北京市朝阳区2015届高三第二次综合练习数学(理)试题(附答案)

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（文史类）2015．5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设集合A (1)(2)0x x x ，集合1Bx x ，则A BA ．B ．1x xC ．12x xD ．12x x【答案】D 【解析】(1)(2)0|12A x x x x x ，1|11B x x x x所以AB 12x x，故选D【考点】 集合运算 【难度】 22．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在该正方形内切圆的四分之一圆(如图阴影部分)中的概率是 A ．π4 B ．π8 C ．π16 D．π32【答案】C【解析】设正方形的连长为2a ，则圆的半径为a ，所以阴影部分面积为24a π，正方形面积为24a ，所以所求概率为224416a a ππ=，故选C【考点】 几何概率 【难度】 2开始 S =0，n =1结束n =n +2n >5?输出S 是否cosn S S π=+33．实数x ，y 满足不等式组0,0,2,x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数3zx y 的最小值是A ．12 B ． 8 C ． 4 D ．0【答案】B【解析】作出可行域如图， 目标函数3zx y 变形为1133yx z ，作直线13y x ，平移直线，当直线过点(2,2)A --时，z 取得最小值，min 23(2)8z =-+⨯-=-，故选B 【考点】 线性规划 【难度】 24. 已知非零平面向量a ，b ，则“a 与b 共线”是“a +b 与a b 共线”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】若a 与b 共线，设λ=a b ，则(1)λ+=+a b b ，(1)λ-=-a b b ，所以+a b 与-a b 共线，即“a 与b 共线”是“+a b 与-a b 共线”的充分条件；若+a b 与-a b 共线，设()k +=-a b a b ，则有(1)(1)k k -++=a b 0，如果a 与b 不共线，则有1010k k -=⎧⎨+=⎩，此时无解，所以a 与b 共线，即“a 与b 共线”是“+a b 与-a b 共线”的必要条件；所以“a 与b 共线”是“+a b 与-a b 共线”的充分必要条件，故选C 【考点】 充分条件与必要条件 【难度】 35．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为 A ．0 B ．1 C ．12 D ．32【答案】A【解析】初始值：0S =，1n =第一次循环：1cos 32S π==，3n =第二次循环：131cos 232S π=+=-，5n =第三次循环：15cos 023S π=-+=，7n =，输出0S =，故选A【考点】 算法与程序框图 【难度】 2 6.函数21,11,()lg ,1,x x f x x x 的零点个数是A. 0B.1C.2D.3 【答案】C【解析】当11x -≤<时，由()0f x =得210x -=，所以1x =-；当1x ≥时，由()0f x =得lg 0x =，所以1x =； 所以零点有两个，故选C【考点】 方程与零点 【难度】 27．已知点A 为抛物线:C 24x y 上的动点(不含原点)，过点A 的切线交x 轴于点B ，设抛物线C 的焦点为F ，则ABFA ．一定是直角B ．一定是锐角C ．一定是钝角D ．上述三种情况都可能 【答案】A【解析】抛物线变形为214y x =，则1'2y x =，设200(,)4x A x ，则001'|2x x y x == 所以切线方程为20001()42x y x x x -=-，令0y =得02xx =，即0(,0)2x B而(0,1)F ，所以0(,1)2x FB =-，200(,)24x x BA =， 所以20000224x x x FB BA ⋅=⨯-=，所以AB FB ⊥，即ABF 一定是直角，故选A 【考点】 抛物线 【难度】 38．已知某校一间办公室有四位老师甲、乙、丙、丁．在某天的某个时段，他们每人各做一项工作，一人在查资料，一人在写教案，一人在批改作业，另一人在打印材料． 若下面4个说法都是正确的： ①甲不在查资料，也不在写教案； ②乙不在打印材料，也不在查资料； ③丙不在批改作业，也不在打印材料； ④丁不在写教案，也不在查资料．此外还可确定：如果甲不在打印材料，那么丙不在查资料．根据以上信息可以判断 A ．甲在打印材料 B ．乙在批改作业 C ．丙在写教案 D ．丁在打印材料【答案】A【解析】如果甲不打印材料，即甲在批改作业，那么两就不在查资料，即丙在写教案，此时批作业与写教案均有人在干，而乙只能批作业或写教案，所以矛盾；故甲只能在打印材料，故选A 【考点】 合情推理 【难度】 ３第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．设i 为虚数单位，则i(1i) ．【答案】1+i【解析】 2(1)1i i i i i -=-=+ 【考点】 复数综合运算 【难度】 110．若中心在原点的双曲线C 的一个焦点是1(0,2)F ，一条渐近线的方程是0x y -=，则双曲线C 的方程为 ． 【答案】222y x -=【解析】由已知双曲线焦点在y 轴，且2c =，1ab= 即224a b a b ⎧+=⎨=⎩，所以222a b ==，所以双曲线方程为22122y x -=，即222y x -=【考点】 双曲线 【难度】 211．一个四棱锥的三视图如图所示，则这个四棱锥的体积为 ；表面积为 ． 【答案】23；35【解析】 四棱锥的直观图如图所示，底面ABCD 为边长为1的正方形，PB ⊥平面ABCD ，且2PB =， 所以体积为1211233V =⨯⨯⨯=； 因为2PB =，1AB =，PB AB ⊥，所以PA =1121122PBA S PB PA ∆=⋅=⨯⨯=； 因为PB BC ⊥，1121122PBC S PB BC ∆=⋅=⨯⨯=；俯视图正视图侧视图DCBAP因为PB ⊥平面ABCD ，所以PB AD ⊥，即AD PB ⊥，又因为AD AB ⊥，所以AD ⊥平面PAB ，所以AD PA ⊥，所以11515222PAD S AD PA ∆=⋅=⨯⨯=； 因为2PB =，1BC =，PB BC ⊥，所以5PC =，因为PB ⊥平面ABCD ，所以PB CD ⊥，即CD PB ⊥，又因为CD BC ⊥，所以CD ⊥平面PBC ，所以CD PC ⊥，所以11515222PAD S CD PC ∆=⋅=⨯⨯=；又因为底面积为111⨯= 所以表面积为551113522++++=+ 【考点】 点线面的位置关系 【难度】 2 12. 