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§3 二倍角的三角函数1．掌握倍角公式与半角公式及公式的推导方法．(重点)2．能利用倍角公式与半角公式进行三角函数的求值、化简、证明．(重点)3．能利用倍角公式与半角公式解决一些简单的实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理 二倍角公式与半角公式阅读教材P 124～P 127练习2以上部分，完成下列问题．1．二倍角公式2．半角公式(1)sin α2＝± 1－cos α2； (2)cos α2＝± 1＋cos α2； (3)tan α2＝± 1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意α∈R ，总有sin 2α＝2sin α.( )(2)对任意α∈R ，总有cos 2α＝1－2cos 2α.( )(3)对任意α∈R ，总有tan 2α＝2tan α1－tan 2α.( ) (4)sin 22°30′cos 22°30′＝24.( )(5)sin 2 α＝1－cos 2α2.( ) 【解析】 (1)sin 2α＝2sin αcos α，所以(1)错．(2)cos 2α＝2cos 2α－1，所以(2)错．(3)α≠π4＋k π2(k ∈Z )时，有tan 2α＝2tan α1－tan 2α，所以(3)错． (4)sin 22°30′cos 22°30′＝12×2sin 22°30′cos 22°30′＝12sin 45°＝24，所以(4)对．(5)对．【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√[小组合作型]【精彩点拨】 根据条件求出sin α，然后求出cos α，利用半角公式求tan α2.【自主解答】 ∵α为第四象限的角，cos α＝33，∴sin α＝－1－cos 2α＝－63.∴tan α＝sin αcos α＝－ 2.∵α为第四象限角，∴α2是第二或第四象限的角，。
——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度北师大版数学必修四教学案：第三章3第1课时倍角公式及其应用______年______月______日____________________部门20xx最新北师大版数学必修四教学案：第三章3第1课时倍角公式及其应用[核心必知]二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式)记法公式推导方法S2αsin 2α＝2sin_αcos_αSα＋β――→令α＝βS2αC2αcos 2α＝cos2α－sin2αCα＋β――→令α＝βC2αcos 2α＝1－2sin2αcos 2α＝2cos2α－1利用sin2α＋cos2α＝1消去sin2α或cos2αT2αtan 2α＝2tan α1－tan2αTα＋β――→令α＋βT2α[问题思考]1．倍角公式成立的条件是什么？提示：在公式S2α，C2α中，角α为任意角，在T2α中，只有当α≠kπ＋(k∈Z)及α≠＋(k∈Z)时，才成立．2．在什么条件下，sin 2α＝2sin α成立？提示：一般情况下，sin 2α≠2sin α，只有当α＝2kπ(k∈Z)时，sin 2α＝2sin α才成立．1．求下列各式的值：(1)sin 75°cos 75°；(2)－sin2；(3)；(4)－.[尝试解答] (1)原式＝(2sin 75°cos 75°)＝sin 150°＝×＝.(2)原式＝(1－2sin2)＝cos ＝×＝.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－.(4)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2（12cos 10°－32sin 10°）sin 10°cos 10°＝4（sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°）2sin 10°cos 10°＝＝4.二倍角公式的“三用”：(1)公式正用从题设条件出发，顺着问题的线索，正用三角公式，运用已知条件和推算手段逐步达到目的．(2)公式逆用要求对公式特点有一个整体感知．主要形式有2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α，cos α＝，cos2α－sin2α＝cos 2α，＝tan 2α.(3)公式的变形用主要形式有1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α(升幂公式)，cos2α＝，sin2α＝(降幂公式)．1．求值：(1)sin cos cos cos cos ＝________；(2)＝________．解析：(1)原式＝sin cos cos cos π8＝sin cos cos ＝sin cos π8＝sin ＝.