第一节定义新运算

暑假小升初尖子生训练营教材目录1、走进美妙的数学世界 (2)2、数的扩充——有理数 (7)3、数轴与相反数……………………………………………1 34、绝对值 (19)5、有理数加法……………………………………………2 56、有理数减法……………………………………………3 27、阶段小测 (39)8、有理数乘法……………………………………………4 59、有理数的除法与乘方 (52)10、有理数混合运算 (58)11、有理数的巧算……………………………………………6 412、有理数综合检测 (69)13、代数式……………………………………………7 414、整式的概念 (80)15、合并同类项……………………………………………8 516、求代数式的值……………………………………………9 217、创新命题——定义新运算 (98)18、观察、归纳与猜想 (103)19、暑假大阅兵 (109)第一节走进美妙的数学世界【知识纵横】从蛮荒时代的结绳计数到现代通讯和信息时代神奇的数学,人类任何时候都受到数学的恩惠和影响,数学科学是人类长期以来研究数量关系和空间形式而形成的庞大的科学体系．走进美妙的数学世界，我们将一起走进崭新的“代数”世界，不断扩充的数系、奇妙的字母表示数、威力巨大的方程、不等式的模型、运动变化的函数观念；走进美妙的数学世界，我们将一起走进丰富的“图形”世界，拼剪、折叠、平移、旋转，在操作与实验活动中，发现这些图形的奇妙的性质，用它们设计精美的图案；走进美妙的数学世界，我们将畅游在无边的“数据”世界，从图表中获取信息，并选择合适的图表来表示数据和信息．走进美妙的数学世界，它将开阔我们的视野，它提醒我们有无形的灵魂，它改变我们的思维方式，它涤尽我们的蒙昧与无知．诺贝尔奖获得者、著名物理学家杨振宁说：“我赞美数学的优美和力量，它有战术的机巧与灵活，又有战略的雄才远虑，而且，奇迹的奇迹，它的一些美妙概念竟是支配物理世界的基本结构．”一、生活中常见的数学问题1.巧算台阶上地毯的总长度莲花宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼楼梯道宽2米，其侧面如下图所示，则购买地毯至少需要多少元.2. 动手折一折（天门）将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是（ ）3. 促销中的数学1杯鲜橙汁售价1.80元，现商家促销：买1杯鲜橙汁送奖券1张，3张奖券兑换1杯鲜橙汁，每张奖券的价值相当于（ ）元A 0.3B 0.45C 0.5D 0.64．试试你的抽象思维能力某学生骑自行车上学，开始以某一速度匀速行进，中途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，他加快了速度，但仍然保持匀速前进，结果准时到校，他骑自行车行进的路程s 与行进的时间t 的关系有如下四种示意图，其中正确的是（ ）5. 数与形A,B,C,D,E,F 六只足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天的时候，统计出A,B,C,D,E,五队已经分别比赛了5，4，3，2，1场球，则还没有与B 队比赛的球队是（ ）A C 队B D 队C E 队D F 队AB CD二、 我们一起来探索1． 观察归纳与猜想 （1）已知 1+3=4=22 1+3+5=9=23 1+3+5+7=16=24 1+3+5+7+9=25=25 根据前面各式的规律，可猜想1+3+5+7+……+(2n-1)=________(其中n 为自然数)（2）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，……叫做三角形数. 它有一定的规律性, 则第24个三角形数与第22个三角形数的差为__ __.2.图形计数与面积计算 （1） 图中有多少个三角形？（2）如图，若长方形APHM 、BNHP 、CQHN 的面积 分别是7、4、6，则阴影部分面积是ABNCQDMPO3. 定义新运算设a,b 是两个数，规定,2)(4÷+-⨯=*b a b b a 这里“÷⨯-+，，，”是通常的运算符号，括号的作用也是通常的含义，“*”是新的运算符号，计算：3*（4*6）4.十进制与二进制我们平时用的数是十进制数，如9103106102263923+⨯+⨯+⨯=，表示十进制的数要用10个数的数码（又叫数字）：0，1，2，3……9.在电子计算机中用的是二进制,只需要两个数码0和1,如二进制中的101=1202112+⨯+⨯等于十进制中的5,那么二进制中的1101等于十进制的数是几? 5.幻方“九宫之义，法以灵龟，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。

