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第一章 激光的基本原理1. 为使He-Ne 激光器的相干长度达到1km ,它的单色性0/λλΔ应是多少? 提示: He-Ne 激光器输出中心波长632.8o nm λ= 解: 根据c λν=得 2cd d d d ννλνλλ=−⇒=−λ 则 ooνλνλΔΔ=再有 c c c L c τν==Δ得106.32810o o o c o c cL L λλνλνν−ΔΔ====× 2. 如果激光器和微波激射器分别在=10μm λ、=500nm λ和=3000MHz ν输出1W 连续功率，问每秒从激光上能级向下能级跃迁的粒子数是多少？解：设输出功率为P ，单位时间内从上能级向下能级跃迁的粒子数为n ，则：cP nh nh νλ==由此可得： PP n h hcλν==其中为普朗克常数，为真空中光速。
346.62610J s h −=×⋅8310m/s c =×所以，将已知数据代入可得：=10μm λ时： 19-1=510s n ×=500nm λ时：18-1=2.510s n ×=3000MHz ν时：23-1=510s n ×3．设一对激光能级为2E 和1E (21f f =)，相应的频率为ν(波长为)，能级上的粒子数密度分别为n 和，求λ21n (a) 当ν=3000MHz ，T=300K 时，21/?n n = (b) 当，T=300K 时，λ=1μm 21/?n n = (c) 当，n n 时，温度T=？λ=1μm 21/0.1=解：当物质处于热平衡状态时，各能级上的粒子数服从玻尔兹曼统计分布,则2211()exp exp exp b b n E E h h n k T k T k νb c T λ⎡⎤⎛⎞⎛−=−=−=−⎜⎟⎜⎢⎥⎣⎦⎝⎠⎝⎞⎟⎠(a) 当ν=3000MHz ，T=300K 时：3492231 6.62610310exp 11.3810300n n −−⎛⎞×××=−≈⎜⎟××⎝⎠(b) 当，T=300K 时： λ=1μm 34822361 6.62610310exp 01.381010300n n −−−⎛⎞×××=−≈⎜⎟×××⎝⎠(c) 当，n n 时：λ=1μm 21/0.1=C 3+r −×cm348323612 6.62610310 6.2610K ln(/) 1.381010ln10b hc T k n n λ−−−×××===××××4. 在红宝石调Q 激光器中，有可能将几乎全部离子激发到激光上能级并产生激光巨脉冲。
激光原理习题答案激光是一种特殊的光源，它具有高度的单色性、相干性、方向性和亮度。
激光的产生基于受激辐射原理，即当原子或分子被激发到高能级状态后，受到外部光子的激发，以相同的频率、相位和方向释放出光子。
以下是一些激光原理习题的答案：1. 激光的产生条件：- 粒子数反转：在激光介质中，高能级上的粒子数必须大于低能级上的粒子数。
- 光学谐振腔：激光器内部需要有一个反射镜和一个半反射镜构成的谐振腔，以形成反馈机制。
2. 激光的分类：- 固体激光器：如红宝石激光器、Nd:YAG激光器等。
- 气体激光器：如氦氖激光器、CO2激光器等。
- 半导体激光器：也称为激光二极管，广泛应用于通信和数据存储。
3. 激光的特性：- 单色性：激光的波长非常窄，颜色非常纯净。
- 相干性：激光的光波具有相同的频率和相位。
- 方向性：激光束具有很好的方向性，发散角很小。
4. 激光的应用：- 医学：用于手术切割、治疗等。
- 工业：用于材料加工，如焊接、切割、打标等。
- 通信：光纤通信中使用激光作为信号载体。
5. 激光的安全问题：- 激光可能对眼睛造成损伤，使用时应采取适当的防护措施。
- 激光器应按照安全等级分类，并遵守相应的操作规程。
6. 激光器的工作原理：- 泵浦源提供能量，将介质中的粒子激发到高能级。
- 高能级粒子在受到外部光子的激发下，通过受激辐射释放出光子。
- 释放的光子在谐振腔中来回反射，不断被放大，最终形成激光束输出。
7. 激光的调制和调Q技术：- 调制：通过改变激光的参数（如频率、强度）来传输信息。
- 调Q：通过改变谐振腔的品质因数，实现激光脉冲的压缩和放大。
8. 激光的光谱特性：- 激光的光谱非常窄，通常用线宽来描述。
- 线宽越窄，激光的单色性越好。
9. 激光的相干长度：- 相干长度是激光在保持相干性的情况下能够传播的最大距离。
10. 激光的发散角：- 发散角是激光束在传播过程中的扩散程度，与激光的模式有关。
以上是一些基本的激光原理习题答案，希望能够帮助理解激光的基本原理和特性。