(2)原式＝2sin 50°＋cos 10°（1＋3sin 10°cos 10°）2cos25°＝2sin 50°＋cos 10°＋3sin 10°2cos 5°＝2sin 50°＋2（12cos 10°＋32sin 10°）2cos 5°＝＝2sin 50°＋2cos 50°2cos 5°＝22（22sin 50°＋22cos 50°）2cos 5°＝＝2.答案：(1) (2)22．已知α是第一象限角，且cos α＝，求的值．[尝试解答] ∵α为第一象限角，且cos α＝，∴sin α＝.原式＝＝·sin α＋cos αcos2α－sin2α＝·＝×＝－.当待求值的函数式较复杂时，一般需要利用诱导公式，倍角公式以及和差公式进行化简，与已知条件取得联系，从而达到化简求值的目的．2．已知<α<π，tan α＋＝－.(1)求tan α的值；(2)求的值．解：(1)∵tan α＋＝－，∴3tan2α＋10tan α＋3＝0.解得tan α＝－或tan α＝－3.∵<α<π，∴－1<tan α<0，∴tan α＝－.(2)∵tan α＝－，∴5sin2α2＋8sinα2cosα2＋11cos2α2－82sin（α－π4）＝5（sin2α2＋cos2α2）＋4sin α＋61＋cos α2－8sin α－cos α＝＝＝－.3．(湖北高考)设函数f(x)＝sin2ωx＋2sin ωx·cos ωx－cos2ωx＋λ(x∈R)的图像关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(，1)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若y＝f(x)的图像经过点(，0)，求函数f(x)的值域．[尝试解答] (1)因为f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sin ωx·cos ωx＋λ＝－cos 2ωx＋sin 2ωx＋λ＝2sin(2ωx－)＋λ.由直线x＝π是y＝f(x)图像的一条对称轴，可得sin(2ωπ－)＝±1.所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，即ω＝＋(k∈Z)．又ω∈(，1)，k∈Z，所以k＝1，故ω＝.所以f(x)的最小正周期是.(2)由y＝f(x)的图像过点(，0)得f()＝0，即λ＝－2sin(×－)＝－2sin＝－，即λ＝－，故f(x)＝2sin(x－)－，函数f(x)的值域为[－2－，2－]．解决此类问题的步骤：(1)运用倍角公式进行恒等变形，通常是逆用二倍角正弦和余弦，转化为asin α＋bcos α＋k的形式；(2)运用和(差)正(余)弦公式进行恒等变形时，通常是逆用两角和与差的正余弦公式，转化为y＝sin(ωα＋φ)＋k或y＝cos(ωα＋φ)＋k的形式．(其中φ可由a，b的值唯一确定)(3)利用f(x)＝sin x或f(x)＝cos x的性质进行研究，求得结果．3．(山东高考)设函数f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω＞0)，且y＝f(x)图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.(1)求ω的值；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．解：本题主要考查三角函数的图像和性质，考查转化思想和运算能力．(1)f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx＝－·－sin 2ωx＝cos 2ωx－sin 2ωx＝－sin.因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，又ω>0，所以＝4×，因此ω＝1.(2)由(1)知f(x)＝－sin.当π≤x≤时，≤2x－≤.所以－≤sin≤1.因此－1≤f(x)≤.故f(x)在区间[π，]上的最大值和最小值分别为，－1.已知cos(＋x)＝，<x<，求的值． [解] 法一：∵sin 2x ＋2sin2x1－tan x＝2sin xcos x ＋2sin2x1－sin x cos x＝，由cos x ＋sin x ＝sin (＋x)， cos x －sin x ＝cos(＋x)， ∴原式＝sin 2xtan(＋x)． 又∵<x<， ∴<x ＋<2π， ∴sin(＋x)<0， ∴sin(＋x)＝－， ∴tan(＋x)＝－.而sin 2x ＝－cos(＋2x)＝－cos 2(＋x)， ∴原式＝－sin 2x ＝cos(2x ＋) ＝cos2(x ＋) ＝＝－.法二：∵＝sin 2x ＋2sin xcos xsin xcos x1－tan x＝sin 2x1＋tan x1－tan x＝sin 2xtan(＋x)．(*) 又∵<x<.