2019届江苏高考应用题模拟试题选编(一

2019年江苏省高考数学全真模拟试卷(1)含答案2019年江苏省高考数学全真模拟试卷（一）注意事项：1.本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）和解答题（第15题~第20题）两部分。

本试卷满分为160分，考试时间为120分钟。

2.答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内。

试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内。

考试结束后，交回答题纸。

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分。

不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.已知集合A = {2.3}，B = {1.log2a}，若AB = {3}，则实数a的值为 ________。

2.已知复数z = 1 - i3，其中i为虚数单位，则z的模为________。

3.根据XXX所示的伪代码，可知输出的结果S为________。

4.一组数据2.x。

4.6.1的平均值是5，则此组数据的标准差是 ________。

5.有一个质地均匀的正四面体木块，4个面分别标有数字1.2.3.4.将此木块在水平桌面上抛两次，则两次看不到的数字都大于2的概率为 ________。

6.若抛物线x^2 = 4y的焦点到双曲线C：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1(a。

0，b。

0)的渐近线距离等于1/3，则双曲线C的离心率为 ________。

7.若实数a。

b满足a ≤ 1，b - a - 1 ≤ 0，则(a + 2b)/(2a + b)的最大值为 ________。

8.在三棱锥P-ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D-ABC的体积为V1，三棱锥DE-ABC的体积为V2，则V1/V2 = ________。

9.设等差数列{an}的公差为d（d ≠ 0），若a1 + a2 + a3 = 6，a2 + a3 + a4 = 8，则d的值为 ________。

10.已知tan(α + β) = 1，tan(α - β) = 2，其前n项和为Sn。

2019年江苏省高考第一次模拟考试数学Ⅰ试题参考公式圆柱的体积公式：V 圆柱=Sh ，其中S 是圆柱的底面积，h 为高. 圆锥的体积公式：V 圆锥13Sh ，其中S 是圆锥的底面积，h 为高. 一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。

1.已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<< 则=A B ________▲________. 2.复数(12i)(3i),z =+- 其中i 为虚数单位，则z 的实部是________▲________. 3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是________▲________.4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________▲________.5.函数y =232x x -- 的定义域是 ▲ .6.如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是 ▲ .7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲ .8.已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3，S 5=10，则a 9的值是 ▲ . 9.定义在区间[0,3π]上的函数y =sin2x 的图象与y =cos x 的图象的交点个数是 ▲ .10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b+=＞＞0 的右焦点，直线2b y = 与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠= ,则该椭圆的离心率是 ▲ .(第10题)11.设f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[ −1,1)上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a ∈R 若59()()22f f -= ，则f （5a ）的值是 ▲ .12. 已知实数x ，y 满足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则x 2+y 2的取值范围是 ▲ .13.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是 ▲ .14.在锐角三角形ABC 中，若sin A =2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是 ▲ .二、解答题 （本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分） 在ABC △中，AC =6，4πcos .54B C ==， （1）求AB 的长； （2）求πcos(6A -)的值.16.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥. 求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -(如图所示)，并要求正四棱柱的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的四倍. (1) 若16m,2m,AB PO ==则仓库的容积是多少？(2) 若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当1PO 为多少时，仓库的容积最大？18. （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M :221214600x y x y +--+=及其上一点A (2，4)(1) 设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 的标准方程； (2) 设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点，且BC =OA ,求直线l 的方程；(3) 设点T （t ,0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=,求实数t 的取值范围。

第 1 页 共 17 页 江苏省各地2019届高考模拟考试数学试题分类汇编：
应用题
1、（南京市、盐城市2019届高三第二次模拟）某公园内有一块以O 为圆心半径为20米的圆形区域.为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB 区域，其中两个端点A ，B 分别在圆周上；观众席为梯形ABQP 内且在圆O 外的区域，其中AP AB BQ ==，120PAB QBA ∠=∠=，且AB ，PQ 在点O 的同侧.为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台O 处的距离都不超过60米.设,(0,
)3OAB παα∠=∈.问：对于任意α，上述
设计方案是否均能符合要求？。

绝密★启用前江苏省2019年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（1）数学I参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面面积，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上．1．复数z 满足22z =-，则z = ▲ ．2．设集合(1,3],{2,4}A B =-=，则A B = ▲ ．3．双曲线2221x y -=的渐近线方程为 ▲ ．4．从集合{2,0,1,2,3}中任意取出两个不同的元素，则这两个元素之和为偶数的概率是 ▲ ．5．下图是某市2014年11月份30染指数在0~50之间时,空气质量为优；在51~100之间时, 间时, 空气质量为轻微污染；在151~200之间时, 11月份空气质量为优或良的天数是 ▲ 天．6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 ▲ ．7．函数()sin()(0,02)6f x A x A πωω=+><<，若2()3f A π=，则函数y =f (x )的最小正周期为 ▲ ．8．函数2()cos2f x x x =+，若(2)(1)f a f a =-，则实数a 的值为 ▲ ．(第5题图) (第6题图) ★此卷上交考点保存★ 姓名 准考证号9．已知正项等差数列{a n }的前12项和为30，则4a 4+9a 9的最小值为 ▲ ．10．三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆是边长为2的正三角形，侧棱1AA ⊥平面11AB C ，且11AA =，则此三棱柱的体积为 ▲ ．11．如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，11,32AD AB AE AC ==，若2512BE CD ⋅=-，则BC =▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,2)，圆C ：(x －a )2＋(y －a +2)2＝1，若圆C 上存在点M ，使MA 2+MO 2=10，则实数a 的取值范围 ▲ ．13. 已知实数,x y 满足0,50,x y x y y -⎧⎪+-⎨⎪⎩≤≥0,-3≤若不等式222()()a x y x y ++≤恒成立，则实数a 的最大值是 ▲ ．14．函数2()x f x a x =-（1a >）有三个不同的零点，则实数a 的取值范围 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内． 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别是c b a ,,，且满足sin B =3sin C ，5AB AC -=,52AB AC ⋅=． (1)求22b c +的值； (2)求)sin(B A -的值．16．(本小题满分14分)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1、ACC 1A 1均为正方形，∠BAC =90°，D 为BC 中点． (1)求证：A 1B//平面ADC 1; (2)求证：C 1A ⊥B 1C .(第16题图) A 1C 1 B 1B ACDBCEA D(第11题图)A 1B 1C 1C BA(第10题图)17． (本小题满分14分)如图，在P 地正西方向8 km 的A 处和正东方向1 km 的B 处各有一条正北方向的公路AC 和BD ，现计划在AC 和BD 路边各修建一个大型物流中心E 和F ．为缓解交通压力，决定从P 地分别向AC 和BD 修建公路PE 和PF ，其中EPF ∠为直角，设EPA α∠=(02πα<<)． （1）为减少对周边区域的影响，试确定E 和F 的位置，使△P AE 和△PFB 的面积之和最小；（2）为节省建设成本，试确定E 和F 的位置，使P 到E 和F 的距离之和最小．18． (本小题满分16分)如图，椭圆E : 2214x y +=的左顶点和下顶点分别为A ，B ，动直线l 与线段AB 平行，且与x 轴、y 轴交于C 、D 点（异于椭圆E 的顶点），直线AD 、BC 分别与椭圆E 交于M 、N 点. (1) 当点M 是AD 中点时，求直线l 的方程； (2) 设直线AN 、BM 的交点为P ，求证：P 点落在定直线上．19．(本小题满分16分)已知正项数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足22n nn S a a =+，*n N ∈.B F D(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)如果对任意正整数n都成立，求证：实数c 的最大值为1．20．(本小题满分16分)已知函数f (x )=13x 3+ax 2-x +b ，其中a ,b 为实常数．(1) 当a =-1时，若函数f (x )在[0，1]上的最小值为13，求b 的值； (2) 讨论函数f (x )在区间(a ,+∞)上的单调性；(3) 若曲线y =f (x )上存在一点P ，使得在P 点处的切线与过P 点的切线相互垂直，求a 的取值范围．江苏省2019年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学Ⅱ（附加题）注意事项 1． 本试卷共2页，均为非选择题（第21题～第23题，共4题）。

2019年江苏省高考数学模拟试卷(1)(含附加,详细答案)文章中没有明显的格式错误和有问题的段落，因此直接改写每段话。

2019年高考模拟试卷（1）第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

1.已知集合A为{x-1<x<1}，集合B为{-1≤x≤2}，则AB 的并集为[ -1.2 )。

2.复数z=2i/(1-i)的实部是2/5.3.甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋。

已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为0.06.4.某地区连续5天的最低气温（单位：°C）依次为8，-4，-1，0，2，则该组数据的方差为23.2.5.根据XXX所示的伪代码，当输出y的值为2时，则输入的x的值为e。

6.在平面直角坐标系xOy中，圆x^2+y^2-4x+4y+4=0被直线x-y-5=0所截得的弦长为4.7.如图，三个相同的正方形相接，则XXX∠XXX的值为1.8.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E为PD上一点，且PE=2ED。

设三棱锥P-ACE的体积为V1，三棱锥P-ABC的体积为V2，则.9.已知F是抛物线C:y=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N。

若M是FN的中点，则FN的长度为16.10.若函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=xlnx，则不等式f(x)<-e的解集为(1/e。

e)。

11.钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图）。

现将99根相同的圆钢捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为3.12.如图，在△ABC中，点M为边BC的中点，且AM=2，点N为线段AM的中点，若AB×AC=28，则NB×NC的值为21.13.已知正数x，y满足x+y+1/x+1/y=10，则x+y的最小值是4.14.设等比数列{an}满足：a1=2，an=cos(πn/2)+3sin(πn/2)，其中n∈N，且nπ/2∈(0.π/2)。