第二章5）激发态的原子从能级E2跃迁到E1时，释放出m μλ8.0=的光子，试求这两个能级间的能量差。
若能级E1和E2上的原子数分别为N1和N2，试计算室温（T=300K ）时的N2/N1值。
【参考例2-1，例2-2】 解：（1）J hcE E E 206834121098.310510310626.6---⨯=⨯⨯⨯⨯==-=∆λ （2）52320121075.63001038.11098.3exp ---∆-⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯-==T k Eb e N N10）激光在0.2m 长的增益物质中往复运动过程中，其强度增加饿了30%。
试求该物质的小信号增益系数0G .假设激光在往复运动中没有损耗。
104.0*)(0)(0m 656.03.1,3.13.014.02*2.0z 0000---=∴===+=====G e e I I me I I G z G ZzG Z ααα即且解：第三章2．CO 2激光器的腔长L=100cm ，反射镜直径D=1.5cm ，两镜的光强反射系数分别为r 1=0.985，r 2=0.8。
求由衍射损耗及输出损耗分别引起的δ、τc 、Q 、∆νc (设n=1) 解：衍射损耗:1880107501106102262.).(.a L =⨯⨯⨯=λ=δ-- s ..c L c 881075110318801-⨯=⨯⨯=δ=τ输出损耗:1190809850502121.)..ln(.r r ln =⨯⨯-=-=δ s ..c L c 881078210311901-⨯=⨯⨯=δ=τ4.分别按图(a)、(b)中的往返顺序，推导旁轴光线往返一周的光学变换矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D C B A ，并证明这两种情况下的)(21D A +相等。
（a ）（b ）解： 矩阵乘法的特点：1、只有当乘号左边的矩阵（称为左矩阵）的列数和乘号右边的矩阵（右矩阵）的行数相同时，两个矩阵才能相乘；这条可记为左列=右行才能相乘。
激光原理及应用部分课后答案1-4为使He-Ne 激光器的相干长度达到1KM ，它的单色性0λλ∆应是多少？2-2当每个模式内的平均光子数（光子简并数）大于1时，以受激辐射为主。
2-3如果激光器和微波激射器分别在um 10=λm 500n =λ和z 3000MH =ν输出1W 连续功率，问美秒从激光上能级向下能级跃迁的粒子数是多少？2-4当一对激光能级为E2和E1（f1=f2），相应的频率为v （波长为λ），能级上的粒子数密度分别为n2和n1,q 求：（1）当v=3000MHZ ，T=3000K 时，n2/n1=？（2）当λ=1um ，T=3000K 时，n2/n1=？（3）当λ=1um ，n2/n1=0时，温度T=？解：2-5激发态的原子从能级E2跃迁到E1时，释放出λ=5um的光子，求这个两个能级的能量差。
若能级E1和E2上的原子数分别为N1和N2，试计算室温T=300K的N2/N值。
2-7如果工作物质的某一跃迁是波长为100nm的远紫外光，自发辐射跃迁概率1621s10-=A，试问：（1）改跃迁的受激辐射爱因斯坦系数B21是多少？（2）为使受激辐射跃迁概率比自发辐射跃迁概率大三倍，腔内的单色能量密度νρ应为多少？2-9某一物质受光照射，沿物质传播1mm的距离时被吸收了1%，如果该物质的厚度是0.1m,那么入射光中有百分之几能通过该物质？并计算该物质的吸收系数α。
2-10激光在0.2m 长的增益介质中往复运动过程中，其增强了30%。
求该介质的小信号增益系数0G 。
假设激光在往复运动中没有损耗。
3-2CO2激光器的腔长L=100cm,反射镜直径D=1.5cm,两镜的光强反射系数分别为r1=0.985,r2=0.8.求由衍射损耗及输出损耗所分别引起的δ，τ。
3-4，分别按下图中的往返顺序，推导近轴光线往返一周的光学变换矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D C B A ，并证明这两种情况下的）（D A +21相等。
1、试证明：由于自发辐射，原子在E2能级的平均寿命211/s A τ=。
