2020年高考数学(文)一轮复习讲练测 专题2.3 函数的奇偶性与周期性(练) 含解析

2020年高考数学一轮复习《函数的性质—奇偶性、单调性、周期性》考纲解读1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义，会利用单调性解决函数的最值问题.2.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.3.会利用函数的图像理解和研究函数的性质.命题趋势研究有关函数性质的高考试题，考查重点是求函数的单调区间，利用函数单调性求函数的最值（值域）、比较大小及求解函数不等式.函数奇偶性的判断及其应用是常考知识点，常与函数的单调性、周期性、对称性、最值等结合综合考查.知识点精讲函数奇偶性定义设D D x x f y (),(∈=为关于原点对称的区间），如果对于任意的D x ∈，都有)()(x f x f =-，则称函数)(x f y =为偶函数；如果对于任意的D x ∈，都有)()(x f x f -=-，则称函数)(x f y =为奇函数.性质(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.(2)奇偶函数的图象特征.函数)(x f 是偶函数⇔函数)(x f 的图象关于y 轴对称；函数)(x f 是奇函数⇔函数)(x f 的图象关于原点中心对称.(3)若奇函数)(x f y =在0=x 处有意义，则有0)0(=f ；偶函数)(x f y =必满足|)(|)(x f x f =.(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数)(x f 的定义域关于原点对称，则函数)(x f 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记)]()([21)(x f x f x g -+=，)]()([21)(x f x f x h --=，则)()()(x h x g x f +=. (6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如)()(),()(),()(),()(x g x f x g x f x g x f x g x f ÷⨯-+.对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇)(÷⨯奇=偶；奇)(÷⨯偶=奇；偶)(÷⨯偶=偶.（7）复合函数)]([x g f y =的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.函数的单调性定义一般地，设函数)(x f 的定义域为D ，区间D M ⊆，若对于任意的M x x ∈21,，当21x x <时，都有)()(21x f x f <（或)()(21x f x f >），则称函数)(x f 在区间M 上是单调递增（或单调递减）的，区间M 为函数)(x f 的一个增（减）区间.注：定义域中的M x x ∈21,具有任意性，证明时应特别指出“对于任意的M x x ∈21,”. 单调性是针对定义域内的某个区间讨论的.熟练掌握增、减函数的定义，注意定义的如下两种等价形式：设],[,21b a M x x =∈且21x x <，则)(0)()(2121x f x x x f x f ⇔>--在],[b a 上是增函数⇔过单调递增函数图象上任意不同两点的割线的斜率恒大于零⇔0)]()()[(2121>--x f x f x x .)(0)()(2121x f x x x f x f ⇔<--在],[b a 上是减函数⇔过单调递减函数图象上任意不同两点的割线的斜率恒小于零⇔0)]()()[(2121<--x f x f x x .性质对于运算函数有如下结论：在公共区间上，增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减. 一般地，对于乘除运算没有必然的结论.如“增×增=增”不一定成立；“若)(x f 为增函数，则)(1x f 为减函数”也是错误的.如)0,()(≠∈=x R x x x f ，则xx f y 1)(1==为减函数是不正确的，但若具备如下特殊要求，则结论成立:若)(x f 为增函数，且(0)(>x f 或)(x f 0<），则)(1x f 为减函数. 若)(x f 为减函数，且(0)(>x f 或)(x f 0<），则)(1x f 为增函数. 复合函数的单调性复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.函数的周期性定义设函数))((D x x f y ∈=，如存在非零常数T ，使得对任何D T x D x ∈+∈,，且)()(x f T x f =+，则函数)(x f 为周期函数，T 为函数的一个周期.若在所有的周期中存在一个最小的正数，则这个最小的正数叫做最小正周期.注：函数的周期性是函数的“整体”性质，即对于定义域D 中的任何一个x ，都满足)()(x f T x f =+；若)(x f 是周期函数，则其图像平移若干整数个周期后，能够完全重合. 性质若)(x f 的周期为T ，则)0,(≠∈n Z n nT 也是函数)(x f 的周期，并且有)()(x f nT x f =+. 有关函数周期性的重要结论（如表所示） ()()()()211();()2()()()()2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(x R f x T f x T f x T f x T f x T f x T T f x f x f x T f x T T f x T f x T Tf a x f a x b a f b x f b x f a x f a x af x f a x f a x b a f b x f b x f a ∈+=+=-+=+=-+=-+=--+=-⎧-⎨+=-⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧-⎨+=--⎩函数式满足关系（）周期为偶函数)()2()()()4()()()()()4()()()4()x f a x af x f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x af x f a x f a x a f x +=--⎧⎨⎩+=-⎧-⎨+=--⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧⎨⎩为奇函数为奇函数为偶函数函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数)(x f y =有两条对称轴)(,b a b x a x <==，则函数)(x f 是周期函数，且)(2a b T -=；（2）若函数)(x f y =的图象有两个对称中心))(,(),,(b a c b c a <，则函数)(x f y =是周期函数，且)(2a b T -=；（3）若函数)(x f y =有一条对称轴a x =和一个对称中心))(0,(b a b <，则函数)(x f y =是周期函数，且)(4a b T -=.题型归纳及思路提示题型16 函数的奇偶性思路提示：判断函数的奇偶性，常用以下两种方法：（1）定义法.①首先看定义域是否关于原点对称；②若)()(x f x f -=-，则函数)(x f 为奇函数；若)()(x f x f =-，则函数)(x f 为偶函数.（2）图像法.根据函数图像的对称性进行判断，若函数)(x f 的图像关于原点中心对称，则)(x f 为奇函数；若函数)(x f 的图像关于y 轴对称，则)(x f 为偶函数.【例2.25】判断下列函数的奇偶性.（1）3|3|36)(2-+-=x x x f ； （2）11)(22-+-=x x x f ；（3）)1(log )(22++=x x x f ；（4）2|2|)1(log )(22---=x x x f ； （5）⎩⎨⎧>+-<+=)0()0()(22x x x x x x x f .解析 （1）由3|3|36)(2-+-=x x x f 可知⎩⎨⎧-≠≠≤≤-⇒⎩⎨⎧≠-+≥-606603|3|0362x x x x x 且，故函数)(x f 的定义域为}6006|{≤<<<-x x x 或，定义域不关于原点对称，故)(x f 为非奇非偶函数.(2)由110101222±=⇒=⇒⎩⎨⎧≥-≥-x x x x ，故函数)(x f 的定义域为}1,1{-，关于原点对称，故0)(=x f ，所以)()()(x f x f x f -==-，所以函数)(x f 既是奇函数又是偶函数.(3)因为对任意实数x ，都有0||12≥+>++x x x x ，故定义域为R.且)()1(log 11(log )1(log )(222222x f x x x x x x x f -=++-=++=-+=-），故)(x f 为奇函数. (4)由100102|2|012<<<<-⇒⎩⎨⎧≠-->-x x x x 或，定义域关于原点对称. 此时，xx x x x f --=---=)1(log 2|2|)1(log )(2222，故有)()(x f x f -=-，所以)(x f 为奇函数. (5)当0<x 时，)()(,02x f x x x f x -=--=->-；当0>x 时，)()(,02x f x x x f x -=-=-<-.故)(x f 为奇函数.评注 利用定义判断函数的奇偶性要注意以下几点：①首先必须判断)(x f 的定义域是否关于原点对称.若不关于原点对称，则是非奇非偶函数.若关于原点对称，则对定义域任意x 说明满足定义.若否定奇偶性只需有一个自变量不满足. ②有些函数必须根据定义域化简解析式后才可判断，否则可能无法判断或判断错误，如本例（2），若不化简可能误判为偶函数，而本例（4）可能误判为非奇非偶函数.③本例（3）若用奇偶性的等价形式，则01log )1(log )1(log )()(22222==+++-+=+-x x x x x f x f ，即)()(x f x f -=-，故)(x f 为奇函数，显然，等价形式的整理较定义法更为容易.这提醒我们，在函数解析式较复杂时，有时使用等价形式来判断奇偶性较为方便.变式1：判断下列函数的奇偶性.（1）xx x x f -+-=11)1()(； （2）24|3|3)(x x x f -+-=； （3）⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤--<+=)1(2)11(0)1(2)(x x x x x x f ；（4）|2||2|)(++-=x x x f .解析 （1）函数()(f x x =-的定义域为{|11}x x -≤<，其定义域不关于原点对称，故函数()f x 为非奇非偶函数.（2）函数()f x =-2，2），其定义域关于原点对称，又函数()f x ==()()f x f x -=-，故()f x 函数为奇函数.（3）解法一：设1x <-，则1,()2()x f x x f x ->-=--=-，同样当11x -≤≤时，()()f x f x -=-，故()f x 函数为奇函数.解法二：（图象法）函数()f x 的图象如图2-42所示，知函数()f x 为奇函数.（4）函数()f x 的定义域为R ，关于原点对称，又()|2||2||2||-2|=()f x x x x x f x -=--+-+=++，故函数()f x 为偶函数.变式2：已知函数2lg )2lg()(2-++=x x x f ，试判断其奇偶性.解析 函数的定义域为R,又222()()lg()02x x f x f x +--+===，故函数()f x 为奇函数.【例2.26】已知函数),0()(2R x x xa x x f ∈≠+=，试判断其奇偶性. 分析 利用函数奇偶性的定义进行判断.解析 当0=a 时，2)(x x f =，满足)()(x f x f =-，故)(x f 为偶函数；当0≠a 时，xa x x f x a x x f -=-+=22)(,)(，假设)()(x f x f =-对任意R x ∈，0≠x 恒成立，则此时0=a ，与前提矛盾；假设)()(x f x f -=-对任意R x ∈，0≠x 恒成立，则此时022=x ，即0=x ，与条件定义域},0|{R x x x ∈≠矛盾.综上所述，当0=a 时，)(x f 为偶函数；当0≠a 时，函数)(x f 为非奇非偶函数.评注 ①函数)(x f 是奇函数⇔0)()(=-+x f x f ；函数)(x f 是偶函数0)()(=--⇔x f x f .奇偶函数的前提是函数的定义域关于原点对称.②若要说明一个函数为非奇非偶函数，可以举一个反例.③本题的结论还可以借用运算函数的的奇偶性的规律获得，已知函数是一个由2x 与x a 通过加法法则运算得到的函数，而2x y =为偶函数，)0(≠=a xa y 为奇函数，故当0≠a 时，)(x f 为“偶+奇”形式，故为非奇非偶函数；当0=a 时，则2)(x x f =为偶函数.变式1：函数)()1221()(x f x F x ⋅-+=是偶函数，并且)(x f 不等于零，则)(x f 是（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数解析 可证明2()1()21x g x f x =+⋅-为奇函数，要使2()(1)()21x F x f x =+⋅-是偶函数，由运算函数的奇偶性规律可知，()f x 是奇函数，故选A.变式2：对于函数R x x f y ∈=),(，“|)(|x f y =的图象关于y 轴对称”是“)(x f 是奇函数”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 若函数()y f x =是奇函数，则()()f x f x -=-，此时，|()||()||(f x f x f x -=-=，因此|()|y f x =是偶函数，其图象关于y 轴对称，但当|()|y f x =的图象关于y 轴对称时，未必推出()y f x =是奇函数，如2y x =是偶函数，且22|()|||y f x x x ===，其图象关于y 轴对称，并非奇函数，故“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的必要不充分条件.故选B.【例 2.27】定义在实数集上的函数)(x f ，对任意R y x ∈,都有)()(2)()(y f x f y x f y x f =-++，且0)0(≠f ，试判断)(x f 的奇偶性.分析 对于抽象函数的奇偶性判断通常利用赋值法得到)(x f 与)(x f -的关系.解析 由函数定义域为R 可知定义域关于原点对称.依题意可令0,0==y x ，得2)]0([2)0(2f f =，因为0)0(≠f ，所以1)0(=f .令0=x ，可得)(2)()(y f y f y f =-+，即)()(y f y f -=，所以)()(x f x f -=，故函数)(x f 为偶函数.评注 对于抽象函数奇偶性的判断，常通过赋值法（如令1,1,0-=x 等）凑成含有)(x f 与)(x f -的关系的式子，然后进行判断.变式1：已知函数)(x f 在R 上有定义，且对任意R y x ∈,都有)()()(y f x f y x f +=+，试判断)(x f 的奇偶性.解析 令0x y ==，得(0)2(0),(0)f f f ==，令y x =-，得0=()+()0,()f f x f x f x f x-=-=-（），所以函数()y f x =是奇函数. 变式2：若定义在R 上的函数)(x f 满足对任意R x x ∈21,有1)()()(2121++=+x f x f x x f ，则下列说法正确的是（ ）A.)(x f 是奇函数B.)(x f 是偶函数C.)(x f +1为奇函数D.)(x f +1为偶函数 解析 解法一：由12,x x R ∈有1212()()()1f x x f x f x +=++， 设12,x x x x ==-，则(0)()()11f f x f x =+-+=-，所以()1()1[f x f x f x +=---=-（-)+1]，令()()1F x f x =+，故()()1[()1]F(x)F x f x f x -=-+=-+=-，所以()()1F x f x =+是奇函数，故选C.变式3：已知函数)(x f 在)1,1(-上有定义，且对任意)1,1(,-∈y x 都有)1()()(xyy x f y f x f ++=+，试判断函数)(x f 的奇偶性. 分析 对于抽象函数的奇偶性判断通常利用赋值法，如令0x y ==转化.解析 由于()()()1x y f x f y f xy ++=+，令0x y ==，得2(0)(0)f f =，即(0)0f =；令y x =-，则()()(0)0f x f x f +-==，所以()()f x f x -=-，故()f x 为奇函数. 变式4：已知)(x f ，)(xg 在R 上有定义，对任意的R y x ∈,，有)()()()()(y f x g y g x f y x f -=-，且0)1(≠f .(1)求证：)(x f 为奇函数；(2)若)2()1(f f =，求)1()1(-+g g 的值.解析 解法一：令0x y ==，则(0)(0)(0)(0)(0)f f g g f =-=0，令0,1x y ==，则(1)(1)(0)(1)(0)f f g g f =-，又(1)0f ≠，(0)0,f =所以(0)1g = ， 令0x =，则()(0)()(0)()()f y f g y g f y f y -=-=-，所以()f x 为奇函数.. 解法二：令,x m n =-，则x n m -=-所以，()()()()()()f x f m n f m g n g m f n =-=-，()()()()()()()f x f n m f n g m g n f m f x -=-=-=-，所以()f x 为奇函数.（2）令1,1x y ==-,则(2)(1)(1)(1)(1)f f g g f =-+，所以(2)(1)[(1)(1)]f f g g =-+，又因为(1)20f f =≠（），所以(1)(1)1g g -+=，故(1)(1)g g -+的值为1.【例 2.28】已知偶函数1)1()(23++-=mx x a x f 的定义域为),83(2m m m --，则=+a m 2______________.分析 定义域关于原点对称是奇函数或偶函数的必要条件.解析 因为)(x f 为偶函数，故其定义域必关于原点对称，所以0832=--m m ，且m m m <--832，解得4=m .由函数)(x f 为偶函数得3x 的系数为0，则01=-a ，即1=a ，故62=+a m .变式1：若函数))(12()(a x x x x f -+=为奇函数，则=a （ ） 21.A 32.B 43.C 1.D 解析 解法一： 由函数的定义域为1{|2x x ≠-且}x a ≠，有因为()f x 奇函数，可知定义域关于原点对称，故12a =，故选A. 解法二：()(21)(x a)x f x x =+-为奇函数，由于分子为奇函数，则分母为偶函数，又知分母为二次函数，则一次项系数为0，所以12a =，故选A.变式2：若函数)2(log )(22a x x x f a ++=是奇函数，则=a _____________. 分析 由函数的定义域含有数0，则必有(0)0f =解析 函数()log (0a f x x a =>且1)a ≠）为定义域为R 的奇函数，且在0x =有意义，故满足(0)0f =，从而得21log 0,2a a =⇒=又0a >且1a ≠，所以2a =.变式3：若a x f x +-=121)(是奇函数，则=a _____________. 解析 解法一：因为()f x 为奇函数，所以()()0f x f x -+=， 即1102121x x a a -+++=--，整理得122021xx a -+=-，得12a =. 