已知在ABC 中，4C π=，3cos 5B =，5AB ，则sin A ；ABC 的面积为 ．【答案】7210；14 【解析】 因为3cos 5B =，所以4sin 5B =，因为4C π=，所以2sin 2C =，2cos 2C =，所以[]423272sin sin ()sin()sin cos cos sin 525210A ABC B C B C B C =-+=+=+=⨯+⨯=，由正弦定理sin sin BC ABA C =，所以572sin 7sin 1022AB BC A C =⋅=⨯= 所以114sin 5714225ABC S AB BC B ∆=⋅⋅=⨯⨯⨯= 【考点】 解三角形 【难度】 3 13．在圆C ：222(2)8x y内，过点(1,0)P 的最长的弦为AB ，最短的弦为DE ，则四边形ADBE 的面积为 . 【答案】46【解析】 由已知AB 为直径，42AB = DE AB ⊥，22(21)(20)5CP =-+-=，22CE =，所以223PE CE CP =-=，所以23DE =四边形ADBE 的面积11112342462222PDE ADE S S S DE PA DE PB DE AB ∆∆=+=⋅+⋅=⋅=⨯⨯= 【考点】 圆的标准方程 【难度】 314．关于函数1()42x f x =+的性质，有如下四个命题： ①函数()f x 的定义域为R ； ②函数()f x 的值域为(0,)；③方程()f x x =有且只有一个实根； ④函数()f x 的图象是中心对称图形． 其中正确命题的序号是 ． 【答案】①③④【解析】由420x +≠得定义域为R ，故①正确； 因为422x +>，所以110422x<<+，即值域为1(0,)2，故②错误； 由()f x x =得142xx =+，即142x x=+，因为函数1y x =与42xy =+的图象只有一个交点，所以方程()f x x =只有一个根，故③正确；因为1111114241()(1)442424242424424224x x x x x x x x xf x f x -++-=+=+=+==+++++⋅+⋅+ 所以()f x 的图象关于点11(,)24成中心对称，故④正确 所以正确命题的序号是①③④ 【考点】 函数的性质 【难度】 4三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数x x x x x f 2sin )cos sin 32(cos )(-+⋅=． （Ⅰ）求函数)(x f 在区间π[,π]2上的最大值及相应的x 的值； （Ⅱ）若0()2,f x =且0(0,2π)x ，求0x 的值．【答案】见解析【解析】解：2()cos cos )sin f x x x x x =+-22cos cos sin x x x x =+-2cos2x x =+2sin(2)6x π=+．（Ⅰ）因为[,]2x π∈π，所以7132[,]666x πππ+∈，所以1sin(2)[1,]62x π+∈-， 所以，当且仅当13266x ππ+=，即x =π时，max ()1f x =．（Ⅱ）依题意，02sin(2)26x π+=，所以0sin(2)16x π+=．又0(0,2)x ∈π，所以0252(,)666x ππ+∈π， 所以0262x ππ+=或05262x ππ+=，所以06x π=或076x π=．【考点】 三角函数的图象与性质 【难度】 316．（本小题满分13分）已知递增的等差数列{}n a （*n N ）的前三项之和为18，前三项之积为120．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若点111(,)A a b ，222(,)A a b ，…，(,)n n n A a b （*n N ）从左至右依次都在函数23xy的图象上，求这n个点123,,A A A ,…,n A 的纵坐标之和． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）依题意，设数列n a 的公差为(0)d d．由12318a a a ，可得26a ，则16a d ，36a d ．由前三项之积为120可得，(6)6(6)120d d ，解得4d.舍负得4d =. 所以 42na n ．（Ⅱ）由于点111(,)A a b ，222(,)A a b ，…，(,)n n n A a b 依次都在函数23x y的图象上，且42na n ，所以213n nb ．所求这n 个点123,,A A A ,…，n A 的纵坐标之和即为数列n b 的前n 项和n T ． 由于19n nb b ，所以数列n b 为以3为首项，9为公比的等比数列．所以 3193(91)198n nnT ． 【考点】 等差数列；等比数列 【难度】 317．（本小题满分13分）某学科测试，要求考生从,,A B C 三道试题中任选一题作答．考试结束后，统计数据显示共有420名学生参加测试，选择,,A B C 题作答的人数如下表：（Ⅰ）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从420份试卷中抽出若干试卷，其中从选择A 题作答的试卷中抽出了3份，则应从选择,BC 题作答的试卷中各抽出多少份？（Ⅱ）若在（Ⅰ）问被抽出的试卷中，选择,,A B C 题作答得优的试卷分别有2份，2份，1份．现从被抽出的选择,,A B C 题作答的试卷中各随机选1份，求这3份试卷都得优的概率． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）由题意可得，试卷的抽出比例为31=18060， 所以应从选择B 题作答试卷中抽出2份，从选择C 题作答试卷中抽出2份．（Ⅱ）记在（Ⅰ）中抽出的选择A 题作答的试卷分别为123,,a a a ，其中12,a a 得优；选择B 题作答的试卷分别为12,b b ，其中12,b b 得优；选择C 题作答的试卷分别为12,c c ，其中1c 得优．从123,,a a a ，12,b b 和12,c c 中分别抽出一份试卷的所有结果如下：111{,,}a b c 112{,,}a b c 121{,,}a b c 122{,,}a b c 211{,,}a b c 212{,,}a b c 221{,,}a b c 222{,,}a b c 311{,,}a b c 312{,,}a b c 321{,,}a b c 322{,,}a b c所有结果共有12种可能，其中3份都得优的有111{,,}a b c 121{,,}a b c 211{,,}a b c 221{,,}a b c ，共4种．