∴<＋x<2π， ∵cos(＋x)＝，∴sin(＋x)＝－ ＝－， ∴tan(＋x)＝－， 又sin 2x ＝－cos(＋2x) ＝－cos2(＋x) ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x －1 ＝1－2×＝，将上述结果代入(*)式有，原式＝×(－)＝－. 法三：原式＝2sin xcos x ＋2sin2x1－sin x cos x＝2sin xcos x （cos x ＋sin x ）cos x －sin x＝，①由cos(＋x)＝，得(cos x －sin x)＝， 即cos x －sin x ＝.② 平方得1－sin 2x ＝， ∴sin 2x ＝③∴(cos x ＋sin x)2＝1＋sin 2x ＝. 又∵<x<，∴cos x ＋sin x<0. 则cos x ＋sin x ＝－.④ 将②③④代入①有原式＝＝－.1．计算1－2sin222.5°的结果等于( )A. B.22C. D.32解析：选B 1－2sin222.5°＝cos 45°＝. 2．(全国甲卷)若cos ＝，则sin 2α＝( )A. B.15C ．－D ．－725解析：选D 因为cos ＝，所以sin 2α＝cos ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫π4－α ＝2cos2－1＝2×－1＝－.3．(江西高考)若sin ＝，则cos α＝( )A ．－B ．－13C. D.23解析：选 C 因为sin ＝，所以cos α＝1－2sin2 ＝1－2×()2＝.4．cos2－sin2＝________． 解析：cos2－sin2＝cos ＝. 答案：225．若＝2 012，则＋tan 2α＝________．解析：＋tan 2α＝＋sin 2αcos 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝＝cos α＋sin αcos α－sin α＝＝2 012答案： 2 0126．已知sin α＋cos α＝，且0<α<π，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值．解：法一：由sin α＋cos α＝，得(sin α＋cos α)2＝，即1＋2sin αcos α＝，∴sin 2α＝2sin αcos α＝－.∵sin αcos α<0，0<α<π，∴sin α>0，cos α<0.又sin α＋cos α＝>0，∴sin α>|cos α|.∴cos 2α＝cos2α－sin2α<0.∴cos 2α＝－1－sin22α＝－.tan 2α＝＝.法二：∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝，即1＋2sin αcos α＝，∴sin 2α＝2sin αcos α＝－.∵0<α<π，∴sin α>0.又sin αcos α＝－<0，∴cos α<0.∴sin α－cos α>0.∴sin α－cos α＝（sin α－cos α）2＝＝.∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝×(－)＝－. ∴tan 2α＝＝. 一、选择题1．(全国大纲)已知α为第二象限角，sin α＝，则sin 2α＝( )A ．－B ．－1225C. D.2425解析：选A 因为α是第二象限角，所以cos α＝－＝－，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××(－)＝－.2．(陕西高考)设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1，2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( )A. B.12C ．0D ．－1解析：选C 由向量互相垂直得到a·b＝－1＋2cos2θ＝cos 2θ＝0.3．(江西高考)若＝，则tan 2α＝( ) A ．－ B.34C ．－ D.43解析：选A 由已知条件得＝⇒tan α＝3，∴tan 2α＝＝－.4．已知cos(＋θ)cos(－θ)eq \f(\r(3),4)，θ∈(π，π)，则sin θ＋cos θ的值是( )A. B ．－62 C ．－ D.22解析：选C cos(＋θ)×cos(－θ) ＝sin(－θ)cos(－θ) ＝sin(－2θ) ＝cos 2θ＝. ∴cos 2θ＝.∵θ∈(π，π)，∴2θ∈(π，2π)， ∴sin 2θ＝－，且sin θ＋cos θ<0， ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1－＝， ∴sin θ＋cos θ＝－. 二、填空题5．函数f(x)＝cos 2x －2sin xcos x 的最小正周期是________． 解析：f(x)＝cos 2x －sin 2x ＝2cos(2x ＋)． ∴T ＝＝π. 答案：π6．求值：tan 20°＋4sin 20°＝________． 