解法二：（赋值法）因为()f x 为奇函数，所以(1)(1)0f f -+=，解得12a =. 变式4：函数k k k x f x x(212)(⋅+-=为常数）为其定义域上的奇函数，则=k ____________. 解析 依题意，函数2()12xxk f x k -=+⋅（k 为常数）为其定义域上的奇函数，则22()1212x x x xk k f x k k -----==+⋅+⋅， 得12122,21212k k k k k k k k k k k k ---==+++故(2)(2)(21)(12)k k k k k k k k +-=-+，22(1)(21)0,1k k k -+==±，若k=1，得12(),12x x f x -=+1221()(),1221x x x x f x f x -----===-++故12()12x x f x -=+为奇函数； 若k=-1，得1221(),1221x x x x f x --+==--2112()(),2112x xx xf x f x --++-====---故()f x 为奇函数； 故k=1或k=-1变式5：函数)1)(11(log )(>--=a x kx x f a 为其定义域上的奇函数，则=k __________. 解析 依题意，函数1()l o g ()(1)1a kx f x a x -=>-为其定义域上的奇函数，则111()l o g ()l o g ()l o g (),111a a a k x k x x f x x x kx +---==-=---- 即2222211,11(1)0,111kx x k x x k x k x kx+-=-=-⇒-==±---得 若k=1，得1()()(1),1a a x f x log log x -==--无意义，故舍去； 若k=-1，得111()(),()()()(),111a a a x x x f x log f x log log f x x x x +--=-===----+满足()f x 为奇函数，故k=-1【例2.29】已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，当)0,(-∞∈x 时，4)(x x x f -=，则当),0(+∞∈x 时，)(x f =_______________.解析 当0>x 时，则44)()()(,0x x x x x f x --=---=-<-，因为)(x f 是偶函数，所以)(x f 4)(x x x f --=-=，故当),0(+∞∈x 时，4)(x x x f --=.评注 解此类题分三步：第一步将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；第2步将转化后的自变量代入已知解析式；第3步利用函数的奇偶性求出解析式.变式1：已知函数)(x f 为R 上的奇函数，且当0>x 时，2)(x x x f -=，求函数)(x f 的解析式.解析 当x ﹤0时，-x ﹥0，所以f(-x)=-x-(-x)2=-x-x 2,因为f(x)为奇函数，所以f(x)=- f(-x)= x 2+x,所以当x ﹤0时f(x)=- f(-x)= x 2+x ；当x=0时，f(0)=0,所以22(0)().0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩ （）【例 2.30】已知)(x f 为定义域是关于原点对称区间上的函数，求证：)(x f 一定可以写成一个奇函数与一个偶函数之和的形式.分析 先设)(x f 能写成一个函数)(x g 和一个偶函数)(x h 之和，再利用奇偶函数的定义列方程组，解方程组即得.解析 先假设存在)()()(x h x g x f +=……………①其中)(x g 为奇函数，)(x h 是偶函数，则)()()()()(x h x g x h x g x f +-=-+-=-………② 由①+②得，2)()()(x f x f x h -+=，由①-②得，2)()()(x f x f x g --=. 由此，我们得出结论，对定义域关于原点对称的函数)(x f ，都可以写成一个奇函数与一个偶函数之和.变式1：已知定义在R 上的奇函数)(x f 和偶函数)(x g 满足)1,0(2)()(≠>+-=+-a a a a x g x f x x .若a g =)2(，则)2(f =（ ）2.A 415.B 417.C 2.a D 解析 因为f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，所以由f(x)+g(x)=a x -a -x +2…①得f(-x)+g(-x)=a -x -a x +2即-f(x)+g(x)= a -x -a x +2….②① +② ，得g(x)=2，①-②得f(x)= a x -a -x ，又g(2)=a ，所以a=2,所以f(x)= 2x -2-x ，f(2)= 22-2-2=15/4,故选B变式2：设函数)(x f 和)(x g 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论正确的是（ ）A.|)(|)(x g x f +是偶函数 |)(|)(.x g x f B -是奇函数)(|)(|.x g x f C +是偶函数 )()(|.x g x f D -是奇函数解析 令f(x)=x 2,g(x)=x 3,则A.f(x)+|g(x)|= x 2+| x 3|, f(-x)+|g(-x)|= x 2+| x 3|= f(x)+|g(x)|,故选项A 正确.同理B,C,D 错误.【例2.31】函数)(1sin )(3R x x x x f ∈++=，若2)(=a f ，则)(a f -的值为（ ） 3.A 0.B 1.-C 2.-D分析 函数1s i n )(3++=x x x f 中x x y s i n 3+=为奇函数，借助奇函数的性质求解.解析 令x x x g s i n )(3+=，得1)()(+=x g x f ，依题意得，21)(=+a g ，所以1)(=a g .由)(x g y =为奇函数，故1)()(-=-=-a g a g ，所以01)()(=+-=-a g a f ，故选B. 评注 本题中虽然函数整体没有奇偶性，但可利用局部的奇偶性求解，尤其是当)(x f 为奇函数时，0)()(=+-x f x f ，特别地0)()(m a x m i n =+x f x f .变式1：对于函数c bx x a x f ++=sin )(（其中Z c R b a ∈∈,,），选取c b a ,,的一组计算)1(f 和)1(-f ，所得出的正确结果一定不可能是（ ）A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2解析 f(1)+ f(-1)=asin1+b+c+asin(-1)-b+c=2c,因为c ∈Z,则f(1)+ f(-1为偶数，在4个选项中，只有选项D 中1+2=3不是偶数，故选D.变式2：已知函数),(4sin )(3R b a x b ax x f ∈++=，5))10(lg(log 2=f ，则=))2(lg(lg f ( )A.5-B.5-C.3D.4分析 2211log 10,lg(log 10)lg()lg(lg 2),lg 2lg 2===-根据函数y=ax 3+bsinx 为奇函数求解. 解析 由2211log 10,lg(log 10)lg()lg(lg 2),lg 2lg 2===-则f(lg(lg 2)-)+f(lg(lg 2)=8,故f(lg(lg 2)=3，故选C.变式3：设函数1sin )1()(22+++=x x x x f 的最大值为M ，最小值为m ，则.______=+n M解析 将函数解析式化简，利用函数的奇偶性求解.222(1)sin 2sin ()111x x x x f x x x +++==+++，设22sin ()1x x g x x +=+，则()()g x g x -=-，所以()g x 是奇函数，由奇函数图像的对称性知max min ()()0,g x g x +=所以题型17 函数的单调性（区间）思路提示判断函数的单调性一般有四种方法：定义法、图像法、复合函数单调性法和导数法.【例2.32】求证：函数)0()(>+=a xa x x f 在),[+∞a 上是增函数. 分析 利用函数单调性的定义来证明.解析 设任意的两个实数),[,21+∞∈a x x 且21x x <，则有)1)()()()(2121212121x x a x x x a x a x x x f x f --=++-=-（.因为),[,21+∞∈a x x ，所以a x x >21，0,012121<->-x x x x a ，)()(0)()(2121x f x f x f x f <⇒<-，故)(x f 在),[+∞a 上是增函数.评注 利用函数单调性的定义判定时，其步骤为：（1）取值；（2）作差比较；（3）定量；（4）判断.解题时注意所设的21,x x 在区间内须具有任意性.若否定函数单调性时，只要取两个特殊自变量说明不满足即可.变式1：已知函数)(x f 对任意R y x ∈,，满足2)()()(++=+y x f y f x f ，当0>x 时，2)(>x f ，求证：)(x f 在R 上是增函数.分析 判断抽象函数的单调性利用定义法求解.解析 任取x 1,x 2∈R ，设x 1﹤x 2, x 2- x 1﹥0,因为x ﹥0,时，f(x)﹥2,所以f( x 2- x 1) ﹥2,由f(x)+ f(y)= f(x+y)+2,可得f(x+y)- f(x)= f(y)-2，设x+y=x 2,x=x 1,则y=x 2-x 1,所以f( x 2)- f( x 1)= f( x 2- x 1)-2.因为f( x 2- x 1) ﹥2,所以 f( x 2)- f( x 1)= f( x 2- x 1)-2﹥0，所以f( x 2)﹥ f( x 1)，当即x 1﹤x 2, f( x 2)﹥ f( x 1)，所以f(x)在R 上是增函数.评注：判定抽象函数的单调性时，常利用赋值法和定义法比较f( x 2)和 f( x 1)的大小变式2：定义在R 上的函数0)0(),(≠=f x f y ，当0>x 时，1)(>x f ，且对任意的R b a ∈,，有)()()(b f a f b a f ⋅=+.（1）求证：1)0(=f ；（2）求证：对任意的R x ∈，恒有0)(>x f ；（3）证明：)(x f 是R 上的增函数；（4）若1)2()(2>-⋅x x f x f ，求x 的取值范围.（5）解析 （1）令a=b=0,则f(0)=[ f(0)]2,因为f(0)≠0，所以f(0)=1.（6）（2）当x ﹥0 时，f( x)﹥1﹥0；当x=0 时，f( 0)=1﹥0；（7）当x ﹤0 时，f( x) f(- x)= f( 0)=1，则f( x)= 【f(- x)】-1﹥0，（8）故对任意的x ∈R ，恒有f( x)﹥0.（9）（3）令a ﹥0，则a+b ﹥b,f(a+b)- f(b)= f(a) fb)- f(b)=[ f(a)-1] fb),（10）当a ﹥0时，f( a)﹥1,且b ∈R,恒有f(b)﹥0.故f(a+b) ﹥ f(b)，（11）所以f(x)在R 上是增函数.（12）（4）因为f(x). f(2x-x 2)= f(3x-x 2) ﹥1= f( 0),所以3x-x 2 ﹥ 0，（13）所以0﹤x ﹤3,故x 的取值范围时（0,3）【例2.33】设),(a -∞是函数5||42+-=x x y 的一个减区间，则实数a 的取值范围是（ ） ),2.[+∞-A ]2,.(--∞B ),2.[+∞C ]2,.(-∞D分析 作出函数的图象，找出递减区间，从而确定a 的取值范围.解析 由5||42+-=x x y 得，)()(x f x f =-，知)(x f y =为偶函数，其图象关于y 轴对称.只要画出当0≥x 时的图象，然后作出其关于y 轴对称的图形即可得到0<x 部分的图象，如图所示.可知，若),(a -∞为函数)(x f 的减区间，则2-≤a .故选B.变式1：下列区间中，函数|)2ln(|)(x x f -=在其上为增函数的是（ ）]1,.(-∞A ]34,1.[-B )23,0.[C )2,1.[D 解析 用图象法解决，将y=lnx 的图像关于y 轴对称得到y=ln （-x ），再向右平移两个单位，得到y=ln （-（x-2））的图像，将得到的图像在x 轴下方的部分翻折上来，即得到f(x)=|ln(2-x)|的图像，由图2-43知，选项中f(x)是增函数的显然只有D.故选D.评注：要得到函数f(x)=|ln(2-x)|的图像，也可先作函数y=ln(x+2)的图像，将其关于y 轴对称得函数y=ln(-x+2)的图像，在x 轴下方的部分翻折上来，即得到f(x)=|ln(2-x)|的图像.变式2：已知函数a e x f a x ()(||-=为常数）.若)(x f 在区间),1[+∞上是增函数，则a 的取值范围是__________________.解析 如图2-44所示，函数f(x)在区间【a,+∞)上单调递增，因此【1,+∞) ⊆【a,+∞)，故a 的取值范围是（-∞，1】.变式3：定义在R 上的函数)(x f 是偶函数，且)2()(x f x f -=，若)(x f 在区间]2,1[上是减函数，则)(x f （ ）A.在区间]1,2[-上是增函数，在区间]4,3[上是减函数B.在区间]1,2[--上是增函数，在区间]4,3[上是减函数C.在区间]1,2[-上是减函数，在区间]4,3[上是增函数D.在区间]1,2[--上是减函数，在区间]4,3[上是增函数E.分析 根据题意，作出函数f(x)的草图，判断函数的单调性即求函数的单调区间.F.解析 由f(x)= f(2-x)可知f(x)的图像关于x=1对称，又因为f(x)为偶函数，其图像关于x=0对称，可得到f(x)为周期函数且最小正周期为2，结合f(x)在区间[1,2]是减函数，可得到如图2-45所示的函数f(x)的草图，观察可知，f(x)在区间[-2,-1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数.故选B.G.变式4：已知⎩⎨⎧≥<+-=)1(log )1(4)13()(x x x a x a x f a 是R 上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）)1,0.(A )31,0.(B )31,71.[C )1,71.[D分析 本题所给的函数为分段的形式，要满足在R 上的递减不仅要满足在每个子区间上递减，而且要满足在整个定义域上都递减.解析 函数f(x)在R 上递减，故x ﹤1时，f(x)=(3a-1)x+4a 单调递减，因此3a-1﹤0，得a ﹤⅓；当x ≥1时，f(x)=log a x 单调递减，故0 ﹤a ﹤1.同时结合f(x)的图像（如图2-46所示），当x=1时，（3a-1）+4a ≥log a 1,解得a ≥1/7,综上a 的取值范围是[1/7, 1/3).故选C.评注：关于分段函数的单调性应注意：若()(),()x f x c b x ∈⎧=≥⎨∈⎩g(x) [a,b]其中h(x) （[c,d]），g(x)在[a,b]上是增函数，h(x)在[c,d]上是增函数，则f(x)在区间[a,b]∪ [c,d]上不一定是增函数，若使f(x)在区间[a,b]∪ [c,d]上一定是增函数，需补充条件g(b)≤h(c).即有下面的重要结论：分段函数()(),()x f x c b x ∈⎧=≥⎨∈⎩g(x) [a,b]其中h(x) （[c,d]）为单调增函数 max min ,()c b ⎧⎪⇔≥⎨⎪≤⎩g(x) 在[a,b]上递增h(x) 在[c,d]上递增其中g(x)h(x)分段函数()(),()x f x c b x ∈⎧=≥⎨∈⎩g(x) [a,b]其中h(x) （[c,d]）为单调减函数min max ,()c b ⎧⎪⇔≥⎨⎪≥⎩g(x) 在[a,b]上递减h(x) 在[c,d]上递减其中g(x)h(x)题型18 函数的周期性思路提示（1）)0(||)()(≠=⇒=+a a T x f a x f ；)(||)()(b a b a T b x f a x f ≠-=⇒+=+；（2）)0(||2)()(≠=⇒-=+a a T x f a x f ；)(||2)()(b a b a T b x f a x f ≠-=⇒+-=+；)0,(||2)()(≠≠-=⇒=+⋅+c b a b a T c b x f a x f .（3）)0(||6),2()()(≠=---=a a T a x f a x f x f .【例 2.34】已知函数)(x f 对任意实数x 都满足)(1)1(x f x f =+，若8)1(=f ，则=)2014(f ___________.解析 1)(1(,)(1)1(=⋅+=+x f x f x f x f ），有1)2()1(=+⋅+x f x f ，所以)2()(+=x f x f ，故2=T ，所以81)1(1)0()2014(===f f f .变式1：函数)(x f 对任意实数x 都满足)(1)2(x f x f =+，若5)1(-=f ，则=))5((f f ____. 解析 1(2),(2)()1()f x f x f x f x +=+=即，有(4)(+2)1f x f x +=，所以f(x+4)=f(x),故T=4，f(5)=f(1)=-5,所以f(f(5))=f(-5)=f(-1)=1/f(1)=-1/5【例2.35】已知函数)(x f 满足),)(()()()(4,41)1(R y x y x f y x f y f x f f ∈-++==，则=)2010(f _____________.解析 令)1()1()()1()1()1()(4,1-++=⇒-++==x f x f x f x f x f f x f y)1()()1(--=+⇒x f x f x f ，6=T ，所以)0()2010(f f =，又令0,1==y x ，有)1()1()0()1(4f f f f +=，所以21)2010(,21)0(==f f . 【例2.36】已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒等于零的偶函数，且对任意实数x 都有)()1()1(x f x x xf +=+，则)25(f 的值是（ ）A.0B.21C.1D.25 分析 )(x f 为偶函数，有)()1()1(x f x x xf +=+，只能从x x =+1或者01=++x x 时入手.解析 当01=++x x 时，即21-=x 时，)21(21)21(21)21(21f f f =-=-，得0)25(,0)23(,0)21(===f f f ，故选A. 评注 本题也可以从另外一方面解答，先构造一个函数，当Z x ∉时，xx f x x f )(1)1(=++.令x x f x g )()(=，则1)1()1(++=+x x f x g .所以)()1(x g x g =+，1=T ，令21-=x ，得0)21(),21(21)21(21)21(21==-=-f f f f .因为)21(25(g g =），即02)21(2)25(==f f .故0)25(=f .变式1：已知a 为非零常数，R x ∈且)(1)(1)(x f x f a x f -+=+，试判断)(x f 的周期性. 解析 1()11()1()11()(),(2)1()1()1()()11()f x f x f x a f x f x a f x a f x f x f x a f x f x +++++-+=+===-+--+--, 所以(2)()1f x a f x +=-，即(2)(4)1f x a f x a ++=-所以f(x+4a)=f(x),T=4|a|, 故(x)为周期函数，且T=4|a|.题型19 函数性质的综合思路提示（1）奇偶性与单调性综合解题，尤其要重视利用偶函数（或轴对称函数）与单调性综合解不等式和比较大小.（2）奇偶性、单调性、周期性综合解题，尤其要注意对称性与周期性之间的关系，周期是两条对称轴（或对称中心）之间距离的2倍，是对称中心与对称轴之间距离的4倍.