设“从被抽出的选择,,A B C 题作答的的试卷中各随机选1份，这3份试卷都得优”为事件M ，故所求概率41123P ==．【考点】 抽样；古典概率【难度】 318．（本小题满分14分）如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =,M 为CD 的中点．将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ．点O 是线段AM 的中点．（Ⅰ）求证：平面DOB ⊥平面ABCM ； （Ⅱ）求证：AD BM ⊥；（Ⅲ）过D 点是否存在一条直线l ，同时满足以下两个条件：①l 平面BCD ；②//l AM ．请说明理由．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）证明：由已知，DA DM =．因为点O 是线段AM 的中点， 所以DO AM ⊥．又因为平面ADM ⊥平面ABCM ，平面ADM平面ABCM AM =，DO ⊂平面ADM ，所以DO ⊥平面ABCM ． 因为DO ⊂平面DOB ， 所以平面DOB ⊥平面ABCM ．（Ⅱ）证明：因为在矩形ABCD 中，2AB AD =,且M 为CD 的中点，所以AM BM AB ===， 所以AM BM ⊥．由（Ⅰ）知，DO ⊥平面ABCM ， 因为BM ⊂平面ABCM ， 所以DO BM ⊥．因为DO ⊂平面ADM ,AM ⊂平面ADM ，且DO AM O =，所以BM ⊥平面ADM ． 而AD ⊂平面ADM ， 所以AD BM ⊥．ABCMDOABCMD（Ⅲ）过D 点不存在一条直线l ，同时满足以下两个条件：（1）l平面BCD ； （2）//l AM ．理由如下：（反证法）假设过D 点存在一条直线l 满足条件， 则因为//l AM ，l平面ABCM ，AM ⊂平面ABCM ，所以//l 平面ABCM ． 又因为l平面BCD ，平面ABCM平面BCD BC =，所以//l BC .于是//AM BC ，由图易知AM ，BC 相交，矛盾. 所以，不存在这样的直线l ． 【考点】 立体几何综合 【难度】 319．（本小题满分14分）已知椭圆C ：2214x y ,O 为坐标原点，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且90AOB．（Ⅰ）若直线l 平行于x 轴，求AOB 的面积；（Ⅱ）若直线l 始终与圆222(0)x y r r相切，求r 的值．【答案】见解析【解析】解：(Ⅰ)不妨设直线l 在x 轴的上方，则,A B 两点关于y 轴对称.设11(,)A x y ，11(,)B x y 11(0,0)x y ，则11(,)OAx y ，11(,)OB x y ．由90AOB ，得0OA OB，所以2211y x ．又因为点A 在椭圆上，所以221114x y ．由于10x ，解得1255x ，1255y ，则 22(5,55A ，B ． 所以1452542555OABS． （Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设其方程为ykxm ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ．联立方程组 22,4 4.y kx m x y 整理得222(41)8440k x kmx m ． 由方程的判别式0，得22410k m ， （※） 则 122841km x x k ，21224441m x x k ． 由90AOB，得0OA OB ，即12120x x y y ， 而1212()()y y kx m kx m ， 则2212121212(1)()0x x y y k x x mk x x m ． 所以 2222244(8)(1)04141m km k mk m k k ． 整理得 225440mk ， 把22454k m 代入（※）中，解得 234m 而224540k m ，所以 245m ，显然满足234m ． 直线l 始终与圆222x y r 相切，得圆心(0,0)到直线l 的距离d 等于半径r ． 则22221m r d k ，由224455m k ，得245r ， 因为0r ，所以255r． 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为255x ，此时，直线l 与圆2245x y 相切，255r ． 综上所述255r ． 【考点】 圆锥曲线综合【难度】 420．（本小题满分13分）已知函数()sin cos f x a x x ，其中0a ． （Ⅰ）当1a 时，判断()f x 在区间π[0,]4上的单调性； （Ⅱ）当01a 222()21af x t at 对于x π[0,]4恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】见解析【解析】解：(Ⅰ)因为1a ，π[0,]4x ， 所以()cos sin cos sin 0f x a x xx x ． 故()f x 在区间π[0,]4上是单调递增函数．（Ⅱ）令()0f x ，得cos sin a x x ， 因为在区间π[0,]4上cos 0x，所以tan a x ． 因为(0,1)a，tan [0,1]x ， 且函数tan y x 在π[0,]4上单调递增， 所以方程tan a x 在π(0,)4上必有一根，记为0x ， 则000()cos sin 0f x a x x ． 因为()cos sin f x a x x 在π[0,]4上单调递减， 所以，当0(0,)xx 时，0()()0f x f x ； 当0(,)4x x 时，0()()0f x f x ．所以()f x 在0(0,)x 上单调递增，在0π(,)4x 上单调递减，所以max000()()sin cos f x f x a x x ． 又因为00cos sin a x x ，且2200sin cos 1x x ， 所以220(1)cos 1a x ，2021cos 1x a ， 故22max00()()(1)cos 1f x f x a x a ． 依题意，(0,1)a 2222121aa t at 恒成立，即(0,1)a 时，2(2)20t a t ，恒成立． 令2()(2)2h a =t a t ，则 (0)0,(1)0,h h 即2220,0.t t t 解得 1t 或0t ．【考点】导数的综合应用【难度】 4。