解析：tan 20°＋4sin 20°＝sin 20°＋4sin 20°cos 20°cos 20°＝＝sin 20°＋2sin（60°－20°）cos 20°＝sin 20°＋2sin 60°cos 20°－2cos 60°sin 20°cos 20°＝＝2sin 60°＝.答案：37．已知tan(x＋)＝2，则的值为________．解析：∵tan(x＋)＝＝2，∴tan x＝.又∵tan 2x＝，∴＝(1－tan2x)＝(1－)＝.答案：4 98．化简：＝________．解析：1－2sin 20°cos 20°2cos210°－1－cos2160°－1＝＝＝1.答案：1三、解答题9．已知cos(α＋)＝，≤α<，求cos(2α＋)的值．解：∵≤α<，∴≤α＋<.∵cos(α＋)>0，∴<α＋<.∴sin(α＋)＝－1－cos2（α＋π4）＝－＝－.∴cos 2α＝sin(2α＋)＝2sin(α＋)cos(α＋) ＝2×(－)×＝－，sin 2α＝－cos(2α＋)＝1－2cos2(α＋) ＝1－2×()2＝.∴cos(2α＋)＝cos 2α－sin 2α ＝×(－－)＝－.10．(四川高考)已知函数f(x)＝cos2－sincos －. (1)求函数f(x)的最小正周期和值域； (2)若f(α)＝，求sin 2α的值．解：(1)f(x)＝cos2－sincos －12＝(1＋cos x)－sin x －12＝cos (x ＋)．所以f(x)的最小正周期为2π，值域为. (2)由(1)知f(α)＝cos (α＋)＝， 所以cos (α＋)＝.所以sin 2α＝－cos(＋2α)＝－cos 2(α＋) ＝1－2cos2(α＋)＝1－＝.。
第1课时 倍角公式及其应用[核心必知]二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式)[问题思考]1．倍角公式成立的条件是什么？提示：在公式S 2α，C 2α中，角α为任意角，在T 2α中，只有当α≠k π＋π2(k ∈Z )及α≠k π2＋π4(k ∈Z )时，才成立． 2．在什么条件下，sin 2α＝2sin α成立？提示：一般情况下，sin 2α≠2sin α，只有当α＝2k π(k ∈Z )时，sin 2α＝2sin α才成立．讲一讲1．求下列各式的值：(1)sin 75°cos 75°；(2)12－sin 2π8；(3)2tan 150°1－tan 2150°； (4)1sin 10°－3cos 10°. [尝试解答] (1)原式＝12(2sin 75°cos 75°)＝12sin 150°＝12×12＝14. (2)原式＝12(1－2sin 2π8)＝12cos π4＝12×22＝24.(3)原式＝tan (2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3. (4)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2（12cos 10°－32sin 10°）sin 10°cos 10°＝4（sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°）2sin 10°cos 10°＝4sin 20°sin 20°＝4.二倍角公式的“三用”： (1)公式正用从题设条件出发，顺着问题的线索，正用三角公式，运用已知条件和推算手段逐步达到目的． (2)公式逆用要求对公式特点有一个整体感知．主要形式有2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin2α，cos α＝sin 2α2sin α，cos 2α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan 2α＝tan 2α. (3)公式的变形用主要形式有1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α(升幂公式)，cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2(降幂公式)．练一练 1．求值：(1)sin π64cos π64cos π32cos π16cos π8＝________；(2)2sin 50°＋cos 10°（1＋3tan 10°）1＋cos 10°＝________．解析：(1)原式＝12sin π32cos π32cos π16cos π8＝14sin π16cos π16cos π8＝18sin π8cos π8 ＝116sin π4＝232. (2)原式＝2sin 50°＋cos 10°（1＋3sin 10°cos 10°）2cos 25° ＝2sin 50°＋cos 10°＋3sin 10°2cos 5°＝2sin 50°＋2（12cos 10°＋32sin 10°）2cos 5°＝2sin 50°＋2sin 40°2cos 5°＝2sin 50°＋2cos 50°2cos 5°＝22（22sin 50°＋22cos 50°）2cos 5°＝22sin 95°2cos 5°＝2.