第1讲定义新运算一、知识要点定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。

解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。

定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。

新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。

但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。

二、精讲精练【例题1】假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。

【思路导航】这题的新运算被定义为：a*b等于a和b两数之和加上两数之差。

这里的“*”就代表一种新运算。

在定义新运算中同样规定了要先算小括号里的。

因此，在13*（5*4）中，就要先算小括号里的（5*4）。

练习1：1、将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).求27*9。

2、设a*b=a2+2b，那么求10*6和5*（2*8）。

3、设a*b=3a－b×1/2，求（25*12）*（10*5）。

【例题2】设p、q是两个数，规定：p△q=4×q-(p+q)÷2。

求3△(4△6)。

【思路导航】根据定义先算4△6。

在这里“△”是新的运算符号。

练习2：1、设p、q是两个数，规定p△q＝4×q－（p+q）÷2，求5△（6△4）。

2、设p、q是两个数，规定p△q＝p2+（p－q）×2。

求30△（5△3）。

3、设M、N是两个数，规定M*N＝M/N+N/M，求10*20－1/4。

【例题3】如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么7*4=________；210*2=________。

练习3：1、如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，……那么4*4=________。

高考数学总复习：第一节 函数及其表示学习要求:1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数,并能简单应用.1.函数与映射的概念函数映射两集合A 、B设A 、B 是两个① 非空数集 设A 、B 是两个② 非空集合对应关系f :A →B按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A中的③ 任意 一个数x ,在集合B 中都有④ 唯一确定 的数f (x )与之对应按某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的⑤ 任意 一个元素x ,在集合B 中都有⑥ 唯一确定 的元素y 与之对应名称 称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数 称对应f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射记法y =f (x ),x ∈A 对应f :A →B▶提醒 判断一个对应关系是不是函数关系,就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点.2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域:在函数y =f (x ),x ∈A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的⑦ 定义域 ;与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的⑧ 值域 .(2)函数的三要素:⑨ 定义域 、值域和对应关系.(3)相等函数:若两个函数的⑩ 定义域 相同,且 对应关系 完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.(4)函数的表示方法: 解析法 、图象法、列表法.3.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.▶提醒一个分段函数的解析式要把每一段写在一个大括号内,各段函数的定义域不可以相交.知识拓展1.常见函数的定义域(1)分式函数中分母不等于0.(2)偶次根式函数的被开方式大于等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域为R.(4)y=a x(a>0且a≠1),y=sin x,y=cos x的定义域均为R.(5)y=tan x的定义域为{x|x∈R且x≠xπ+π2,x∈Z}.(6)函数f(x)=x0的定义域为{x|x∈R且x≠0}.(7)y=log a x(a>0,且a≠1)的定义域为{x|x>0}.2.基本初等函数的值域(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为[4xx-x24x ,+∞);当a<0时,值域为(-∞,4xx-x24x].(3)y=xx(k≠0)的值域是{y|y≠0}.(4)y=a x(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).(5)y=log a x(a>0且a≠1)的值域是R.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)函数y=1与y=x0是同一个函数.()(2)f(x)=√x-3+√2-x是一个函数.