正数、负数与有理数【基础知识精讲】一、正数与负数１．负数的产生生产和生活以及数学本身的需要-------在实际生活中表示相反意义的量已经学过自然数、分数、小数.但在实际生活中，这些数是不够用的。
例如：某地白天最高温度为６℃, 由于强冷空气经过，温度急剧下降了９℃，那么这时温度是多少呢？这一实际问题，可以用减法来解，即求出６－９的差，为了解决许多实际问题中出现的“不够减”的矛盾，在数学上引进了一种新数，即负数，如规定：６－９＝－３．这里的“-3”是一个比零还小的数，数字3前面的“-”号读为“负”.回到实际问题中，-3℃就是我们熟悉的零下3℃，这样，引入了负数，就可以解决以往数学学习中的较小的数不能减较大的数的矛盾.2、正负数的概念：正数：大于0的数,叫做正数。
为了强调,正数前面有时也可加上“+”（读作正）号。
负数：小于0的数叫负数。
在数字前用“-”相当于减号做标记。
代表性质符号。
3、数00既不是正数,也不是负数,零的意义,过去表示“没有”，在引入负数后，就不能说“0”表示“没有”了，如温度是0℃，也表示一个特定的温度，不能说没有温度.正负数以0分界，0是一个非负、非正的中性数.4．相反意义的量与正负数举几个例子.（1）零上的温度与零下的温度.某一天，最高气温是零上5℃，最低气温是零下8℃，“零上”与“零下”其意义是相反的.（2）高于海平面和低于海平面的海拔高度.珠穆朗玛峰高于海平面8848米，吐鲁番盆地低于海平面155米，“高于”和“低于”其意义是相反的.现实世界中在数量关系上具有相反意义的客观事物是大量存在的，我们可以用正数和负数来表示具有相反以意义的事物的量.例如，①甲地高出海平面168米，乙地低于海平面52米，可以分别记作：+168米和-52米；②某冷库运出货物18吨，又运进货物25吨，可分别记作：-18吨和+25吨.③某家庭月收入1500元，支出950元，可分别记作：+1500元和-950元.如果正数表示某种意义的量，那么负数就表示其相反意义的量.如果正数表示向南走的距离，那么负数就表示向北走的距离.二．有理数概念小学数学中讲到的整数是指自然数与0，在自然数前面加上“-”号的数，叫做负整数，负整数也是整数.小学数学中讲到的分数（包括小数），实际上是正分数，在正分数的前面加上“-”号的数，叫做负分数.正分数和负分数统称分数.整数和分数统称为有理数.因此有理数可以作如下的分类：有理数有理数还可以根据正、负来分类，即：有理数⎪⎩⎪⎨⎧负有理数零正有理数三、【重点难点解析】1．本节重点是理解有理数的意义、分类和有理数的应用；难点是理解负数的意义.2．正数和负数是根据实际需要而产生的。
表示一些具有相反意义的量，如收入300元和支出300元，零上6℃和零下4℃等等，它们不但意义相反，而且表示一定的数量.怎样表示它们呢？我们把一种意义规定为正的，把另一种和它意义相反的量规定为负，这样就产生了正数和负数.3．正数与负数的概念的本质特征是符号与数的统一。
只说“带有正号的数叫正数，带有负号的数叫“负数”是不正确的。
因为带有什么符号只是正负的本质特征之一，而不是全部特征，例如，-a 不一定是负数。
0有着丰富的意义，0可看作是正数和负数的界限，也可以看成是唯一的中性数.4．有理数分类可按不同的标准。
（同上）5．负数是源于实践，负数的出现为数学中研究相反意义的量提供了前提条件.四、典型例题例1： 指出下列各语句的实际意义：（1）向东走-40米；（2）温度下降-9℃.分析：引入负数的实际意义，就是为了表示具有相反意义的量.题（1）“向东”后面的“-”号就是表示与“向东”相反的意义，即“向西”；题（2）“下降”后面的“-”号就是表示与“下降”相反的意义，即“上升”.解：（1）向东走-40米的实际意义是向西走40米.（2）温度下降-9℃的实际意义是上升9℃.例2： 把下列各数填在相应的集合符号内：5，-2，-0.3,41,0,-31,5.7,-161,102,-17. 正数集合{ },负数集合{ },整数集合{ },分数集合{ }.分析: 正数包括正整数和正分数,负数包括负整数和负分数,分数包括正分数、负分数，所以5，41，5.7，102这几个数应填入正数集合内,-2,-0.3,-31,-161,-17这几个数应填入负数集合内.整数包括正整数、0、负整数，所以5，-2，0，102，-17这几个数应填入整数集合内，-0.3,41,-31,5.7,-161这几个数应填入分数集合内. 解: 正数集合{5,41,5.7,102,…}， 负数集合{-2，-0.3，-31,-161,-17，…}， 整数集合{5，-2，0，102，-17，…}分数集合{-0.3,41,-31,5.7,-161,…}. 注：（1）每个括号内均应填写“…”省略号，意思即除了已填入的数外，还有其他别的数.（2）填空时，一定要分清有理数的分数标准.例3、 选择题：下面说法中，正确的是（ ）.A ．在有理数中，零的意义表示没有.B ．一个数不是正数就是负数.C ．正有理数和负有理数组成全体有理数.D ．零是整数.分析：零是一个很重要的数，它不是正数，也不是负数，它是整数、偶数，是有理数.解：D注：“零”的一个基本作用是表示“没有”.“零”不仅可以表示“没有”，而且“具有非常确定的内容”.