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(x1,y1)=λ(x2,y2),即
(3)夹角公式cosθ=
ab
| a || b(0| °≤θ≤180°).
(4)模长公式|a|= | a |2 x2 y(2a=(x,y)).
(5)数量积性质|a•b|≤|a|•|b|.
2.向量应用的分类概述
(1)应用平面向量解决函数与不等式的问题,是以函数和不等 式为背景的一种向量描述,它需要掌握向量的概念及基本 运算,并能根据题设条件构造合适的向量,利用向量的“数 ”､“形”两重性解决问题.
答案:D
3.将y
2cos
x 3
6
的图象按向量a
4
,
2
.平移,
则
平移后所得图象的解析式为( )
A.y
2cos
x 3
4
2
B.y
2cos
x 3
4
2
C.y
2cos
x 3
12
2
D.y
2cos
x 3
12
2Leabharlann 析:函数y2cos
x 3
6
的图象按向量a
4
,
2
平
移后所得图象解析式为y
2cos
1 3
x
4
6
2
2cos
1 3
x
4
2, 所以选A.
答案:A
4.若直线2x-y+c=0按向量a=(1,-1)平移后与圆x2+y2=5相切, 则c的值为( )
A.1005
B.1010
C.2010
D.2015
解析:由题意知A､B､C三点共线,则a2+a2009=1.
∴S2010=
=1005×1=1005.故选A.
答案:A 2010(a1 a2010 )
2
类型一
利用向量解决平面几何问题
解题准备:一般情况下,用向量解决平面几何问题,要用不共线 的向量表示题目所涉及的所有向量,再通过向量的运算法 则和性质解决问题.
第二十六讲平面向量的应用
回归课本
1.向量应用的常用结论 (1)两个向量垂直的充要条件 符号表示:a⊥b⇔a·b=0. 坐标表示:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.
(2)两个向量平行的充要条件
符号表示:若a∥b,b≠0,则a=λb.
坐标表示:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b 或x1yxy121 -x2yxy212=, 0.
A.8或-2
B.6或-4
C.4或-6
D.2或-8
解析:直线2x-y+c=0,按a=(1,-1)平移后得直线
2(x-1)-(y+1)+c=0,即2x-y-3+c=0,
由d=r,得 答案:A
| c 3 | 5得, c=8或-2.
5
5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若 OB a2 OA+a2009 ,且A､BO､CC三点共线(该直线不过点O),则S2010等于( )
3
答案:B
2.(2010 天津)如图,在 ABC中, AD AB, BC 3BD,| AD | 1, 则AC AD ( )
A.2 3 C. 3
3
B. 3 2
D. 3
解析 :因为AC BC BA 3BD BA,所以AC AD ( 3BD BA) AD 3BD AD BA AD, 又AD AB,所以BA AD 0,所以AC AD 3BD AD, 又BD AD AB,所以AC AD 3BD AD 3( AD AB) AD 3 AD2 AB AD 3.
(4)平面向量在平面几何中的应用,是以平面几何中的基本图 形(三角形､平行四边形､菱形等)为背景,重点考查平面向量 的几何运算(三角形法则､平行四边形法则)和几何图形的 基本性质.
(5)平面向量在物理力学等实际问题中的应用,是以实际问题 为背景,考查学科知识的综合及向量的方法.
注意:(1)在解决三角形形状问题时,回答要全面､准确,处理四 边形问题时,要根据平行四边形或矩形､菱形､正方形及梯 形的性质处理.
(2)用向量处理物理问题时,一般情况下应画出几何图形,结合 向量运算与物理实际进行解决.
考点陪练
1.(2010 湖北)已知 ABC和点M满足MA MB MC 0. 若存在实数m使得AB AC mAM成立,则m ( ) A.2 B.3 C.4 D.5
解析:由MA MB MC 0得点M是 ABC的重心, AM 1 (AB AC), AB AC 3AM , m 3,选B.
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”: ①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几
何元素,将平面几何问题转化为向量问题; ②通过运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; ③把运算结果“翻译”成几何关系.
【典例1】如图,正方形OABC两边AB､BC的中点分别为D和 E,求∠DOE的余弦值.
2
4
OA OC, AB CB,OA OC 0, AB CB 0.
AB OC,OA CB,
AB
OC
2
AB
|
AB
|2 ,OA
CB
2
OA
|
OA
|2 ,
OD OE | AB |2 , 又 | OD |2 | OA |2 | AD |2
| AB |2 1 | AB |2 5 | AB |2,| OE |2 | OD | 2.
[分析]把∠DOE转化为向量夹角.
[解]解法一 : OD OA AD OA 1 AB,OE 2
OC CE OC 1 CB. 2
OD OE (OA 1 AB) (OC 1 CB)
2
2
OA OC 1 ( AB OC OA CB) 1 AB CB.
(2)平面向量与三角函数的整合,仍然是以三角题型为背景的 一种向量描述,它需要根据向量的运算性质将向量问题转 化为三角函数的相关知识来解答,三角知识是考查的主体.
(3)平面向量在解析几何中的应用,是以解析几何中的坐标为 背景的一种向量描述,它主要强调向量的坐标运算,将向量 问题转化为坐标问题,进而利用直线和圆锥曲线的位置关 系的相关知识来解答,坐标的运算是考查的主体.