2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(一)数 学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程，请把答案直接写在指定位置上． 1. 已知集合A ＝{1，2}，B ＝{a ，a 2－3}，若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为________． 2. 若命题“∀t ∈R , t 2－at －a ≥0”是真命题，则实数a 的取值范围是________. 3. 已知复数z 满足z (1－i)＝2＋i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模|z |＝________． 4. 根据如下所示的伪代码，当输出y 的值为1时，则输入的x 的值为________． Read xIf x ≤0 Then y ←x 2＋1 Elsey ←ln x End If Print y5. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥4，f （x ＋3），x <4，则f (log 238)＝________．6. 盒子中有2个白球、1个黑球，一人从盒中抓出两球，则两球颜色不同的概率为________．7. 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －2≤0，x ＋y －2≥0，则z ＝3x －y 的最大值为________．8. 如图，F 1，F 2是双曲线C 1：x 2－y 23＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点．若△AF 1F 2为等腰三角形，则C 2的离心率是________．9. 已知α，β∈(3π4，π)，sin(α＋β)＝－35，sin(β－π4)＝13，则cos(α＋π4)＝________．10. 如图，在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝2，D 在边AB 上，BD →＝2DA →，若DB →·DC →＝3，则边AC 的长为__________．11. 设正四面体ABCD 的棱长为6，P 是棱AB 上的任意一点(不与A ，B 重合)，且P 到平面BCD 、平面ACD 的距离分别为x ，y ，则3x ＋1y的最小值是________．12. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－a n －(12)n －1＋1(n 为正整数)，则数列{a n }的通项公式为________．13. 已知函数f (x )(x ∈R )的图象关于点(1，2)对称，若函数y ＝2xx －1－f (x )有四个零点x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________．14. 已知函数f (x )＝1e x －ae x (x >0，a ∈R )，若存在实数m ，n ，使得f (x )≥0的解集恰为[m ，n ]，则实数a 的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，M ，N 分别为线段BB 1，A 1C 的中点，MN ⊥AA 1，且MA 1＝MC .求证： (1) 平面A 1MC ⊥平面A 1ACC 1； (2) MN ∥平面ABC .已知在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2B2＝3sin B ，b ＝1.(1) 若A ＝5π12，求边c 的大小；(2) 若sin A ＝2sin C ，求△ABC 的面积．学校A，B两餐厅每天供应1 000名学生用餐(每人每天只选一个餐厅用餐)，调查表明：开学第一天有200人选A餐厅，并且学生用餐有以下规律：凡是在某天选A餐厅的，后面一天会有20%改选B餐厅，而选B餐厅的，后面一天则有30%改选A餐厅．若用a n，b n分别表示在开学第n天选A餐厅、B餐厅的人数．(1) 求开学第二天选择A餐厅的人数；(2) 若某餐厅一天用餐总人数低于学校用餐总数的920，则该餐厅需整改，问B餐厅在开学一个月内是否有整改的可能，如果有可能，请指出在开学后第几天开始整改；如果没有可能，请说明理由．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数，直线l：x－y＋2＝0与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．(1) 求椭圆C的方程；(2) 设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，m＝(k1－2，1)，n＝(1，k2－2)，若m⊥n，求证：直线AB过定点．在等比数列{a n }中，a 2＝14，a 3·a 6＝1512.设b n ＝log2a 2n 2·log2a 2n ＋12，T n 为数列{b n }的前n 项和． (1) 求a n 和T n ；(2) 若对任意的n ∈N *，不等式λT n <n －2(－1)n 恒成立，求实数λ的取值范围．已知函数f (x )＝ln x ＋ke x (其中k ∈R ，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)．(1) 当k ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2) 若x e x f (x )>m 对x ∈[1，e]恒成立，求k 的取值范围； (3) 若f ′(1)＝0，求证：对任意x >0，f ′(x )<e －2＋1x 2＋x恒成立．最高考·高考全真模拟卷·数学参考答案2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(一)1. 1或－2 解析：∵ A ∩B ＝{1}，∴ 1∈B ，∴ a ＝1或a 2－3＝1，∴ a ＝1或a ＝±2，但a ＝2 不合题意，舍去．2. [－4，0] 解析：∵ Δ＝a 2＋4a ≤0，∴ －4≤a ≤0.3.102 解析：z ＝2＋i 1－i ＝（2＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝12＋32i ，|z|＝14＋94＝102. 4. e 或0 解析：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，ln x ，x >0，令y ＝1，则x ＝0或x ＝e.5. 24 解析：∵ log 238＝log 23－3<4，log 23<4，又x<4时，f(x)＝f(x ＋3)，∴ f ⎝⎛⎭⎫log 238＝f(log 23－3)＝f(log 23＋3)．∵ log 23＋3>4，∴ f(log 23＋3)＝2log 23＋3＝2log 23·23＝24. 6. 23 解析：从盒中抓出两球共有3种方法，其中颜色不同的有2种，故概率为23. 7. 6 解析：作出如图所示可行域，当直线经过最优点(4，6)时，z 取得最大值6.8. 23 解析：∵ AF 2＝F 1F 2＝2c ＝4，AF 2－AF 1＝2，∴ AF 1＝2，∴ a ＝3，∴ e ＝23. 9. －82＋315 解析：由于α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，∴ 3π2<α＋β<2π，∴ π2<β－π4<3π4，∴ cos (α＋β)＝45，cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝－223，∴ cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos [(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4]＝45×⎝⎛⎭⎫－232＋⎝⎛⎭⎫－35×13＝－82＋315.10. 10 解析：∵ DB →·DC →＝3，∴ DB →·(BC →－BD →)＝3，∴ DB →·BC →－DB →·BD →＝3.又|BD →|＝2，∴ BD →·BC →＝1，∴ cos B ＝14，由余弦定理得AC ＝10.11. 2＋3 解析：∵ V ABCD ＝V PBCD ＋V PACD ，正四面体ABCD 的高h ＝2，∴ x ＋y ＝2，∴ 3x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫3x ＋1y ⎝⎛⎭⎫x ＋y 2＝12⎝⎛⎭⎫4＋3y x ＋x y ≥2＋3，当且仅当3y x ＝xy时等号成立． 12.n －12n 解析：当n ＝1时，得S 1＝－a 1－⎝⎛⎭⎫120＋1，即a 1＝0；当n ≥2时，∵ S n ＝－a n －⎝⎛⎭⎫12n －1＋1，∴ S n －1＝－a n －1－⎝⎛⎭⎫12n －2＋1，∴ a n ＝S n －S n －1＝－a n ＋a n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1，∴ 2a n ＝a n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1，即2n a n ＝2n －1a n －1＋1.令b n ＝2n a n ，则当n ≥2时，b n ＝b n －1＋1，即b n －b n －1＝1.又b 1＝2a 1＝0，故数列{b n }是首项为0，公差为1的等差数列，于是b n ＝b 1＋(n －1)·1＝n －1.∵ b n ＝2n a n ，∴ a n ＝2－n b n ＝n －12n.13. 4 解析：y ＝2x x －1－f(x)的零点即为2x x －1＝f(x)的解，∴ y ＝2x x －1与y ＝f(x)有四个交点．∵ y ＝2x x －1＝2＋2x －1，∴ y ＝2x x －1的图象关于点(1，2)对称．又f(x)(x ∈R )的图象关于点(1，2)对称，∴ y ＝2xx －1与y ＝f (x )的四个交点关于(1，2)对称，∴ x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝2＋2＝4.14. (0，1) 解析：由f(x)≥0及x>0，得a ≤e x e x 的解集恰为[m ，n]，设 g(x)＝e xe x ，则g′(x)＝e （1－x ）e x ，由g′(x)＝0，得x ＝1，当0<x<1时，g ′(x)>0，g(x)单调递增； 当x>1时，g ′(x)<0，g(x)单调递减， 且g(1)＝1，g(0)＝0，当x>0时，g(x)>0，大体图象如图所示．由题意得方程a ＝e xex 有两不等的非零根，∴ a ∈(0，1)．15. 证明：(1) ∵ MA 1＝MC ，且N 是A 1C 的中点， ∴ MN ⊥A 1C.又MN ⊥AA 1，AA 1∩A 1C ＝A 1，A 1C ，AA 1⊂平面A 1ACC 1， 故MN ⊥平面A 1ACC 1. ∵ MN ⊂平面A 1MC ，∴ 平面A 1MC ⊥平面A 1ACC 1. (6分) (2) 如图，取AC 中点P ，连结NP ，BP. ∵ N 为A 1C 中点，P 为AC 中点， ∴ PN ∥AA 1，且PN ＝12AA 1.在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BB 1∥AA 1，且BB 1＝AA 1. 又M 为BB 1中点，故BM ∥AA 1，且BM ＝12AA 1，∴ PN ∥BM ，且PN ＝BM ，于是四边形PNMB 是平行四边形， 从而MN ∥BP.又MN ⊄平面ABC ，BP ⊂平面ABC ， ∴ 故MN ∥平面ABC.(14分)16. 解：(1) 由题意，得1＋cos B ＝3sin B ，∴ 2sin ⎝⎛⎭⎫B －π6＝1，∴ B －π6＝π6或5π6(舍去)，∴ B ＝π3.∵ A ＝5π12，则C ＝π4，由正弦定理c sin C ＝b sin B ，得c ＝63.(5分)(2) ∵ sin A ＝2sin C ，由正弦定理，得a ＝2c.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B, 将b ＝1，a ＝2c ，B ＝π3代入解得c ＝33，从而a ＝233，∴ S △ABC ＝12ac sin B ＝12×233×33sin π3＝36.(14分)17. 解：(1) 第一天选A 餐厅的学生在第二天仍选A 餐厅的学生有200(1－20%)＝160(人)，第一天选B 餐厅的学生在第二天改选A 餐厅的学生有(1000－200)×30%＝240(人)， 故开学第二天选择A 餐厅的人数为160＋240＝400.(4分) (2) 由题知b n ＋1＝20%a n ＋b n (1－30%)， 而a n ＋b n ＝1 000，∴ b n ＋1＝12b n ＋200，∴ b n ＋1－400＝12(b n －400)．又b 1＝1 000－200＝800，∴ 数列{b n －400}是首项为400，公比为12的等比数列，∴ b n －400＝400×⎝⎛⎭⎫12n －1， ∴ b n ＝400＋400×⎝⎛⎭⎫12n －1.当选B 餐厅用餐总人数低于学校用餐总数的920时， 有400＋400×⎝⎛⎭⎫12n －1<920×1 000， 即⎝⎛⎭⎫12n －1<18，∴ n >4，∴ B 餐厅有整改的可能，且在开学第5天开始整改．(14分) 18. (1) 解：∵ 等轴双曲线的离心率为2，∴ 椭圆的离心率为e ＝22，∴ e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，∴ a 2＝2b 2.∵ 直线l ：x －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝b 2相切，∴ b ＝1，∴ 椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(4分)(2) 证明：由(1)知M(0，1)，∵ m ＝(k 1－2，1)，n ＝(1，k 2－2)，m ⊥n ，∴ k 1＋k 2＝4. ① 若直线AB 的斜率存在，设AB 方程为y ＝kx ＋m ，依题意m ≠±1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1，得 (1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，则有x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2. 由k 1＋k 2＝4，可得y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝4， ∴ kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝4， 即2k ＋(m －1)·x 1＋x 2x 1x 2＝4， 将x 1＋x 2，x 1x 2代入得k －km m ＋1＝2，∴ m ＝k 2－1， 故直线AB 的方程为y ＝kx ＋k 2－1， 即y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋12－1，∴ 直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫－12，－1；(10分) ② 若直线AB 的斜率不存在，设方程为x ＝x 0，则点A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)．由已知y 0－1x 0＋－y 0－1x 0＝4，得x 0＝－12， 此时AB 方程为x ＝x 0，显然过点⎝⎛⎭⎫－12，－1. 综上所述，直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫－12，－1.(16分) 19. 解：(1) 设{a n }的公比为q ，由a 3a 6＝a 22·q 5＝116q 5＝1512，得q ＝12， ∴ a n ＝a 2·q n －2＝⎝⎛⎭⎫12n.(2分) b n ＝log 2a 2n 2·log 2a 2n ＋12＝log ⎝⎛⎭⎫122n －12·log ⎝⎛⎭⎫122n ＋12＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， ∴ T n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. (5分) (2) ① 当n 为偶数时，由λT n <n －2恒成立，得λ<（n －2）（2n ＋1）n ＝2n －2n－3恒成立， 即λ<⎝⎛⎭⎫2n －2n －3min，(6分) 而2n －2n－3随n 的增大而增大， ∴ n ＝2时⎝⎛⎭⎫2n －2n －3min＝0，∴ λ<0；(8分) ② 当n 为奇数时，由λT n <n ＋2恒成立得，λ<（n ＋2）（2n ＋1）n ＝2n ＋2n＋5恒成立，即λ<⎝⎛⎭⎫2n ＋2n ＋5min.(12分) 而2n ＋2n ＋5≥22n ·2n＋5＝9， 当且仅当2n ＝2n，即n ＝1时等号成立，∴ λ<9. 综上，实数λ的取值范围是(－∞，0)．(16分)20. (1) 解：由f(x)＝ln x ＋2e x， 得f′(x)＝1－2x －x ln x x e x，x ∈(0，＋∞)，(1分) ∴ 曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为f ′(1)＝－1e. ∵ f(1)＝2e，∴ 曲线y ＝f(x)切线方程为 y －2e ＝－1e (x －1)，即y ＝－1e x ＋3e.(4分) (2) 解：由x e x f(x)>m ，得k>m x－ln x ， 令F (x )＝m x－ln x ，则k >F (x )max ， 又F ′(x )＝－m x 2－1x ＝－1x2(x ＋m )，x ∈[1，e]． 当m ≥0时，F ′(x )<0，F (x )在[1，e]上单调递减，∴ F (x )max ＝F (1)＝m ，∴ k >m ；当m <0时，由F ′(x )＝0，得x ＝－m ，在(0，－m )上F ′(x )>0，F (x )单调递增，在(－m ，＋∞)上F ′(x )<0，F (x )单调递减．① 若－m ≤1即－1≤m <0，则F (x )在[1，e]上单调递减，k >F (x )max ＝F (1)＝m ；② 若1<－m <e 即－e<m <－1，则F (x )在[1，－m ]上单调递增，在[－m ，e]上单调递减，k >F (x )max ＝F (－m )＝－1－ln(－m )；③ 若－m ≥e 即m ≤－e ，则F (x )在[1，e]上单调递增，k >F (x )max ＝F (e)＝m e－1， 综上，当m ≥－1时，k ∈(m ，＋∞)；当－e<m <－1时，k ∈(－1－ln (－m )，＋∞)；当m ≤－e 时，k ∈⎝⎛⎭⎫m e －1，＋∞.(8分)(3) 证明：由f ′(1)＝0，得k ＝1.令g (x )＝(x 2＋x )f ′(x ),∴ g (x )＝x ＋1ex (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)， 因此，对任意x >0，g (x )<e －2＋1等价于 1－x －x ln x <e xx ＋1(e －2＋1)． 由h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，得h ′(x )＝－ln x －2，x ∈(0，＋∞)，因此，当x ∈(0，e －2)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增；当x ∈(e －2，＋∞)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，∴ h (x )的最大值为h (e －2)＝e －2＋1，故1－x －x ln x ≤e －2＋1.设φ(x )＝e x －(x ＋1)，∵ φ′(x )＝e x －1，所以x ∈(0，＋∞)时φ′(x )>0， ∴ φ(x )单调递增，φ(x )>φ(0)＝0， 故x ∈(0，＋∞)时，φ(x )＝e x－(x ＋1)>0，即e xx ＋1>1， ∴ 1－x －x ln x ≤e －2＋1<e xx ＋1(e －2＋1)， 故对任意x >0，f ′(x )<e －2＋1x 2＋x 恒成立．(16分)2019年普通高等学校招生全国统一考试(江。