(20分)证明：根据自发辐射的性质，可以把由高能级E2的一个原子自发地跃迁到E1的自发跃迁几率21A 表示为212121()spdn A dt n = （1）式中21()spdn 表示由于自发跃迁引起的由E2向E1跃迁的原子数因在单位时间内能级E2所减少的粒子数为221()sp dn dn dt dt =- （2）把（1）代入则有2212dn A n dt =- （3）故有22021()exp()n t n A t =- （4）自发辐射的平均寿命可定义为22001()s n t dt n τ∞=⎰ （5）式中2()n t dt为t 时刻跃迁的原子已在上能级上停留时间间隔dt 产生的总时间，因此上述广义积分为所有原子在激发态能级停留总时间，再按照激发态能级上原子总数平均，就得到自发辐射的平均寿命。
将（4）式代入积分（5）即可得出210211exp()s A t dt A τ∞=-=⎰2、一光束通过长度为1m 的均匀激励的工作物质，如果出射光强是入射光强的两倍，试求该物质的增益系数。
(20分)解： 若介质无损耗，设在光的传播方向上z 处的光强为I(z)，则增益系数可表示为()1()dI z g dz I z =故()(0)exp()I z I gz =根据题意有(1)2(0)(0)exp(1)I I I g ==⨯解得1ln(2)0.693g cm -==3、某高斯光束0 1.2,10.6.mm um ωλ==今用F=2cm 的锗透镜来聚焦,当束腰与透镜的距离为10m,1m,0时,求焦斑大小和位置,并分析结果 (30分)解：由高斯光束q 参数的变化规律有(参书P77: 图2.10.3) 在z=0 处200(0)/q q i πωλ== （1）在A 处（紧挨透镜L 的“左方”）(0)A q q l=+ （2）在B 处（紧挨透镜L 的“右方”）111B A q q F =-（3）在C 处C B Cq q l =+ （4）又高斯光束经任何光学系统变换时服从所谓ABCD 公式，由此得00C Aq Bq Cq D +=+ （5）其中1101011/101C A B l l C D F ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （6）则222220022222200()()()()()()()C C l F l F q l F i F l F l πωπωλλπωπωλλ--=++-+-+ （7）在像方高斯光束的腰斑处有{}Re 1/0C q =，得2202220()()0()()C l F l l F F l πωλπωλ--+=-+ （8）解得像方束腰到透镜的距离2'2220()()()C F l F l l F F l πωλ-==+-+ （9）将（9）代入（8）得出22220()()()C F l F q iF l πωλ-=-+ （10）由此求得220'222001111Im (1)()C l q F F πωπωλωλ⎧⎫=-=-+⎨⎬⎩⎭ （11。
激光原理复习题第一章电磁波1、麦克斯韦方程中麦克斯韦方程最重要的贡献之一是揭示了电磁场的内在矛盾和运动；不仅电荷和电流可以激发电磁场，而且变化的电场和磁场也可以相互激发。
在方程组中是如何表示这一结果？答：每个方程的意义：1）第一个方程为法拉第电磁感应定律，揭示了变化的磁场能产生电场。
2）第二个方程则为Maxwell的位移电流假设。
这组方程描述了电荷和电流激发电磁场、以及变化的电场与变化的磁场互相激发转化的普遍规律。
第二个方程是全电流安培环路定理，描述了变化的电场激发磁场的规律，表示传导电流和位移电流（即变化的电场）都可以产生磁场。
第二个方程意味着磁场只能是由一对磁偶极子激发，不能存在单独的磁荷（至少目前没有发现单极磁荷）3）第三个方程静电场的高斯定理：描述了电荷可以产生电场的性质。
在一般情况下，电场可以是库仑电场也可以是变化磁场激发的感应电场，而感应电场是涡旋场，它的电位移线是闭合的，对封闭曲面的通量无贡献。
4）第四个方程是稳恒磁场的高斯定理，也称为磁通连续原理。
2、产生电磁波的典型实验是哪个？基于的基本原理是什么？答：赫兹根据电容器经由电火花隙会产生振荡原理设计的电磁波发生器实验。
（赫兹将一感应线圈的两端接于产生器二铜棒上。
当感应线圈的电流突然中断时，其感应高电压使电火花隙之间产生火花。
瞬间后，电荷便经由电火花隙在锌板间振荡，频率高达数百万周。
有麦克斯韦理论，此火花应产生电磁波，于是赫兹设计了一简单的检波器来探测此电磁波。
他将一小段导线弯成圆形，线的两端点间留有小电火花隙。
因电磁波应在此小线圈上产生感应电压，而使电火花隙产生火花。
所以他坐在一暗室内，检波器距振荡器10米远，结果他发现检波器的电火花隙间确有小火花产生。
赫兹在暗室远端的墙壁上覆有可反射电波的锌板，入射波与反射波重叠应产生驻波，他也以检波器在距振荡器不同距离处侦测加以证实。
赫兹先求出振荡器的频率，又以检波器量得驻波的波长，二者乘积即电磁波的传播速度。