()(3)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等.()(4)函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点最多有1个.()答案(1)✕(2)✕(3)✕(4)√2.若函数y =f (x )的定义域为M ={x |-2≤x ≤2},值域为N ={y |0≤y ≤2},则函数y =f (x )的图象可能是 ( )答案 B3.(新教材人教A 版必修第一册P65例2改编)函数f (x )=√2x的定义域为 ( )A.(0,+∞)B.[0,+∞)C.(1,+∞)D.[1,+∞) 答案 A 要使f (x )=2x有意义,需满足2x-1>0,解得x >0,∴函数f (x )=2x的定义域为(0,+∞),故选A.4.(2020山东威海一中期中)已知函数f (x )的定义域为(-1,0),则函数f (2x -2)的定义域为( ) A.(-1,1) B.(-1,-12) C.(-1,0) D.(12,1)答案 D ∵f (x )的定义域为(-1,0),∴-1<2x -2<0,解得12<x <1,∴函数f (2x -2)的定义域为(12,1),故选D .5.已知f (x )是一次函数,且f [f (x )]=x +2,则f (x )= ( )A.x +1B.2x -1C.-x +1D.x +1或-x -1答案 A 因为f (x )是一次函数,所以可设f (x )=kx +b (k ≠0).由f [f (x )]=x +2得k (kx +b )+b =x +2,即k 2x +kb +b =x +2,所以k 2=1,kb +b =2,解得k =1,b =1,则f (x )=x +1.故选A.函数、映射概念的理解典例1 (1)给出下列四个对应:①A =R,B =R,对应关系f :x →y ,y =1x +1,x ∈A ,y ∈B ;②A ={x |12x ∈N *},B ={x |x =1x,x ∈N *},对应关系f :a →b ,b =1x;③A ={x |x ≥0},B =R,对应关系f :x →y ,y 2=x ,x ∈A ,y ∈B ;④A ={x |x 是平面α内的矩形},B ={y |y 是平面α内的圆},对应关系f :每一个矩形都对应它的外接圆. 其中是从A 到B 的映射的为( )A.①③B.②④C.①④D.③④ (2)下列函数中,与函数y =x +1是相等函数的是 ( )A.y =(√x +1)2B.y =√x 33+1C.y =x 2x+1 D.y =√x 2+1答案 (1)B (2)B解析 (1)对于①,当x =-1时,y 的值不存在,所以①不是从A 到B 的映射;对于②,A ,B 是两个集合,分别用列举法表述为A ={2,4,6,…},B ={1,12,13,14,…},由对应关系f :a →b ,b =1x 知,②是从A 到B 的映射;③不是从A 到B 的映射,如A 中的元素1对应B 中两个元素±1;④是从A 到B 的映射.(2)对于A,函数y =(√x +1)2的定义域为{x |x ≥-1},与函数y =x +1的定义域不同,不是相等函数;对于B,两个函数的定义域和对应关系都相同,是相等函数;对于C,函数y =x 2x +1的定义域为{x |x ≠0},与函数y =x +1的定义域不同,不是相等函数;对于D,两个函数的定义域相同,但对应关系不同,不是相等函数,故选B .名师点评1.定义域和值域都相同的两个函数不一定是相等函数.2.判断一个从集合A 到集合B 的对应是不是一个函数(映射)的依据可归纳为可以一对一,也可以多对一,但不能一对多.1.下列对应关系:①A ={1,4,9},B ={-3,-2,-1,1,2,3}, f :x →x 的平方根; ②A =R,B =R, f :x →x 的倒数; ③A =R,B =R, f :x →x 2-2;④A ={-1,0,1},B ={-1,0,1}, f :x →x 2. 其中是A 到B 的映射的是 ( )A.①③B.②④C.③④D.②③ 答案 C2.下列四组函数中,表示相等函数的一组是 ( )A.f (x )=|x |,g (x )=√x 2B.f (x )=√x 2,g (x )=(√x )2C.f (x )=x 2-1x -1,g (x )=x +1D.f (x )=√x +1·√x -1,g (x )=√x 2-1 答案 A函数的定义域角度一 具体函数的定义域典例2 (1)函数f (x )=√x +1+lg(6-3x )的定义域为 ( )A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.[-1,2)D.[-1,2] (2)函数f (x )=√4-|x |+lgx 2-5x +6x -3的定义域为 ( )A.(2,3)B.(2,4]C.(2,3)∪(3,4]D.(-1,3)∪(3,6] 答案 (1)C (2)C解析 (1)要使函数f (x )=√x +1+lg(6-3x )有意义,则{x +1≥0,6-3x >0,即-1≤x <2.故函数f (x )的定义域为[-1,2).(2)要使函数f (x )有意义,需满足{4-|x |≥0,x 2-5x +6x -3>0,即{|x |≤4,(x -3)(x -2)x -3>0,解得2<x <3或3<x ≤4,故f (x )的定义域为(2,3)∪(3,4].角度二 已知函数定义域,求参数的取值范围典例3 (1)(2019河北衡水联考)若函数y =xx -1xx 2+4xx +3的定义域为R,则实数m 的取值范围是 ( )A.(0,34]B.(0,34)C.[0,34]D.[0,34)(2)若函数f (x )=√xx 2+xxx +x 的定义域为{x |1≤x ≤2},则a +b 的值为 . 答案 (1)D (2)-92解析 (1)要使函数的定义域为R, 则mx 2+4mx +3≠0恒成立, ①当m =0时,显然满足条件; ②当m ≠0时,由Δ=(4m )2-4m ×3<0, 得0<m <34. 