A NB（第7题）2019年高考模拟试卷（1）第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 已知集合{}11A x x =-<<，{}102B =-，，，则A B = ▲ ．2． 复数2i1iz =-（i 为虚数单位）的实部是 ▲ ． 3． 甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋．已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为 ▲ ．4． 某地区连续5天的最低气温（单位：°C ）依次为8，-4，-1，0，2，则该组数据的方差为 ▲ ．5． 根据如图所示的伪代码，当输出y 的值为12时，则输入的x 的值为 ▲ ．6． 在平面直角坐标系xOy 中，圆224440x y x y +-++=被直线50x y --=所截得的弦长为 ▲ ．7． 如图，三个相同的正方形相接，则tan ABC ∠的值为 ▲ ．8． 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PD 上一点，且2PE ED =．设三棱锥P ACE -的体积为1V ，三棱锥P ABC -的体积为2V ，则12:V V = ▲ ．9． 已知F 是抛物线C ：28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 是FN 的中点，则FN 的长度为 ▲ ．10．若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，()ln f x x x =，则不等式()e f x <-的解集为 ▲ ．11．钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图）．现将99根相同的圆钢 捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为 ▲ ．Read xIf x ≤0 Then y ←x 2＋1 Elsey ←ln x End If Print y（第5题）( 第8题 )ACPEABCB 1C 1A 1MN （第16题）12．如图，在△ABC 中，点M 为边BC 的中点，且2AM =，点N 为线段AM 的中点，若74AB AC ⋅=，则NB NC ⋅的值为 ▲ ． 13．已知正数x y ，满足11910x y x y +++=，则1x y+的最小值是 ▲ ． 14．设等比数列{a n }满足：1cos n n n a a θθ=，其中π02n θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，*n ∈N ．则 数列{}n θ的前2 018项之和是▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分)已知sin cos θθ+=，ππ44θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，． （1）求θ的值；（2）设函数()22()sin sin f x x x θ=-+，x ∈R ，求函数()f x 的单调增区间．16．(本小题满分14分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知M ，N 分别为线段1BB ，1A C 的中点，MN 与1AA 所成角的大小为90°，且1MA MC =．求证：（1）平面1A MC ⊥平面11A ACC ； （2）//MN 平面ABC ．（第18题）17．(本小题满分14分某厂花费2万元设计了某款式的服装．根据经验，每生产1百套该款式服装的成本为1万元，每生产x （百套）的销售额（单位：万元）20.4 4.20.805()914.7 5.3x x x P x x x ⎧-+-<⎪=⎨->⎪-⎩≤，，， （1）该厂至少生产多少套此款式服装才可以不亏本？（2）试确定该厂生产多少套此款式服装可使利润最大，并求最大利润． （注：利润=销售额-成本，其中成本=设计费+生产成本）18．(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：222210x y a b ab+=>>()的离心率为2，且过点1⎛⎝⎭．设P 为椭圆C 在第一象限上的点，A ，B 分别为椭圆C 的左顶点和 下顶点，且PA 交y 轴于点E ，PB 交x 轴于点（1）求a b ，的值；（2）若F 为椭圆C 的右焦点，求点E 的坐标； （3）求证：四边形ABFE 的面积为定值．19．(本小题满分16分)设数列{a n }的前n 项和为n S ，且满足：()()2*0n n n a S a p n p >=+∈∈N R ，，．（1）若29p =，求a 1的值；（2）若123a a a ，，成等差数列，求数列{a n }的通项公式．20．(本小题满分16分)已知函数()e (1)xf x a x =-+，其中e 为自然对数的底数，a ∈R ． （1）讨论函数()f x 的单调性，并写出相应的单调区间；（2）已知0a >，b ∈R ，若()f x b ≥对任意x ∈R 都成立，求ab 的最大值； （3）设()(e)g x a x =+，若存在0x ∈R ，使得00()()f x g x =成立，求a 的取值范围．2019年高考模拟试卷（1）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定．．两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．． A ． [选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上一点，过D 作直线DP // AC ，交AB 于点E ， 交圆O 在A 点处的切线于点P ．求证：△P AE ∽△BDE ．B ． [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知2143-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ，4131-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦N ．求满足方程=MX N 的二阶矩阵X ．C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， （t 为参数），圆C的参数方程（第21—A 题）ABCDP（第22题）为2cos 22sin x a y θθ=+⎧⎨=+⎩，（θ为参数）.设直线l 与圆C 相切，求正实数a 的值．D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)设0x y z >，，，证明：222111x y z y z x x y z++++≥． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．(本小题满分10分)如图，在四棱锥P ABCD -中，棱AB ，AD ，AP 两两垂直，且长度均为1，BC AD λ=（01λ<≤）． （1）若1λ=，求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值； （2）若二面角B PC D --的大小为120°，求实数λ的值．23．(本小题满分10分)甲，乙两人进行抛硬币游戏，规定：每次抛币后，正面向上甲赢，否则乙赢．此时， 两人正在游戏，且知甲再赢m （常数m >1）次就获胜，而乙要再赢n （常数n >m ） 次才获胜，其中一人获胜游戏就结束．设再进行ξ次抛币，游戏结束． （1）若m 2=，n 3=，求概率()4P ξ=；（2）若2n m =+，求概率()P m k ξ=+（23k =，，…1m +，）的最大值（用m 表示）．2019年高考模拟试卷（1）数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{}0 2． -1 3．0.5 4． 16 5．6．7． 17【解析】设最右边的正方形的右下角顶点为D ，则()11tan tan 123tan tan 1tan tan 117123BCD BAD ABC BCD BAD BCD BAD -∠-∠∠=∠-∠===+∠∠+⨯．8． 23【解析】因为2PE ED =，所以三棱锥E ACD -的体积是三棱锥P ACD -体积的13，所以三棱锥P ACE -的体积是P ACD -体积的23．因为三棱锥P ABC -与三棱锥P ACD -体积相等，所以12:V V =23．9． 6【解析】如图，过点M 作准线的垂线，垂足为T ，交y 轴于点P ，所以112MP OF ==，3MF MT ==，所以26FN MF ==．10． (,e)-∞-【解析】11()ln 1,(0,),(,),(e)e e ef x x f '=++∞=为减区间为增区间．由于()f x 是奇函数，结合函数图像得，不等式的解集是(,e)-∞-．11． 8【解析】设99根相同的圆钢捆扎成的尽可能大的1个正六边形垛的边长为n 根，则这个正六边形垛的层数是21n -，每一层的根数从上往下依次为： 12(2)(1)(2)21n n n n n n n n n n n n ++⋅⋅⋅+-+-+-⋅⋅⋅++，，，，，，，，，，，则圆钢的总根数为：()222(1)2(21)33 1.2n n n n n n +--⨯+-=-+由题意2331n n -+≤99即2993n n --≤0， 设函数299()3f x x x =--，则299()3f x x x =--在[)1+∞，上单调递增． 因为(6)0(7)0f f <>，，所以6n =．此时剩余的圆钢根数为299(36361)8-⨯-⨯+=．12． 54-【解析】由极化恒等式知，22AB AC AM BM ⋅=-，则2342BM AB AC =-⋅==，所以()222235124NB NC MN BM ⋅=-=-=-． 13． 2【解析】设1a x y =+，19b y x=+，则10a b +=．ABCB 1C 1A 1MN 因为ab =()1x y+⋅()1191091016y xy x xy +=+++≥（当且仅当19xy xy =时取“=”），所以()1016a a -≥，解得28a ≤≤，所以1x y +的最小值是2．14． 1009π6【解析】因为()π02n θ∈，，所以()(]πcos 2sin 126n n n n a θθθ=+=+∈，，所以等比数列{a n }的公比0q >．若1q >，由1a n 充分大，则2n a >，矛盾； 若01q <<，由1a n 充分大，则1n a <，矛盾， 所以1q =，从而1n a a =π12n θ=．则数列{}n θ的前2 018项之和是1009π6．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．(本小题满分14分)解：（1）由sin cos θθ+=2(sin cos )1θθ+=-，即22sin 2sin cos cos 1θθθθ++=-sin 2θ=．因为()ππ44θ∈-，，所以()ππ222θ∈-，，所以π23θ=-，即π6θ=-． （2）由（1）知，()22π()sin sin 6f x x x =--，所以()()11π()1cos21cos 2223f x x x ⎡⎤=----⎢⎥⎣⎦()1πcos 2cos223x x ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦112cos222x x ⎫=-⎪⎭()1πsin 226x =-． 令πππ2π22π+262k x k --≤≤， 得ππππ+63k x k -≤≤，所以函数()f x 的单调增区间是ππππ+63k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，Z k ∈． 16．(本小题满分14分证明：（1）因为MN 与1AA 所成角的大小为90°，所以MN ⊥1AA ， 因为1MA MC =，且N 是A 1C 的中点，所以MN ⊥1A C ． 又111AA AC A =，1AC ，1AA ⊂平面11A ACC ，故MN ⊥平面11A ACC ，因为MN ⊂平面1A MC ，所以平面1A MC ⊥平面11A ACC ．（2）取AC 中点P ，连结NP ，BP ．因为N 为A 1C 中点，P 为AC 中点，所以PN //AA 1，且PN 12=AA 1．在三棱柱111ABC A BC -中，BB 1 // AA 1，且BB 1=AA 1． 又M 为BB 1中点，故BM // AA 1，且BM 12=AA 1．