如函数)(x f 的图象关于点)0,(a 和点)0,(b 中心对称，可得)(||2b a b a T ≠-=. )2()(),2()(x b f x f x a f x f --=--=，所以)2()2(x b f x a f -=-，可得||2b a T -=. 如函数)(x f 的图象关于直线a x =和直线b x =轴对称，可得)(||2b a b a T ≠-=.)2()(),2()(x b f x f x a f x f -=-=，所以)2()2(x b f x a f -=-，可得||2b a T -=.如函数)(x f 关于点)0,(a 中心对称，且关于直线b x =轴对称，可得)(||4b a b a T ≠-=.)2()(),2()(x b f x f x a f x f -=--=，所以)2()2(x b f x a f -=--，故)()44(x f x a b f =+-，||4b a T -=.【2.37】定义在R 上的偶函数)(x f 满足：对任意的)](0,(,2121x x x x ≠-∞∈，有0)]()()[(2121>--x f x f x x ，则当*N n ∈时，有（ ）)1()1()(.+<-<-n f n f n f A )1()()1(.+<-<-n f n f n f B)1()()1(.-<-<+n f n f n f C )()1()1(.n f n f n f D -<-<+分析 偶函数关于y 轴对称，关于y 轴对称的两部分图象单调性相反.解析 由]0,(,21-∞∈∀x x ，有0)]()()[(2121>--x f x f x x 可得]0,(-∞∈x 时，)(x f 单调递增，因为)(x f 为偶函数，所以当),0(+∞∈x 时，)(x f 单调递减，所以自变量绝对值越小，所对应的的函数值越大.因为110+<<-≤n n n ，所以)1()()()1(+>-=>-n f n f n f n f ，故选C.变式1：已知定义域为R 的函数)(x f 在区间),8(+∞上减函数，且函数)8(+=x f y 为偶函数，则（ ）)7()6(.f f A > )7()6(.f f B > )9()7(.f f C > )10()7(.f f D > 解析 因为s(x+8)为周期函数，所以f(-x+8)=f(x+8),所以f(x)关于x=8对称，又因x ∈(8,+ ∞)时，f(x)为减函数，所以x ∈(-∞，8)时，f(x)为增函数，所以|x-8|越小，f(x)越大， |6-8|>|7-8|⇒f(6)<f(7); |6-8|>|9-8|⇒f(6)<f(9)|7-8|=|9-8|⇒f(7)=f(9) ;|7-8|<|10-8|⇒f(7) >f(10).故选D.变式2：已知偶函数)(x f 在区间),0[+∞上单调递增，则满足)31()12(f x f <-的x 的取值范围是（ ）)32,31.(A )32,31.[B )32,21.(C )32,21.[D解析 偶函数f(x)在区间（- ∞，0）上单调递增，所以f(x)在区间[0,+ ∞）上单调递减，即|x|越小，f(x)越大，由f(2x-1)=f (|2x-1|)<f(1/3) 可得|2x-1|<1/3，解得1/3<x<2/3.故选A.变式3：设函数)(x f 是奇函数，并且在R 上为增函数，若20πθ≤≤时，0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）)1,0.(A )0,.(-∞B )21,.(-∞C )1,.(-∞D解析 因为f(x)是奇函数，且在R 上为增函数，又f(msin Ɵ)+ f(1-m) >0所以f(msin Ɵ) >- f(1-m) =f(m-1),所以msin Ɵ >m-1，令t=sin Ɵ∈[0,1],构造函数g(t)=mt-m+1, t ∈[0,1],由函数g(t)在[0,1]上恒大于0，则-m+1>0,故m <1,故选D.变式4：设函数}{,1)3()(3n a x x x f -+-=是公差不为0的等差数列，14)(...)()(721=+++a f a f a f ，则=+++721...a a a （ ）A. 0B. 7C. 14D. 21解析f(x)=(x-3)3+x-1=(x-3)3+x-3+2,设t=x-3,令g(t)=t 3+t,易知g(t)在R 上为单调递增的奇函数.有f(a 1)+ f(a 2)+…+ f(a 7)=14,得g(t 1)+g(t 2)+…+g(t 7)=0,其中t 1=a 1-3,t 2=a 2-3,…当t 1+t 7>0时，得t 1>-t 7,g(t 1) >g(-t 7)=- g(t 7),即g(t 1) + g(t 7)>0，同理g(t 2) + g(t 6)>0，g(t 3) + g(t 5)>0，g(t 4) >0，故t 1+t 7>0得g(t 1) + g(t 2) +…+ g(t 7)>0. 当t 1+t 7<0得g(t 1) + g(t 2) +…+ g(t 7) <0. 又g(t 1) + g(t 2) +…+ g(t 7)=0，故只有t 1+t 7=0 即a 1+a 7=6,则a 1+a 2+…+a 7=( a 1+ a 7)x7/2=21.故选D.评注 :本题考查了单调递增的奇函数的性质：若121212,,0()()0x x D x x f x f x ∀∈+>⇔+>，或121212,,0()()0x x D x x f x f x ∀∈+<⇔+<【例2.38】函数)(x f 的定义域为R ，若)1(+x f 与)1(-x f 都是奇函数，则（ ） A.)(x f 是偶函数 B.)(x f 是奇函数 C.)2()(+=x f x f D.)2(+x f 是奇函数 分析 由奇偶性⇒对称性⇒周期性.解析 因为)1(+x f 为奇函数，所以)1()1(+-=+-x f x f ，故)0,1(为函数)(x f 的对称中心，由)1(-x f 为奇函数，同理)0,1(-也为函数)(x f 的对称中心，利用结论知函数)(x f 的周期为4，则)1()3(-=+x f x f ，所以)3(+x f 为奇函数.故选D.变式1：定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+，且在]0,1[-上单调递增，设)3(f a =，)2(),2(f c f b ==，则c b a ,,的大小关系是（ ）c b a A >>. b c a B >>. a c b C >>. a b c D >>.解析 由f(x+1)= -f(x)，可得T=2，所以-2),c=f(2)=f(0),因为f(x)在[-1,0]上单调递增，所以f(0) >-2) > f(-1)，所以c >b >a,故选B.变式2：已知定义在R 上奇函数)(x f 满足)()4(x f x f -=-，且在区间]2,0[上是增函数，则（ ）)80()11()25(.f f f A <<- )25()11()80(.-<<f f f B )25()80()11(.-<<f f f C )11()80()25(.f f f D <<-解析 由f(x-4)= -f(x)，可得T=8，所以f(80)=f(0), f(-25)=f(-1),f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1),因为f(x)为定义在R 上的奇函数且在[0,2]上单调递增，所以f(x)在[-2,2]上单调递增，所以f(1) >f(0) >f(-1),即f(-25) <f(80) <f(1),故选D.【例 2.39】定义在R 上的函数)(x f 是奇函数，且是以2为周期的周期函数，则)7()4()1(f f f ++=( )1.-A 0.B 1.C 4.D解析 因为)(x f 的T=2，且是定义在R 上的奇函数，所以0)0(=f ，则0)1()0()1()7()4()1(=-++=++f f f f f f ，故选B.变式1：已知)(x f 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当20<≤x 时，x x x f -=3)(，则函数)(x f 的图象在区间]6,0[上与x 轴的交点的个数为（ ） A.6 B.7 C.8 D.9解析 因为当0≤x ﹤2时，f(x)=x 3-x=x(x 2-1),又因为f(x)是R 上最小正周期为2的周期函数，且f(0)=0,所以f(6)=f(4)=f(2)=f(0)=0,又因为f(1)=0,f(3)=0,f(5)=0,故函数y=f(x)的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为7个，故选B.【例 2.40】函数)(x f 的定义域为D ，若对任意的D x x ∈21,，当21x x <时，都有)()(21x f x f ≤，则称函数)(x f 在D 上为非减函数，设函数)(x f 在]1,0[上为非减函数，且满足以下3个条件：①0)0(=f ；②)(21)3(x f x f =；③)(1)1(x f x f -=-，则=+)81()31(f f ( ) 43.A 21.B 1.C 32.D解析 21)1(21)31(==f f ，也可得41)31(21)91(==f f ，由)(1)1(x f x f -=-可得21)21(=f ，所以41)21(21)61(==f f .因为当1021≤<≤x x 时都有)()(21x f x f ≤，所以可由618191<<得，)61()81()91(f f f ≤≤，即41)81(=f ，所以43)81()31(=+f f .故选A.变式1：定义在R 上的函数满足1)1()(,0)0(=-+=x f x f f ，)(21)3(x f xf =，且当1021≤<≤x x 时，)()(21x f x f ≤，则=)20101(f ___________. 分析 当x 1<x 2时，f(x 1) ≤f(x 2),可知f(x)为非减函数，求这类函数值时用夹逼的方法解答.解析 由f(0)=0,f(x)=+f(1-x)=1,可得f(12)=12,f(1)=1-f(0)=1,f(15)=12f(1)= 12,当x ∈ [15,12]时，1111()()2522f f =≤=,所以111(),[,],252f x x =∈ 同理111[,],(),25104x f x ∈=当时111[,],(),125508x f x ∈=当时111[,],(),125508x f x ∈=当时111[,],(),62525016x f x ∈=当时111[,],(),3125125032x f x ∈=当时又因为1111,().31251250201032x f <<=变式2：设)(x g 是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数)()(x g x x f +=在区间]4,3[上的值域为]5,2[-，则)(x f 在区间]10,10[-上的值域为_____________.解析 设x 1∈[3,4],f(x 1)=x 1+g(x 1) ∈[-2,5],因为g(x)是定义在R 上且周期为1的函数，所以当x 2=x 1+1∈[4,5]时，f(x 2)=x 1+1+g(x 1+1)= x 1+g(x 1) +1∈[-1,6], 当x 3=x 2+1∈[5,6]时，f(x 3)=x 1+2+g(x 1+2)= x 1+g(x 1) +2∈[0,7]；…当x 7=x 1+6∈[9,10]时，f(x 7)=x 1+6+g(x 1+6)= x 1+g(x 1) +6∈[4,11].同理当x ∈[-10,-9]时，f(x)=f(x 1-13)=x 1-13+g(x 1-13)= x 1+g(x 1) -13∈-15,-8],综上，当x ∈[-10,10]时，函数f(x)的值域为[-15,11].变式3：对于定义域为]1,0[的连续函数)(x f ，如果同时满足以下3个条件：①对任意的]1,0[∈x ，总有0)(≥x f ；②1)1(=f ；③若1,0,02121≤+≥≥x x x x ，都有)()()(2121x f x f x x f +≥+成立，则)(x f 为理想函数.（1）若函数为理想函数，求)(x f 的值域；（2）判断函数])1,0[(12)(∈-=x x g x 是否为理想函数，并予以证明；（3）若函数)(x f 为理想函数，假定存在]1,0[0∈x ，使得]1,0[)(0∈x f ，且00))((x x f f =，求证：00)(x x f =.（4）解析 (1)由③得f(1)≥f(1)+f(0) ⇒ f(0) ≤0, 由①得f(0) ≥0,所以f(0) =0，当0<x<1时，令t >0且t+x=1,由②③得f(1)≥f(x)+f(t),又因为f(x)为[0,1]上的连续函数，所以f(x) ≤1，所以0≤f(x)≤1，所以f(x)的值域为[0,1].（5）(2) g()x=2x -1(x ∈[0,1])是理想函数，证明如下：x ∈[0,1]时，1≤2x ≤2，所以2x -1≥0，所以满足①；f(1)= 21-1=1,所以满足②； （6）X 1≥0, x 2≥0,x 1+x 2≤1时，（7）g(x 1+x 2)-g(X 1)-g(x 2)=2x 1+x 2 -2x 1-2x 2+1=(2x 1-1)(2x 2-1) ≥0,（8）所以g(x 1+x 2)-g(X 1)-g(x 2)≥0,即g(x 1+x 2) ≥g(X 1)+ -g(x 2)，所以满足③. （9）故函数g()x=2x -1(x ∈[0,1])是理想函数.（10）（3）证明：假设f(x 0)=t,当x 0﹥t 时，f(f(x 0))=f(t)=x 0,因为x 0﹥t,函数f(x)在[0,1]上非减，所以f(x) ≥f(t),即t ≥x 0与x 0﹥t 矛盾，故当x 0﹥t 时不成立，同理当x 0﹤t 时，也与已知矛盾.所以f(x 0)= x 0.最有效训练题6（限时45分钟）1.已知函数)32(log )(22--=x x x f ，现使)(x f 为减函数的区间是（ ） )6,3.(A )0,1.(-B )2,1.(C )1,.(--∞D2.已知函数]3,2[,)(2-∈=x x x f ，如果存在实数]3,2[,21-∈x x ，使得对任意实数]3,2[-∈x ，都有)()()(21x f x f x f ≤≤，则||21x x -的值是（ ）A.0B.2C.3D.53.函数)(x f )(R x ∈的图象如图所示，则下列哪个区间是函数)10)((log )(<<=a x f x g a 的单调减区间（ ）]21,0.[A ),21[)0,.(+∞-∞ B ]1,.[a C ]1,.[+a a D4.已知函数⎩⎨⎧≥<-=)2()2()4()(x a x x a x f x在R上单调递增，则a 的取值范围是（ ） ]4,1.(A )4,2.(B )4,2.[C ),4.(+∞D5.函数)(x f 是以2为周期的偶函数，且当)1,0(∈x 时，12)(-=x x f ，则)12(log 2f 的值为（ ） 31.A 34.B 2.C 11.D 6.设2)(3-+=x x x f ，若5)(,1)(-==b f a f ，则=+b a ( ) 2.-A 0.B 1.C 2.D7.设函数))(()(R x ae e x x f xx∈+=-是偶函数，则实数=a __________.8.(1)奇函数)(x f 的定义域为]5,5[-，若当]5,0[∈x 时，)(x f 的图象如图所示，则不等式0)(<x f 的解集是__________.(2)已知函数)(x f y =是R 上的偶函数，且在]0,(-∞上是减函数，若()(2)f a f ≥，则实数a 的取值范围是________.9．已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且2()()23f x g x x x +=++，则()()f x g x -=_________.10.已知函数||sin 1()||1x x f x x -+=+()x R ∈的最大值为M ,最小值为m ，则M m +的值为___________.11.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x 恒有(2)()f x f x +=-.当[0,2]x ∈时, 2()2f x x x =-.（1）求证: ()f x 是周期函数；（2）当[2,4]x ∈时，求()f x 的解析式；（3）计算(0)(1)(2)(2015)f f f f ++++.12．已知定义域为R 的函数1()41xf x a =++是奇函数.（1）求a 的值；（2）判断()f x 的单调性；（3）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围.最有效训练61.D 解析 由x 2-2x-3 ﹥0得函数的定义域为（-∞，-1）∪（3，+∞），且二次函数t= x 2-2x-3在（-∞，-1）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数，而y=log 2t 是增函数，所以复合函数f(x)= log 2(x 2-2x-3)在（-∞，-1）上是减函数.故选D.2.C 解析 由于f(x)=x 2在[-2,0]上单调递减，在[0,3]上单调递增，故最小值点x 1=0，最大值点x 2=3，∣x 1- x 2∣=3.故选C.3.C 解析 令t=log a x(0﹤a ﹤1),则此函数为减函数，由图2-6知y=f(t)在（-∞，0）和（12，+∞）上都是减函数，在[0, 12]上是增函数， 当t ∈[0,12]时，x ∈所以，函数g(x)=f(log a x)在上是减函数.故选C. 4.C 解析 依题意得，函数f(x)在r 上单调递减，则2401,24,2(4)a a x a a⎧->⎪>≤<⎨⎪-≤⎩解得故选C.5.A 解析 f(log 212)= f(log 212-4)= f(log 234)= f(-log 234)= f(log 243),由于0﹤log 243﹤1，故f(log 243)=13.故选A. 6.B 解析 令g(x)=x 3+x,x ∈R,则g(x)为单调递增的奇函数，又f(a)=1,f(b)=-5,所以f(a)+f(b)=g(a)-2+g(b)-2=-4,即g(a) +g(b)=0，所以a+b=0.故选B.7. -1 解析 令g(x)=x,h(x)=e x +ae -x ，因为函数g(x)=x 是奇函数，则由题意知，函数h(x)=e x +ae -x 是奇函数，又函数f(x)的定义域为R ， 所以h(0)=0,解得a=-1.8. (1) (-2,0) ∪(2,5]; (2)（-∞,-2] ∪[2, +∞）解析 （1）由奇函数图像的对称性补出其在[-5,0)上的图像，由图像知解集为(-2,0) ∪(2,5].（2）由已知f(x)在[0, +∞）上都是减函数，且f(a)=f(∣a ∣)所以f(a) ≥f(2),故f(∣a ∣) ≥f(2)所以∣a ∣ ≥2，得a ≤-2或a ≥2， 则实数a 的取值范围是（-∞,-2] ∪[2, +∞）.9.2x-x 2-3 解析 依题意，f(-x)+g(-x)=x 2-2x+3=- f(x)+g(x),因此f(x)-g(x)= 2x-x 2-3（x ∈R ）10. 2 解析 将f(x)变形，利用奇函数的图像冠宇原点对称的特殊性质，因为sin ()1,1x f x x =-+其中sin 1xx μ=+是奇函数，所以M=1+max μ,m=1-min μ故 M+m=2. 11.解析 （1）证明：因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x)所以f(x)是周期为4的周期函数.（2）当x ∈[2,4]时，x-2∈[0,2],所以f(x-2)=-x 2+6x-8,又因为f(x-2)=-f(（x-2）+2)= -f(x)，所。