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习（文）（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合A {}(1)(2)0x x x =--?，集合{}1B x x =<，则A B =U （ ）A ．ÆB ．{}1x x =C ．{}12x x＃ D ．{}12x x -<?2．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在该正方形内切圆的四分之一圆(如图阴影部分)中的概率是（ ） A ．π4 B ．π8 C ．π16 D ．π323．实数x ，y 满足不等式组0,0,2,x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数3z x y =+的最小值是（ ）A ． 12-B ． 8-C ． 4-D ．0 4. 已知非零平面向量 ， ，则“与共线”是“与共线”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ） A ．0 B ．1- C ．12-D ．32-a b a b a +b -a b6.函数11,()lg ,1,x f x x x ìï-?ï=íï³ïî的零点个数是（ ）A. 0B.1C.2D.37．已知点A 为抛物线:C 24x y =上的动点(不含原点)，过点A 的切线交x 轴于点B ，设抛物线C 的焦点为F ，则ABF Ð（ ）A ．一定是直角B ．一定是锐角C ．一定是钝角D ．上述三种情况都可能 8．已知某校一间办公室有四位老师甲、乙、丙、丁．在某天的某个时段，他们每人各做一项工作，一人在查资料，一人在写教案，一人在批改作业，另一人在打印材料． 若下面4个说法都是正确的： ①甲不在查资料，也不在写教案； ②乙不在打印材料，也不在查资料； ③丙不在批改作业，也不在打印材料； ④丁不在写教案，也不在查资料．此外还可确定：如果甲不在打印材料，那么丙不在查资料．根据以上信息可以判断（ ） A ．甲在打印材料 B ．乙在批改作业 C ．丙在写教案 D ．丁在打印材料第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．设为虚数单位，则 ．10．若中心在原点的双曲线的一个焦点是1(0,2)F -，一条渐近线的方程是，则双曲线的方程为 ．11．一个四棱锥的三视图如图所示，则这个四棱锥的体积为 ；表面积为 ．12. 已知在中，，，，则sin A = ；的面积为 ．13．在圆C ：()222(2)8x y -+-=内，过点(1,0)P 的最长的弦为AB ，最短的弦为DE ，则四边形ADBE 的面积为 . 14．关于函数1()42x f x =+的性质，有如下四个命题： ①函数()f x 的定义域为R ； ②函数()f x 的值域为(0,)+?； ③方程()f x x =有且只有一个实根； ④函数()f x 的图象是中心对称图形． 其中正确命题的序号是 ．i i(1i)-=C 0x y -=C ABCD 4C p =3cos 5B =5AB =ABC D三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数x x x x x f 2sin )cos sin 32(cos )(-+⋅=． （Ⅰ）求函数)(x f 在区间π[,π]2上的最大值及相应的x 的值； （Ⅱ）若0()2,f x =且0(0,2π)x Î，求0x 的值．16．（本小题满分13分）已知递增的等差数列{}n a （*n N Î）的前三项之和为18，前三项之积为120． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若点111(,)A a b ，222(,)A a b ，…，(,)n n n A a b （*n N Î）从左至右依次都在函数23xy =的图象上，求这n 个点123,,A A A ,…,n A 的纵坐标之和．17．（本小题满分13分）某学科测试，要求考生从,,A B C 三道试题中任选一题作答．考试结束后，统计数据显示共有420名学生参加测试，选择,,A B C 题作答的人数如下表：（Ⅰ）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从420份试卷中抽出若干试卷，其中从选择A 题作答的试卷中抽出了3份，则应从选择,B C 题作答的试卷中各抽出多少份？（Ⅱ）若在（Ⅰ）问被抽出的试卷中，选择,,A B C 题作答得优的试卷分别有2份，2份，1份．现从被抽出的选择,,A B C 题作答的试卷中各随机选1份，求这3份试卷都得优的概率．18．（本小题满分14分）如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =,M 为CD 的中点．将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ．点O 是线段AM 的中点． （Ⅰ）求证：平面DOB ⊥平面ABCM ； （Ⅱ）求证：AD BM ⊥；（Ⅲ）过D 点是否存在一条直线l ，同时满足以下两个条件：①l Ì平面BCD ；②//l AM ．请说明理由．19．（本小题满分14分）已知椭圆C ：2214x y +=,O 为坐标原点，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且90AOB?o ．（Ⅰ）若直线l 平行于x 轴，求AOB D 的面积；（Ⅱ）若直线l 始终与圆222(0)x y r r +=>相切，求r 的值．20．（本小题满分13分）已知函数()sin cos f x a x x =+，其中0a >．（Ⅰ）当1a ³时，判断()f x 在区间π[0,]4上的单调性；（Ⅱ）当01a <<2()2f x t at <++对于x π[0,]4恒成立，求实数t 的取值范围．参考答案。