所以PN // BM ，且PN =BM ，于是四边形PNMB 是平行四边形， 从而MN // BP ．又MN ⊄平面ABC ，BP ⊂平面ABC ，故//MN 平面ABC ． 17．(本小题满分14分解：（1）考虑05x <≤时，利润()()22()20.4 4.20.820.4 3.2 2.8y P x x x x x x x =-+=-+--+=-+-． 令20.4 3.2 2.80y x x =-+-≥得，17x ≤≤，从而15x ≤≤，即min 1x =． （2）当05x <≤时，由（1）知()220.4 3.2 2.80.44 3.6y x x x =-+-=--+， 所以当4x =时，max 3.6y =（万元）．当5x >时，利润()()()99()214.729.7333y P x x x x x x =-+=--+=--+--．因为9363x x -+-≥（当且仅当933x x -=-即6x =时，取“=”）， 所以max 3.7y =（万元）． 综上，当6x =时，max 3.7y =（万元）．答：（1）该厂至少生产1百套此款式服装才可以不亏本；（2）该厂生产6百套此款式服装时，利润最大，且最大利润为3.7万元． 18．(本小题满分16分)解：（1）依题意，221314a b +=，c a =222(0)c a b c =->， 解得2241a b ==，． 因为0a b >>，所以21a b ==，．（2）由（1）知，椭圆C 的右焦点为)0F，椭圆C 的方程为2214x y +=，① 所以()()2001A B --，，，．从而直线BF 1y =． ②由①②得，)17P ，．从而直线AP 的方程为：2)y x =+．令0x =，得7y =-E 的坐标为(07-，．（3）设()00P x y ，（0000x y >>，），且220014x y +=，即220044x y +=．则直线AP 的方程为：00(2)2y y x x =++，令0x =，得0022y y x =+． 直线BP 的方程为：0011y y x x ++=，令0y =，得001xx y =+． 所以四边形ABFE 的面积S =()()00002121212x y y x ++++00000022221212x y x y y x ++++=⋅⋅++ ()2200000000004222441222x y x y x y x y x y +++++=⋅+++00000000224422x y x y x y x y +++=+++ 2=． 19．(本小题满分16分)解：（1）因为29p =，所以()211129a S a ==+，即211540981a a -+=，解得119a =或49．（2）设等差数列123a a a ，，的公差为d ． 因为()()2*n n S a p n p =+∈∈N R ，，所以()211a a p =+， ①()2122a a a p +=+， ②()21233a a a a p ++=+． ③ ②-①，得()()22221a a p a p =+-+，即()2122a d a a p =++， ④③-②，得()()22332a a p a p =+-+，即()3232a d a a p =++， ⑤ ⑤-④，得()()32231222a a d a a p a a p ⎡⎤-=++-++⎣⎦，即22d d =． 若0d =，则230a a ==，与0n a >矛盾，故12d =．代入④得()1111112222a a a p +=+++，于是14p =．因为()()2*14n n S a n =+∈N ，所以()21114n n S a ++=+， 所以()()221111144n n nn na S S a a +++=-=+-+，即()()221111044n n n a a a +++--+=，整理得()()22111044n na a +--+=，于是()()11102n n n na a a a +++--=．因为0n a >，所以1102n n a a +--=，即112n n a a +-=．因为()21114a a =+，所以114a =．所以数列{a n }是首项为14，公差为12的等差数列．因此，*1121(1)()424n n a n n -=+-=∈N ．20．(本小题满分16分)解：（1）由()e (1)x f x a x =-+，知()e x f x a '=-．若0a ≤，则()0f x '>恒成立，所以()f x 在()-∞+∞，上单调递增； 若0a >，令()0f x '=，得ln x a =，当ln x a <时，()0f x '<，当ln x a >时，()0f x '>，所以()f x 在(ln )a -∞，上单调递减；在(ln )a +∞，上单调递增． （2）由（1）知，当0a >时，min ()(ln )ln f x f a a a ==-．因为()f x b ≥对任意x ∈R 都成立，所以ln b a a -≤， 所以2ln ab a a -≤． 设2()ln t a a a =-，（0a >），由21()(2ln )(2ln 1)t a a a a a a a '=-+⋅=-+，令()0t a '=，得12e a -=，当120e a -<<时，()0t a '>，所以()t a 在()120e-，上单调递增；当12e a ->时，()0t a '<，所以()t a 在()12e -∞，+上单调递减，所以()t a 在12e a -=处取最大值，且最大值为12e．所以21ln 2e ab a a -≤≤，当且仅当12e a -=，121e 2b -=时，ab 取得最大值为12e． （3）设()()()F x f x g x =-，即()e e 2x F x x ax a =--- 题设等价于函数()F x 有零点时的a 的取值范围．① 当0a ≥时，由(1)30F a =-≤，1(1)e e 0F a --=++>，所以()F x 有零点． ② 当e 02a -<≤时，若0x ≤，由e 20a +≥，得()e (e 2)0x F x a x a =-+->；若0x >，由（1）知，()(21)0F x a x =-+>，所以()F x 无零点． ③ 当e 2a <-时，(0)10F a =->，又存在010e 2a x a -=<+，00()1(e 2)0F x a x a <-+-=，所以()F x 有零点．综上，a 的取值范围是e 2a <-或0a ≥．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．．若多做，则按作答的前两题评分． C ． [选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)证明：因为P A 是圆O 在点A 处的切线，所以∠P AB ＝∠ACB ． 因为PD ∥AC ，所以∠EDB ＝∠ACB ， 所以∠P AE ＝∠P AB ＝∠ACB ＝∠BDE ． 又∠PEA ＝∠BED ，故△P AE ∽△BDE ． D ． [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)21B.【解】设1 -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a c b d A ，因为12 -1 1 02 1 0 1-⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦a cb d AA ， 所以2a b 1,2c d 0,2a b 0,2c d 1,-=⎧⎪-=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩解之得1a 41b 21c 41d 2⎧=⎪⎪=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎪=⎪⎩ ，所以A －1＝11 4411- 22⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦．所以12131111 16164444()111131- - 222288-⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ．C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)解：直线l的普通方程为3y =+，圆C 的参数方程化为普通方程为22()(2)4x a y -+-=．因为直线l 与圆C2=．解得a =a =0a >，所以a = D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)证明：由柯西不等式，得()()2222111y x z x y z y z x ++++≥，即()()()2222111111y x z x y zx y z y z x ++++++≥，所以222111yx z x y z y z x++++≥．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．(本小题满分10分)解：（1）以{}AB AD AP ，，为一组基底建立如图所示的空间直角坐标系A —xyz ．因为1λ=，所以BC AD =． 依题意，()110C ，，，()001P ，，，()100B ，，，()010D ，，， 所以()111PC =-，，， ()101PB =-，，，()11PD =-0，，． 设平面PBD 的一个法向量为n ()x y z =，，，则00PB PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 所以00x z y z -=⎧⎨-=⎩，． 取1z =得，n ()111=，，．所以1 cos3PC PC PC ⋅〈〉===⋅，n n n ．所以直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值为13．（2）依题意，()10C λ，，，101PB ，，，11PCλ，，，011PD，，．设平面PBC 的一个法向量为1n ()111x y z ，，=，则1100PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即1111100x z x y z λ-=⎧⎨+-=⎩，，取11z =得，()1101=，，n ． 设平面PCD 的一个法向量为2n ()222x y z ，，=，则2200PC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即2222200x y z y z λ+-=⎧⎨-=⎩，，取21z =得，2n ()111λ=-，，．所以121212 cos⋅〈〉=⨯，n n n n n n 1 cos120 2==， 解得1λ=或5λ=，因为01λ<≤，所以1λ=． 23．(本小题满分10分)解：（1）依题意， ()()31343128P ξ==⨯⨯=．（2）依题意，()()()11111C C2m km m m k m k P m k ξ+-++-+-=+=+⋅（23k =，，…1m +，）． 设()()()11111CC2m km m m k m k f k +-++-+-=+⋅()()()()()()1!1!121!!1!2!m km k m k m k m k ++-+-⎡⎤=+⋅⎢⎥-+-⎣⎦()()()()()1111!21!!m km m k k m k m k +++-=⋅⋅+-+则()()1f k f k +()()()()()()()()()()()1111!21!1!1111!21!!m k m k m m k k m k m k m m k k m k m k ++++++⋅⋅+++=++-⋅⋅+-+()()()()()()112111m k m m k k k m m k k ++++⎡⎤⎣⎦=+++-⎡⎤⎣⎦． 而()()()()()()1112111m k m m k k k m m k k ++++⎡⎤⎣⎦+++-⎡⎤⎣⎦≥ （＊） ()()()32221220k m k m k m m m ⇔-++----≤ ()()2220k m k k m m ⇔--+--≤．（＃） 因为2220k k m m -+--=的判别式()21420m m ∆=---<2704m m ⇔--<（显然在*1m m >∈N ，时恒成立），所以2220k k m m -+-->．又因为k m ≤，所以（＃）恒成立，从而（＊）成立． 所以()()11f k f k +≥，即()()1f k f k +≥(当且仅当k m =时，取“=”)， 所以()f k 的最大值为()()()()21112211C C2m m m mmf m f m +-+=+=+⋅，即()P m k ξ=+的最大值为()()2111221C C2m m m mm+-++⋅．。