第一章P23-1解:由cλν=,可得2cd d d λλνννν=-=- 考虑波长和频率变化的绝对值λ∆、ν∆,有λνλν∆∆=相干长度可知在时，有在 时，在P23-3解：（a ）1C L km =500n m λ=3000MHz ν=(c) 如，可得，P23-4解：题中Cr +3离子浓度193210n cm -=⨯，对应激光跃迁的上下能级简并度相同，在Cr +3离子几乎全部激发到上能级时反转粒子数浓度19321210n n n cm -∆=-≈⨯，当损耗突然变小2L Q c πνδ'=变大时19321210022t n nn cm n n n -∆≈⨯>>∆=-≈-=， 假设在巨脉冲宽度10ns 时间内反转粒子数浓度从1932100cm -⨯约降到，这一过程有约2nV个上能级的Cr +3离子通过受激辐射跃迁至下能级并产生一个光子，因而可得激光输出能量216.8242n d n cE V h v l h J πλ=⋅⋅=⋅⋅≈ 得脉冲功率 9816.81.71010E P W t -==≈⨯∆注：红宝石为三能级结构，激光跃迁下能级为基态，当上能级粒子数浓度为总粒子数浓度一半时反转粒子数浓度等于0，此后仍处于上能级的粒子将在～2τ时间内通过自发辐射跃迁和无辐射跃迁的形式回到基态下能级。
另外，即使对于四能级系统的调Q 激光器，当调Q 的巨脉冲持续时间很短时，激光跃迁的下能级粒子数浓度也不能近似为0来处理，这时在巨脉冲持续阶段接近三能级情形。
巨脉冲消失后处于上能级的粒子将通过一定程度的放大的自发辐射（ASE ）、自发辐射跃迁及无辐射跃迁等形式回到下能级。
P23－6解：（1）能级E 4的分子通过自发辐射跃迁到三个较低能级，有()43442414434241()()sp spsp dn dn t dn dn n t A A A dt dt dt dt ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=-⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 可得：()434241444040()s tA A A tn t n en eτ--++=⋅=⋅分子在E 4的自发辐射寿命8477743424111 1.110510110310s s A A A τ-==≈⨯++⨯+⨯+⨯ （2）在对能级E 4连续激发并达到稳态时，四个能级的分子数都保持动态平衡，即单位时间从E 4能级跃迁到各下能级的分子数等于单位时间各能级减少的分子数，假设各能级简并度（统计权重）相等，对E 1能级有：441111n A n τ⋅=⋅，771411431051015n A n τ-=⋅=⨯⨯⨯= 同样可得：79242241106100.06n A n τ-=⋅=⨯⨯⨯= 78343345101100.5n A n τ-=⋅=⨯⨯⨯= 进一步可得 2243340.060.120.5n n n n n n ===可知，在E 2能级和E 4能级、在E 3能级和E 4能级、在E 2能级和E 3能级之间有集居数反转。
《激光原理》习题解答第一章习题解答1 为了使氦氖激光器的相干长度达到1KM ，它的单色性0λλ∆应为多少？解答：设相干时间为τ，则相干长度为光速与相干时间的乘积，即c L c ⋅=τ根据相干时间和谱线宽度的关系cL c ==∆τν1又因为γνλλ∆=∆，0λνc=，nm 8.6320=λ由以上各关系及数据可以得到如下形式： 单色性=ννλλ∆=∆=c L 0λ=101210328.61018.632-⨯=⨯nmnm解答完毕。
2 如果激光器和微波激射器分别在10μｍ、500nm 和Z MH 3000=γ输出1瓦连续功率，问每秒钟从激光上能级向下能级跃迁的粒子数是多少。
解答：功率是单位时间内输出的能量，因此，我们设在dt 时间内输出的能量为dE ，则 功率=dE/dt激光或微波激射器输出的能量就是电磁波与普朗克常数的乘积，即d νnh E =，其中n 为dt 时间内输出的光子数目，这些光子数就等于腔内处在高能级的激发粒子在dt 时间辐射跃迁到低能级的数目（能级间的频率为ν）。