绝密★启用前2015届北京市朝阳区高三上学期期末考试理科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：173分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、设连续正整数的集合，若是的子集且满足条件：当时，，则集合中元素的个数最多是（ ） A ．B ．C ．D ．2、点在的内部，且满足，则的面积与的面积之比是（ ）A ．B ．3C ．D ．23、在中，，则的最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．4、表示不重合的两个平面，，表示不重合的两条直线．若，，，则“∥”是“∥且∥”的（ ）A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的全面积是（ ）A ．B ．C ．D ．6、设函数的图象为，下面结论中正确的是（ ）A ．函数的最小正周期是B ．图象关于点对称C ．图象可由函数的图象向右平移个单位得到D ．函数在区间上是增函数A． B． C． D．无法确定8、设为虚数单位，则复数在复平面内对应的点所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）9、已知函数．下列命题：①函数既有最大值又有最小值；②函数的图象是轴对称图形；③函数在区间上共有7个零点；④函数在区间上单调递增．其中真命题是．（填写出所有真命题的序号）10、在锐角的边上有异于顶点的6个点，边上有异于顶点的4个点，加上点，以这11个点为顶点共可以组成个三角形（用数字作答）．11、有一口大钟每到整点就自动以响铃的方式报时，1点响1声，2点响2声，3点响3声，……，12点响12声（12时制），且每次报时时相邻两次响铃之间的间隔均为1秒．在一次大钟报时时，某人从第一声铃响开始计时，如果此次是12点的报时，则此人至少需等待秒才能确定时间；如果此次是11点的报时，则此人至少需等待秒才能确定时间．12、设不等式组表示平面区域为，在区域内随机取一点，则点落在圆内的概率为．13、双曲线（）的离心率是；渐近线方程是．14、角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值是 ．三、解答题（题型注释）15、（本小题满分13分）已知函数，，，,且． （Ⅰ）当，，时，若方程恰存在两个相等的实数根，求实数的值；（Ⅱ）求证：方程有两个不相等的实数根；（Ⅲ）若方程的两个实数根是，试比较与的大小并说明理由．16、（本小题满分14分）已知椭圆过点，离心率为．过椭圆右顶点的两条斜率乘积为的直线分别交椭圆于两点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）直线是否过定点？若过定点，求出点的坐标；若不过，请说明理由．17、（本小题满分13分）设函数．（Ⅰ）当时,求函数的单调区间；（Ⅱ）设为的导函数，当时，函数的图象总在的图象的上方，求的取值范围．18、（本小题满分13分） 若有穷数列，，（是正整数）满足条件：，则称其为“对称数列”．例如，和都是“对称数列”．（Ⅰ）若是25项的“对称数列”，且，是首项为1，公比为2的等比数列．求的所有项和；（Ⅱ）若是50项的“对称数列”，且，是首项为1，公差为2的等差数列．求的前项和，.19、（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，，点是的中点，点在边上移动．（Ⅰ）若为中点，求证：//平面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）若，二面角的余弦值等于，试判断点在边上的位置，并说明理由.20、（本小题满分13分）退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20~80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”，[40,60)为“中年人”， [60,80]为“老年人”.（Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；（Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率．从该城市20-80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．参考答案1、C2、A3、D4、5、A6、B7、C8、D9、①②③10、12011、11；11.12、13、14、15、（1）或；（2）证明详见解析；（3）.16、（1）；（2）.17、（1）函数的单调增区间为，；单调递减区间为；（2）.18、（1）；（2）.19、（1）证明详见解析；（2）证明详见解析；（3）点F为边BC上靠近B点的三等分点.20、（1）48岁；（2）分布列详见解析，.【解析】1、试题分析：集合T中不能有满足7倍关系的两个数，因此我们将I中的数分成三类：第一类：1，7,49；2,14,98；3,21,147；4,28,196；共4组，每组最多只能有两个数在集合T中，即集合T中至少需要排除其中4个元素：7,14,21,18；第二类：5,35；6,42；8,56；…；34,238,；共30-4=26组；每组最多只能有一个数在集合T中，即集合T中至少需要排除其中的26个元素；第三类：不在上面两类中的所有数：36,37,38，…，237，它们不是7的倍数，且它们的7倍不在集合I中，所以这组中所有数都可以在集合T中；所以集合T中最多可以有238-4-26=208个元素.考点：排列组合问题.2、试题分析：延长BO交AC于点P，如图所示：∵，得，即，∴，∴. 考点：向量的运算.3、试题分析：，∵，∴，∴当时，取得最大值.考点：三角函数的最值.4、试题分析：充分性：∵，∴，，∵，，，∴，；必要性：过作平面交于直线，∵，∴，若n与m重合，则；若n与m不重合，则，∵，∴，又∵，，∴，∴.考点：充分必要条件.5、试题分析：三棱锥的直观图如图所示：由三视图可知平面ABC，平面PAB，且，，∴，，，∴，，∴全面积为.考点：三视图.6、试题分析：的最小正周期，∵，∴图象关于点对称，∴图象可由函数的图象向右平移个单位得到，函数的单调递增区间是，当时，，∴函数在区间上是先增后减.考点：三角函数图象、周期性、单调性、图象平移、对称性.7、试题分析：中点到抛物线准线的距离为6，则A,B到准线的距离之和为12，即考点：直线与抛物线相交问题8、试题分析：，∴复数所对应的点为，∴复数在复平面内对应的点所在的象限是第四象限.考点：复数的运算.9、试题分析：对于①：，当且仅当时，取到等号，∴有最大值.当时，；当时，；当时，；而在上存在最小值m，且，∴m亦为在定义域上的最小值.对于②：∵，∴为的对称轴；对于③：，即，即，∴在区间上有共7个零点；对于④：，∴不可能单调递增.考点：函数的零点、最值、单调性.10、试题分析：分两种情况：第一种：三角形顶点不包括点，在OA上取两点在OB上取一点，或者在OA上取一点在OB上取两点，此时可构成的三角形个数为；第二种：三角形顶点包括点，然后在OA、OB上各自取一点，此时可构成的三角形个数为.