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实际问题与二次函数教学内容22.3 实际问题与二次函数（3）．教学目标1．根据不同条件建立合适的直角坐标系．2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．教学重点1．根据不同条件建立合适的直角坐标系．2．将实际问题转化成二次函数问题．教学难点将实际问题转化成二次函数问题．教学过程一、导入新课复习二次函数y＝ax2的性质和特点，导入新课的教学．二、新课教学探究3 下图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4 m．水面下降1 m，水面宽度增加多少?教师引导学生审题，然后根据条件建立直角坐标系．怎样建立直角坐标系呢？因为二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．为解题简便,以抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系．教师可让学生自己建立直角坐标系，然后求出二次函数的解析式．设这条抛物线表示的二次函数为y ＝ax 2．由抛物线经过点（2，－2),可得这条抛物线表示的二次函数为y ＝－21x 2． 当水面下降1m 时，水面宽度就增加26－4 m ．三、巩固练习 一个涵洞成抛物线形，它的截面如右图所示，现测得，当水面宽AB ＝1。
6 m 时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m ．这时，离开水面1。
5 m 处，涵洞宽ED 是多少？是否会超过1 m ？分析：根据已知条件，要求ED 的宽，只要求出FD 的长度．在如右图的直角坐标系中，即只要求出D 点的横坐标．因为点D 在涵洞所成的抛物线上,又由已知条件可得到点D 的纵坐标，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D 的横坐标．2．让学生完成解答，教师巡视指导．3．教师分析存在的问题，书写解答过程．解：以AB 的垂直平分线为y 轴，以过点O 的y 轴的垂线为x 轴,建立直角坐标系．这时，涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为 y ＝ax 2 （a ＜0） ①因为AB 与y 轴相交于C 点,所以CB ＝错误!＝0。
22.3实际问题与二次函数同步练习第3课时建立适当坐标系解决实际问题一、选择题1.如图,某拱桥呈抛物线形状,桥的最大高度是16米,跨度是40米,则在线段AB上离中心M处5米的地方,桥的高度是()A.15米B.14米C.13米D.12米第1题图第2题图2.某公园草坪的防护栏是由150段形状相同的抛物线组成的.如图是其中一段抛物线,为了牢固起见,每段护栏需要间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱,防护栏的最高点距底部0.5 m,则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为()A.240 mB.200 mC.160 mD.150 m3.小明在进行物理实验时竖直向上抛一个小球,小球上升的高度h(m)与运动时间t(s)的函数关系式为h＝at2＋bt,图象如图所示.若小球在抛出后第2 s与第6 s时的高度相等,则下列时刻中小球的高度最高的是()A.第3 sB.第3.9 sC.第4.5 sD.第6.5 s4.滑雪者从山坡上滑下,其滑行距离s(m)与滑行时间t(s)之间的关系可以近似地用二次函数刻画,其图象如图所示,根据图象,当滑行时间为4 s时,滑行距离为()A.40 mB.48 mC.56 mD.72 m5.位于中国贵州省内的射电望远镜(FAST)是目前世界上口径最大、精度最高的望远镜.根据有关资料显示,该望远镜的轴截面呈抛物线状,口径AB为500米,最低点C到口径面AB的距离是100米.若按如图2建立平面直角坐标系,则抛物线的解析式是()A .y ＝1625x 2－100 B .y ＝－1625x 2－100 C .y ＝1625x 2D .y ＝－1625x 26.超市有一种果冻礼盒,内装两个上下倒置的果冻,果冻高为4 cm,底面是个直径为6 cm 的圆,轴截面可以近似地看作一个抛物线.为了节省成本,包装应尽可能的小,这个包装盒的长AD (不计重合部分,两个果冻之间没有挤压)至少为( )A.(6+3√2)cmB.(6+2√3)cmC.(6+2√5)cmD.(6+3√5)cm7.(2020·山西)竖直上抛物体离地面的高度h (m)与运动时间t (s)之间的关系可以近似地用公式h ＝－5t 2＋v 0t ＋h 0表示，其中h 0(m)是物体抛出时离地面的高度，v 0(m/s)是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5 m 的高处以20 m/s 的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为( ) A ．23.5 m B ．22.5 m C ．21.5 mD ．20.5 m8.(中考·临沂)足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h (单位：m)与足球被踢出后经过的时间t (单位：s)之间的关系如下表：下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m ；②足球飞行路线的对称轴是直线t ＝92； ③足球被踢出9 s 时落地；④足球被踢出1.5 s 时，距离地面的高度是11 m. 