第三节函数的奇偶性与周期性[考纲传真] 1.了解函数奇偶性的含义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．1．函数的奇偶性(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．[常用结论]1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.2．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)．(2)若f(x＋a)＝1f(x)，则T＝2a(a＞0)．(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，则T＝2a(a＞0)．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．()(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称． ()(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．()(4)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)(a＞0)，则f(x)是周期为2a的周期函数． ()[答案](1)×(2)√(3)√(4)√2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()A．－13 B.13C.12D．－12B[依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，∴b＝0且a＝13，则a＋b＝13.]3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是() A．y＝x＋sin 2x B．y＝x2－cos xC．y＝2x＋12x D．y＝x2＋sin xD[A项，定义域为R，f(－x)＝－x－sin 2x＝－f(x)，为奇函数，故不符合题意；B项，定义域为R，f(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数，故不符合题意；C项，定义域为R，f(－x)＝2－x＋12－x＝2x＋12x＝f(x)，为偶函数，故不符合题意；D项，定义域为R，f(－x)＝x2－sin x，－f(x)＝－x2－sin x，因为f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，故为非奇非偶函数．]4．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)的值为()A．－1 B．0C．1 D．2B[∵f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，又f(x＋4)＝f(x)，∴f(8)＝f(0)＝0.]5．(教材改编)已知函数f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a，b](a＜b＜0)上的值域为[－3,4]，则在区间[－b，－a]上有()A．最大值4 B．最小值－4C．最大值－3 D．最小值－3B[法一：根据题意作出y＝f(x)的简图，由图知，选B.法二：当x∈[－b，－a]时，－x∈[a，b]，由题意得f(b)≤f(－x)≤f(a)，即－3≤－f(x)≤4，∴－4≤f(x)≤3，即在区间[－b，－a]上f(x)min＝－4，f(x)ma x＝3，故选B.]【例1】(1)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数C[对于A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h (x )是奇函数，A 错．对于B ：令h (x )＝|f (x )|g (x )，则h (－x )＝|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|·g (x )＝|f (x )|g (x )＝h (x )，∴h (x )是偶函数，B 错．对于C ：令h (x )＝f (x )|g (x )|，则h (－x )＝f (－x )|g (－x )|＝－f (x )·|g (x )|＝－h (x )，∴h (x )是奇函数，C 正确．对于D ：令h (x )＝|f (x )·g (x )|，则h (－x )＝|f (－x )·g (－x )|＝|－f (x )·g (x )|＝|f (x )·g (x )|＝h (x )，∴h (x )是偶函数，D 错．] (2)判断下列函数的奇偶性． ①f (x )＝lgx －1x ＋1； ②f (x )＝ln(x 2＋1＋x )； ③f (x )＝1－x 2＋x 2－1；④f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x ＞0x 2－x ，x ＜0.[解] ①由x －1x ＋1＞0得x ＞1或x ＜－1，即函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称．又f (－x )＝lg－x －1－x ＋1＝lg x ＋1x －1＝－lg x －1x ＋1＝－f (x ) ∴f (x )为奇函数． ②f (x )的定义域为R ， f (－x )＝(ln x 2＋1－x )＝ln1x 2＋1＋x＝－ln(x 2＋1＋x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．③由⎩⎨⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，得x ＝±1， ∴f (x )的定义域为{－1,1}．又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0，∴f(x)＝±f(－x)．∴f(x)既是奇函数又是偶函数．④易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x＞0时，f(x)＝x2＋x，则当x＜0时，－x＞0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；当x＜0时，f(x)＝x2－x，则当x＞0时，－x＜0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．的定义域分别是D，D，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇下列结论错误的是()A．|g(x)|是偶函数B．f(x)g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是偶函数D．f(x)＋g(x)是奇函数D[f(－x)＝e－x＋e x＝f(x)，f(x)为偶函数．g(－x)＝e－x－e x＝－g(x)，g(x)为奇函数．|g (－x )|＝|－g (x )|＝|g (x )|，|g (x )|为偶函数，A 正确；f (－x )g (－x )＝f (x )[－g (x )]＝－f (x )g (x )，所以f (x )g (x )为奇函数，B 正确； f (－x )|g (－x )|＝f (x )|g (x )|， 所以f (x )|g (x )|是偶函数，C 正确； f (x )＋g (x )＝2e x ，f (－x )＋g (－x )＝2e －x ≠－(f (x )＋g (x ))， 且f (－x )＋g (－x )＝2e －x ≠f (x )＋g (x )，所以f (x )＋g (x )既不是奇函数也不是偶函数，D 错误，故选D.] (2)判断下列函数的奇偶性 ①f (x )＝ln(e ＋x )＋ln(e －x )； ②f (x )＝2x ＋12x －1；③f (x )＝⎩⎨⎧x 2－1，x ＜0－x 2＋1，x ＞0.[解] ①由⎩⎨⎧e ＋x ＞0，e －x ＞0，得－e ＜x ＜e ，即函数f (x )的定义域为(－e ，e)，关于原点对称． 又f (－x )＝ln(e －x )＋ln(e ＋x )＝f (x )， 所以函数f (x )是偶函数．②由2x －1≠0得x ≠0，即函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．又f (－x )＝2－x ＋12－x －1＝1＋2x 1－2x ＝－2x ＋12x －1＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数．③函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝(－x )2－1＝x 2－1＝－f (x )， 当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝－(－x )2＋1＝－x 2＋1＝－f (x )， 综上所述，f (－x )＝－f (x )．因此函数f (x )是奇函数．【例2】 (1)(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________.(2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝________.(3)函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 3为奇函数，则a ＝________. (1)－2 (2)⎩⎨⎧x 2－4x ，x ＞0－x 2－4x ，x ≤0(3)－1 [(1)由f (a )＝ln(1＋a 2－a )＋1＝4，得ln(1＋a 2－a )＝3，所以f (－a )＝ln(1＋a 2＋a )＋1＝－ln 11＋a 2＋a＋1＝－ln(1＋a 2－a )＋1＝－3＋1＝－2.(2)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0.又当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝x 2＋4x .又f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )， 即f (x )＝－x 2－4x (x ＜0)，∴f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ，x ＞0，－x 2－4x ，x ≤0.(3)由题意得f (－1)＋f (1)＝0，即2(a ＋1)＝0，解得a ＝－1，经检验，a ＝－1时，函数f (x )为奇函数．]⎩⎨⎧log 3(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0，则g (f (－8))＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．1D ．2(2)已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )的值为( ) A ．3 B ．0 C ．－1D ．－2(3)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则f (x )＝________. (4)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (1)＝________.(1)A (2)B (3)⎩⎨⎧e －x －1－x ，x ≤0e x －1＋x ，x ＞0(4)52 [(1)因为f (x )为奇函数，所以f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2，所以g (f (－8))＝g (－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－log 33＝－1.(2)设F (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，显然F (x )为奇函数，又F (a )＝f (a )－1＝1，所以F (－a )＝f (－a )－1＝－1，从而f (－a )＝0.故选B.(3)当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝e x －1＋x ， 又f (－x )＝f (x )，因此f (x )＝e x －1＋x .所以f (x )＝⎩⎨⎧e－x －1－x ，x ≤0e x －1＋x ，x ＞0.(4)由题意知f (0)＝20＋2×0＋b ＝0，解得b ＝－1. 所以当x ≤0时，f (x )＝2x ＋2x －1，所以 f (1)＝－f (－1)＝－[2－1＋2×(－1)－1]＝52.]【例3】 (1)(2019·沈阳模拟)函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52的值为( )A.12B.14 C ．－14D ．－12(2)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (4)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋2)＝1－f (x )，则f (2 018)＝( ) A ．－2－ 3 B ．－2＋ 3 C ．2－ 3D ．2＋ 3(3)已知定义在R 上的函数满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1.则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)的值为________．(1)A (2)A (3)1 348 [(1)由f (x ＋1)＝－f (x )得f (x ＋2)＝f (x )，即函数f (x )的周期为2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝12，故选A.(2)由f (x ＋2)＝1－f (x )得f (x ＋4)＝f (x )． 所以函数f (x )的周期为4，所以f (2 018)＝f (2)． 又f (4)＝f (2＋2)＝1－f (2)＝2－3， 所以－f (2)＝12－3＝2＋3，即f (2)＝－2－3，故选A.(3)∵f (x ＋2)＝－1f (x )， ∴f (x ＋4)＝－1f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数y ＝f (x )的周期T ＝4. 又x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1， ∴f (1)＝1，f (2)＝3，f (3)＝－1f (1)＝－1，f (4)＝－1f (2)＝－13.∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝504[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (504×4＋1)＋f (504×4＋2) ＝504⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3－1－13＋1＋3＝1 348.]；函数周期性的应用,根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数f (x )，且f (x )＝⎩⎨⎧1，－1＜x ≤0，－1，0＜x ≤1，则下列函数值为1的是( )A ．f (2.5)B ．f (f (2.5))C ．f (f (1.5))D ．f (2)(2)设定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝________.(1)D (2)1 010 [(1)由f (x ＋1)＝－f (x )知f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，于是f (x )是以2为周期的周期函数，从而f (2.5)＝f (0.5)＝－1，f (f (2.5))＝f (－1)＝f (1)＝－1，f (f (1.5))＝f (f (－0.5))＝f (1)＝－1，f (2)＝f (0)＝1，故选D.(2)∵f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数f (x )的周期T ＝2.又当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，∴f (0)＝0，f (1)＝1，f (0)＋f (1)＝1.∴f(0)＋f(1)＝f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＝…＝f(2 018)＋f(2 019)＝1，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝1 010.]►考法1奇偶性与单调性结合【例4】(2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是() A．[－2,2] B．[－1,1]C．[0,4] D．[1,3]D[∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.故选D.]►考法2奇偶性与周期性结合【例5】(2017·山东高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x －2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.6[∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)是周期为6的周期函数，∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.]►考法3奇偶性、周期性与单调性结合【例6】已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)D [因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)＜f (0)＜f (1)，即f (－25)＜f (80)＜f (11)．故选D.]＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 (2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x )f (x ＋2)＝－1，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝________.(3)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[0,1]上单调递增，设a ＝f (3)，b ＝f (2)，c ＝f (2)，则a ，b ，c 的大小关系是________．(1)A (2)2.5 (3)a ＞b ＞c [(1)因为f (x )是偶函数，所以其图象关于y 轴对称，又f (x )在[0，＋∞)上单调递增，f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13， 所以|2x －1|＜13，所以13＜x ＜23.(2)由已知，可得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x )， 故函数f (x )的周期为4.所以f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)，因为2≤2.5≤3，由题意，得f (2.5)＝2.5.所以f (105.5)＝2.5(3)由f (x ＋1)＝－f (x )得f (x ＋2)＝f (x )，即函数f (x )的周期为2，则f (3)＝f (1)，f (2)＝f (0)，f (2)＝f (2－2)＝f (2－2)，由于0＜2－2＜1，且函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (3)＞f (2)＞f (2)，即a ＞b ＞c.]1．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________.12 [法一：令x ＞0，则－x ＜0.∴f (－x )＝－2x 3＋x 2.∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )＝2x 3－x 2(x ＞0)．∴f (2)＝2×23－22＝12.法二：f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.]2．(2015·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝x ln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________.1[∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立，∴－x ln(－x＋a＋x2)－x ln(x＋a＋x2)＝0恒成立，∴x ln a＝0恒成立，∴ln a＝0，即a＝1.]。