∴以这11个点为顶点共可以组成个三角形.考点：排列组合问题.11、试题分析：大钟报时时最多可响12声，12点的报时，大钟会响12声，∴某人从第一声响开始计时时，需要至少等待11秒才能听到第十二声响，确定这时是12点；11点的报时，大钟会响11声，当某人经过10秒听到第11声响时，不能确定这时就是11点，他必须再等待1秒确定会不会有第12声响起，才能确定这时是11点还是12点，所以11点的报时，此人需等待至少11秒才能确定时间.考点：函数问题.12、试题分析：画出区域D和圆：区域D的面积为4，区域D在圆中的部分面积为，∴点P落在圆内的概率为.考点：几何概型.13、试题分析：∵，∴，∴，，，∴，∴渐近线方程为.考点：双曲线的离心率和渐近线方程.14、试题分析：∵角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，∴，.考点：三角函数的定义、诱导公式.15、试题分析：本题主要考查方程的根的问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先将代入到中，将方程转化为，有2种情况：第一种：是一元二次方程的一个实数根，第二种：一元二次方程有两个相等的实数根，分别讨论求解；第二问，展开表达式，对求导，而方程的恒成立，所以可证得方程有两个不相等的实数根；第三问，将代入中，可计算得，而，解不等式即得.试题解析：（1）当时，.当时，.依题意，若方程恰存在两个相等的实数根，包括两种情况：（ⅰ）若是一元二次方程的一个实数根，则时，方程可化为，恰存在两个相等的实数根0（令一根为3）. （ⅱ）若一元二次方程有两个相等的实数根，则方程的根的判别式，解得，此时方程恰存在两个相等的实数根（另一根为0）.∴当或时，方程恰存在两个相等的实数根.（2）由，可得，，∴.此一元二次方程的判别式，则.由，可得，恒成立，∴方程有两个不等的实数根.（3）∵，得即，由，得.考点：方程的根的问题.16、试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的相交问题、韦达定理等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，椭圆过定点及离心率组成方程组解出和，从而得到椭圆的标准方程；第二问，利用第一问的结论，数形结合可知直线AM和直线AN的斜率存在且不为0，设出直线AM的方程，与椭圆方程联立，消参，利用韦达定理，可得到M点的横坐标，代入直线AM的方程中，再得到M点的纵坐标，同理，得到N点坐标，从而得到直线MN的方程，直接观察可知D点坐标.试题解析：（1）由已知得，解得.∴椭圆的标准方程为.（2）由（1）可知椭圆右顶点.由题意可知，直线AM和直线AN的斜率存在且不为0.设直线AM的方程为.∵，得.成立.∴，∴.∴.∴.∵直线AM和直线AN的斜率乘积为，故可设直线AN的方程为. 同理，易得.∴.∴当时，即时，.直线MN的方程为.整理得：.显然直线MN过定点.（点M、N关于原点对称）当，即时，直线MN显然过定点.综上所述，直线MN过定点.考点：椭圆的标准方程、直线与椭圆的相交问题、韦达定理.17、试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先将代入，利用导数除法的运算法则计算，令解出函数的增区间，令解出函数的减区间；第二问，先写出解析式，由于函数的图象总在的图象的上方，所以，转化为在恒成立，继续转化为恒成立，构造函数，通过求导判断函数的单调区间，求出的最小值，最后解出a的取值范围.试题解析：（1）当时，.∵，得，解得或；∵，得，解得.∴函数的单调增区间为，；单调递减区间为.（2）∵.又∵函数的图象总在的图象的上方，∴，即在恒成立.又∵，∴，∴.又∵，∴.设，则即可.∵.∵，，解得；∵，，解得.∴在区间单调递增，在区间单调递减.∴的最小值为或.∵，，作差可知，∴.∴a的取值范围是.考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、恒成立问题.18、试题分析：本题主要考查等比数列的通项公式、等比数列的前n项和公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，通过对称数列的定义域，得出，，…，，所以，然后利用等比数列的前n项和公式计算即可；第二问，由于数列为50项的对称数列，所以当n小于25时，就是从开始的等比数列，不存在对称，可以直接求和，当n 大于25时，除了前25项的和以外，还有多出来的几项的和.试题解析：（1）依题意，，，…，.∴，，…，.∴.（2）依题意，，∵是50项的“对称数列”.∴，，…，.∴当时，；当时，，.综上，.考点：等比数列的通项公式、等比数列的前n项和公式.19、试题分析：本题主要考查线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、二面角、向量法等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力.第一问，在中，E、F分别是BP、BC中点，利用中位线的性质得，再根据线面平行的判定得出结论；第二问，由正方形ABCD得出，利用面面垂直的性质，得平面PAB，利用线面垂直的性质，得，再从中证出，利用线面垂直的判定得平面PBC，所以AE垂直面PBC内的线PF；第三问，利用已知的这些条件整理出AD、AB、AP两两垂直，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，得出向量坐标，分别求出平面AEF和平面ABF的法向量，利用夹角公式列出表达式，求出m，即得到BF的长，从而得到点F的位置.试题解析：（1）在中，∵点E是PB中点，点F是BC中点，∴，又∵平面PAC，平面PAC，∴平面PAC．（2）∵底面ABCD是正方形，∴.又∵侧面PAB底面ABCD，平面PAB平面ABCD=AB，且平面ABCD，∴平面PAB.∵平面PAB，∴，由已知，点E是PB的中点，∴，又∵，∴平面PBC.∵平面PBC，∴.（3）点F为边BC上靠近B点的三等分点.∵，，∴，由（2）可知，平面PAB.又，∴平面PAB，即，∴两两垂直.分别以AD，AB，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系（如图）.不妨设，则，. ∴，.设平面AEF的一个法向量为，∵，得，取，则，，得. ∵，，，∴平面ABCD.即平面ABF的一个法向量为.∴，解得.∵，∴，即点F为边BC上靠近B点的三等分点.考点：线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、二面角、向量法.20、试题分析：本题主要考查平均值、频率分布直方图、二项分布、随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，用该区间中点值来代替每一组数据的平均值，再乘以每一组数据的频率，得到600人的平均年龄；第二问，先由频率分布直方图确定“老年人”所占的频率为，再利用二项分布的概率计算公式，计算出每一种情况的概率，列出分布列，最后利用计算数学期望.试题解析：（1）由题意估算，所调查的600人的平均年龄为.（2）由频率分布直方图可知，“老年人”所占的频率为.∴从该城市20～80年龄段市民中随机抽取1人，抽到“老年人”的概率为.依题意，X 的可能取值为0,1,2,3. ；；；.∴随机变量X 的分布列如下表：∴随机变量X 的数学期望.考点：1.平均值；2.频率分布直方图；3.二项分布；4.随机变量的分布列和数学期望.。