答案：(1)232(2)2讲一讲2．已知α是第一象限角，且cos α＝513，求sin （α＋π4）cos （2α＋4π）的值．[尝试解答] ∵α为第一象限角，且cos α＝513，∴sin α＝1213.原式＝22（sin α＋cos α）cos 2α＝22·sin α＋cos αcos 2α－sin 2α ＝22·1cos α－sin α＝22×1513－1213＝－13214.当待求值的函数式较复杂时，一般需要利用诱导公式，倍角公式以及和差公式进行化简，与已知条件取得联系，从而达到化简求值的目的．练一练2．已知3π4<α<π，tan α＋1tan α＝－103.(1)求tan α的值；(2)求5sin 2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82sin （α－π4）的值．解： (1)∵tan α＋1tan α＝－103，∴3tan 2α＋10tan α＋3＝0.解得tan α＝－13或tan α＝－3.∵3π4<α<π， ∴－1<tan α<0， ∴tan α＝－13.(2)∵tan α＝－13，∴5sin 2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82sin （α－π4）＝5（sin 2α2＋cos 2α2）＋4sin α＋61＋cos α2－8sin α－cos α＝4sin α＋3cos αsin α－cos α＝4tan α＋3tan α－1＝－54.讲一讲3．(湖北高考)设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R )的图像关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(12，1)．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图像经过点(π4，0)，求函数f (x )的值域．[尝试解答] (1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin(2ωx －π6)＋λ. 由直线x ＝π是y ＝f (x )图像的一条对称轴， 可得sin(2ωπ－π6)＝±1.所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈(12，1)，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56.所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图像过点(π4，0)得f (π4)＝0， 即λ＝－2sin(56×π2－π6)＝－2sin π4＝－2，即λ＝－2，故f (x )＝2sin(53x －π6)－2，函数f (x )的值域为[－2－2，2－2]．解决此类问题的步骤：(1)运用倍角公式进行恒等变形，通常是逆用二倍角正弦和余弦，转化为a sin α＋b cos α＋k 的形式；(2)运用和(差)正(余)弦公式进行恒等变形时，通常是逆用两角和与差的正余弦公式，转化为y ＝a 2＋b 2sin(ωα＋φ)＋k 或y ＝a 2＋b 2cos(ωα＋φ)＋k 的形式．(其中φ可由a ，b 的值唯一确定)(3)利用f (x )＝sin x 或f (x )＝cos x 的性质进行研究，求得结果． 练一练3．(山东高考)设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． 解：本题主要考查三角函数的图像和性质，考查转化思想和运算能力． (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω>0，所以2π2ω＝4×π4，因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3.所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1.因此－1≤f (x )≤32. 故f (x )在区间[π，3π2]上的最大值和最小值分别为32，－1.已知cos(π4＋x )＝35，17π12<x <7π4，求sin 2x ＋2sin 2x1－tan x 的值．[解] 法一：∵sin 2x ＋2sin 2x1－tan x＝2sin x cos x ＋2sin 2x 1－sin x cos x＝2sin x cos x （cos x ＋sin x ）cos x －sin x，由cos x ＋sin x ＝2sin (π4＋x )，cos x －sin x ＝2cos(π4＋x )，∴原式＝sin 2x tan(π4＋x )．又∵17π12<x <7π4，∴5π3<x ＋π4<2π， ∴sin(π4＋x )<0，∴sin(π4＋x )＝－45，∴tan(π4＋x )＝－43.