其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．49.(中考·巴中)一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4 m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5 m 时，达到最大高度3.5 m ，然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05 m ，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是( )A ．此抛物线对应的解析式是y ＝－15x 2＋3.5 B ．篮圈中心的坐标是(4，3.05) C ．此抛物线的顶点坐标是(3.5，0) D ．篮球出手时离地面的高度是2 m10.(2020·绵阳)三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同(如图)．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米．若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为( )A ．43米B ．52米C ．213米D ．7米 二、填空题11.图1是一款优雅且稳定的抛物线型落地灯.防滑螺母C 为抛物线支架的最高点,灯罩D 距离地面1.86 m,灯柱AB 及支架的相关数据如图2所示.若茶几摆放在灯罩的正下方,则茶几到灯柱的距离AE 为 m .12.某飞机着陆后滑行的路程s (m)与滑行时间t (s)的函数关系式为s ＝60t －1.5t 2,则飞机着陆后直至完全停下来,滑行了 m .13.一位运动员在距篮下4m 处跳起投篮,球运行的路线是抛物线.当球运行的水平距离为2.5m 时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮圈.如图所示,已知篮圈中心到地面的距离为3.05m,该运动员身高1.9m .在这次跳投中,球在头顶上方0.25m 处出手,则球出手时,他跳离地面的高度是 .14.如图,小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子,给他做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米,绳子自然下垂呈抛物线状.身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点到地面的距离为米.15.(中考·武汉)飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解析式是y＝60t－32t2.在飞机着陆滑行中，最后4 s滑行的距离是________m.三、解答题16.如图是丁丁设计的一款杯子的平面图,建立平面直角坐标系后杯子的上半部分是二次函数y＝2x2＋8的图象的一部分.若AB＝4,DE＝3,求杯子的高CE.17.如图,一名男生推铅球,铅球行进的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是二次函数的关系.铅球行进起点的高度为53m,行进到水平距离为4 m时达到最高处,最大高度为3 m.(1)以地面为x轴,以过铅球行进起点且垂直于地面的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,求该二次函数的解析式(化成一般形式);(2)求铅球推出的距离.18.如图,某隧道的横截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是8 m 、宽是2 m,抛物线的解析式为y ＝－14x 2＋4.一辆高4 m 、宽2 m 的货车正准备进入该隧道. (1)如果该隧道为单行道,这辆货车能安全通过吗?(2)如果该隧道内设双行道,中间遇车间隙为0.4 m,那么这辆货车是否可以通过?19.如图1,在地面上有两根等长的立柱AB ,CD ,它们之间悬挂了一根抛物线形状的绳子,按照图中的平面直角坐标系,这条绳子可以用y=110x 2－45x+3表示. (1)求这条绳子的最低点到地面的距离;(2)现由于实际需要,要在两根立柱之间再加一根立柱EF 对绳子进行支撑(如图2),已知立柱EF 到AB 的距离为3 m,两旁的绳子也是抛物线形状,且立柱EF 左侧绳子的最低点到EF 的距离为1 m,到地面的距离为1.8 m,求立柱EF 的长.20.如图，需在一面墙上绘制几个相同的“抛物线”形图案．按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用y ＝ax 2＋bx (a ≠0)表示．已知抛物线上B ，C 两点到地面的距离均为34m ，到墙边OA 的距离分别为12m ，32m.(1)求该抛物线对应的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离；(2)若该墙的长度为10m ，则最多可以连续绘制几个这样的“抛物线”形图案？21.