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第3讲函数的奇偶性、对称性［基础达标］1．（2019·舟山市普陀三中高三期中）下列函数既是奇函数，又在（0，＋∞)上单调递增的是（）A．y＝－x2B．y＝x3C．y＝log2x D．y＝－3－x解析：选B。

A.函数y＝－x2为偶函数，不满足条件．B．函数y＝x3为奇函数，在（0，＋∞）上单调递增，满足条件．C．y＝log2x的定义域为（0,＋∞),为非奇非偶函数,不满足条件．D．函数y＝－3－x为非奇非偶函数，不满足条件．2．（2019·衢州高三年级统一考试）已知f（x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x）＝x3＋ln(1＋x)，则当x＜0时，f（x）＝（)A．－x3－ln（1－x）B．x3＋ln(1－x）C．x3－ln(1－x）D．－x3＋ln（1－x）解析:选C。

当x<0时，－x>0，f(－x）＝（－x)3＋ln(1－x)，因为f（x)是R上的奇函数,所以当x＜0时，f(x)＝－f(－x）＝－[（－x）3＋ln（1－x)],所以f(x)＝x3－ln（1－x）．3．若f（x)＝（e x－e－x）(ax2＋bx＋c)是偶函数,则一定有（)A．b＝0 B．ac＝0C．a＝0且c＝0 D．a＝0,c＝0且b≠0解析：选C。

专题2.3函数的奇偶性与周期性1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.知识点一函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数关于y 轴对称奇函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )是奇函数关于原点对称知识点二函数的周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期.【特别提醒】1.(1)如果一个奇函数f (x )在原点处有定义，即f (0)有意义，那么一定有f (0)＝0.(2)如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |).2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.3.函数周期性常用结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ：(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0).(2)若f (x ＋a )＝1f （x ），则T ＝2a (a >0).(3)若f (x ＋a )＝－1f （x ），则T ＝2a (a >0).4.对称性的三个常用结论(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.(3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )的图象关于点(b ，0)中心对称.考点一函数奇偶性的判定【典例1】（2019·四川成都七中模拟）判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝(x ＋1)1－x 1＋x ；(2)f (x )x 2＋2x ＋1，x >0，2＋2x －1，x ＜0；(3)f (x )＝4－x 2x 2；(4)f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)(a >0且a ≠1)．【方法技巧】判断函数奇偶性的常用方法(1)定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f (－x )＝±f (x )或其等价形式f (－x )±f (x )＝0是否成立．(2)图象法：f (x )的图像关于原点对称，f (x )为奇函数；f (x )的图像关于y 轴对称，f (x )为偶函数。

{北师大版}2020高考数学文科一轮复习课后练6《函数的奇偶性与周期性》(建议用时：40分钟)A 组基础达标一、选择题1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A．y ＝1＋x2B．y ＝x ＋1x C．y ＝2x＋12xD．y ＝x ＋ex2．(2019·开封模拟)已知f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (2019)＝()A．5B.12C．2D．－23．(2019·三明模拟)函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝2x ，则当x ＞0时，f (x )＝()A．－2xB．2－xC．－2－xD．2x4．(2019·郑州模拟)已知函数f (x )＝21－x ，0≤x ≤1，x －1，1＜x ≤2，如果对任意的n ∈N *，定义f n (x )＝f {f [f …f (x n 个)]}，那么f 2018(2)的值为()A．0B．1C．2D．35．已知函数f (x )的定义域为R，且满足下列三个条件：①对任意的x 1，x 2∈[4,8]，当x 1＜x 2时，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＞0；②f (x ＋4)＝－f (x )；③y ＝f (x＋4)是偶函数．若a ＝f (6)，b ＝f (11)，c ＝f (2017)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是()A．a ＜b ＜c B．b ＜a ＜c C．a ＜c ＜b D．c ＜b ＜a二、填空题6．已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增加的，且f (1)＝0，则不等式f (x －2)≥0的解集是________．7．(2019·广州模拟)已知函数f (x )＝2x2x －1＋a 为奇函数，则实数a ＝________.8．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x＜1时，f(x)＝2x－1.则f 12＋f(1)＋f32＋f(2)＋f52＝________.三、解答题9．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f 32＋x＝－f32－x成立．(1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期；(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值．10．已知函数f(x )＝－x2＋2x，x＞0，0，x＝0，x2＋mx，x＜0是奇函数．(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上是增加的，求实数a的取值范围．B 组能力提升1．(2019·武汉模拟)若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝()A．e x －e －x B.12(e x ＋e －x )C．12(e －x －e x )D．12(e x －e －x )2．(2019·青岛模拟)已知函数f (x )的定义域为R.当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f x ＋12＝f x －12，则f (6)＝()A．－2B．－1C．0D．23．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x，则有①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上是减少的，在(2,3)上是增加的；③函数f (x )的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________．4．已知函数f (x )＝2|x －2|＋ax (x ∈R)有最小值．(1)求实数a 的取值范围；(2)设g (x )为定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，g (x )＝f (x )，求g (x )的解析式．解析{北师大版}2020高考数学文科一轮复习课后练6《函数的奇偶性与周期性》(建议用时：40分钟)A 组基础达标一、选择题1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A．y ＝1＋x 2B．y ＝x ＋1xC．y ＝2x ＋12xD．y ＝x ＋e xD [A 选项定义域为R，由于f (－x )＝1＋－x 2＝1＋x 2＝f (x )，所以是偶函数．B 选项定义域为{x |x ≠0}，由于f (－x )＝－x －1x ＝－f (x )，所以是奇函数．C 选项定义域为R，由于f (－x )＝2－x ＋12－x ＝12x ＋2x ＝f (x )，所以是偶函数．D 选项定义域为R，由于f (－x )＝－x ＋e －x ＝1e x －x ，所以是非奇非偶函数．]2．(2019·开封模拟)已知f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x＋log 2x ，则f (2019)＝()A．5B.12C．2D．－2D [由题意得f (2019)＝f (4×505－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－(21＋log 21)＝－2，故选D.]3．(2019·三明模拟)函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝2x，则当x ＞0时，f (x )＝()A．－2xB．2－xC．－2－xD．2xC [当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝2－x ，又f (－x )＝－f (x )，所以－f (x )＝2－x ，即f (x )＝－2－x ，故选C．]4．(2019·郑州模拟)已知函数f (x )＝21－x ，0≤x ≤1，x －1，1＜x ≤2，如果对任意的n ∈N *，定义f n (x )＝f {f [f …f (x n 个)]}，那么f 2018(2)的值为()A．0B．1C．2D．3A [由题意知，f 1(2)＝f (2)＝1，f 2(2)＝f (f (2))＝f (1)＝0，f 3(2)＝f (f (f (2)))＝f (0)＝2，f 4(2)＝f (2)＝1，因此f n (2)的值呈周期性变化，周期T ＝3.则f 2018(2)＝f 2(2)＝0，故选A．]5．已知函数f (x )的定义域为R，且满足下列三个条件：①对任意的x 1，x 2∈[4,8]，当x 1＜x 2时，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＞0；②f (x ＋4)＝－f (x )；③y ＝f (x＋4)是偶函数．若a ＝f (6)，b ＝f (11)，c ＝f (2017)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是()A．a ＜b ＜cB．b ＜a ＜cC．a ＜c ＜bD．c ＜b ＜aB [由条件①知，函数f (x )在区间[4,8]上是增加的，由条件②知，函数f (x )的周期T ＝8，由条件③知，函数f (x )的图像关于直线x ＝4对称．则f (11)＝f (3)＝f (5)，f (2017)＝f (1)＝f (7)．由f (5)＜f (6)＜f (7)知f (11)＜f (6)＜f (2017)，即b ＜a ＜c .故选B.]二、填空题6．已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增加的，且f (1)＝0，则不等式f (x －2)≥0的解集是________．{x |x ≤1或x ≥3}[由题意知偶函数f (x )在(－∞，0)上是减少的，且f (－1)＝f (1)＝0，所以f (x －2)≥0可转化为x －2≥1或x －2≤－1，解得x ≥3或x ≤1.]7．(2019·广州模拟)已知函数f (x )＝2x2x －1＋a 为奇函数，则实数a ＝________.－12[由题意知f (－1)＝－f (1)，即2－12－1－1＋a ＝－22－1＋a ，解得a ＝－12，经检验，符合题意．]8．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ＜1时，f (x )＝2x －1.则f 12＋f (1)＋f 32＋f (2)＋f 52＝________.2－1[依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，则f (1)＋f (－1)＝0，f (－1)＝f (1)，即f (1)＝0.∴f 12＋f (1)＋f 32＋f (2)＋f 52＝f 12＋0＋f －12＋f (0)＋f 12＝f 12－f 12＋f (0)＋f 12＝f 12＋f (0)＝212－1＋20－1＝2－1.]三、解答题9．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f 32＋x ＝－f 32－x成立．(1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期；(2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值．[解](1)证明：由f 32＋x ＝－f 32－x，且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f 32＋32＋x ＝－f 32－32＋x ＝－f (－x )＝f (x )，所以y ＝f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期．(2)因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又T ＝3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2.10．已知函数f (x )＝－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上是增加的，求实数a 的取值范围．[解](1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上是增加的，结合f (x )的图像(如图所示)知a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．B 组能力提升1．(2019·武汉模拟)若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝()A．e x －e －x B.12(e x ＋e －x )C．12(e －x －e x )D．12(e x －e －x )D [由题意知f (－x )＋g (－x )＝e －x，又f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，所以f (x )－g (x )＝e －x，解方程组f x －g x ＝e －x ，f x ＋g x ＝e x ，得g (x )＝e x －e －x2.故选D.]2．(2019·青岛模拟)已知函数f (x )的定义域为R.当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f x ＋12＝f x －12，则f (6)＝()A．－2B．－1C．0D．2D [由题意知当x >12时，fx ＋12＝f x －12，则f (x ＋1)＝f (x )．又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )，∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)．又当x <0时，f (x )＝x 3－1，∴f (－1)＝－2，∴f (6)＝2.故选D.]3．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x ，则有①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上是减少的，在(2,3)上是增加的；③函数f (x )的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________．①②[由f (x ＋1)＝f (x －1)得f (x ＋2)＝f (x )，因此2是函数f (x )的周期，故①正确；由题意知，在区间[0,1]上，函数f (x )是增加的．在区间[－1,0]上，函数f (x )是减少的，由函数的周期性知，函数f (x )在(1,2)上是减少的，在(2,3)上是增加的，故②正确；函数f (x )的最大值为2，最小值为1，故③错误．]4．已知函数f(x)＝2|x－2|＋ax(x∈R)有最小值．(1)求实数a的取值范围；(2)设g(x)为定义在R上的奇函数，且当x＜0时，g(x)＝f(x)，求g(x)的解析式．[解](1)f(x)＝a＋2x－4，x≥2，a－2x＋4，x＜2，要使函数f(x)有最小值，需a＋2≥0，a－2≤0，∴－2≤a≤2，故a的取值范围为[－2,2]．(2)∵g(x)为定义在R上的奇函数，∴g(0)＝0.设x＞0，则－x＜0.∴g(x)＝－g(－x)＝(a－2)x－4，∴g(x)＝（a－2）x－4，x＞0，0，x＝0，（a－2）x＋4，x＜0.。