综上可知,0≤m <34.(2)函数f (x )=√xx 2+xxx +x 的定义域是不等式ax 2+abx +b ≥0的解集.由题意知不等式ax 2+abx +b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}, 所以{x <0,1+2=-x ,1×2=xx,解得{x =-32,x =-3, 所以a +b =-32-3=-92. 角度三 抽象函数的定义域典例4 已知函数f (x )的定义域是[0,2],则函数g (x )=f (x +12)+f (x -12)的定义域是 .答案 [12,32]解析 因为函数f (x )的定义域是[0,2],所以函数g (x )=f (x +12)+f (x -12)中的自变量x 需要满足{0≤x +12≤2,0≤x -12≤2,解得12≤x ≤32,所以函数g (x )的定义域是[12,32]. ◆变式探究 若函数y =f (x )的定义域是[0,2],则函数g (x )=x (2x )x -1的定义域是 .答案 [0,1)解析 由题意得{0≤2x ≤2,x -1≠0,解得0≤x <1,所以g (x )的定义域为[0,1).名师点评简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式,构造使解析式有意义的不等式(组)求解. (2)抽象函数:①若已知函数f (x )的定义域为[a ,b ],则函数f [g (x )]的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出; ②若已知函数f [g (x )]的定义域为[a ,b ],则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ,b ]时的值域.1.(1)函数f (x )=√2x -1-1的定义域是 . (2)函数f (x )=(x -12)0√x +2的定义域是 .答案 (1)(1,3] (2)(-2,12)∪(12,+∞) 2.若函数y =的定义域为R,则实数a 的取值范围是 .答案 [0,12)解析 由题意得ax 2-4ax +2>0恒成立, 则a =0或{x >0,x =(-4x )2-4×x ×2<0,解得0≤a <12.3.已知函数y =f (x 2-1)的定义域为[0,2],则函数g (x )=x (2x )x -1的定义域是 .答案 [-12,1)∪(1,32]解析 因为y =f (x 2-1)的定义域为[0,2],所以x ∈[0,2],x 2-1∈[-1,3],所以{-1≤2x ≤3,x -1≠0,解得-12≤x ≤32且x ≠1,所以函数g (x )的定义域是[-12,1)∪(1,32].函数的解析式典例5 (1)已知二次函数f (2x +1)=4x 2-6x +5,求f (x ). (2)已知函数f (x )满足f (-x )+2f (x )=2x,求f (x ). 解析 (1)解法一(待定系数法):因为f (x )是二次函数,所以设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),则f (2x +1)=a (2x +1)2+b (2x +1)+c =4ax 2+(4a +2b )x +a +b +c.因为f (2x +1)=4x 2-6x +5,所以{4x =4,4x +2x =-6,x +x +x =5,解得{x =1,x =-5,x =9,所以f (x )=x 2-5x +9(x ∈R). 解法二(换元法): 令2x +1=t (t ∈R),则x =x -12,所以f (t )=4(x -12)2-6·x -12+5=t 2-5t +9(t ∈R),所以f (x )=x 2-5x +9(x ∈R).解法三(配凑法):因为f (2x +1)=4x 2-6x +5=(2x +1)2-10x +4=(2x +1)2-5(2x +1)+9, 所以f (x )=x 2-5x +9(x ∈R).(2)(解方程组法)由f (-x )+2f (x )=2x①, 得f (x )+2f (-x )=2-x②,①×2-②得3f (x )=2x +1-2-x,即f (x )=2x +1-2-x3.故函数的解析式是f (x )=2x +1-2-x3(x ∈R).方法技巧求函数解析式的常用方法(1)配凑法:由已知条件f (g (x ))=F (x ),可将F (x )改写成关于g (x )的式子,然后以x 替代g (x )得f (x )的解析式.(2)换元法:已知函数f (g (x ))的解析式,求f (x )的解析式时可用换元法,即令g (x )=t ,从中解出x ,代入已知解析式进行换元,此时要注意新元的取值范围.(3)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),则可用待定系数法.(4)解方程组法:已知关于f (x )与f (1x )或f (-x )的等式,可根据已知条件构造出等式,组成方程组,通过解方程组求出f (x )的解析式.(2020河北衡水中学调研)已知f (x )是二次函数,且f (0)=0, f (x +1)=f (x )+x +1.求f (x )的解析式.解析 设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0), 由f (0)=0知c =0,则f (x )=ax 2+bx ,又由f (x +1)=f (x )+x +1得a (x +1)2+b (x +1)=ax 2+bx +x +1, 即ax 2+(2a +b )x +a +b =ax 2+(b +1)x +1,所以{2x +x =x +1,x +x =1,解得a =b =12,所以f (x )=12x 2+12x (x ∈R).