2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(一)数 学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程，请把答案直接写在指定位置上．1. 已知集合A ＝{1，2}，B ＝{a ，a 2－3}，若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为________．2. 若命题“∀t ∈R , t 2－at －a ≥0”是真命题，则实数a 的取值范围是________.3. 已知复数z 满足z (1－i)＝2＋i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模|z |＝________．4. 根据如图所示的伪代码，当输出y 的值为1时，则输入的x 的值为________． Read xIf x ≤0 Then y ←x 2＋1 Elsey ←ln x End If Print y5. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥4，f （x ＋3），x <4，则f (log 238)＝________．6. 盒子中有2个白球、1个黑球，一人从盒中抓出两球，则两球颜色不同的概率为________．7. 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －2≤0，x ＋y －2≥0，则z ＝3x －y 的最大值为________．8. 如图，F 1，F 2是双曲线C 1：x 2－y 23＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点．若△AF 1F 2为等腰三角形，则C 2的离心率是________．9. 已知α，β∈(3π4，π)，sin(α＋β)＝－35，sin(β－π4)＝13，则cos(α＋π4)＝________．10. 如图，在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝2，D 在边AB 上，BD →＝2DA →，若DB →·DC →＝3，则边AC 的长为__________．11. 设正四面体ABCD 的棱长为6，P 是棱AB 上的任意一点(不与A ，B 重合)，且P 到平面BCD 、平面ACD 的距离分别为x ，y ，则3x ＋1y的最小值是________．12. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－a n －(12)n －1＋1(n 为正整数)，则数列{a n }的通项公式为________．13. 已知函数f (x )(x ∈R )的图象关于点(1，2)对称，若函数y ＝2xx －1－f (x )有四个零点x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________．14. 已知函数f (x )＝1e x －ae x (x >0，a ∈R )，若存在实数m ，n ，使得f (x )≥0的解集恰为[m ，n ]，则实数a的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，M ，N 分别为线段BB 1，A 1C 的中点，MN ⊥AA 1，且MA 1＝MC .求证： (1) 平面A 1MC ⊥平面A 1ACC 1； (2) MN ∥平面ABC .已知在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2B2＝3sin B ，b ＝1.(1) 若A ＝5π12，求边c 的大小；(2) 若sin A ＝2sin C ，求△ABC 的面积．学校A，B两餐厅每天供应1 000名学生用餐(每人每天只选一个餐厅用餐)，调查表明：开学第一天有200人选A餐厅，并且学生用餐有以下规律：凡是在某天选A餐厅的，后面一天会有20%改选B餐厅，而选B餐厅的，后面一天则有30%改选A餐厅．若用a n，b n分别表示在开学第n天选A餐厅、B餐厅的人数．(1) 求开学第二天选择A餐厅的人数；(2) 若某餐厅一天用餐总人数低于学校用餐总数的920，则该餐厅需整改，问B餐厅在开学一个月内是否有整改的可能，如果有可能，请指出在开学后第几天开始整改；如果没有可能，请说明理由．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数，直线l ：x －y ＋2＝0与以原点为圆心，以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设M 是椭圆的上顶点，过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为k 1，k 2，m ＝(k 1－2，1)，n ＝(1，k 2－2)，若m ⊥n ，求证：直线AB 过定点．在等比数列{a n }中，a 2＝14，a 3·a 6＝1512.设b n ＝log2a 2n 2·log2a 2n ＋12，T n 为数列{b n }的前n 项和． (1) 求a n 和T n ；(2) 若对任意的n ∈N *，不等式λT n <n －2(－1)n 恒成立，求实数λ的取值范围．已知函数f (x )＝ln x ＋ke x (其中k ∈R ，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)．(1) 当k ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2) 若x e x f (x )>m 对x ∈[1，e]恒成立，求k 的取值范围； (3) 若f ′(1)＝0，求证：对任意x >0，f ′(x )<e －2＋1x 2＋x恒成立．最高考·高考全真模拟卷·数学参考答案2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(一)1. 1或－2 解析：∵ A ∩B ＝{1}，∴ 1∈B ，∴ a ＝1或a 2－3＝1，∴ a ＝1或a ＝±2，但a ＝2 不合题意，舍去．2. [－4，0] 解析：∵ Δ＝a 2＋4a ≤0，∴ －4≤a ≤0.3.102 解析：z ＝2＋i 1－i ＝（2＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝12＋32i ，|z|＝14＋94＝102. 4. e 或0 解析：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，ln x ，x >0，令y ＝1，则x ＝0或x ＝e.5. 24 解析：∵ log 238＝log 23－3<4，log 23<4，又x<4时，f(x)＝f(x ＋3)，∴ f ⎝⎛⎭⎫log 238＝f(log 23－3)＝f(log 23＋3)．∵ log 23＋3>4，∴ f(log 23＋3)＝2log 23＋3＝2log 23·23＝24. 6. 23 解析：从盒中抓出两球共有3种方法，其中颜色不同的有2种，故概率为23. 7. 6 解析：作出如图所示可行域，当直线经过最优点(4，6)时，z 取得最大值6.8. 23 解析：∵ AF 2＝F 1F 2＝2c ＝4，AF 2－AF 1＝2，∴ AF 1＝2，∴ a ＝3，∴ e ＝23. 9. －82＋315 解析：由于α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，∴ 3π2<α＋β<2π，∴ π2<β－π4<3π4，∴ cos (α＋β)＝45，cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝－223，∴ cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos [(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4]＝45×⎝⎛⎭⎫－232＋⎝⎛⎭⎫－35×13＝－82＋315.10. 10 解析：∵ DB →·DC →＝3，∴ DB →·(BC →－BD →)＝3，∴ DB →·BC →－DB →·BD →＝3.又|BD →|＝2，∴ BD →·BC →＝1，∴ cos B ＝14，由余弦定理得AC ＝10.11. 2＋3 解析：∵ V ABCD ＝V PBCD ＋V PACD ，正四面体ABCD 的高h ＝2，∴ x ＋y ＝2，∴ 3x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫3x ＋1y ⎝⎛⎭⎫x ＋y 2＝12⎝⎛⎭⎫4＋3y x ＋x y ≥2＋3，当且仅当3y x ＝x y 时等号成立．12.n －12n 解析：当n ＝1时，得S 1＝－a 1－⎝⎛⎭⎫120＋1，即a 1＝0；当n ≥2时，∵ S n ＝－a n －⎝⎛⎭⎫12n －1＋1，∴ S n －1＝－a n －1－⎝⎛⎭⎫12n －2＋1，∴ a n ＝S n －S n －1＝－a n ＋a n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1，∴ 2a n ＝a n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1，即2n a n＝2n －1a n －1＋1.令b n ＝2n a n ，则当n ≥2时，b n ＝b n －1＋1，即b n －b n －1＝1.又b 1＝2a 1＝0，故数列{b n }是首项为0，公差为1的等差数列，于是b n ＝b 1＋(n －1)·1＝n －1.∵ b n ＝2n a n ，∴ a n ＝2－n b n ＝n －12n.13. 4 解析：y ＝2x x －1－f(x)的零点即为2x x －1＝f(x)的解，∴ y ＝2x x －1与y ＝f(x)有四个交点．∵ y ＝2x x －1＝2＋2x －1，∴ y ＝2x x －1的图象关于点(1，2)对称．又f(x)(x ∈R )的图象关于点(1，2)对称，∴ y ＝2xx －1与y＝f (x )的四个交点关于(1，2)对称，∴ x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝2＋2＝4.14. (0，1) 解析：由f(x)≥0及x>0，得a ≤e x e x 的解集恰为[m ，n]，设 g(x)＝e xe x ，则g′(x)＝e （1－x ）e x ，由g′(x)＝0，得x ＝1，当0<x<1时，g ′(x)>0，g(x)单调递增； 当x>1时，g ′(x)<0，g(x)单调递减， 且g(1)＝1，g(0)＝0，当x>0时，g(x)>0，大体图象如图所示．由题意得方程a ＝e xex 有两不等的非零根，∴ a ∈(0，1)．15. 证明：(1) ∵ MA 1＝MC ，且N 是A 1C 的中点， ∴ MN ⊥A 1C.又MN ⊥AA 1，AA 1∩A 1C ＝A 1，A 1C ，AA 1⊂平面A 1ACC 1， 故MN ⊥平面A 1ACC 1. ∵ MN ⊂平面A 1MC ，∴ 平面A 1MC ⊥平面A 1ACC 1. (6分) (2) 如图，取AC 中点P ，连结NP ，BP. ∵ N 为A 1C 中点，P 为AC 中点， ∴ PN ∥AA 1，且PN ＝12AA 1.在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BB 1∥AA 1，且BB 1＝AA 1. 又M 为BB 1中点，故BM ∥AA 1，且BM ＝12AA 1，∴ PN ∥BM ，且PN ＝BM ，于是四边形PNMB 是平行四边形， 从而MN ∥BP.又MN ⊄平面ABC ，BP ⊂平面ABC ， ∴ 故MN ∥平面ABC.(14分)16. 解：(1) 由题意，得1＋cos B ＝3sin B ，∴ 2sin ⎝⎛⎭⎫B －π6＝1，∴ B －π6＝π6或5π6(舍去)，∴ B ＝π3.∵ A ＝5π12，则C ＝π4，由正弦定理c sin C ＝b sin B ，得c ＝63.(5分)(2) ∵ sin A ＝2sin C ，由正弦定理，得a ＝2c.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B, 将b ＝1，a ＝2c ，B ＝π3代入解得c ＝33，从而a ＝233，∴ S △ABC ＝12ac sin B ＝12×233×33sin π3＝36.(14分)17. 解：(1) 第一天选A 餐厅的学生在第二天仍选A 餐厅的学生有200(1－20%)＝160(人)，第一天选B 餐厅的学生在第二天改选A 餐厅的学生有(1000－200)×30%＝240(人)， 故开学第二天选择A 餐厅的人数为160＋240＝400.(4分) (2) 由题知b n ＋1＝20%a n ＋b n (1－30%)， 而a n ＋b n ＝1 000，∴ b n ＋1＝12b n ＋200，∴ b n ＋1－400＝12(b n －400)．又b 1＝1 000－200＝800，∴ 数列{b n －400}是首项为400，公比为12的等比数列，∴ b n －400＝400×⎝⎛⎭⎫12n －1， ∴ b n ＝400＋400×⎝⎛⎭⎫12n －1.当选B 餐厅用餐总人数低于学校用餐总数的920时， 有400＋400×⎝⎛⎭⎫12n －1<920×1 000， 即⎝⎛⎭⎫12n －1<18，∴ n >4，∴ B 餐厅有整改的可能，且在开学第5天开始整改．(14分) 18. (1) 解：∵ 等轴双曲线的离心率为2，∴ 椭圆的离心率为e ＝22，∴ e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，∴ a 2＝2b 2.∵ 直线l ：x －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝b 2相切，∴ b ＝1，∴ 椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(4分)(2) 证明：由(1)知M(0，1)，∵ m ＝(k 1－2，1)，n ＝(1，k 2－2)，m ⊥n ，∴ k 1＋k 2＝4. ① 若直线AB 的斜率存在，设AB 方程为y ＝kx ＋m ，依题意m ≠±1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1，得 (1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，则有x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2. 由k 1＋k 2＝4，可得y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝4， ∴ kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝4， 即2k ＋(m －1)·x 1＋x 2x 1x 2＝4， 将x 1＋x 2，x 1x 2代入得k －km m ＋1＝2，∴ m ＝k 2－1， 故直线AB 的方程为y ＝kx ＋k 2－1， 即y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋12－1，∴ 直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫－12，－1；(10分) ② 若直线AB 的斜率不存在，设方程为x ＝x 0，则点A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)．由已知y 0－1x 0＋－y 0－1x 0＝4，得x 0＝－12， 此时AB 方程为x ＝x 0，显然过点⎝⎛⎭⎫－12，－1. 综上所述，直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫－12，－1.(16分) 19. 解：(1) 设{a n }的公比为q ，由a 3a 6＝a 22·q 5＝116q 5＝1512，得q ＝12， ∴ a n ＝a 2·q n －2＝⎝⎛⎭⎫12n.(2分) b n ＝log 2a 2n 2·log 2a 2n ＋12＝log ⎝⎛⎭⎫122n －12·log ⎝⎛⎭⎫122n ＋12＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， ∴ T n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. (5分)(2) ① 当n 为偶数时，由λT n <n －2恒成立，得λ<（n －2）（2n ＋1）n ＝2n －2n－3恒成立， 即λ<⎝⎛⎭⎫2n －2n －3min，(6分) 而2n －2n－3随n 的增大而增大， ∴ n ＝2时⎝⎛⎭⎫2n －2n －3min＝0，∴ λ<0；(8分) ② 当n 为奇数时，由λT n <n ＋2恒成立得，λ<（n ＋2）（2n ＋1）n ＝2n ＋2n＋5恒成立， 即λ<⎝⎛⎭⎫2n ＋2n ＋5min.(12分) 而2n ＋2n ＋5≥22n ·2n＋5＝9， 当且仅当2n ＝2n，即n ＝1时等号成立，∴ λ<9. 综上，实数λ的取值范围是(－∞，0)．(16分)20. (1) 解：由f(x)＝ln x ＋2e x， 得f′(x)＝1－2x －x ln x x e x，x ∈(0，＋∞)，(1分) ∴ 曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为f ′(1)＝－1e. ∵ f(1)＝2e，∴ 曲线y ＝f(x)切线方程为 y －2e ＝－1e (x －1)，即y ＝－1e x ＋3e.(4分) (2) 解：由x e x f(x)>m ，得k>m x－ln x ， 令F (x )＝m x－ln x ，则k >F (x )max ， 又F ′(x )＝－m x 2－1x ＝－1x2(x ＋m )，x ∈[1，e]． 当m ≥0时，F ′(x )<0，F (x )在[1，e]上单调递减，∴ F (x )max ＝F (1)＝m ，∴ k >m ；当m <0时，由F ′(x )＝0，得x ＝－m ，在(0，－m )上F ′(x )>0，F (x )单调递增，在(－m ，＋∞)上F ′(x )<0，F (x )单调递减．① 若－m ≤1即－1≤m <0，则F (x )在[1，e]上单调递减，k >F (x )max ＝F (1)＝m ；② 若1<－m <e 即－e<m <－1，则F (x )在[1，－m ]上单调递增，在[－m ，e]上单调递减，k >F (x )max ＝F (－m )＝－1－ln(－m )；③ 若－m ≥e 即m ≤－e ，则F (x )在[1，e]上单调递增，k >F (x )max ＝F (e)＝m e－1， 综上，当m ≥－1时，k ∈(m ，＋∞)；当－e<m <－1时，k ∈(－1－ln (－m )，＋∞)；当m ≤－e 时，k ∈⎝⎛⎭⎫m e －1，＋∞.(8分) (3) 证明：由f ′(1)＝0，得k ＝1.令g (x )＝(x 2＋x )f ′(x ),∴ g (x )＝x ＋1ex (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)， 因此，对任意x >0，g (x )<e －2＋1等价于1－x －x ln x <e xx ＋1(e －2＋1)． 由h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，得h ′(x )＝－ln x －2，x ∈(0，＋∞)，因此，当x ∈(0，e －2)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增；当x ∈(e －2，＋∞)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，∴ h (x )的最大值为h (e －2)＝e －2＋1，故1－x －x ln x ≤e －2＋1.设φ(x )＝e x －(x ＋1)，∵ φ′(x )＝e x －1，所以x ∈(0，＋∞)时φ′(x )>0， ∴ φ(x )单调递增，φ(x )>φ(0)＝0，故x ∈(0，＋∞)时，φ(x )＝e x－(x ＋1)>0，即e xx ＋1>1， ∴ 1－x －x ln x ≤e －2＋1<e xx ＋1(e －2＋1)， 故对任意x >0，f ′(x )<e －2＋1x 2＋x 恒成立．(16分)2019年普通高等学校招生全国统一考试(江。