2019-2020学年高考数学一轮复习 2.3函数的奇偶性与周期性学案学考考察重点 1.判断函数的奇偶性；2.利用函数的奇偶性求参数；3.函数的奇偶性、周期性和单调性的综合应用．本节复习目标 1.结合函数的图象理解函数的奇偶性、周期性；2.注意函数奇偶性和周期性的小综合问题；3.利用函数的性质解决有关问题．1．奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有___________，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有___________，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于_________对称；偶函数的图象关于_______对称．2．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_________，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性_______．(2)在公共定义域内，①两个奇函数的和是_________，两个奇函数的积是___________；②两个偶函数的和、积都是___________；③一个奇函数，一个偶函数的积是___________．3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有_____________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中_____________的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．基础知识·自我测试1． (课本改编题)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．2．设函数f(x)＝x3cos x＋1.若f(a)＝11，则f(－a)＝________.3．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x，则满足f(x)>0的x的取值范围是________．4．函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，则 ( ) A．f(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数C ．f (x )＝f (x ＋2)D ．f (x ＋3)是奇函数5．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则)25( f 等 于 ( )A ．－12B ．－14 C.14 D.12题型一 判断函数的奇偶性例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝9－x 2＋x 2－9； (2)f (x )＝(x ＋1)1－x 1＋x ； (3)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3.变式训练1：下列函数：①f (x )＝1－x 2＋x 2－1；②f (x )＝x 3－x ；③f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)；④f (x )＝3x －3－x2； ⑤f (x )＝lg 1－x 1＋x.其中奇函数的个数是 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5题型二 函数的奇偶性与周期性例2 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式；(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)．变式训练2：已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f x ，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝________.题型三 函数性质的综合应用例3 设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积；(3)写出(－∞，＋∞)内函数f (x )的单调区间．变式训练3：(1)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f(－25)<f(11)<f(80)B ．f(80)<f(11)<f(－25)C ．f(11)<f(80)<f(－25)D ．f(－25)<f(80)<f(11)(2)函数y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时是增函数，若f (1)＝0，求不等式f [x (x －12)]<0的解集．。

2020年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）第二章 函 数第03讲 函数的奇偶性与周期性 ---讲1．理解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性，了解函数的周期性.. 2. 高考预测：（1）判断函数的奇偶性与周期性；（2）函数的奇偶性、周期性，通常与抽象函数、函数的图象以及函数的单调性结合考查，浙江卷常通过三角函数加以考查． 3.备考重点：（1）抽象函数的奇偶性与周期性； （2）利用奇偶性与周期性求参数取值范围； （3）函数性质的综合应用问题.知识点1．函数的奇偶性【典例1】（2019·北京高考模拟（理））下列函数中为偶函数的是( ) A ．3y x x =+ B ．24y x =-C ．y =D ．1y x =+【答案】B 【解析】对于A ，f （－x ）＝－x 3－x ＝－（x 3＋x ）＝－f （x ），是奇函数. 对于B ，f （－x ）＝（－x ）2－4＝x 2－4＝f （x ），是偶函数. C 、D 是非奇非偶函数， 所以，选B.【规律方法】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断()f x 与()f x -是否具有相等关系或者相反关系. 在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式(奇函数)或(偶函数)是否成立.【变式1】（2019·天津耀华中学高三月考）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．1y x x=+B ．y =C ．22xxy -=- D ．xy x e =+【答案】D 【解析】易知1y x x=+和22x xy -=-为奇函数，y =为偶函数. 令，则，即且.所以xy x e =+为非奇非偶函数. 故选D.知识点2．函数的周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期.【典例2】（2019·广东高考模拟（文））已知是定义在上的奇函数，满足，且，则（ ） A ．0 B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 因为函数满足，所以关于直线对称，所以，又是定义在上的奇函数，所以，又由可得，所以，故，因此，函数是以4为周期的周期函数，所以，又因此. 故选B【重点总结】1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y＝Asin(ωx＋φ)，用公式T＝2πω计算．递推法：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a.换元法：若f(x＋a)＝f(x －a)，令x－a＝t，x＝t＋a，则f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a．2．判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．【变式2】（2019·河南高三高考模拟（理））设函数，则下列结论正确的是（）A．的值域为B．是偶函数C．不是周期函数D．是单调函数【答案】B【解析】函数的值域为，故A错误；当为有理数时，是有理数，则当为无理数时，是无理数，则即为偶函数，故B正确；对于任意的有理数，当为有理数时，也是无理数，则当为无理数时，也是无理数，则即函数是以任意非0有理数为周期的周期函数，故C错误；显然不是单调函数，故D错误故选B.考点1 函数奇偶性的判断【典例3】【浙江省杭州市学军中学2018年5月模拟】函数，则（）A. 是非奇非偶函数B. 奇偶性与有关C. 奇偶性与有关D. 以上均不对【答案】A【解析】由题得函数的定义域为R.因为，所以所以【总结提升】判断函数的奇偶性的两种方法(1)定义法：(2)图象法：【变式3】【山东省青岛市2018年春季高考二模】下列函数是偶函数的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用偶函数的定义判断函数的奇偶性. 详解：对于选项A,，所以函数是偶函数.考点2 函数奇偶性的性质及应用【典例4】（2019·全国高考真题（文））设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=1x e -， 则当x <0时，f (x )= （ ） A ．e 1x -- B ．e 1x -+ C ．e 1x --- D ．e 1x --+【答案】D 【解析】()f x 是奇函数，x ≥0时，()1x f x e =-．当0x <时，0x ->，，得．故选D ．【总结提升】 函数奇偶性的应用 (1)求函数解析式①将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；②将转化后的自变量代入已知解析式；③利用函数的奇偶性求出解析式． (2)求参数值在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f (－x )＝－f (x )或偶函数满足f (－x )＝f (x )列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f (0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．【变式4】（2019·江西江西师大附中高三高考模拟（文））若函数为奇函数，则实数a 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】B 【解析】()f x 为奇函数当0x <时，0x ->又0x <时，2a =-∴本题正确选项：B【典例5】【2018届河南省南阳市第一中学高三第二十次考】若函数为偶函数，则__________． 【答案】或【解析】令，根据函数为偶函数，可知为奇函数，利用，可得，所以或.【变式5】（2019·天津南开中学高三高考模拟（文））已知是定义域为[a ，a +1]的偶函数，则2b a a -＝（ ） A ．0 B ．34C ．2D ．4【答案】B 【解析】∵f （x ）在[a ，a +1]上是偶函数， ∴﹣a ＝a +1⇒a 12=-， 所以f （x ）的定义域为[12-，12]， 故：f （x ）12=-x 2﹣bx +1， ∵f （x ）在区间[12-，12]上是偶函数，有f （12-）＝f （12），代入解析式可解得：b ＝0；∴2b a a -13144=-=．故选：B ．考点3 函数周期性及其应用【典例6】【2018年江苏卷】函数满足，且在区间上，则的值为________． 【答案】【解析】由得函数的周期为4，所以因此【思路点拨】1.根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.2.关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想．【变式6】【2018届广东省东莞市考前冲刺】已知奇函数满足，且当时，，则（ ）A.B.C. D.【答案】D 【解析】因为函数为奇函数满足，所以，即函数表示以为周期的周期函数，因为当时，，所以，故选D.考点4 函数性质的综合应用【典例7】（2019·山东高考模拟（文））已知定义在R 上的奇函数()f x 满足，当01x ≤≤时，2()f x x =，则（ ） A ．2019 B ．0C ．1D ．-1【答案】B 【解析】 由得：()f x 的周期为4又()f x 为奇函数()11f ∴=，，，即：本题正确选项：B 【规律方法】函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性． (2)周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．【变式7】(2019·哈尔滨六中二模)定义在R 上的奇函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，f (x )＝log 12(1－x )，则f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32上是( ) A ．减函数且f (x )＞0 B ．减函数且f (x )＜0 C ．增函数且f (x )＞0 D ．增函数且f (x )＜0【答案】D 【解析】当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，由f (x )＝log 12(1－x )可知f (x )单调递增且f (x )＞0，又函数为奇函数，所以在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0上函数也单调递增，且f (x )＜0.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )知，函数的周期为32，所以在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32上，函数单调递增且f (x )＜0，故选D. 【典例8】（2019·山东高考模拟（理））已知函数()y f x =的定义域为R ,(1)f x +为偶函数，且对121x x ∀<≤，满足.若(3)1f =，则不等式的解集为（ ）A ．1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(1,8)C ．D ．【答案】A 【解析】因为对121x x ∀<≤,满足，所以()y f x =当1x ≤时，是单调递减函数，又因为(1)f x +为偶函数，所以()y f x =关于1x =对称，所以函数()y f x =当1x >时，是增函数，又因为(3)1f =，所以有(1)1f -=，当2log 1x ≤时，即当02x <≤时，当2log 1x >时，即当2x >时，，综上所述：不等式的解集为1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭，故本题选A.【变式8】（2019·陕西高三高考模拟（文））已知函数，则使得成立的的取值范围是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】D 【解析】因为，所以是偶函数，又在单调递减，在单调递增，所以等价于，两边平方得到解得或.故应选D.。

《函数的奇偶性和周期性》专题一、函数奇偶性相关知识点1．奇函数、偶函数的概念(1)图像关于原点对称的函数叫作奇函数．(2)图像关于y轴对称的函数叫作偶函数．2．判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件(1) 定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2) 判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系：若f(－x)＝－f(x)，则这个函数是奇函数；若f(－x)＝f(x)，则这个函数是偶函数3．函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性．(3)如果奇函数y＝f(x)在原点有定义，则f(0)＝0.(4)在公共定义域内有：奇±奇→奇，偶±偶→偶，奇×奇→偶，偶×偶→偶，奇×偶→奇．二、函数周期性相关知识点1．周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2．最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．3．函数周期性的三个常用结论(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)若f(x＋a)＝1f(x)，则T＝2a；(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，则T＝2a.(a>0).(4)偶函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝f(－x＋a)，则T＝2a.(a>0).(5)奇函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝f(－x＋a)，则T＝4a.(a>0). 题型一函数的奇偶性1．判断下列函数的奇偶性(1)f(x)＝3－x2＋x2－3； (2)f(x)＝(1－x) 1＋x 1－x；(3)f (x )＝lg (1－x 2)|x －2|－2； (4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0.2．下列函数中为奇函数的是( )A ．y ＝x 2sin xB ．y ＝x 2cos xC ．y ＝|ln x |D ．y ＝2－x题型二：奇函数、偶函数性质的应用（1求函数解析式；2求参数值）1．已知函数f (x )是偶函数，且当x >0时，f (x )＝x 3＋x ＋1，则当x <0时，f (x )的解析式为________；2．已知f (x )＝2x ＋24x －1，若f (ln (a 2＋1＋a ))＝1，则f (ln (a 2＋1－a ))＝________；3．若函数f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2＋1e x ＋1为偶函数，则a ＝________.4．已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 3(x ＋1)＋a ，则f (－8)＝( )A ．－3－aB ．3＋aC ．－2D ．25．设函数f (x )，g (x )的定义域为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数6．已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )的值为________.7．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1是定义在[－1－a,2a ]上的偶函数，则该函数的最大值为____题型三 函数的周期性1．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________2．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝1f (x )，当x ∈[0,2)时，f (x )＝x ＋e x ，则f (2018)＝___3．若f (x )是定义在R 上的周期为4的函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，0≤x ≤1，cosπx ，1<x ≤2，则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫293＝________.4．