(2020·绍兴)如图①，排球场长为18 m ，宽为9 m ，网高为2.24 m ，队员站在底线O 点处发球，球从点O 的正上方1.9 m 的C 点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A 时，高度为2.88 m ，即BA ＝2.88 m ，这时水平距离OB ＝7 m ，以直线OB 为x 轴，直线OC 为y 轴，建立平面直角坐标系，如图②所示．(1)若球向正前方运动(即x 轴垂直于底线)，求球运动的高度y (m)与水平距离x (m)之间的函数关系式(不必写出x 的取值范围)．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由．(2)若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P (如图①，点P 距底线1 m ，边线0.5 m)，问发球点O 在底线上的哪个位置(参考数据：2取1.4)?22.(2020·台州)用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观如图①.科学原理：如图②，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H(单位：cm)，如果在离水面竖直距离为h(单位：cm)的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程(水流落地点离小孔的水平距离)s(单位：cm)与h的关系为s2＝4h(H－h)．应用思考：现用高度为20 cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离h cm处开一个小孔．(1)写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？(2)在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b(单位：cm)，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式．(3)如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16 cm，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离．23.某校进行了一场足球比赛,比赛场上守门员小王在O处开出一高球,球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上),运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M,距地面约4米高,球落地后又一次弹起.据试验测算,足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同,最大高度减少到原来最大高度的一半.(1)求足球开始飞出到第一次落地时,该抛物线的解析式.(2)足球第一次落地点C距守门员多少米?(取4√3≈7)(3)运动员乙要抢到足球第二个落地点D,他应再向前跑多少米?(取2√6≈5)参考答案一、选择题1.如图,某拱桥呈抛物线形状,桥的最大高度是16米,跨度是40米,则在线段AB上离中心M处5米的地方,桥的高度是(A)A.15米B.14米C.13米D.12米第1题图第2题图2.某公园草坪的防护栏是由150段形状相同的抛物线组成的.如图是其中一段抛物线,为了牢固起见,每段护栏需要间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱,防护栏的最高点距底部0.5 m,则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为(A)A.240 mB.200 mC.160 mD.150 m3.小明在进行物理实验时竖直向上抛一个小球,小球上升的高度h(m)与运动时间t(s)的函数关系式为h＝at2＋bt,图象如图所示.若小球在抛出后第2 s与第6 s时的高度相等,则下列时刻中小球的高度最高的是(B)A.第3 sB.第3.9 sC.第4.5 sD.第6.5 s4.滑雪者从山坡上滑下,其滑行距离s(m)与滑行时间t(s)之间的关系可以近似地用二次函数刻画,其图象如图所示,根据图象,当滑行时间为4 s时,滑行距离为(B)A.40 mB.48 mC.56 mD.72 m5.位于中国贵州省内的射电望远镜(FAST)是目前世界上口径最大、精度最高的望远镜.根据有关资料显示,该望远镜的轴截面呈抛物线状,口径AB为500米,最低点C到口径面AB的距离是100米.若按如图2建立平面直角坐标系,则抛物线的解析式是(A)A .y ＝1625x 2－100 B .y ＝－1625x 2－100 C .y ＝1625x 2D .y ＝－1625x 2 6.超市有一种果冻礼盒,内装两个上下倒置的果冻,果冻高为4 cm,底面是个直径为6 cm 的圆,轴截面可以近似地看作一个抛物线.为了节省成本,包装应尽可能的小,这个包装盒的长AD (不计重合部分,两个果冻之间没有挤压)至少为( A )A.(6+3√2)cmB.(6+2√3)cmC.(6+2√5)cmD.(6+3√5)cm7.(2020·山西)竖直上抛物体离地面的高度h (m)与运动时间t (s)之间的关系可以近似地用公式h ＝－5t 2＋v 0t ＋h 0表示，其中h 0(m)是物体抛出时离地面的高度，v 0(m/s)是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5 m 的高处以20 m/s 的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为( C ) A ．