分段函数角度一 分段函数的最值问题典例6 已知函数f (x )={x 2-2xx +9,x ≤1,x +4x +x ,x >1,若f (x )的最小值为f (1),则实数a 的取值范围是 .答案 [2,+∞)解析 当x >1时, f (x )=x +4x +a ≥4+a ,当且仅当x =2时,等号成立.当x ≤1时, f (x )=x 2-2ax +9为二次函数,要想在x =1处取最小值,则函数图象的对称轴要满足x =a ≥1,并且f (1)≤4+a ,即1-2a +9≤a +4,解得a ≥2.角度二 已知函数值,求参数的值(或取值范围)典例7 设函数f (x )={x 2+2x ,x <0,x +1,x ≥0,则f (-1)= ;若f (a )>f (a -1),则实数a 的取值范围是 .答案 -1;(-12,+∞)名师点评分段函数问题的求解策略(1)根据分段函数的解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代入求解.(2)已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时,应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.1.(2020辽宁盘锦一中模拟)已知函数f (x )={2e x -1,x <1,x 3+x ,x ≥1,则f (f (x ))<2的解集为 ( )A.(1-ln 2,+∞)B.(-∞,1-ln 2)C.(1-ln 2,1)D.(1,1+ln 2)答案 B 因为当x ≥1时, f (x )=x 3+x ≥2,当x <1时, f (x )=2e x -1<2,所以f (f (x ))<2等价于f (x )<1,即2e x -1<1,解得x <1-ln 2, 所以f (f (x ))<2的解集为(-∞,1-ln 2),故选B.2.(2018课标全国Ⅰ文,12,5分)设函数f (x )={2-x ,x ≤0,1,x >0,则满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是 ( )A.(-∞,-1]B.(0,+∞)C.(-1,0)D.(-∞,0)答案 D 函数f (x )={2-x ,x ≤0,1,x >0的图象如图所示:由f (x +1)<f (2x )得{2x <0,2x <x +1,得{x <0,x <1.∴x <0,故选D .3.已知函数f (x )={log 2(3-x ),x ≤0,2x -1,x >0,若f (a -1)=12,则实数a = .答案 log 23解析 由题意知当a -1≤0,即a ≤1时,log 2(3-a +1)=12,解得a =4-√2>1,舍去.当a -1>0,即a >1时,2a -1-1=12,解得a =log 23>1,成立.故a =log 23.微专题——新定义函数的有关计算新定义函数问题是近几年高考中函数的热点题型,解答这类问题的关键在于阅读理解时准确把握新定义、新信息,并把它纳入已有的知识体系之中,用原来的知识和方法来解决新情境下的问题,一般有两方面的考查:(1)利用新函数进行计算;(2)讨论新函数的性质.典例 (2020浙江镇海中学高三模拟)定义符号函数sgn x ={1,x >0,0,x =0,-1,x <0,若f (x )是定义在R 上的减函数,g (x )=f (x )-f (ax )(a >1),则 ( )A.sgn[g (x )]=sgn xB.sgn[g (x )]=-sgn xC.sgn[g (x )]=sgn[f (x )]D.sgn[g (x )]=-sgn[f (x )] 答案 A解析 由题意知g (x )=f (x )-f (ax ),且f (x )是R 上的减函数, 当x >0时,x <ax ,则有f (x )>f (ax ), 则g (x )=f (x )-f (ax )>0, 此时sgn[g (x )]=1;当x =0时,x =ax ,则有f (x )=f (ax ), 则g (x )=f (x )-f (ax )=0, 此时sgn[g (x )]=0;当x <0时,x >ax ,则有f (x )<f (ax ), 则g (x )=f (x )-f (ax )<0, 此时sgn[g (x )]=-1. 综上所述,sgn[g (x )]=sgn x. 故选A.根据新定义得到f (x )的表达式,判断函数f (x )在定义域的单调性,可得结果.1.(2020辽宁大连高三月考)在实数的原有运算法则中,我们定义新运算 “x” 如下:当a ≥b 时,a x b =a ;当a <b 时,a x b =b 2,则函数f (x )=(1x x )·x -(2x x )(x ∈[-2,2])的最大值等于(“·”和“-”仍为通常的乘法和减法) ( )A.-1B.1C.12D.6 答案 D 因为a x b ={x ,x ≥x ,x 2,x <x ,所以f (x )=(1x x )·x -(2x x )={x -2,-2≤x ≤1,x 3-2,1<x ≤2,易知函数f (x )在[-2,2]上单调递增,所以f (x )max =f (2)=6,故选D.2.定义符号函数sgn x ={1,x >0,0,x =0,-1,x <0,则当x ∈R 时,不等式x +2>(2x -1)sgn x的解集为 .答案 {x |-3-√334<x <3}解析 当x >0时,不等式可转化为x +2>2x -1,解得0<x <3; 当x =0时,不等式可转化为2>1,不等式成立;当x <0时,不等式可转化为x +2>12x -1①,因为2x -1<0,所以①等价于(x +2)(2x -1)<1,即2x 2+3x -3<0,解得-3-√334<x <0.综上所述,不等式的解集为 {x |-3-√334<x <3}.A 组 基础达标1.