由以上分析可以得到如下的形式：ννh dth dE n ⨯==功率 每秒钟发射的光子数目为：N=n/dt,带入上式，得到：()()()13410626.61--⨯⋅⨯====s s J h dt n N s J νν功率每秒钟发射的光子数根据题中给出的数据可知：z H mms c13618111031010103⨯=⨯⨯==--λν z H mms c1591822105.110500103⨯=⨯⨯==--λν z H 63103000⨯=ν把三个数据带入，得到如下结果：19110031.5⨯=N ，182105.2⨯=N ，23310031.5⨯=N3 设一对激光能级为E1和E2（f1=f2），相应的频率为ν（波长为λ），能级上的粒子数密度分别为n2和n1，求(a)当ν=3000兆赫兹，T=300K 的时候，n2/n1=? (b)当λ=1μm ，T=300K 的时候，n2/n1=? (c)当λ=1μm ，n2/n1=0.1时，温度T=？解答:在热平衡下，能级的粒子数按波尔兹曼统计分布，即：TK E E T k h f f n n b b )(expexp 121212--=-=ν（统计权重21f f =） 其中1231038062.1--⨯=JK k b为波尔兹曼常数，T 为热力学温度。
(a)()()99.01038062.110626.6exp exp 1233412=⨯⋅⨯⨯⋅⨯-=-=---Tk J s J T k h n n b νν (b) ()()2112334121038.11038062.110626.6exp exp ----⨯=⨯⋅⨯⨯⋅⨯-=-=Tk J cs J T k h n n b λν(c) ()K n n k cs J n n k h T b b 31234121026.6ln10626.6ln⨯=⨯⨯⋅⨯-=⨯-=-λν4 在红宝石调Q 激光器中，有可能将几乎全部3+r C 离子激发到激光上能级并产生激光巨脉冲。
设红宝石棒直径为1cm ，长度为7.5cm ，3+rC 离子浓度为319102-⨯cm ，巨脉冲宽度为10ns ，求激光的最大能量输出和脉冲功率。
解答：红宝石调Q 激光器在反转能级间可产生两个频率的受激跃迁，这两个跃迁几率分别是47%和53%，其中几率占53%的跃迁在竞争中可以形成694.3nm 的激光，因此，我们可以把激发到高能级上的粒子数看成是整个激发到高能级的3+r C 粒子数的一半（事实上红宝石激光器只有一半的激发粒子对激光有贡献）。
设红宝石棒长为L ，直径为d ，体积为V ，3+rC 总数为N ，3+rC 粒子的浓度为n ，巨脉冲的时间宽度为τ，则3+rC 离子总数为：42Ld n V n N π⨯=⨯=根据前面分析部分，只有N/2个粒子能发射激光，因此，整个发出的脉冲能量为：=⨯=⨯=νπνh nLd h N E 822脉冲功率是单位时间内输出的能量，即===τνπτ82h nLd EP 解答完毕。
5 试证明，由于自发辐射，原子在2E 能级的平均寿命为211A s=τ。
证明如下：根据自发辐射的定义可以知道，高能级上单位时间粒子数减少的量，等于低能级在单位时间内粒子数的增加。
即：spdt dn dt dn ⎪⎭⎫⎝⎛-=212 ---------------① （其中等式左边表示单位时间内高能级上粒子数的变化，高能级粒子数随时间减少。
右边的表示低能级上单位时间内接纳的从高能级上自发辐射下来的粒子数。
） 再根据自发辐射跃迁几率公式：221211n dt dn A ⨯=，把22121n A dt dn sp=⎪⎭⎫⎝⎛代入①式， 得到：2212n A dtdn -= 对时间进行积分，得到：()t A n n 21202exp -= （其中2n 随时间变化，20n 为开始时候的高能级具有的粒子数。
）按照能级寿命的定义，当1202-=e n n 时，定义能量减少到这个程度的时间为能级寿命，用字母s τ表示。
因此，121=s A τ，即： 211A s =τ证明完毕6 某一分子的能级E 4到三个较低能级E 1 E 2 和E 3的自发跃迁几率分别为A 43=5*107s -1, A 42=1*107s -1,A 41=3*107s -1，试求该分子E 4能级的自发辐射寿命τ4。
若τ1=5*10-7s ，τ2=6*10-9s ，τ3=1*10-8s ，在对E 4连续激发且达到稳态时，试求相应能级上的粒子数比值n 1/n 4, n 2/n 4和n 3/n 4，并说明这时候在哪两个能级间实现了集居数解: (1)由题意可知E 4上的粒子向低能级自发跃迁几率A4为:sA A A A 77774342414109103101105⨯=⨯+⨯+⨯=++=-1则该分子E 4能级的自发辐射寿命：s A 8744101.110911-⨯=⨯==τ 结论:如果能级u 发生跃迁的下能级不止1条,能级u 向其中第i 条自发跃迁的几率为A ui 则能级u 的自发辐射寿命为:∑=iuiN A 1τ(2)对E 4连续激发并达到稳态,则有:04321=∆=∆=∆=∆n n n n 414111A n n =τ,424221A n n =τ,434331A n n =τ （上述三个等式的物理意义是：在只考虑高能级自发辐射和间有受激吸收过程，见图）宏观上表现为各能级的粒子数没有变化 由题意可得:414111A n n =τ,则151051037714141=⨯⨯⨯==--τA n n同理：06.01061019724242=⨯⨯⨯==--τA n n ，5.01011058734343=⨯⨯⨯==--τA n n进一步可求得: 25021=n n ，12.032=n n由以上可知:在 E 2和E 4;E 3和E 4;E 2和E 3能级间发生了粒子数反转.7 证明，当每个模式内的平均光子数（光子简并度）大于1时，辐射光中受激辐射占优势。