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学试卷答案（理工类）2015.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在ACDD中, 因为cos14CAD?，所以sin14CAD?,由正弦定理得，sin sinAC CDADC CAD=行,即2sinsin14CD ADCACCAD´仔===Ð……………………………………6分（Ⅱ）在ACDD中, 由余弦定理得，22422cos120AC AD AD=+-⨯⨯o，整理得22240AD AD+-=，解得4AD=(舍负).过点D作DE AB⊥于E,则DE为梯形ABCD的高.因为AB P CD，120ADC?o，所以60BAD?o.在直角ADED中，sin60DE AD==o即梯形ABCD的高为……………………………………………………13分（16）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意可得：4分（Ⅱ）记事件M ：被抽取的,,A B C 三种答卷中分别再各任取1份，这3份答卷恰有1份得优，可知只能C 题答卷为优.依题意131()1355P M =⨯⨯=．………………………………………………8分 （Ⅲ）由题意可知，B 题答卷得优的概率是13．显然被抽取的B 题的答卷中得优的份数X的可能取值为0,1,2,3,4,5，且X :1(5,)3B ．00551232(0)()()33243P X C ===；11451280(1)()()33243P X C ===； 22351280(2)()()33243P X C ===；33251240(3)()()33243P X C ===；44151210(4)()()33243P X C ===；5505121(5)()()33243P X C ===． 随机变量X 的分布列为所以0123452432432432432432433EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.…………………………………………………………13分（17）（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）由已知得90FAB ∠=︒，所以FA AB ⊥，因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，且平面ABEF I 平面ABCD AB =，所以FA⊥平面ABCD ，由于BC ⊂平面ABCD ，所以FA BC ⊥．………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知FA ⊥平面ABCD ，所以,FA AB FA AD ⊥⊥， 由已知DA AB ⊥，所以,,AD AB AF 两两垂直．以A 为原点建立空间直角坐标系（如图）． 因为112AD DC AB ===， 则(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,1,1)B C D E ，所以(1,1,0),(0,1,1)BC BE =-=-u u u r u u u r，设平面BCE 的一个法向量为()x,y,z n =．所以0,0,BC BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n即0,0.x y y z -=⎧⎨-+=⎩令1x =，则(1,1,1)n =．设直线BD 和平面BCE 所成角为θ，因为(1,2,0)BD =-u u u r，所以sin cos ,BD BD BDθ⋅=〈〉===⋅u u u r u u u r u u u r n n n .所以直线BD 和平面BCE 9分 (Ⅲ)在A 为原点的空间直角坐标系A xyz -中，AD HC BENM(0,0,0)A ,(1,0,0)D ,(0,0,1)F ，(0,2,0)B ，H 1(,1,0)2.设()01DM k k DF =<?， 即DM k DF =uuu u r uuu r .(),0,DM k k =-uuu u r,则(1,0,)M k k -， 1(,1,)2MH k k =--uuu r ，(1,0,1)FD =-u u u r .若FD ^平面MNH ，则FD MH ^.即0FD MH ?uu u r uuu r. 102k k -+=,解得14k =. 则11(,1,)44MH =--uuu r,4MH =uuur .…………………………………………………14分（18）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）椭圆C 的方程可化为22143x y +=，则2a =，b =，1c =． 故离心率为12，焦点坐标为(1,0),(1,0)-． ……………………………………4分 （Ⅱ）由题意，直线AB 斜率存在.可设直线AB 的方程为y kx m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11y kx m =+，22y kx m =+．由22,3412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=. 判别式2222=644(34)(412)k m k m D -+-=2248(43)0k m -+>. 所以122834km x x k -+=+，212241234m x x k -=+，因为直线MA 与直线MB 斜率之积为14， 所以12121224y y x x ⋅=--， 所以12124()()(2)(2)kx m kx m x x ++=--．