23.5 m B ．22.5 m C ．21.5 mD ．20.5 m8.(中考·临沂)足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h (单位：m)与足球被踢出后经过的时间t (单位：s)之间的关系如下表：下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m ；②足球飞行路线的对称轴是直线t ＝92； ③足球被踢出9 s 时落地；④足球被踢出1.5 s 时，距离地面的高度是11 m. 其中正确结论的个数是( B ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．49.(中考·巴中)一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4 m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5 m 时，达到最大高度3.5 m ，然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05 m ，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是( )A ．此抛物线对应的解析式是y ＝－15x 2＋3.5 B ．篮圈中心的坐标是(4，3.05) C ．此抛物线的顶点坐标是(3.5，0) D ．篮球出手时离地面的高度是2 m【点拨】A.∵抛物线的顶点坐标为(0，3.5)，∴可设抛物线对应的函数解析式为y ＝ax 2＋3.5. ∵篮圈中心(1.5，3.05)在抛物线上，将它的坐标代入上式，得3.05＝a ×1.52＋3.5，∴a ＝－15.∴y ＝－15x 2＋3.5.故本选项正确．B ．由题图知，篮圈中心的坐标是(1.5，3.05)，故本选项错误．C ．由题图知，此抛物线的顶点坐标是(0，3.5)，故本选项错误．D ．设这次跳投时，篮球出手时离地面的高度是h m ，∵y ＝－15x 2＋3.5， ∴当x ＝－2.5时，h ＝－15×(－2.5)2＋3.5＝2.25.∴这次跳投时，篮球出手时离地面的高度是2.25 m ．故本选项错误． 【答案】A10.(2020·绵阳)三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同(如图)．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米．若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为( )A ．43米B ．52米C ．213米D ．7米 【点拨】建立如图所示的平面直角坐标系．由题意可得MN ＝4米，EF ＝14米，BC ＝10米，DO ＝32米． 设大孔所在抛物线的解析式为y ＝ax 2＋32. ∵点B (－5，0)，∴0＝a ×(－5)2＋32. ∴a ＝－350.∴大孔所在抛物线的解析式为y ＝－350x 2＋32.设点A (b ，0)，顶点为A 的小孔所在抛物线的解析式为y ＝m (x －b )2. ∵EF ＝14米，∴点E 的横坐标为－7. ∴点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫－7，－3625.令－3625＝m (x －b )2，解得x ＝65－1m ＋b 或x ＝－65－1m ＋b .∵MN ＝4米，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪65－1m ＋b －⎝ ⎛⎭⎪⎫－65－1m ＋b ＝4.∴m ＝－925.∴顶点为A 的小孔所在抛物线的解析式为y ＝－925(x －b )2. ∵大孔水面宽度为20米，∴当x ＝－10时，y ＝－92. 令－92＝－925(x －b )2，解得x ＝522＋b 或x ＝－522＋b .∴单个小孔的水面宽度＝[⎝⎛⎭⎫522＋b －⎝⎛⎭⎫－522＋b ]＝52(米)．【答案】B二、填空题11.图1是一款优雅且稳定的抛物线型落地灯.防滑螺母C 为抛物线支架的最高点,灯罩D 距离地面1.86 m,灯柱AB 及支架的相关数据如图2所示.若茶几摆放在灯罩的正下方,则茶几到灯柱的距离AE 为 2.7 m .12.某飞机着陆后滑行的路程s (m)与滑行时间t (s)的函数关系式为s ＝60t －1.5t 2,则飞机着陆后直至完全停下来,滑行了 600 m .13.一位运动员在距篮下4m 处跳起投篮,球运行的路线是抛物线.当球运行的水平距离为2.5m 时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮圈.如图所示,已知篮圈中心到地面的距离为3.05m,该运动员身高1.9m .在这次跳投中,球在头顶上方0.25m 处出手,则球出手时,他跳离地面的高度是 0.1 m .14.如图,小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子,给他做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米,绳子自然下垂呈抛物线状.