而sin 2x ＝－cos(π2＋2x )＝－cos 2(π4＋x )，∴原式＝－43sin 2x ＝43cos(2x ＋π2)＝43cos2(x ＋π4) ＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－1＝－2875.法二：∵sin 2x ＋2sin 2x1－tan x ＝sin 2x ＋2sin x cos xsin xcos x 1－tan x＝sin 2x 1＋tan x1－tan x＝sin 2x tan(π4＋x )．(*)又∵17π12<x <7π4.∴5π3<π4＋x <2π， ∵cos(π4＋x )＝35，∴sin(π4＋x )＝－1－cos 2（π4＋x ）＝－45，∴tan(π4＋x )＝－43，又sin 2x ＝－cos(π2＋2x )＝－cos2(π4＋x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －1＝1－2×925＝725，将上述结果代入(*)式有，原式＝725×(－43)＝－2875.法三：原式＝2sin x cos x ＋2sin 2x1－sin x cos x＝2sin x cos x （cos x ＋sin x ）cos x －sin x＝sin 2x （cos x ＋sin x ）cos x －sin x，①由cos(π4＋x )＝35，得22(cos x －sin x )＝35，即cos x －sin x ＝325.②平方得1－sin 2x ＝1825，∴sin 2x ＝725③∴(cos x ＋sin x )2＝1＋sin 2x ＝3225.又∵17π12<x <3π2，∴cos x ＋sin x <0.则cos x ＋sin x ＝－425.④将②③④代入①有原式＝725×（－452）352＝－2875.1．计算1－2sin 222.5°的结果等于( ) A.12 B.22 C.33 D.32解析：选B 1－2sin 222.5°＝cos 45°＝22. 2．(全国甲卷)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( )A.725 B.15C ．－15D ．－725解析：选D 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，所以sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×925－1＝－725.3．(江西高考)若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13C.13D.23解析：选C 因为sin α2＝33，所以cos α＝1－2sin 2 α2＝1－2×(33)2＝13.4．cos2π8－sin 2π8＝________． 解析：cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22. 答案：225．若1＋tan α1－tan α＝2 012，则1cos 2α＋tan 2α＝________．解析：1cos 2α＋tan 2α＝1cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝（cos α＋sin α）2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α ＝1＋tan α1－tan α＝2 012答案： 2 0126．已知sin α＋cos α＝13，且0<α<π，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值．解：法一：由sin α＋cos α＝13，得(sin α＋cos α)2＝19，即1＋2sin αcos α＝19，∴sin 2α＝2sin αcos α＝－89.∵sin αcos α<0，0<α<π， ∴sin α>0，cos α<0.又sin α＋cos α＝13>0，∴sin α>|cos α|.∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α<0. ∴cos 2α＝－1－sin 22α ＝－179.tan 2α＝sin 2αcos 2α＝81717. 法二：∵sin α＋cos α＝13，∴(sin α＋cos α)2＝19，即1＋2sin αcos α＝19，∴sin 2α＝2sin αcos α＝－89.∵0<α<π，∴sin α>0.又sin αcos α＝－49<0，∴cos α<0.∴sin α－cos α>0.∴sin α－cos α＝（sin α－cos α）2＝1－sin 2α＝173. ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α) ＝13×(－173)＝－179. ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝81717.