下列各组函数中,表示同一个函数的是 ( )A.f (x )=x 2和f (x )=(x +1)2B.f (x )=(√x )2x和f (x )=(x )2C.f (x )=log a x 2和f (x )=2log a xD.f (x )=x -1和f (x )=√(x -1)2答案 B2.函数y =ln(x 2-x )+√4-2x 的定义域为 ( )A.(-∞,0)∪(1,+∞)B.(-∞,0)∪(1,2]C.(-∞,0)D.(-∞,2)答案 B 由已知得{x 2-x >0,4-2x≥0,解得{x <0或x >1,x ≤2,即x ∈(-∞,0)∪(1,2],故选B.3.已知函数f (x )的定义域为(-1,0),则函数f (2x +1)的定义域为( ) A.(-1,1) B.(-1,-12)C.(-1,0)D.(12,1)答案 B4.已知函数f (x +1)=3x +2,则f (x )= ( )A.3x +2B.3x +1C.3x -1D.3x +4 答案 C5.已知f (10x)=x ,则f (5)= ( )A.105B.510C.log 510D.lg 5 答案 D6.(2020湖南湘潭一中模拟)已知函数f (x )={x +1x -2,x >2,x 2+2,x ≤2,则f (f (1))= ( )A.-12 B.2 C.4 D.11 答案 C ∵函数f (x )={x +1x -2,x >2,x 2+2,x ≤2,∴f (1)=12+2=3,∴f (f (1))=f (3)=3+13-2=4.故选C.7.已知函数f (x )={3-x +1(x ≤0),x x +2(x >0),若f (f (-1))=18,则实数a 的值是 ( )A.0B.1C.2D.3 答案 C8.设函数f :R →R 满足f (0)=1,且对任意的x ,y ∈R 都有f (xy +1)=f (x )·f (y )-f (y )-x +2,则f (2 017)= ( ) A.0 B.1 C.2 017 D.2 018答案 D 令x =y =0,则f (1)=f (0)·f (0)-f (0)-0+2=1×1-1-0+2=2,令y =0,则f (1)=f (x )·f (0)-f (0)-x +2,将f (0)=1, f (1)=2代入得f (x )=1+x ,所以f (2 017)=2 018,故选D .9.(2020湖南郴州二中模拟)设x ∈R,用[x ]表示不超过x 的最大整数,则y =[x ]称为高斯函数.例如:[-2.1]=-3,[3.1]=3,已知函数f (x )=2x +32x +1,则函数y =[f (x )]的值域为 ( )A.{0,1,2,3}B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{1,2} 答案 D f (x )=2x +32x+1=2x +1+22x+1=1+22x+1,∵2x>0,∴1+2x>1,∴0<22x+1<2,∴1<1+22x +1<3,即1<f (x )<3.当1<f (x )<2时,[f (x )]=1;当2≤f (x )<3时,[f (x )]=2.综上,函数y =[f (x )]的值域为{1,2},故选D.B 组 能力拔高10.已知函数f (x )={(x -1)x +4-2x ,x <1,1+log 2x ,x ≥1,若f (x )的值域为R,则实数a 的取值范围是( )A.(1,2]B.(-∞,2]C.(0,2]D.[2,+∞)答案 A 当x ≥1时, f (x )=1+log 2x ≥1;当x <1时, f (x )=(a -1)x +4-2a 必须是增函数,且值域区间的右端点的值大于或等于1,才能满足f (x )的值域为R,可得{x -1>0,x -1+4-2x ≥1,解得1<a ≤2.11.(2020江苏苏州一中期中)已知函数f (x )={2x ,x ≤1,log 3(x -1),x >1,且f (x 0)=1,则x 0=( )A.0B.4C.0或4D.1或3 答案 C 当x 0≤1时,由f (x 0)=2x 0=1得x 0=0(满足x 0≤1);当x 0>1时,由f (x 0)=log 3(x 0-1)=1得x 0-1=3,得x 0=4(满足x 0>1),故选C. 12.(2020北京,11,5分)函数f (x )=1x +1+ln x 的定义域是 .答案 (0,+∞)解析 要使函数f (x )有意义,则{x +1≠0,x >0,故x >0,因此函数f (x )的定义域为(0,+∞). 13.(2019湖南衡阳模拟)已知函数f (x )=xxx -1,若f (x )+f (1x )=3,则f (x )+f (2-x )= .答案 6 解析 ∵f (x )=xx x -1, f (x )+f (1x)=3, ∴f (x )+f (1x )=xx x -1+xx 1x-1=xx x -1-x x -1=x (x -1)x -1=3,解得a =3,∴f (x )=3x x -1,∴f (x )+f (2-x )=3x x -1+6-3x 2-x -1=6(x -1)x -1=6.C 组 思维拓展14.(2020广东珠海一中模拟)已知x 为实数,用[x ]表示不超过x 的最大整数,例如[1.2]=1,[-1.2]=-2,[1]=1.对于函数f (x ),若存在m ∈R 且m ∉Z,使得f (m )=f ([m ]),则称函数f (x )是Ω函数. (1)判断函数f (x )=x 2-13x ,g (x )=sin πx 是不是Ω函数(只需写出结论);(2)已知f (x )=x +x x,请写出a 的一个值,使得f (x )为Ω函数,并给出证明. 解析 (1)f (x )=x 2-13x 是Ω函数,g (x )=sin πx 不是Ω函数. (2)a =32.证明:设k ∈N *,取a ∈(k 2,k 2+k ),令[m ]=k ,m =x x ,则一定有m -[m ]=xx -k =x -x 2x∈(0,1),且f (m )=f ([m ]),所以f (x )是Ω函数.。