(这是边文，请据需要手工删加)绝密★启用前A卷2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏模拟卷)数学Ⅰ注意事项：1. 本试卷共160分，考试时间150分钟．2. 答题前，考生务必将学校、班级、姓名写在密封线内．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．．1. 已知集合A＝{0，1，2，5}，B＝{－1，2，－5}，则A∩B＝________．2. 复数21－i的共轭复数为________．3. 已知某批产品一等品、二等品、三等品的数量分别为400，400, 500.为进一步了解该批产品的质量情况，现用分层抽样的方法从三种不同等级的产品中抽取容量为65的样本，则应从三等品中抽取________个．4. 将2个不同颜色的小球放入编号分别为1，2，3的盒子内，则1号盒中至少有一个球的概率是________．5. 函数f(x)＝lg(x2＋2x－3)的单调增区间为________．6. 执行如图所示的程序框图，若输出的n＝5，则输入整数p的最小值是________．(第6题)(第8题)(第9题)7. 在等比数列{a n }中，a 2＝2，a 9＝5，则数列{lga n }的前10项和等于________．8. 如图，在所有棱长均为a 的正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，三棱锥C 1 A 1BC 的体积V ＝________.9. 已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，A ，B ，C ，D 是图象的四个顶点，且四边形ABCD 的面积为6π，则f(2π)的值为________．10. 已知函数f(x)＝x 3＋12mx 2－2m 2x －4(m 为常数，且m>0)有极大值－52，则实数m ＝________．11. 已知两定点A(－3，0)，B(1，0)，如果直线l ：x ＋ay －2＝0上一点M 满足MA 2＋MB 2＝16，则实数a 的取值范围是________．(第12题)12. 如图，若OA →·OB →＝0，|OA →|＝1，|OB →|＝3，点C 在线段AB 上运动，CD →＝CO →＋CB →2，则DC →·OC →的最小值为________．13. 已知函数g(x)＝⎩⎨⎧（2－a ）x ，x ≥a ，2x 2－（a ＋4）x ，x<a 恰有两个零点，则实数a 的取值范围为________．14. 若实数a ，b ，c 满足⎩⎨⎧ab ＋2c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝5，则abc 的最小值为________． 二、 解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，AB ＝2，cosC ＝78，3AC ＝4BC.(1) 求AC ，CB 的长；(2) 求sin(A－C)的值．16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD中，若PD＝4，DC＝DB＝3，PB＝PC＝5，AD⊥DB.(1) 求证：AD⊥平面PBD；(2) 若点E，F，G分别是AB，AP，PC的中点，过E，F，G的平面交BC于点H，求证：PB∥GH.(第16题)17. (本小题满分14分)如图，曲线Γ由半椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(y ≥0)和半圆x 2＋y 2＝a 2(y<0)组成，其中a>b>0，F 1，F 2是半椭圆的焦点，A 1，A 2是半椭圆的左、右顶点，B 1，B 2是曲线Γ的下、上顶点. △B 1F 1F 2是正三角形，曲线Γ过点(1，－2)．(1) 求曲线Γ的方程；(2) 设P ，Q 是曲线Γ上的两点，且P 在x 轴上方，Q 在x 轴下方，若A 1A 2平分∠PA 1Q ，求kPA 2kQA 2(kPA 2，kQA 2分别表示直线PA 2，QA 2的斜率)． (第17题)18. (本小题满分16分)某模具厂设计如图所示的模具，模具是由线段AB ，CD 和与它们相切的圆弧BC 及线段AD 四部分组成的平面图形．圆弧BC 所在圆的半径为8 cm, B ，C 距线段AD 的距离等于点H(圆弧BC 的中点)到线段AD 距离的一半，且不超过4 cm. 设∠BAD ＝θ，模具周长去掉线段AD 长后记为f(θ)，当f(θ)最大时称模具为“最佳比例模具”．(1) 求f(θ)的解析式，并求定义域；(2) 若模具为“最佳比例模具”，求f(θ)的值．(第18题)19. (本小题满分16分)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q>0)． (1) 求数列{na n }的前n 项和S n ；(2) 设b n ＝lna n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，对于给定的正整数m ，若对任意正整数n 都有T （m ＋1）nT mn为定值，求q 的值．20. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝x 2＋kcosx(k ∈R )． (1) 判断f(x)的奇偶性；(2) 若k ＝4，f(x)在区间(0，π]的图象上是否存在两点A ，B ，使得在点A ，B 处的切线互相垂直？(3) 若k ∈N * ，求所有使不等式f(x)≥k 2－6k ＋10恒成立的k 的值．(参考数据π2≈9.87，sin 3π5≈0.95，cos 3π5≈－0.31，6π5≈3.77，sin 11π18≈0.94，cos 11π18≈－0.34，11π9≈3.84)(这是边文，请据需要手工删加)数学参考答案 第页(共8页)(2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏模拟卷) A 卷数学Ⅰ参考答案及评分标准 1. {2} 2. 1－i 3. 25 4. 595. (1，＋∞)6. 87. 58. 3a 312 【解析】VC 1A 1BC ＝VBA 1C 1C ＝13·12a 2·32a ＝312a 3.9. 1 【解析】设函数f(x)的周期为T ，则由图易知A ＝2，AD ＝2T ，BC ＝T ，于是由题意可得（2T ＋T ）×42＝6π，即T ＝π，所以ω＝2πT ＝2，于是将点⎝⎛⎭⎫π6，2代入函数f(x)＝2sin(2x ＋φ)，得sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1.又0<φ<π，所以φ＝π6，所以f(2π)＝2sin π6＝1.10. 1 【解析】因为f ′(x)＝3x 2＋mx －2m 2＝(x ＋m)·(3x －2m)，令f ′(x)＝0，则x ＝－m 或x ＝23m.当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞， －m) －m ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m ，23m 23m ⎝ ⎛⎭⎪⎫23m ，＋∞ f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋f(x)极大值极小值所以f(x)极大值＝f(－m)＝－m 3＋12m 3＋2m 3－4＝－52，所以m ＝1.11. ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ 【解析】设M(x ，y)，则(x ＋3)2＋y 2＋(x －1)2＋y 2＝16，即(x ＋1)2＋y 2＝4，所以31＋a 2≤2，解得a ≤－52或a ≥52. 12.1564【解析】方法一：选取OA →，OB →为基向量，设OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →，其中0≤λ≤1，因为CD →＝CO →＋CB →2，所以OD →＝OB →2，所以DC →＝DO →＋OC →＝λOA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－λOB →，所以DC →·OC→＝[λOA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－λOB →]·[λOA →＋(1－λ)OB →]＝4λ2－92λ＋32＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－9162＋1564，因为0≤λ≤1，所以DC →·OC →的最小值为1564，当且仅当λ＝916时取得最小值．(第12题)方法二：由CD →＝CO →＋CB→2可知D 是OB 的中点，如图，建立平面直角坐标系，则A(1，0)，B(0，3)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，AB 所在直线方程为y ＝－3x ＋ 3.设C(a ，－3a ＋3)(a ∈[0，1])，则DC →·OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，－3a ＋32·(a ，－3a ＋3)＝4a 2－92a ＋32＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫a －9162＋1564，所以DC →·OC →的最小值为1564.13. (4，＋∞) 【解析】当a ＝2时，g(x)有无数个零点，不合题意．当a ≠2，x ≥a 时，令g(x)＝0，得x ＝0；当x<a 时，令g(x)＝0，得x ＝0或x ＝a ＋42.①若a>0，则g(x)在[a ，＋∞)上无零点，因为函数g(x)恰有2个零点，则应有a ＋42<a ，解得a>4；②若a ＝0，则g(x)在[0，＋∞)上有一个零点0，g(x)在(－∞，0)上没有零点，不合题意；③若a<0，则g(x)在[a ，＋∞)上有一个零点0，因为函数g(x)恰有2个零点，则应有a ＋42<a ，解得a>4，与a<0矛盾，不合题意．综上，实数a 的取值范围为(4，＋∞)．14. 911－32 【解析】因为a 2＋b 2≥2|ab|，所以5－c 2≥|2－4c|，所以⎩⎪⎨⎪⎧5－c 2≥4c －2，c ≥12或⎩⎪⎨⎪⎧5－c 2≥2－4c ，c<12，所以2－7≤c ≤11－2.由于abc ＝c －2c 2，易知c ＝11－2时abc 取得最小值911－32.15. 【解答】(1) 在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝CA 2＋CB 2－2CA ·CBcosC ，(2分) 设AC ＝x ，因为3AC ＝4BC ，所以BC ＝34x ，因为AB ＝2，cosC ＝78，所以22＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 2－2x ·34x ·78，解得x ＝4.(4分)所以AC ＝4，CB ＝3.(6分)(2) 因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，cosC ＝78，C ∈(0，π)，所以sinC ＝1－cos 2C ＝158.(8分)在△ABC 中，由正弦定理得CB sinA ＝AB sinC， 所以sinA ＝CB ·sinC AB ＝31516，(10分)因为CB ＝3<AC ＝4，所以A 不是钝角，所以cosA ＝1－sin 2A ＝1116，(12分)所以sin(A －C)＝sinAcosC －cosAsinC ＝31516×78－1116×158＝51564.(14分)16. 【解答】(1) 由PD ＝4，DB ＝3，PB ＝5可得PD 2＋DB 2＝PB 2，(2分)所以PD ⊥DB ，同理可得PD ⊥DC.(4分) 又DB ∩DC ＝D ，DB ，DC ⊂平面ABCD ，所以 PD ⊥平面ABCD ，因为AD ⊂平面ABCD ， 所以 AD ⊥PD.(6分)又AD ⊥DB ，且PD ∩BD ＝D ，PD ，BD ⊂平面PBD ， 所以AD ⊥平面PBD.(8分)(2) 因为E ，F 分别为AB ，AP 的中点，所以EF ∥PB.(10分) 又EF ⊂平面EFGH ，PB ⊄平面EFGH ， 所以PB ∥平面EFGH.(12分)因为PB ⊂平面PBC ，平面PBC ∩平面EFGH ＝GH ， 所以PB ∥GH.(14分)17. 【解答】 (1) 因为△B 1F 1F 2是正三角形，则tan60°＝ac ，即a ＝3c.又点(1，－2)在曲线Γ上，所以a 2＝3，所以c ＝1，b 2＝2，故曲线Γ的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 22＝1，y ≥0，x 2＋y 2＝3，y<0.(4分)(2) 方法一：设直线PA 1的斜率为k ，则PA 1的方程为y ＝k(x ＋3)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋3），x 23＋y 22＝1得(2＋3k 2)x 2＋63k 2x ＋9k 2－6＝0.(6分)解得x P ＝23－33k 22＋3k2， 故y P ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫23－33k 22＋3k 2＋3＝43k2＋3k2.(8分) kPA 2＝y P x P －3＝43k2＋3k223－33k22＋3k 2－3＝－23k .(10分) 又∠A 2A 1P ＝∠A 2A 1Q ，所以kQA 1＝－k ， 又∠A 2QA 1＝90°，所以kQA 1·kQA 2＝－1， 所以kQA 2＝1k .故kPA 2kQA 2＝－23.