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为________．5．已知奇函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，则( )A ．函数f (x )是以2为周期的周期函数B ．函数f (x )是以4为周期的周期函数C ．函数f (x ＋1)是奇函数D ．函数f (x ＋2)是偶函数题型四 函数性质（单调性、奇偶性、周期性）的综合应用1．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23B.⎣⎡⎭⎫13，23C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23 2．已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝________3．定义在R 上的奇函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x )，当x ∈⎝⎛⎦⎤0，12时，f (x )＝log 12(1－x )，则f (x )在区间⎝⎛⎭⎫1，32内是( ) A ．减函数且f (x )>0 B ．减函数且f (x )<0 C ．增函数且f (x )>0 D ．增函数且f (x )<04．函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3]5．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)《函数的奇偶性和周期性》课后作业1．已知R 上的奇函数f (x )满足：当x <0时，f (x )＝log 2(1－x )，则f [f (7)]＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－22．已知f (x )为定义在R 上周期为2的奇函数，当－1≤x <0时，f (x )＝x (ax ＋1)，若f ⎝⎛⎭⎫52＝－1，则a ＝( )A ．6B ．4C ．－1425 D ．－63．已知函数y ＝f (x )＋x 是偶函数，且f (2)＝1，则f (－2)＝( )A ．2B ．3C ．4D ．54．已知f (x )是定义在[－2b,1＋b ]上的偶函数，且在[－2b,0]上为增函数，则f (x －1)≤f (2x )的解集为( )A.⎣⎡⎦⎤－1，23B.⎣⎡⎦⎤－1，13 C ．[－1,1] D.⎣⎡⎦⎤13，15．已知f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (2 019)＝( )A ．5 B.12 C ．2 D ．－26．函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝2x ，则当x ＞0时，f (x )＝( )A ．－2xB ．2－xC ．－2－xD ．2x7．已知函数f (x )＝2x2x －1＋a 为奇函数，则实数a ＝________.8．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( )A ．e x －e －x B.12(e x ＋e －x ) C ．12(e －x －e x ) D ．12(e x －e －x )9．若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－1，则f (－6)＝_____10．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋8(a ≠0)是偶函数，则g (x )＝2ax 3＋bx 2＋9x 是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数11．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0，2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1，3]上的解集为( )A ．(1，3)B ．(－1，1)C ．(－1，0)∪(1，3)D ．(－1，0)∪(0，1)12．已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f （x ），当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫－112＝________．13．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝________．14．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3（x ＋1），x ≥0，g （x ），x <0，则g (f (－8))＝____15．设函数f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，又f (－3)＝0，则f (x )<0的解集是( )A ．{x |－3<x <0或x >3}B ．{x |x <－3或0<x <3}C ．{x |x <－3或x >3}D ．{x |－3<x <0或0<x <3}16．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (－x ＋1)，当x ∈(0,1]时，f (x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫72＝__17．已知f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 3＋ln (1＋x )，则当x <0时，f (x )＝________.18．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋3)＝－1f (x )，当1<x ≤3时，f (x )＝cos πx 3，则f (2023)＝________.19．已知定义域为R 的奇函数f (x )，当x >0时，满足f (x )＝⎩⎨⎧－log 2(7－2x )，0<x ≤32，f (x －3)，x >32，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2020)＝( ) A ．log 25 B ．－log 25 C ．－2 D ．020．函数f (x )＝π2－sin x3＋|x |的最大值是M ，最小值是m ，则f (M ＋m )的值等于( )A ．0B ．2πC ．π D.π221．若f (x )＝ln (e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.22．下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是( )A ．f (x )＝xB ．f (x )＝1x 2C ．f (x )＝2x ＋2－x D ．f (x )＝－cos x23．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－2)＝( )A ．－3B ．－54C ． 54 D ．324．已知f (x )＝e x －e －x2，则下列正确的是( )A ．奇函数，在R 上为增函数B ．偶函数，在R 上为增函数C ．奇函数，在R 上为减函数D ．偶函数，在R 上为减函数25．f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝_____26．定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)27．设函数f (x )是定义在R 上周期为2的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝__28．已知f (x )是奇函数，g (x )＝2＋f (x )f (x ). 若g (2)＝3，则g (－2)＝__________.29．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x <1时，f (x )＝2x －1，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝__________.30．已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若f (3)＝3，则f (2 019)的值为( )A ．3B ．0C ．－3D ．±331．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋1)＝－f (x )，若f (x )在[－1,0]上单调递减，则f (x )在[1,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数32．已知f (x )是定义域(－1,1)的奇函数，而且f (x )是减函数，如果f (m －2)＋f (2m －3)＞0，那么实数m 的取值范围是__________.33．已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0，若f (x －1)＞0，则x 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(－∞，－3)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．(－1,3)34．已知f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)35．定义在R 上的奇函数f (x )满足：f (x ＋1)＝f (x －1)，且当－1＜x ＜0时，f (x )＝2x －1，则f (log 220)等于( )A.14 B ．－14 C ．－15 D.1536．已知函数f (x )＝2x －2－x ，则不等式f (2x ＋1)＋f (1)≥0的解集是________．37．设f (x )是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x .(1)判断f (x )的奇偶性；(2)试求出函数f (x )在区间[－1,2]上的表达式．。

专题2.3 函数奇偶性和周期性真题回放1.【2017高考新课标2文14】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ()-0∈∞，时，()322f x x x =+,则()2=f 【答案】12【解析】(2)(2)[2(8)4]12f f =--=-⨯-+=【考点解读】本题为函数求值问题，可运用奇函数的性质即；()()f -x f x =-来解决，为基础题。

2.【2017高考北京文5】已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x 为（ ）（A ）是偶函数，且在R 上是增函数 （B ）是奇函数，且在R 上是增函数 （C ）是偶函数，且在R 上是减函数 （D ）是奇函数，且在R 上是增函数 【答案】A【考点解读】本题为考查函数的奇偶性和单调性，由函数1()3()3x x f x =-，可借助函数奇偶性的定义及指数函数的性质来分析处理。

3.【2017高考天津文6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==，则,,a b c 的大小关系为（ ）（A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ）c a b << 【答案】C【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且：0.822log 5log 4.12,122>><<， 据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<.本题选择C 选项.【考点解读】本题为函数奇偶性与单调性结合问题，可由()f x 为奇函数及单调递增性质，化为比较自变量，再运用指数和对数函数的性质，来比较大小。

第三节函数的奇偶性及周期性••>必过数材美(1)周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x+ T) = f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.［小题体验］1. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)= x2+ 1，则f( —1) = ___________ .答案：—22. ________________________________________________________________________ 若函数f(x)是周期为5的奇函数，且满足f(1) = 1, f(2) = 2,则f(8) —f(14) = _________________________ .答案：—13. ___________________________________________________________________ 若函数f(x)=(a —1)x2+ (a + 1)x + a2—1是奇函数，则实数a的值是_______________________________ .解析：由于函数f(x)的定义域为R，又函数f(x)是奇函数，故f(0) = 0，解得a= 1或a =—1(舍去)，经检验a= 1时符合题意.答案：1必过易措矣1. 判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.2. 判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个X，均有f(—x)=—f(x)或f(—x) = f(x)，而不能说存在 X 0 使 f( — X o )=— f(x o )或 f (— X 0)= f(x o ).3•分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在 整个定义域上的奇偶性.［小题纠偏］ 1.已知f(x) = ax 2 + bx 是定义在［a — 1,2a ］上的偶函数，那么a +b = _________ .解析：因为f(x) = ax 2 + bx 是定义在［a — 1,2a ］上的偶函数，所以 a — 1 + 2a = 0,所以a 1 1=3•又 f(— x) = f(x)，所以 b = 0，所以 a + b =3.答案：11log 2X , x > 0,2.函数f(x)= __________ 的奇偶性为•解析：因为X M 0，故f(x)的定义域关于原点对称.当 x >0 时，一x v 0,所以 f( — x)= log 2x = f(x). 当 x v 0 时，—x >0,所以 f( — x)= log 2(— x)= f(x). 故f( — x)= f(x)，所以f(x)为偶函数.答案：偶函数考点一 函数奇偶性的判断 基础送分型考点 一一自主练透［题组练透］判断下列函数的奇偶性： (1) f( x) = 1— X 2+ x 2— 1； (2) f(x) = 3 — 2x + 2x — 3;(3) f(x) = 3 — 3 ；解：(1)因为由’所以f(x)的定义域为{— 1,1}.log 2 — x , x v 0 (5)(易错题)f(x) = x 2— 1 > 0,又f(1) + f( —1)= 0, f(1) —f(—1)= 0,即f(x) = ±( —x).所以f(x)既是奇函数又是偶函数.____ _______ 3一⑵因为函数f(x)=弋3— 2x +寸2x — 3的定义域为 —不关于坐标原点对称， 所以函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数. ⑶因为f(x)的定义域为R ,所以 f(— x)= 3 %一 3x =— (3x — 3 %)=一 f (x), 所以f(x)为奇函数. 4— x 2> 0,⑷因为由彳 得一2 w x W 2且x 丰0.Jx + 3|— 3工 0, 所以f(x)的定义域为［—2,0) U (0,2］,所以f(— x)=— f(x),所以f(x)是奇函数.(5)易知函数的定义域为(—R, 0)U (0,+^)，关于原点对称, 又当 x > 0 时，f(x) = x 2+ x , 则当x v 0时，一x >0, 故 f( — x)= x 2— x = f(x)；当 x v 0 时，f(x) = x 2 — X ,则当 x >0 时，一x v 0, 故f( — x)= x 2+ x = f(x),故原函数是偶函数.［谨记通法］判定函数奇偶性的3种常用方法 (1)定义法⑵图象法* _________ 关于販点对称一为荷函数的图象(• ''［庚乔轴对称—(3)性质法①设f(x), g(x)的定义域分别是D i , D 2,那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇,奇乂奇=偶，偶+偶=偶，偶乂偶=偶，奇乂偶=奇.②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”.［提醒］(1) “性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的.所以f(x) = p4 - x 2=|x + 3| — 3 =4 — X 2⑵判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(-X)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性.考点二函数的周期性重点保分型考点一一师生共研［典例引领］设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x,恒有f(x+ 2) =-f(x),当x€ ［0,2］时,f(x)= 2x-x2.(1) 求证：f(x)是周期函数；(2) 计算f(0) + f(1) + f(2) + •••+ f(2 018).解：(1)证明：因为f(x + 2) =-f(x),所以f(x+ 4) =—f(x+ 2) = f(x).所以f(x)是周期为4的周期函数.(2)因为f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = 0, f(3)=—f(1) =- 1.又f(x)是周期为4的周期函数，所以f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = f(4)+ f(5) + f(6) + f(7) =•••= f(2 012) + f(2 013) + f(2 014) +f(2 015) = 0.所以f(0) + f(1) + f(2) + …+ f(2 018) = f(2 016) + f(2 017) + f(2 018) = f(0) + f(1) + f(2) = 1.［由题悟法］1. 判断函数周期性的2个方法(1)定义法.⑵图象法.2. 周期性3个常用结论(1)若f(x + a) = -f(x)，则T = 2a.1 小(2)若f(x + a) = ，则T = 2a・数y= f(x)的图象在区间［0,6］上与x轴的交点个数为 _________ .解析：因为当0w x v 2时，f(x)= x3—x,又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0) = 0,所以f(6) = f(4) = f(2) = f(0) = 0.又f(1) = 0,所以f(3) = f(5) = 0.