集合论与图论以前学习的高等数学（数学分析）都是连续函数，而计算机是离散型结构，所以它所研究的对象应是离散型的。

因此，做为计算机理论的核心课程《离散数学》就显然非常重要，计算机专业学生必须开设此课程。

目的：培养学生抽象思维和逻辑思维的能力要求：概念第一，正确使用概念进行正确的推理。

特点：抽象，概念多；与其它课程不同，不是以计算为主，而是以推理论证为主；比较难。

内容：⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩集合映射集合论关系无穷集合图的基本概念树和割集离散数学图 论 连通度和匹配平面图的欧拉公式和图的着色有向图近世代数数理逻辑形式语言与自动机可计算理论等等离散：不考虑实数的性质，只考虑有限或可数的整数。

因此可用归纳法。

第一篇集合论集合论是德国数学家康托（Cantor）在1874年建立的，它是现代数学的基础，在当今数学中每个对象本质上都是集合。

有时我们说：“数学能嵌套在集合论中”其含义就是指数学的一些对象如：数、函数、线、面等都可以用集合来定义。

换句话说，数学的各个分支在本质上都是研究这种或那种对象的集合。

例如：几何学——研究点、线、面的集合；数学分析——连续函数的集合；代数——研究数的集合以及在此集合上定义有关运算的集合等等。

因此，把集合论作为现代各种数学的基础是有道理的，也是合适的。

集合论的特点：（1）研究的对象十分广泛：数、图形或其它任何客体都可以作为研究的对象。

（2）因为它研究的对象是如此广泛，为了便于研究必须寻找对象的共性，而要做到这一点，就必须进行抽象。

（3）在抽象化的基础上，可用统一的方法来研究和处理集合论的各类问题。

第一章 集合及其运算§1集合的基本概念在日常生活中，经常会遇到“集合”的概念，例如：所有中国人的组成的集合；坐标面上的有点的集合，自然数集，实数集，全世界无产者等等。

集合是集合论中最基本的概念，所以很难给出精确的定义。

因此，我们把“集合”作为原始的概念给出非形式定义，只给予一种描述说明这个概念的含义。

第一节定义新运算【知识要点】说起运算，同学们马上就会想到我们课堂上学过的加、减、乘、除四则运算，并且还能熟练地说出这些运算的一些运算性质和运算定律。

当然，对于什么样的问题该用加法或减法、乘法还是除法计算更是烂熟于胸。

其实，在加、减、乘、除四则运算之外，还有其他多种法则的运算。

我们这一讲里将要学习的“新运算”，就是用*、△、☆、⊙等多种符号，按照一定的关系，临时规定的一种新的运算程序（新运算）。

学习“定义新运算”，关键是要深刻理解运算符号的新规定，严格按照规定的法则运算，最后达到解决问题的目的。

【典型例题】例1 设a，b都表示数，规定是a△b表示a的3倍减去b的2倍，a△b=a×3-b×2。

试计算：5△6；（7△6）△4的值。

例2 有两个数是A、B，A△B表A与B的平均数。

、（1）已知A△6=17，求A。

（2）如果已知4△B=2，求B。

例3 规定x △y =32x+y x y x ⨯+，那么3△4= 。

例4 如果2*3=2+3+4，5*4=5+6+7+8，按此规律计算：3*5；5*3例5 有一个运算符号⊗，使A ，B （A ，B 表示两个数）满足定义A ⊗B=A ×B-b,2⊗3=4，试按此规律计算（3⊗5）+（7⊗9）例6 x 、y 是两个数，x*y=ax-by,已知4*2=6；6*3=9，计算7*5-2*1=？【小试锋芒】1.设a,b都表示数，规定a△b=6×a-2×b。