一、选择题1．(全国大纲)已知α为第二象限角，sin α＝35，则sin 2α＝( )A ．－2425B ．－1225C.1225 D.2425解析：选A 因为α是第二象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以sin 2α＝2sinαcos α＝2×35×(－45)＝－2425.2．(陕西高考)设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1，2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( ) A.22 B.12C ．0D ．－1解析：选C 由向量互相垂直得到a ·b ＝－1＋2cos 2θ＝cos 2θ＝0. 3．(江西高考)若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( )A ．－34 B.34C ．－43 D.43解析：选A 由已知条件得tan α＋1tan α－1＝12⇒tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 4．已知cos(π4＋θ)cos(π4－θ)＝eq \f (\r (3),4)，θ∈(34π，π)，则sin θ＋cos θ的值是( )A.62 B ．－62 C ．－22 D.22解析：选C cos(π4＋θ)×cos(π4－θ)＝sin(π4－θ)cos(π4－θ)＝12sin(π2－2θ) ＝12cos 2θ＝34. ∴cos 2θ＝32. ∵θ∈(34π，π)，∴2θ∈(32π，2π)，∴sin 2θ＝－12，且sin θ＋cos θ<0，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1－12＝12，∴sin θ＋cos θ＝－22. 二、填空题5．函数f (x )＝cos 2x －23sin x cos x 的最小正周期是________． 解析：f (x )＝cos 2x －3sin 2x ＝2cos(2x ＋π3)．∴T ＝2π2＝π.答案：π6．求值：tan 20°＋4sin 20°＝________．解析：tan 20°＋4sin 20°＝sin 20°＋4sin 20°cos 20°cos 20°＝sin 20°＋2sin 40°cos 20°＝sin 20°＋2sin （60°－20°）cos 20°＝sin 20°＋2sin 60°cos 20°－2cos 60°sin 20°cos 20°＝2sin 60°cos 20°cos 20°＝2sin 60°＝ 3.答案： 37．已知tan(x ＋π4)＝2，则tan xtan 2x 的值为________．解析：∵tan(x ＋π4)＝tan x ＋11－tan x ＝2，∴tan x ＝13.又∵tan 2x ＝2tan x1－tan 2x ，∴tan x tan 2x ＝12(1－tan 2x )＝12(1－19)＝49.答案：498．化简：1－2sin 20°cos 20°2cos 210°－1－cos 2160°－1＝________． 解析：1－2sin 20°cos 20°2cos 210°－1－cos 2160°－1＝（cos 20°－sin 20°）2cos 20°－sin 20°＝cos 20°－sin 20°cos 20°－sin 20°＝1.答案：1 三、解答题9．已知cos(α＋π4)＝35，π2≤α<3π2，求cos(2α＋π4)的值．解：∵π2≤α<3π2，∴3π4≤α＋π4<7π4.∵cos(α＋π4)>0，∴3π4<α＋π4<7π4.∴sin(α＋π4)＝－1－cos 2（α＋π4）＝－1－（35）2＝－45.∴cos 2α＝sin(2α＋π2)＝2sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝2×(－45)×35＝－2425，sin 2α＝－cos(2α＋π2)＝1－2cos 2(α＋π4)＝1－2×(35)2＝725.∴cos(2α＋π4)＝22cos 2α－22sin 2α＝22×(－2425－725)＝－31250. 10．(四川高考)已知函数f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12.(1)求函数f (x )的最小正周期和值域； (2)若f (α)＝3210，求sin 2α的值．解：(1)f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12＝12(1＋cos x )－12sin x －12 ＝22cos (x ＋π4)． 所以f (x )的最小正周期为2π，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22. (2)由(1)知f (α)＝22cos (α＋π4)＝3210， 所以cos (α＋π4)＝35.所以sin 2α＝－cos(π2＋2α)＝－cos 2(α＋π4)＝1－2cos 2(α＋π4)＝1－1825＝725.。