证明如下：按照普朗克黑体辐射公式，在热平衡条件下，能量平均分配到每一个可以存在的模上，即γλγh n Tk h h E b ⋅=-=1exp （n 为频率为γ的模式内的平均光子数）由上式可以得到：1exp 1-⋅==Tk h h E n b γγ又根据黑体辐射公式：n c h T k h T k h ch b b ==-⇒-⨯=333381exp 11exp 18γπργγγπργγ 根据爱因斯坦辐射系数之间的关系式2121338B A ch =γπ和受激辐射跃迁几率公式γρ2121B W =，则可以推导出以下公式：212121212121338A W A B B A c h n====γγγρργπρ如果模内的平均光子数（n ）大于1，即 12121>=A W n ，则受激辐射跃迁几率大于自发辐射跃迁几率，即辐射光中受激辐射占优势。
证明完毕8 一质地均匀的材料对光的吸收系数为101.0-mm ，光通过10cm 长的该材料后，出射光强为入射光强的百分之几？如果一束光通过长度为1M 地均匀激励的工作物质，如果出射光强是入射光强的两倍，试求该物质的4增益系数。
解答：设进入材料前的光强为0I ，经过z 距离后的光强为()z I ，根据损耗系数()()z I dzz dI 1⨯-=α的定义，可以得到：()()z I z I α-=exp 0则出射光强与入射光强的百分比为：()()()%8.36%100%100exp %10010001.001=⨯=⨯-=⨯=⨯--mm mm z e z I z I k α根据小信号增益系数的概念：()()z I dz z dI g 10⨯=，在小信号增益的情况下， 上式可通过积分得到()()()()14000000001093.610002ln lnln exp exp --⨯====⇒=⇒=⇒=m m z I z I g I z I z g I z I z g z g I z I 解答完毕。
《激光原理》习题解答第二章习题解答1 试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限次，而且两次往返即自行闭合.证明如下：（共焦腔的定义——两个反射镜的焦点重合的共轴球面腔为共焦腔。
共焦腔分为实共焦腔和虚共焦腔。
公共焦点在腔内的共 焦腔是实共焦腔，反之是虚共焦腔。
两个反射镜曲率相等的共焦腔称为对称共焦腔，可以证明，对称共焦腔是实双凹腔。
）根据以上一系列定义，我们取具对称共焦腔为例来证明。
设两个凹镜的曲率半径分别是1R 和2R ，腔长为L ，根据对称共焦腔特点可知：L R R R ===21因此，一次往返转换矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=211121222121221221221R L R L R L R L R R R L L R L D C B A T把条件L R R R ===21带入到转换矩阵T ，得到：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001D C B A T 共轴球面腔的稳定判别式子()1211<+<-D A如果()121-=+D A 或者()121=+D A ，则谐振腔是临界腔，是否是稳定腔要根据情况来定。
本题中 ，因此可以断定是介稳腔（临界腔），下面证明对称共焦腔在近轴光线条件下属于稳定腔。
经过两个往返的转换矩阵式2T ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10012T坐标转换公式为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1111112221001θθθθr r r T r 其中等式左边的坐标和角度为经过两次往返后的坐标，通过上边的式子可以看出，光线经过两次往返后回到光线的出发点，即形成了封闭，因此得到近轴光线经过两次往返形成闭合，对称共焦腔是稳定腔。