身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点到地面的距离为 0.5 米.15.(中考·武汉)飞机着陆后滑行的距离y (单位：m)关于滑行时间t (单位：s)的函数解析式是y ＝60t －32t 2.在飞机着陆滑行中，最后4 s 滑行的距离是________m. 【点拨】当y 取得最大值时，飞机停下来．因为y ＝60t －32t 2＝－32(t －20)2＋600，所以t ＝20时，飞机着陆后滑行600 m 才能停下来． 因此t 的取值范围是0≤t ≤20.当t ＝16时，y ＝576，所以600－576＝24(m)． 【答案】24 三、解答题16.如图是丁丁设计的一款杯子的平面图,建立平面直角坐标系后杯子的上半部分是二次函数y ＝2x 2＋8的图象的一部分.若AB ＝4,DE ＝3,求杯子的高CE.解:由题意可得,点D 的坐标为(0,8).∵AB ＝4,∴点B 的横坐标为2,当x ＝2时,y ＝2×4＋8＝16,即点B 的坐标为(2,16), ∴CD ＝16－8＝8,∴CE ＝CD ＋DE ＝8＋3＝11.17.如图,一名男生推铅球,铅球行进的高度y (m)与水平距离x (m)之间的关系是二次函数的关系.铅球行进起点的高度为53 m,行进到水平距离为4 m 时达到最高处,最大高度为3 m .(1)以地面为x 轴,以过铅球行进起点且垂直于地面的直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,求该二次函数的解析式(化成一般形式); (2)求铅球推出的距离.解:(1)设二次函数的解析式为y ＝a (x －4)2＋3, 把点(0,53)代入y ＝a(x －4)2＋3,解得a ＝－112, 则二次函数的解析式为y ＝－112(x －4)2＋3＝－112x 2＋23x ＋53. (2)由题意得－112x 2＋23x ＋53＝0, 解得x 1＝－2(舍去),x 2＝10, 即铅球推出的距离为10 m .18.如图,某隧道的横截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是8 m 、宽是2 m,抛物线的解析式为y ＝－14x 2＋4.一辆高4 m 、宽2 m 的货车正准备进入该隧道.(1)如果该隧道为单行道,这辆货车能安全通过吗?(2)如果该隧道内设双行道,中间遇车间隙为0.4 m,那么这辆货车是否可以通过? 解:(1)由题意,当x ＝1时,y ＝－14×12＋4＝3.75. ∵3.75＋2＝5.75>4, ∴这辆大货车能通过该隧道.(2)由题意,当x ＝2.2时,y ＝－14×(2.2)2＋4＝2.79. ∵2.79＋2＝4.79>4, ∴这辆华车可以通过该隧道.19.如图1,在地面上有两根等长的立柱AB ,CD ,它们之间悬挂了一根抛物线形状的绳子,按照图中的平面直角坐标系,这条绳子可以用y=110x 2-45x+3表示. (1)求这条绳子的最低点到地面的距离;(2)现由于实际需要,要在两根立柱之间再加一根立柱EF 对绳子进行支撑(如图2),已知立柱EF 到AB 的距离为3 m,两旁的绳子也是抛物线形状,且立柱EF 左侧绳子的最低点到EF 的距离为1 m,到地面的距离为1.8 m,求立柱EF 的长.解:(1)因为y=110x 2-45x+3=110(x-4)2+75,所以抛物线的顶点坐标为(4,75),则这条绳子的最低点到地面的距离为75 m .(2)对于y=110x 2-45x+3,当x=0时,y=3,即点A 的坐标为(0,3).由题意,立柱EF 左侧绳子所在抛物线的顶点为(2,1.8),所以可设其解析式为y=a (x-2)2+1.8, 把x=0,y=3代入,得3=a (0-2)2+1.8,解得a=310, 所以y=310(x-2)2+1.8.当x=3时,y=310×(3-2)2+1.8=2.1, 所以立柱EF 的长为2.1 m .20.如图，需在一面墙上绘制几个相同的“抛物线”形图案．按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用y ＝ax 2＋bx (a ≠0)表示．已知抛物线上B ，C 两点到地面的距离均为34 m ，到墙边OA 的距离分别为12 m ，32 m.(1)求该抛物线对应的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离； 解：根据题意得B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，34，C 点的坐标为⎝⎛⎭⎫32，34.把B ，C 两点的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ， 得⎩⎨⎧14a ＋12b ＝34，94a ＋32b ＝34，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝2，∴此抛物线对应的函数关系式为y ＝－x 2＋2x ；图案最高点到地面的距离为－224×（－1）＝1(m)．(2)若该墙的长度为10 m ，则最多可以连续绘制几个这样的“抛物线”形图案？解：令y＝0，即－x2＋2x＝0，解得x1＝0，x2＝2.∴10÷2＝5(个)．∴最多可以连续绘制5个这样的“抛物线”形图案．21.