§2 二倍角的三角函数知识梳理1.倍角公式（1）公式：sin2α=2sinαcosα；（S 2α）cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α;（C 2α） tan2α=αα2tan 1tan 2-.（T 2α）（2）公式的理解①成立的条件：在公式S 2α、C 2α中，角α可以为任意角，T 2α则只有当α≠kπ+2π及α≠2πk +4π（k ∈Z ）时才成立.②倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其他如4α是2α的二倍、2α是4α的二倍、3α是23α的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键. ③cos2α的变形：cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α， cos 2α=22cos 1α+，sin 2α=22cos 1α-；（这两个公式称为降幂公式） 1+cos2α=2cos 2α，1-cos2α=2sin 2α.（这两个公式称为升幂公式）2.半角公式 （1）公式：sin2α=±2cos 1α-；cos 2α=±2cos 1α+； tan2α=±ααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 1+=-=+-. （2）公式的理解 关于半角正切公式：tan2α=ααsin cos 1-不带有根号，而且分母为单项式，运用起来特别方便，但要注意它与以下两个公式：tan2α=±ααcos 1cos 1+-和tan 2α=ααcos 1sin +的使用范围不完全相同，后两个公式只要α≠(2k+1)π（k ∈Z ），而第一个公式除α≠(2k+1)π（k ∈Z ）之外，还必须有α≠2kπ（k ∈Z ）.当然，这三个公式可以互化，在使用时要根据题目中式子的特征灵活选用.知识导学①要学好本节，有必要复习两角和的正弦、余弦、正切公式；②学好本节的小窍门：在公式的选择运用上，审题是关键，找准题目的突破口，选择适当的方法，定能事半功倍；③选择二倍角余弦公式形式的策略：1加余弦想余弦；1减余弦想正弦；幂升一次角减半；幂降一次角翻番. 解释如下：难疑突破1.求半角的正切值常用什么方法？剖析：难点是半角的正切值公式有三种形式，到底选择哪个来处理问题，突破的路径是靠平时经验的积累.根据经验有，处理半角的正切问题有三条途径：第一种方法是用tan2α=±ααcos 1cos 1+-来处理；第二种方法是用tan2α=ααsin cos 1-来处理；第三种方法是用tan 2α=ααcos 1sin +来处理.例如：已知cosα=33，α为第四象限的角，求tan 2α的值.解法一：（用tan2α=±ααcos 1cos 1+-来处理）∵α为第四象限的角，∴2α是第二或第四象限的角. ∴tan2α<0. ∴tan 2α=ααcos 1cos 1+-=32331331--=+-- =262)26(21348212-=--=--. 解法二：（用tan2α=ααsin cos 1-来处理）∵α为第四象限的角，∴sinα<0. ∴sinα=36311cos12-=--=--α. ∴tan 2α=ααsin cos 1-=26236331-=--. 解法三：（用tan2α=ααcos 1sin +） ∵α为第四象限的角，∴sinα<0. ∴sinα=36311cos12-=--=--α. ∴tan 2α=ααcos 1sin +=26233633136-=--=--. 比较上述三种解法可知：在求半角的正切tan2α时，用tan 2α=±ααcos 1cos 1+-来处理，要由α所在的象限确定2α所在的象限，再用三角函数值的符号取舍根号前的双重符号；而用tan 2α=ααsin cos 1-或tan 2α=ααsin cos 1+来处理，可以避免这些问题.尤其是tan 2α=ααsin cos 1+，分母是单项式，容易计算.因此常用tan 2α=ααsin cos 1+求半角的正切值.2.为什么说1+sinα和1-sinα是完全平方的形式？剖析：疑点是对此结论总是产生质疑.其突破的方法是学会推导.要明确这个问题，先从完全平方公式来分析.(a+b)2=a 2+2ab+b 2；(a-b)2=a 2-2ab+b 2，由此看一个式子是完全平方的形式，必须有a 2+2ab+b 2或a 2-2ab+b 2的形式特点.1±sinα要具备这种形式特点，需要进行恒等变形.观察到完全平方的式子中有a 2和b 2，联想1±sinα中的1能变形为平方和的形式，即变形的方向是1=a 2＋b 2，sinα=2ab.由同角三角函数基本关系式和二倍角的正弦公式得1±sinα=sin 22α+cos 22α±2sin 2αcos 2α=(sin 2α±cos 2α)2.这个结论应用很广泛.。