故函数y= f(x)的图象在区间［0,6］上与x轴的交点个数为7.答案：7考点三函数性质的综合应用题点多变型考点一一多角探明［锁定考向］函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主•多以填空题形式出现.常见的命题角度有：(1) 奇偶性的应用；(2) 单调性与奇偶性结合；(3) 周期性与奇偶性结合；(4) 单调性、奇偶性与周期性结合.［题点全练］角度一：奇偶性的应用1. (2018连云港模拟)函数y= f(x)是R上的奇函数，当x v 0时，f(x)= 2x，则当x> 0时，f(x)= ________ .解析：x> 0 时，一x v 0，因为x v 0 时，f(x)= 2x，所以当x> 0 时，f(—x)= 2—X.因为f(x) 是R 上的奇函数，所以当x>0时，f(x)=—f(—x)=—2-x.答案：—2-x角度二：单调性与奇偶性结合"―x2+ 2x，x>0，2. 已知函数f(x)=*i0，x= 0，是奇函数，且函数f(x)在区间［—1，a —2］上mx，x v 0单调递增，则实数a的取值范围为__________ .解析：当x v 0 时，一x>0，f(x)=—f(—x)=—［—( —x)2+ 2 汽—x)］= x2+ 2x，x v 0，所以m= 2,所以f(x)的单调递增区间为［—1，1］，因此［—1 ,a —2］? ［—1,1］ ? —1 v a—2< 1 ? 1 v a w 3.答案：(1,3］角度三：周期性与奇偶性结合时 f(x)= x - 2,贝U f(6.5) = _______••• f(x)是定义在 R 上的偶函数，• f(- x)= f(x), • f(6.5) = f(- 1.5) = f(1.5) = - 0.5. 答案：—0.5角度四：单调性、奇偶性与周期性结合4.已知函数y = f(x)是定义在R 上的奇函数，对任意 x € R, f(x — 1) = f(x + 1)成立，当x € (0,1)且 X j M X 2时，有 f x2 - f x1 v o ，给出下列命题：X 2— x 1① f(1) = 0;② f(x)在区间［—2,2］上有5个零点；③ 点(2 018,0)是函数y = f(x)图象的一个对称中心； ④ 直线x = 2 018是函数y = f(x)图象的一条对称轴. 则正确命题的序号为 __________ .解析：在 f(x — 1) = f(x + 1)中，令 x = 0,得 f( — 1) = f(1)，又 f( — 1) =- f(1),• 2f(1) = 0, • f(1) = 0,故①正确；由f(x — 1)= f(x + 1)，得f(x) = f(x + 2), • f(x)是周期为2的周期函数， • f(2) = f(0) = 0,又当 x € (0,1)且 x 产x 2时，有 f x2 — f x1 v 0,「.函数 f(x)在区间(0,1)上单 X 2— X 1 调递减，可作出函数 f(x)的大致图象如图所示.由图知②③正确，④不正确，故正确命题的序号为①②③ .答案：①②③［通法在握］函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合. 注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性.(2)周期性与奇偶性结合. 此类问题多考查求值问题， 常利用奇偶性及周期性进行交换, 将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.3.(2019江阴期中)已知f(x)是定义在R 上的偶函数, 并满足如2)—亡，当仁X 三2解析:••• f(x + 4) = f [(x + 2) + 2]=- 1布=f(x)，即函数 f(x)的周期为4.(3)周期性、奇偶性与单调性结合. 解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.［演练冲关］1.(2018 •东中学月考)已知函数f(x)在定义域［2- a,3］上是偶函数，在［0,3］上单调递减,解析：因为函数f(x)在定义域［2 — a,3］上是偶函数，所以 2 — a + 3= 0,所以a = 5,所 以 f — m 2— 5 >f(— m 2 + 2m — 2),即卩 f( — m 2— 1)>f(— m 2+ 2m — 2).由题意知偶函数 f(x)在 ［—3,0］上单调递增，而一 m 2— 1v 0, — m 2+ 2m — 2 =— (m — 1)2— 1 v 0,所以由 f( — m 2— 1)2「一 3< — m — K 0,> f(— m 2 + 2m — 2)，得《— 3< — m 2 + 2m — 2< 0, 解得 1 —羽w mv*2 2—m — 1 >— m + 2m — 2,答案：1—込,1 / 2 .设f(x)是定义在 R 上周期为 4的奇函数，若在区间 ［—2,0) U (0,2］上，f(x)=ax + b ,— 2< x v 0, ax — 1, 0v x < 2,解析：设0v x w 2,则—2w — x v 0, f(— x)=— ax + b.f(x)是定义在 R 上周期为4的奇 函数，所以 f(— x)=— f(x)=— ax + 1 = — ax + b ,所以 b = 1.而 f( — 2)= f( — 2+ 4) = f(2)，所1 1以 一2a + 1 = 2a — 1,解得 a =寸，所以 f(2 018) = f(2)= 2 x — 1= 0.一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1.(2019南通中学高三测试)已知函数f(x)是定义域为R 的奇函数，且f(— 1) = 2,那么f(0) + f(1) = ________ .解析：因为函数f(x)是R 上的奇函数， 所以 f(— x)=— f(x),f(1) = — f(— 1) =— 2, f(0) = 0, 所以 f(0) + f(1) = — 2. 答案：—2则 f(2 018)=2m — 2),则实数m 的取值范围是答案：02. (2018南京三模)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，f(x)= 2x—2,则不等式f(x—1)w 2的解集是 _________ .解析：偶函数f(x)在［0,+^)上单调递增，且f(2) = 2.当x >0, 二次函数的图象顶点坐标为：，一节,所以 f(x — 1)w 2,即即 f(|x - 1|)w f(2)，即 |x - 1|W 2，所以一K x < 3. 答案：［—1,3］3.函数 f(x) = x + 1+1, f(a) = 3,贝V f( - a) = __________ . 1 1解析：由题意得 f(a) + f(- a) = a + + 1 + (- a) + + 1 = 2.a — a 所以 f(— a)= 2 — f(a) = — 1. 答案：—14. ________________________________________________________________________函数f(x)在R 上为奇函数， 且x > 0时，f(x)=/x + 1,则当x v 0时，f(x) = ____________________ .解析：因为f(x)为奇函数，x >0时，f(x) = x + 1, 所以当x v 0时，一x >0,f(x)=— f(— x) = — (，— x + 1),即 x v 0 时，f(x) =— ( J — x + 1) =— — x — 1. 答案：—x — 15.(2019连云港高三测试)已知函数f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x > 0时，f(x)=g ］，贝U f( — 2+ log35) = ______ .解析：由f(x)是定义在R 上的奇函数，得f(— 2+ log 35) =— f(2- Iog 35), 由于当x > 0时，f(x)= 1 ",9故 f( — 2+ Iog 35)=— f Iog 39 =— 1 匹5 = — 9.答案：—9解析：法一：因为函数f(x)为奇函数，所以 f —1 =— f1 ,即 11— b = a —1+ 2 ,f — 2 =— f2 , 2 2— b = 2a — 2 + 2 , a =— 1, 解得*经验证a =— 1, b = 2满足题设条件，b = 2,所以 f(a + b) = f(1)=— 1.法二：因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)的图象关于原点对称，由题意知,6. (2018南通一调)若函数 f(x) =「x(x — b y x > 0ax(x + 2 ) x v 0(a , b €R )为奇函数，则 f(a + b)=经验证a =— 1, b = 2满足题设条件， 所以 f(a + b) = f(1)=— 1. 答案：—1二保咼考，全练题型做到咼考达标1. (2018抚顺期末)设f(x)是定义在［—2b,3 + b ］上的偶函数，且在［—2b,0］上为增函数， 则f(x — 1)> f(3)的解集为 ________ .解析：•/ f(x)是定义在［—2b,3 + b ］上的偶函数， 二一2b + 3+ b = 0, b = 3,••• f(x)是定义在［—6,6］上的偶函数，且在［—6,0］上为增函数， ••• f(x)在［0,6］上为减函数， •••由 f(x — 1)>f(3),得 |x — 1|w 3, 解得—2< x w 4,• f(x — 1) > f(3)的解集为{x|— 2< x < 4}.答案：{x|— 2 w x w 4}2. _______________________________ (2019常州一中模拟)设定义在 R 上的偶函数f(x)满足f(x + 1) + f(x) = 1,且当x € ［1,2］ 时，f(x)= 2— x ,贝U f(— 2 018.5) = .解析：由f(x + 1) + f(x)= 1在R 上恒成立，得 f(x — 1) + f(x)= 1,两式相减得 f(x + 1)— f(x — 1) = 0,即f(x + 1)= f(x — 1)恒成立，故函数 f(x)的周期是2,• f(— 2 018.5) = f(— 0.5) = f(1.5),又当 x € ［1,2］时，f(x)= 2— x ,• f(— 2 018.5) = f(1.5) = 2 — 1.5= 0.5.答案：0.5 3.已知函数f(x)是定义在［—2,2］上的奇函数，且在区间［0,2］上是单调减函数.若 f(2x+ 1) + f(1) v 0，贝U x 的取值范围是 _______ .解析：•••函数f(x)是定义在［—2,2］上的奇函数，且在区间［0,2］上是单调减函数， •函数f(x)在区间［—2,2］上是单调减函数.所以b =-1,*4=-a ，解得 a =— 1, b = 2,•/ f(2x+ 1)+ f(1) v 0,即f(2x + 1) v—f(1),•f(2x+ 1)v f( —1).-2< 2x + 1 < 2, 1则解得—1V x < T.2x + 1 >- 1,2x 的取值范围是XX4. (2018 泰州期末)设 f(x)是 R 上的奇函数，当 x > 0 时，f(x)= 2 + ln&，记 a *= f(n - 5),则数列｛a *｝的前8项和为解析：数列｛a n ｝的前 8 项和为 f(- 4) + f(- 3) +•••+ f(3) = f(- 4) + (f( - 3)+ f(3)) + (f( - 2) + f(2)) + (f(- 1) + f(1)) + f(0) = f(-4) =- f(4) =- 24+ lnf =- 16.答案：—165. (2018徐州期中)已知函数f(x)= e x - e -x + 1(e 为自然对数的底数)，若f(2x -1) + f(4 -x 2) > 2,则实数x 的取值范围为 ___________________ .解析：令g(x) = f(x)- 1 = e x - e -x ，则g(x)为奇函数，且在 R 上单调递增.因为f(2x -2 2 21)+ f(4- x )>2，所以 f(2x - 1)-1 + f(4- x )- 1>0，即 g(2x -1) + g(4- x )>0，所以 g(2x -1) > g(x 2- 4)，即 2x - 1> x 2- 4，解得 x € (- 1,3).答案：(一1,3)6. (2019镇江中学测试)已知奇函数f(x)在定义域 R 上是单调减函数，若实数 a 满足f(2|2a -1|) + f(- 2迄)>0,贝U a 的取值范围是 __________ .解析：由 f(2|2a -1|)+ f(- 2 2)>0,可得 f(2|2a -1|) >-f(-2 2).因为 f(x)为奇函数，所以f(2|2a -1|) > f (2 . 2).因为f(x)在定义域R 上是单调减函数，所以解得一7V a V 5447. (2019苏州调研)已知奇函数f(x)在(―汽 0)上单调递减，且f(2) = 0，则不等式 上七x — 1>0的解集为x > 1,>0,可得\fx > 0所以f(x)在(0, +)上单调递减，且f(2) = f( - 2) = 0，所以当x > 1时，f(x) > 0的解集为(1,2); 当X V 1时，f(x)V 0的解集为(一2,0).所以不等式> 0的解集为(-2，0) U (1,2).答案:-1, 1|2a - 1|, ,|2a -1|答案: 4,5x V 1,或【仆.因为奇函数^在(-汁0)上单调递减,解析：由匕答案：(一2,0) U (1,2)8. 函数f(x)在R上满足f( —x) = - f(x)，当x> 0 时，f(x)= —e x+ 1 + mcos(刖x),记a=-n f(—n) b=—罟f •—13, c= ef(e)，则a, b, c 的大小关系为________________ .解析：T函数f(x)为R上的奇函数，且当x> 0时，f(x)=—e x+ 1 + mcos( n^ x),••• f(0) = —1+ 1 —m= 0,即卩m= 0,••• f(x)=—e x+ 1(x> 0).令g(x)= xf(x),有g(—x)= (—x)f(—x) = xf(x)= g(x),•函数g(x)为偶函数，当x> 0 时，g(x) = xf(x)= x(1 —e x), g (x) = f(x) + xf' (x)= 1 —(1 + x)e%< 0,•函数g(x)在［0,+8)上为减函数，••• a=— n(—g(— n ) g( n) b=—爭(—普；=g(-普卜g 闇丿)c= ef(e)= g(e),13又e< n< —, • b< a< c.4答案：b< a< c_ 2「一x + 2x, x>0,9. 已知函数f(x)=」0, x = 0, 是奇函数./ + mx, x < 0(1)求实数m的值;⑵若函数f(x)在区间［—1, a—2］上单调递增，求实数a的取值范围. 解：(1)设x< 0，则—x>0,所以f(—x)=—(—x)2+ 2( —x)=—x2—2x.又f(x)为奇函数，所以f(—x)=—f(x),于是x< 0 时，f(x) = x2+ 2x= x2+ mx,所以m = 2.⑵要使f(x)在［—1 , a —2］上单调递增，a —2 > —1, 结合f(x)的图象(如图所示)知「a—2 < 1,10. (2018 大同期末)已知函数f(x) = log a(x +1), g(x) = log a(1 —x),其中a>0, a* 1.(1)求函数F(x) = f(x) —g(x)的定义域；⑵判断F(x) = f(x)—g(x)的奇偶性，并说明理由；(3)当a> 1时，求使F(x)>0成立的x的取值范围.解：(1) •/ F(x) = f(x)—g(x)= log a(x+ 1)- log a(1 - x),x +1 > 0,•••解得—1 v X V 1 ,1 —x> 0,•函数F(x)的定义域为(一1,1).(2) F(x)为(一1,1)上的奇函数.理由如下：由(1)知F(x)的定义域为(一1,1),关于原点对称, F( - x) = log a( - x+ 1) - log a(1 + x)=-[log a(x + 1) - log a(1 - X)] = - F (x),•函数F(x)为(-1,1)上的奇函数.(3) 根据题意，F(x) = log a(x + 1)- log a(1 - x),当 a > 1 时，由F (x)> 0,得log a(x +1) > log a(1 —x),x + 1 > 0,即 1 —x > 0,x + 1 > 1—x,解得0 v x v 1,故x的取值范围为(0,1).三上台阶，自主选做志在冲刺名校1. ___________________________________________ (2019南通模拟)已知定义在R上的奇函数y= f(x)满足f(2 + x)= f(2 —x),当一2< x v 0 时，f(x)= 2x,若a n= f(n)(n € N*), 贝U a2 018= ________________________________________________ .解析：T f(2 + x) = f(2 —x),以2+ x代替上式中的x, 得f(4 + x)= f(—x),又函数y= f(x)是定义在R上的奇函数，•f(—x) =—f(x),•f(4 + x)= f( —x) = —f(x),再以4 + x代替上式中的x，得f(8 + x) =—f(4 + x)= f(x),「.函数f(x)的周期为8.•a2 018= f(2 018) = f(252 X 8+ 2)= f(2),1而f(2) = —f( —2)=—-,4•-a2 018= —4.1答案：一142. 设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f 2+ x=—f；-x成立.(1)证明y= f(x)是周期函数，并指出其周期；⑵若f(1) = 2，求f(2) + f(3)的值；(3)若g(x)= x2+ ax+ 3,且y= |f(x)| g(x)是偶函数，求实数a的值.解：⑴由f3+x一f3—x,且f( —x)=- f(x)，知f(3 + x) = f|+ i3+ x]L—f 号一i|+ x] l=— f(—x)= f(x),所以y= f(x)是周期函数，且T = 3是其一个周期.(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0) = 0, 且f( —1) =—f(1) = —2，又T = 3 是y=f(x)的一个周期,所以f(2) + f(3) = f( —1) + f(0) = —2+ 0=—2.(3)因为y=|f(x)| g(x)是偶函数,且|f( —x)|= | —f(x)| = |f(x)|，所以|f(x)|为偶函数.故g(x)= x2+ ax+ 3为偶函数，即g(—x)= g(x)恒成立，于是(—x)2 + a( —x) + 3 = x? + ax+ 3 恒成立.于是2ax= 0恒成立，所以a= 0.1 戸,⑶若f(x + a)=—厂，则T = 2a(a> 0). f x［即时应用］1. (2018镇江调研)已知f(x)是定义在R上周期为4的函数，且f( —x) + f(x) = 0,当0v x v 2 时，f(x)= 2x- 1，贝U f(- 21)+ f(16) = _________ .解析：由f(- x)+ f(x)= 0，知f(x)是定义在R上的奇函数，••• f(0)= 0.又f(x+ 4)= f(x)，且当0v x v 2 时，f(x)= 2x- 1,• f(- 21)+ f(16) = f( —1)+ f(0)=-f(1) = - (21- 1) =—1.答案：—12.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0W x v 2时，f(x) = x3-x,则函。