如在计时中，零时表示每天的起点时刻，“零”是正负数的分界限.“零”也是一个不可缺少的数码，在数的表示中起着十分重要的作用.在分析和解决数的有关问题时，千万不要漏掉“零”.【典型热点考题】例1 把下列各数分别填在相应的集合里：-11，9.5，+50,-3.6,0,31,-43,0.6, π. 正数集合{ …}，负数集合：{ …}整数集合{ …}，分数集合：{ …}解：正数集合：{9.5,+50,31,0.6,…}； 负数集合：{-11，-3.6,-43,…}； 整数集合：{-11，+50，0，…}；分数集合：{9.5,-3.6,31,-43,0.6，…}； 注意：（1）有限小数和无限循环小数都可以化成分数；（2）因为正数集合包含了所有的正数，具体填只是一部分，所以通常最后要加省略；（3）π不是有理数.例2 填空题（1）设向东走为正，向东走30米记作米，向西走20米记作 米，原地不动记作 米，记作-25米表示向 走25米，记作+16米表示走16米.（2）比海平面高200米的地方，它的高度记作海拔 米，比海平面低100米的地方，它的高度记作海拔 米.（3） 某地区最低气温是-28℃，最高气温是+31℃，该地区的温差是℃.解：（1）+30，-20，0，西，东；（2）200，-100；（3）59注意：“+”号可以省略不写.【同步达纲练习】（时间45分钟，满分100分）1．把下列各数填在相应的大括号里：-5，+31，0.62，4，0，-1.1,67,-6.4,-7,-731.(3′×6=18′) 正整数集合{ …}，负整数集合{ …}，分数集合{ …}， 整数集合{ …}，负数集合{ …}， 正数集合{ …}，2．判断题（2′×7=18′）（1）正整数集合和负整数集合并在一起，构成整数集合. （ ）（2）正数集合和负数集合并在一起，构成有理数集合. （ ）（3）某仓库运出30吨货记作-30吨，则运进20吨货记作+20吨. （ ）（4）如果下降3米记作-3米，那么不升不降记作0米 （ ）（5）31．25不是分数，所以不是有理数. （ ）（6）在小学学过的数的前面添上“-”号，就是负数. （ ）（7）一个物体可以左右移动，设向左移动为正，那么向右移动3m 应记作3m. （ ）3.填空题（3′×16=48′）（1）如果规定中午以后时间为正，那么午后3小时记作 小时，午前4小时记作 小时，中午记作 小时.（2）如果-31元表示支出31元，那么+300元表示 ；（3）某零件的长度比标准长度短,记作,那么比较标准长度多2毫米记作 毫米.（4）甲地海拔60米,乙地海拔10米,丙地海拔-30米,最高的是 地,丙地比甲地低 米,乙地比丙地高 米.（5）如果把增产10%记作+10%,那么减产50%记作 -12% 表示的是.（6）有理数中,最小的正整数是 ,最大的负整数是 .（7）有理数中,是整数而不是正数的是 ,是负数而不是分数的是 .（8）正整数集合与正分数集合并在一起是 数集合,既不是正整数也不是负整数的是 .4.选择题(5′×4=20′)(1)下列四种说法,正确的是 ( ).A.所有的正数都是整数;B.不是正数的数一定是负数;C.正有理数包括整数和分数;D.0不是最小的有理数. (2)下列说法正确的是 ( ).A.有最大的负数,没有最小的正数;B.没有最大的有理数,也没有最小的有理数;C.有最大的非负数,没有最小的非负数;D.有最小的负数,没有最大的正数.(3)零不属于 ( ).A.正数集合;B.有理数集合;C.整数集合;D.非正有理数集合.(4)已知下列各数:-8,2.01,92,3,0,-0.25,-50,1,其中非负数的个数是 ( ) A.2 B.3 【素质优化训练】1.整数和小数统称有理数对吗?为什么?2.字母可以表示数,a 是表示正数,还是表示负数呢?a 究意表示什么数?3.石英钟的产品说明书上,写着“一昼夜的误差小于 ”,你怎样理解?【生活实际运用】小虫从某点O 出发在一直线上来回爬行,假定向右爬行的路程记为正数,向左爬行的路程记为负数,爬过的各段路程依次为(单位:厘米):+5,-3,+10,-8,-6,+12,-10(1)小虫最后是否回到出发点O?(2)小虫离开出发点O最远时是多少厘米?(3)在爬行过程中,如果每爬1厘米奖励一粒芝麻,则小虫一共得到多少粒芝麻?参考答案：【同步达纲练习】2. ××√√×××3.(1)+3,-4,0; (2)收入300元; (3)+2; (4)甲,90,40; (5)-50%,减产12% (6)1,-1 (7)负整数和0,负整数; (8)正有理数,04.(1)D, (2)B, (3)A, (4)D.【素质优化训练】1.不对,因为小数包括无限不循环小数,而无限不循小数不能化成分数;2.a 可以是正数,也可以是负数,还可以是0,a表示有理数;3.表明石英钟走24小时,快或慢都小于0.5秒,“+”通常表示快，“-”通常表示慢.【生活实际运用】（1）小虫最后回到出发点O；（2）12cm;（3）54粒数轴和相反数一、数轴：1. 数轴的定义数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线。
其中，原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素。
