ϕ是映射,那么：（1）ϕ是双射⇔ϕ可唯一的确定一个逆映射A A →-:1ϕ， 使得：• A A 1,111==--ϕϕϕϕ；• ϕ也是1-ϕ的逆映射，且ϕϕ=--11)(;（2)ϕ是双射A A 与⇒同时是有限集或同时是无限集。
2、变换（transformation ）定义2：设A A →:ϕ是映射，那么称ϕ为A 的变换。
当ϕ是双射(单射，满射）时，也称ϕ为一一变换(单射变换,满射变换) 例2 19P§8、同态（Homomorphism ） 比较代数系统的一种方法定义3：设集合A A ,都各有代数运算 ,（称},{ A 及},{ A 为 代数系统）而A A →:ϕ是映射，且满足下面等式：)()()(,,b a b a A b a ϕϕϕ =∈∀（习惯上称ϕ可保持运算）那么称ϕ是A 到A 的同态映射.例3、设}1,1{:-=→A Z ϕ，其中},{ Z 中的代数运算 就是Z 中 的加法，而},{ A 中的代数运算 为数中的乘法。
)3()2()32(,111)1()1()1()1()3()2(,1)5()32()32(,1)3(,1)2(,,1)(ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ ≠-≠⇒=-⨯-=--=-==+=-=-=∈∀-=即而那么现设Z n nϕ不是同态映射。
例4、设},{ Z 与},{ A 同例3，今设Z n n A Z ∈∀=→,1)(:ττ为， 那么的同态映射到是即A Z n m n m n m n m Z n m τττττττ),()()(111)()(,1)(,, =∴=⨯==∈∀如果同态映射ϕ是单射（满射）,那么自然称ϕ是同态单射（同态满射）,而在近世代数中，同态满射是尤其重要的.定义4：若ϕ是},{ A 到},{ A 的同态满射，那么习惯上称A A 与 同态，并记为A ～A ;习惯上称A 是A 的同态象。
定理1. 如果ϕ是},{ A 到},{ A 的同态满射，那么（1） 若 满足结合律 ⇒也适合结合律； （2） 若 满足交换律 ⇒也适合交换律。
证明：（1）任取ϕ因,,,A c b a ∈是满射b b a a A c b a ==∈∃⇒)(,)(,,,ϕϕ使，又因为A 中 的满足结合律c b a c b a )()(=⇒即))(())((c b a c b a ϕϕ=，但是ϕ是同态映射.)()]()([)()()())((c b a c b a c b a c b a ===ϕϕϕϕϕϕ c b a c b a c b a c b a )()()]()([)()()))((===ϕϕϕϕϕϕ所以c b a c b a )()(= 同理可以证明（2）定理2、设},,{⊕⊗A 和},,{⊕⊗A 都是代数系统,而映射A A →:ϕ 关于⊕⊗,以及⊕⊗,都是同态满射，那么：（1） 若⊕⊗,满足左分配律⇒⊕⊗,也适合左分配律; （2） 若⊕⊗,满足右分配律⇒⊕⊗,也适合右分配律。
证明:（1）ϕ因,,,A c b a ∈∀是满射c c b b a a A c b a ===∈∃⇒)(,)(,)(,,,ϕϕϕ使. 又因为ϕ是关于⊕⊗,及⊕⊗,的同态映射⇒)()()]()([)]()([)()()]()[()]([))()(()()(c a b a c a b a c a b a c a b a c b a c b a c b a ⊗⊕⊗=⊗⊕⊗=⊗⊕⊗=⊗⊕⊗=⊕⊗=⊕⊗=⊕⊗ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ即)()()(c a b a c b a ⊗⊕⊗=⊕⊗。
同理可证明（2）.思考题1：在定理1及定理2中，都要求映射ϕ是满射，似 乎当ϕ是同态满射时，才能将A 中的代数性质（结合律、交 换律及分配律）“传递”到A 中，那么:（1） 当ϕ不是满射时，“传递”还能进行吗？（即定理1，2成立吗？)（2） 即使ϕ是满射，“传递”的方向能改变吗？（即A 中的性质能“传递"到A 中去吗？）§9、一、同构(isomorphism ）定义4、设ϕ是},{ A 到},{ A 的同态映射，若ϕ是个双射， 那么称ϕ是同构映射，或称A 与A 同构，记为A A ≅。
例6、设 与而},,3,2,1{},,3,2,1{---====-+Z A Z A 都是整数中通常的加法“+”，现作A n n n A A ∈∀-=→,)(},{},{:ϕϕ其中 ， 那么ϕ是同构映射. 事实上, (1）ϕ是单射：ϕϕϕ⇒=-≠-=⇒≠∈)()(,,m m n n m n A m n 且是单射.（2）ϕ是满射：ϕϕ⇒∈=--=-∈-⇒∈∀A t t t A t A t )()(,,且是满射。
（3)ϕ是同态映射：)()()()()()()()()()(,,m n m n m n m n m n m n m n A m n ϕϕϕϕϕϕϕ =∴=-+-=+-=+=∈∀由（1）,（2），（3）知，ϕ是同构映射，即A A ≅。