试计算3△42.设a,b都表示数，规定a△b=3×a+2×b试计算：（5△6）△7；5△（6△7）3. 规定：6*2=6＋66=72，2*3=2＋22＋222=246，1*4=1＋11＋111＋1111=1234。

求：7*54.如果2*4=24÷（2+4），按此规律计算3*6；6*3；5.M，N是两个数，M*N=Mx-N÷2，2*4=7，计算：（6*4）-（4*6）6.a,b表示2个数，a↓b=a×b+a-b,a↑b=a×b-a+b；计算：5↑（8↓4）7.数学符号!n（读作n的阶乘）的意义规定为：从1开始n个连续自然数的乘积，也就是说，!123(1)=⨯⨯==⨯⨯⨯=。

第一节 导数的概念及其运算【课标要求】了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达， 体会导数的内涵与思想。

体会极限思想。

通过函数图象直观理解导数的几何意义,能根据导数定义求函数y=c,y=x ,x y x y x y ===,,32的导数,能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(f(ax+b) 的导数。

会使用导数公式表.教学目标：1.了解导数的概念,理解导数的几何意义；2.掌握基本初等函数的导数，能够用导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，理解简单的复合函数的导数。

教学重点：导数的运算及导数的几何意义。

教学难点：正确求导及曲线切线的理解教学过程：环节1：知识检测2.已知函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列数值排序正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)C ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)1．某市一天12小时内的气温变化图如图所示，则在区间[0,4]内温度的平均变化率为________℃/h.D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)环节2：知识梳理1.函数的平均变化率及其意义（1）函数y=f(x)在区间[]21x x 的平均变化率： 平均变化率为=∆∆=∆∆x fx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212（2）函数y ＝f (x )的平均变化率反映了函数f (x )在区间[]21x x 上的变化快慢， （3）函数y ＝f (x )的图象在点A(()()()()2211,,,x f x B x f x A 割线的斜率，是曲线倾斜程度的“数量化”。

中考总复习——第一篇 数与式第一节 有理数开课教师：梁金发 时间：2014年3月6日星期四课标导航一、教学目标：1、理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小。

2、理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不含字母）；3、理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方的运算法则、运算律、运算顺序以及简单的有理数的混合运算（以三步为主）；4、能用有理数的运算律简化有关运算，能用有理数的运算解决简单的问题。

二、重难点重点：理解有理数中的有关概念和基本运用；难点：灵活运用有理数的有关知识解决实际问题三、教学过程（一）知识梳理1、有理数：把整数和分数统称为有理数。

2、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

3、相反数：只有符号不同的两个数称为互为相反数；0的相反数是0；a 的相反数是—a ；在数轴上表示互为相反数的两个点位于原点两侧，且到原点的距离相等；数0既不是正数，也不是负数。

若a ，b 互为相反数，则a+b=0.4、倒数：乘积是1的两个数互为倒数，a （a ≠0）的倒数是a 1；若a ，b 互为倒数，则1=∙b a ，反之1=∙b a ，则a ，b 互为倒数；5、绝对值：数轴上表示数a 的点与原点的距离，叫做数a 的绝对值，记作a ；一个正数的绝对值是它的本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

6、有理数的大小比较：（1）正数＞0，负数＜0，正数＞负数，两个负数绝对值大的反而小；（2）在数轴上，右边的点所表示的数比左边的点所表示的数大。

7、有理数的运算：（1）加法：同号两数相加，和取原来加数的符号；绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号；交换律：a+b=b+a ；结合律：（a+b ）+c=a+(b+c)（2）减法：a —b=a+(—b)；（3）乘法符号判断：同号两数相乘积为正，异号两数相乘积为负。

交换律：ab=ba ；结合律：(ab)c=a(bc)；分配律：m(a+b)=ma+mb ；（4）除法符号判断：同号两数相除为正，异号两数相除为负。