(2020·绍兴)如图①，排球场长为18 m，宽为9 m，网高为2.24 m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9 m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88 m，即BA＝2.88 m，这时水平距离OB＝7 m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图②所示．(1)若球向正前方运动(即x轴垂直于底线)，求球运动的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式(不必写出x的取值范围)．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由．解：设抛物线的解析式为y＝a(x－7)2＋2.88，将x＝0，y＝1.9代入上式并解得a＝－150，故抛物线的解析式为y＝－150(x－7)2＋2.88.当x＝9时，y＝－150(x－7)2＋2.88＝2.8＞2.24；当x＝18时，y＝－150(x－7)2＋2.88＝0.46＞0，故这次发球过网，但是出界了．(2)若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P(如图①，点P距底线1 m，边线0.5 m)，问发球点O在底线上的哪个位置(参考数据：2取1.4)?解：如图，过点P作底线的平行线PQ，过点O作边线的平行线OQ，两线交于点Q，连接PO.易知∠PQO＝90°.在Rt△OPQ中，OQ＝18－1＝17(m)．当y＝0时，y＝－150(x－7)2＋2.88＝0，解得x＝19或x＝－5(舍去)，∴OP＝19 m.而OQ＝17 m，∴PQ＝62≈8.4(m)．∴9－8.4－0.5＝0.1(m)．答：发球点O 在底线上且距右边线0.1 m 处．22.(2020·台州)用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观如图①.科学原理：如图②，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H (单位：cm)，如果在离水面竖直距离为h (单位：cm)的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程(水流落地点离小孔的水平距离)s (单位：cm)与h 的关系为s 2＝4h (H －h )．应用思考：现用高度为20 cm 的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离h cm 处开一个小孔．(1)写出s 2与h 的关系式；并求出当h 为何值时，射程s 有最大值，最大射程是多少？ 解：∵s 2＝4h (H －h )，∴当H ＝20时，s 2＝4h (20－h )＝－4(h －10)2＋400. ∴当h ＝10时，s 2有最大值400. ∴s 有最大值20.∴当h 为10时，射程s 有最大值，最大射程是20 cm.(2)在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a ，b (单位：cm)，要使两孔射出水的射程相同，求a ，b 之间的关系式．解：要使两孔射出水的射程相同，则有4a (20－a )＝4b (20－b )， ∴20a －a 2＝20b －b 2， 即(a －b )(a ＋b －20)＝0. ∴a －b ＝0或a ＋b －20＝0. ∴a ＝b 或a ＋b ＝20.(3)如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16 cm ，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离．解：设垫高的高度为m (单位：cm)，则s 2＝4h (20＋m －h )＝－4(h －20＋m 2)2＋(20＋m )2，∴当h ＝20＋m2时，s 有最大值，为20＋m ＝20＋16. ∴m ＝16，此时h ＝20＋m2＝18.答：垫高的高度为16 cm ，小孔离水面的竖直距离为18 cm.23.某校进行了一场足球比赛,比赛场上守门员小王在O处开出一高球,球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上),运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M,距地面约4米高,球落地后又一次弹起.据试验测算,足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同,最大高度减少到原来最大高度的一半.(1)求足球开始飞出到第一次落地时,该抛物线的解析式.(2)足球第一次落地点C距守门员多少米?(取4√3≈7)(3)运动员乙要抢到足球第二个落地点D,他应再向前跑多少米?(取2√6≈5)解:(1)根据题意,该抛物线的解析式为y＝－112(x－6)2＋4(或y＝−112x2＋x＋1).(2)令y＝0,得－112(x－6)2＋4＝0,解得x1＝4√3＋6≈13,x2＝－4√3＋6<0(舍去),所以足球第一次落地点C距守门员13米.(3)如图,足球第二次弹出后的距离为CD,根据题意知CD＝EF(即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位长度),所以－112(x－6)2＋4＝2,解得x1＝6－2√6,x2＝6＋2√6,所以CD＝x2－x1＝4√6≈10,所以BD＝13－6＋10＝17(米).答:运动员乙要抢到足球第二个落地点D,他应再向前跑17米.。