(14分) 方法二：设P(x P ，y P )，则kPA 1＝y Px P ＋3，kPA 2＝y Px P －3，kPA 1kPA 2＝y 2Px 2P －3，(6分)又x 2P 3＋y 2P 2＝1，则y 2P ＝2－2x 2P 3，故kPA 1kPA 2＝－23， 所以kPA 2＝－23kPA 1.(10分)又∠A 2A 1P ＝∠A 2A 1Q ，所以kQA 1＝－kPA 1， 又∠A 2QA 1＝90°，所以kQA 1·kQA 2＝－1，所以kQA 2＝1kPA 1，故kPA 2kQA 2＝－23.(14分) 18. 【解答】如图，连接BC ，交OH 于点E ，则OE ⊥BC ，过点B 作BF ⊥AD 于点F.(2分)因为∠BAD ＝θ，OB ⊥AB ，所以∠BOE ＝θ，(第18题)因为OB ＝8， 所以BE ＝8sin θ， OE ＝8cos θ.(4分)因为BF ＝HE ＝OH －OE ＝8－8cos θ，所以AB ＝BF sin θ＝8－8cos θsin θ，(6分)所以f(θ)＝2AB ＋BC ︵＝16－16cos θsin θ＋16θ.(8分)因为8－8cos θ≤4，所以cos θ≥12，所以0<θ≤π3.综上知f(θ)＝16－16cos θsin θ＋16θ⎝⎛⎭⎫0<θ≤π3.(10分)(2) 由(1)可得f ′(θ)＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ－cos θ＋cos 2θsin 2θ＋1＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos θsin 2θ＋1＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋cos θ＋1.(14分)因为0<θ≤π3，所以f ′(θ)>0，所以f(θ)在⎝⎛⎦⎤0，π3上是增函数，f(θ)的最大值为f ⎝⎛⎭⎫π3＝163＋16π3(cm)．答：若模具为“最佳比例模具”，则f(θ)的值为163＋16π3cm.(16分)19. 【解答】(1) 由a n ＋1＝qa n ，可知{a n }是公比为q 的等比数列，又a 1＝2，故a n ＝2qn －1.令c n ＝na n ，则c n ＝2nq n －1.当q ＝1时，c n ＝2n ，此时S n ＝n （2＋2n ）2＝n 2＋n.当q ≠1时，S n ＝2[1＋2·q 1＋3·q 2＋…＋(n －1)·q n －2＋n ·q n －1]，①qS n ＝2[q ＋2·q 2＋3·q 3＋…＋(n －1)·q n －1＋n ·q n]，②①－②得(1－q)S n ＝2(1＋q ＋q 2＋…＋q n －1－nq n)，即S n ＝2（1－q n ）（1－q ）2－2nqn1－q. 综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋n ，q ＝1，2（1－q n ）（1－q ）2－2nq n 1－q，q ≠1.(6分)(2) 由(1)知a n ＝2q n －1，所以b n ＝ln a n ＝ln2＋(n －1)lnq.当q ＝1时，b n ＝ln2，此时T n ＝nln2， T （m ＋1）n T mn ＝（m ＋1）nln2mnln2＝m ＋1m ，对任意自然数n 都有T （m ＋1）n T mn 为定值m ＋1m ，故q ＝1满足题意．(10分)当q ≠1时，b n ＋1－b n ＝lnq ，所以数列{b n }是以ln2为首项，公差为lnq 的等差数列，所以T n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln2＋n －12lnq ， 故T （m ＋1）n T mn ＝（m ＋1）n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln2＋（m ＋1）n －12lnq mn ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln2＋mn －12lnq ＝（m ＋1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln2＋（m ＋1）n －12lnq m ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln2＋mn －12ln q＝（m ＋1）[2ln2－lnq ＋（m ＋1）nlnq]m （2ln2－ln q ＋mnlnq ）.对任意自然数n 都有T （m ＋1）nT mn为定值，应有2ln2－lnq ＝0，故q ＝4.综上，q ＝1或q ＝4.(16分)20. 【解答】(1) f(x)＝x 2＋kcosx, 因为定义域是R ，且f(－x)＝(－x)2＋kcos(－x)＝x 2＋kcosx ＝f(x)，故f(x)为偶函数．(2分)(2) 当k ＝4时，f(x)＝x 2＋4cosx, 当x ∈(0，π]时，f ′(x)＝2x －4sinx, f ″(x)＝2－4cosx ，令f ″(x)≤0, 解得0<x ≤π3；令f ′(x)>0，解得π3<x ≤π，所以f ′(x) 在⎝⎛⎦⎤0，π3上单调递减，在⎝⎛⎦⎤π3，π上单调递增，故f ′(x)min ＝f ′⎝⎛⎭⎫π3＝2π3－23， f ′(x)max ＝max{f ′(0)，f ′(π)}＝f ′(π)＝2π，即f ′(x)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3－23，2π.(6分) 设点A ，B 的横坐标分别为x 1，x 2(x 1<x 2)，欲使点A ，B 处的切线互相垂直，等价于存在f ′(x 1)<0，f ′(x 2)>0 ，使得f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1，因为2π3－23<－1<－12π， 取f ′(x 1)＝－12π，f ′(x 2)＝2π即可满足要求，故存在点A ，B 满足条件．(8分)(3) 由于f(x)为偶函数，原命题等价于f(x)>k 2－6k ＋10 在x ∈[0，＋∞)上恒成立， 又由于cosx 的周期为2π ，f(x ＋2π)＝(x ＋2π)2＋kcos(x ＋2π)＝(x ＋2π)2＋kcosx>f(x),故等价于f(x)>k 2－6k ＋10 在x ∈[0，2π]上恒成立．又k ∈N *，当x ∈[π，2π]时，f ′(x)＝2x －ksinx>0，所以f(x)单调递增，故原命题最终等价于在x ∈[0，π]上恒成立．首先，f(0)＝k ≥k 2－6k ＋10，f(π)＝π2－k ≥k 2－6k ＋10，且 k ∈N *,解得2≤k ≤4.(11分)①当k ＝2 时，k 2－6k ＋10＝2，f(x)＝x 2＋2cosx, 当x ∈[0，π]时，f ′(x)＝2x －2sinx ，f ″(x)＝2－2cosx ≥0恒成立，所以f ′(x) 在[0，π] 上单调递增，故f ′(x)≥f ′(0)＝0, 所以f(x)在[0，π]上单调递增，故f(x)≥f(0)＝2在[0，π]上恒成立，即k ＝2符合题意；(13分)②当3≤k ≤4 时，f(x)＝x 2＋kcosx, 当x ∈[0，π] 时，f ′(x)＝2x －ksinx, f ″(x)＝2－kcosx ，令f ″(x 0)＝0，得cosx 0＝2k ， 所以f ′(x) 在[0，x 0] 上单调递减，在(x 0，π]上单调递增，又f ′(0)＝0，f ′(π)＝2π>0, 故f ′(x)＝2x －ksinx 在区间(x 0，π]上存在唯一零点，记为x 1, 即2x 1－ksinx 1＝0, 所以x ∈[0，x 1] 时，f ′(x)≤0, 在[x 1，π] 时，f ′(x)≥0, 即f(x) 在[0，x 1] 上单调递减，在[x 1，π]上单调递增，故f(x)min ＝f(x 1)＝x 21＋kcosx 1，因为2x 1－ksinx 1＝0,所以f(x 1)＝k 2sin 2x 14＋kcosx 1＝－k 2cos 2x 14＋kcosx 1＋k24.(14分)若k ＝3，k 2－6k ＋10＝1.因为f ′⎝⎛⎭⎫π3＝2π3－323<0，f ′⎝⎛⎭⎫π2＝π－3>0,故π3<x 1<π2，0<cosx 1<12，f(x 1)＝－9cos 2x 14＋3cosx 1＋94>1, 即k ＝3 符合题意； 若k ＝4，k 2－6k ＋10＝2.因为f ′⎝⎛⎭⎫π2＝π－4<0，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫11π18＝11π9－4sin 11π18>0，故π2<x 1<11π18，－0.34<cosx 1<0, f(x 1)＝－4cos 2x 1＋4cosx 1＋4>4×(－0.34)×1.34＋4>2, 即k ＝4 符合题意． 综上所述，k ＝2，3，4.(16分)2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏模拟卷) A 卷数学Ⅱ(附加题)参考答案及评分标准21. A. 【解答】设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2003A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 2b 3c 3d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤400－3，(3分)故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝0，c ＝0，d ＝－1，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤200－1， 所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1200－1.(10分) B. 【解答】对于曲线C ，去分母，得3ρ2＋ρ2sin 2θ＝12，即3x 2＋3y 2＋y 2＝12，化简得x 24＋y23＝1.(5分)设x ＝2cos α，y ＝3sin α，则x 2＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，故x 2＋y 的最小值为－2.(10分) C. 【解答】由柯西不等式知[x 2＋(3y)2＋(2z)2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13×3y ＋12×2z 2. 因为x 2＋9y 2＋4z 2＝－m(m<0)，所以－4936m ≥(x ＋y ＋z)2，即－7－m 6≤x ＋y ＋z ≤7－m 6.因为x ＋y ＋z ≤21，所以7－m 6＝21，解得m ＝－324.(10分)22.(第22题)【解答】以O 点为原点，OC 为x 轴，OA 为y 轴，OA 1为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由题意知∠A 1AO ＝45°，A 1O ＝3，所以O(0，0，0)，C(3，0，0)，A(0，3，0)，A 1(0，0，3)，B(－3，0，0)．(1) 设AD ＝a ，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3－22a ，22a ，所以BD →＝⎝⎛⎭⎪⎫3，3－22a ，22a ，AC →＝(3，－3，0)．要使BD ⊥AC ，则需BD →·AC →＝3－3⎝ ⎛⎭⎪⎫3－22a ＝0，得a ＝22，而AA 1＝32，所以A 1D ＝2，所以A 1D DA ＝222＝12.(5分)故当A 1D DA ＝12时，BD ⊥AC.(2) 因为AA 1→＝(0，－3，3)，AC →＝(3，－3，0)， 设平面ACA 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AC →＝（x ，y ，z ）·（3，－3，0）＝3x －3y ＝0，n 1·AA 1→＝（x ，y ，z ）·（0，－3，3）＝－3y ＋3z ＝0.令z ＝1，则x ＝3，y ＝1，所以n 1＝(3，1，1)．(7分) 又平面ABC 的一个法向量为n 2＝(0，0，1)，(8分) 所以cos 〈n 1，n 2〉＝3×0＋1×0＋1×112＋12＋（3）2×1＝55. 显然所求二面角的平面角为锐角， 故所求二面角的余弦值的大小为55.(10分) 23. 【解答】(1) 当n ＝5时，(1＋6)5＝C 05＋C 156＋C 25(6)2＋…＋C 55(6)5＝[C 05＋C 25(6)2＋C 45(6)4]＋[C 156＋C 35(6)3＋C 55(6)5]＝241＋1016，故a 5＝101，b 5＝241，则a 5＋b 5＝342.(4分)(2) 方法一：(1＋6)n＝C 0n ＋C 1n 6＋C 2n (6)2＋…＋C nn (6)n. ①当n 为奇数时，b n ＝C 0n ＋C 2n (6)2＋C 4n (6)4＋…＋C n －1n (6)n －1，当n ＝1时，b 1＝1是奇数；当n ≥3时，C 2n (6)2＋C 4n (6)4＋…＋C n －1n (6)n －1是偶数，故b n 为奇数．(8分)②当n 为偶数时，b n ＝C 0n ＋C 2n (6)2＋C 4n (6)4＋…＋C nn (6)n，同样可知b n 为奇数． 综上可知b n 为奇数，而42 019为偶数，故不存在n ∈N *，使b n ＝42 019.(10分)方法二：①当n ＝1时，b 1＝1是奇数．(6分)②假设n ＝k 时， (1＋6)k ＝6a k ＋b k ，其中b k 为奇数， 则当n ＝k ＋1时， (1＋6)k ＋1＝(1＋6)(1＋6)k＝(6a k ＋b k )(1＋6)＝6(a k ＋b k )＋6a k＋b k .(8分)所以b k ＋1＝6a k ＋b k ，由题设知b k 为奇数，而6a k 为偶数，故b k ＋1是奇数．由①②知b n 为奇数，而 42 019为偶数，故不存在n ∈N *，使b n ＝42 019.(10分)。

12019届江苏高考应用题模拟试题选编（一）1、（江苏省扬州2019届高三第一学期开学测试数学）如图所示，左图上有一个小型水车，右图是该水车的抽象简图。

简图上圆周被16 个点16 等分，每个点都代 表一个水筒，l 代表水面。

水车的原理是利用水流冲击水筒，使水车顺时针匀速转动，水筒浮出左侧水面即 进入盛水状态，而达到点 P 位置的水筒会将筒内的水流入水道，进入无水状态。

图中所示即为水车的初始 状态，该状态下恰有一个水筒处于点 P 位置（注：设初始状态下在水面及水面以上且在 P 点左侧的水筒处 于盛水状态，但恰位于 P 点的水筒处于无水状态）.现水车受到水流冲击，从初始状态开始匀速转动一周（起 始位置在 P 点的水筒再度转到 P 点且其中的水完全流入水道后即意味着水车转完一周）所用时间为t min ，每个水筒经过一次 P 点能固定流出100 (6t - t 2 - 4)mL 水，其中t 是正常数且1 ≤ t ≤ 4 ，该数值受水流速度 影响，记水车从初始状态转动一周流入水道的总水量为V mL.（1）求V 关于 t 的函数表达式；（2）已知水车转动一周的时间段内，平均每分钟流出的水量越高说明水车效率越高，试求出水车在 t 为何 值时效率最高，并求出在此情况下水车转动一周的时间段内平均每分钟流出的水量.2、（江苏省扬州大学附属中学高三（上）第一次月考数学试卷）图1是某建筑工地的某塔吊图片（塔吊是建筑工地上最常用的一种起重设备，又名“塔式起重机”），为了了解塔吊“上部”的一些结构情况，学校数学兴趣小组将塔吊“上部”的结构进行了简化，取其部分可抽象成图2所示的模型，其中A 、D 、E 、B 四点共线，通过测量得知起重臂BD =30米，平衡臂AD =8米，CA 、CB 均为拉杆. 由于起重臂达到了一定长度，在BD 上需要加拉杆CE ，且3:2:=ED BE ，记βα=∠=∠CED CAD ,.（1）若CD ⊥AB ，现要求βα2≥，问CD 的长至多为多少米?（2）若CD 不垂直于AB ，现测得︒=︒=15,30βα，求CD 的长.（选用下列参考数据进行计算:3045293,10421915sin ,11728015cos ≈≈︒≈︒）图1B CE D A2 3、（江苏南京市2019届高三年级学情调研卷）销售甲种商品所得利润是P 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式P ＝1at t +；销售乙种商品所得利润是Q 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式Q ＝bt ，其中a ，b 为常数．现将3万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售：若全部投入甲种商品，所得利润为94万元；若全部投入乙种商品，所得利润为1万元．若将3万元资金中的x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为()f x 万元．（1）求函数()f x 的解析式；（2）怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值．4、（2018年上海市七宝中学高考模拟考试卷（三模））业界称“中国芯”迎来发展和投资元年，某芯片企业准备研发一款产品，研发启动时投入资金为为常数）A A (元，之后每年会投入一笔研发资金，n 年后总投入资金记为)(n f ，经计算发现100≤≤n 时，)(n f 近似地满足n a q p A n f ⋅+=9)(，其中322-=a ，q p ,为常数，A f =)0(.已知3年后总投入资金为研发启动时投入资金的3倍，问：（1）研发启动多少年后，总投入资金是研发启动是投入资金的8倍；（2）研发启动后第几年的投入资金的最多？5（江苏省江阴高级中学2018届数学最后一卷）某经销商计划销售一款新型的电子产品，经市场调研发现以下规律：当每台电子产品的利润为x (单位：元，x ＞0)时，销售量q (x )(单位：百台)与x 的关系满足：若x 不超过25，则q (x )＝2400 x ＋11；若x 大于或等于225，则销售量为零；当25≤x ≤225时，q (x )＝a －b x (a ，b 为实常数)．(1) 求函数q (x )的表达式；(2) 当x 为多少时，总利润(单位：元)取得最大值，并求出该最大值．6（2018届上海交通大学附属中学毕业考数学试卷）某工厂在制造产品时需要用到长度为698mm 的A 型和长度为518mm 的B 型两种钢管. 工厂利用长度为4000mm 的钢管原材料，裁剪成若干A 型和B 型钢管. 假设裁剪时损耗忽略不计，裁剪后所剩废料与原材料的百分比为废料率.（1）有两种裁剪方案的废料率小于4.5%，请说明这两种方案并计算它们的废料率；（2）工厂现有100根原材料钢管，一根A 型和一根B 型钢管为一套毛坯，按（1）中的方案裁剪，最多可裁剪多少套毛坯？最终的废料率为多少?。