化简得221212(41)(42)()440k x x km x x m -++++-=， 所以22222412(8)(41)(42)4403434m km k km m k k---+++-=++，化简得22280m km k --=，即4m k =或2m k =-.当4m k =时，直线AB 方程为(4)y k x =+，过定点(4,0)-．4m k =代入判别式大于零中，解得1122k -<<. 当2m k =-时，直线AB 方程为(2)y k x =-，过定点(2,0)M ，不符合题意舍去．故直线AB 过定点(4,0)-．………………………………………………………13分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当0a =时，2()e x f x x =，2()e (2)x f x x x '=+．由2e (2)0x x x +=，解得0x =，2x =-. 当(,2)x ∈-∞-时，f '(x )＞0，f (x )单调递增； 当(2,0)x ∈-时，f '(x )＜0，f (x )单调递减；当(0,)x ∈+∞时，f '(x )＞0，f (x )单调递增．所以函数()f x 的单调增区间为(,2)-∞-，(0,)+∞，单调减区间为(2,0)-．…………4分 （Ⅱ）依题意即求使函数2()e ()xf x x a =-在()1,2上不为单调函数的a 的取值范围.2()e (2)x f x x x a '=+-.设2()2g x x x a =+-，则(1)3g a =-，(2)8g a =-.因为函数()g x 在()1,2上为增函数，当(1)30(2)80g a g a ì=-<ïïíï=->ïî，即当38a <<时，函数()g x 在()1,2上有且只有一个零点，设为0x .当0(1,)x x Î时，()0g x <，即()0f x ¢<，()f x 为减函数； 当0(,2)x x Î时，()0g x >，即()0f x ¢>，()f x 为增函数，满足在()1,2上不为单调函数.当3a £时，(1)0g ³，(2)0g >，所以在()1,2上()g x 0>成立（因()g x 在()1,2上为增函数），所以在()1,2上()0f x '>成立，即()f x 在()1,2上为增函数，不合题意. 同理8a ³时，可判断()f x 在()1,2上为减函数，不合题意.综上38a <<. …………………………………………………………9分(Ⅲ) 2()e (2)x f x x x a '=+-．因为函数()f x 有两个不同的极值点，即()f x ¢有两个不同的零点，即方程220x x a +-=的判别式440a ∆=+>，解得1a >-.由220x x a +-=，解得1211x x =-=- 此时122x x +=-，12x x a =-. 随着x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：所以1x 是函数()f x 的极大值点，2x 是函数()f x 的极小值点.所以1()f x 为极大值，2()f x 为极小值．所以12221212()()e ()e ()xxf x f x x a x a =-⨯-因为1a >-，所以224e4e a ---<．所以212()()4e f x f x -<．……………………………………………………………… 14分（20）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）满足条件的数列有两个：3，1，4，2，5；与2，4，1，3，5．…… 3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知数列5A ：2，4，1，3，5满足55=a ，把其各项分别加5后，所得各数依次排在后，因为65||2a a -=，所得数列10A 显然满足12--=k k a a 或3，{}2,3,,10k ∈L ，即得H 数列10A ：2，4，1，3，5，7，9，6，8，10．其中10,5105==a a ．如此下去，即可得一个满足)403,,2,1(55Λ==k k a k 的H 数列2015A 为{}121222222121222221212122222=e [()]=e [()2]=e [(42]=4e .x x x x x x a x x a x x a x x x x a a a a a a ）++---++-+-+-++-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--=--=+-=+=kn n k n n k n n k n n k n n a n 5,15,125,235,245,1，（其中)403,,3,2,1Λ=k （写出此通项也可以：2,541,531,522,51,5n n n k n n k a n n k n n k n n k+=-⎧-=-⎪⎪=+=-⎨-=-⎪=⎪⎩（其中)403,,3,2,1Λ=k ）…… 8分（Ⅲ）不妨设0d >．(1)若6d ≥，则20154031402140262413a b b d ==+≥+⨯=，与20152015≤a 矛盾．(2)若14d ≤≤．（i ）若1001≤b ，则1(1)10040241708k b b k d =+-≤+⨯=，403.,2,1⋅⋅⋅=k ． 不妨设052015l i a -=，其中0{1,2,,403},{1,2,3,4}l i ∈⋅⋅⋅∈. 于是000000555515(1)5||||||312.l l i l l l i l i a a a a a a i ------≤-+⋅⋅⋅+-≤≤ 即05|2015|12l a -≤，可得2003005≥=l l a b ，与17080≤l b 矛盾． （ii ）若1011≥b ，则1011≥≥b b k ，403,,2,1⋅⋅⋅=k ． 不妨设051l i a -=，其中0{1,2,,403},{1,2,3,4}l i ∈⋅⋅⋅∈． 于是000000555515(1)5||||||312l l i l l l i l i a a a a a a i ------≤-+⋅⋅⋅+-≤≤ 即05|1|12l a -≤，可得13005≤=l l a b ，与1010≥l b 矛盾．因为d 为整数，所以综上可得5d =.由（Ⅱ）可知存在使55k k b a k ==（其中403,,2,1⋅⋅⋅=k ）的H 数列2015A ． 把上述H 数列2015A 倒序排列，即有5d =-．所以5d =或5-. …… 13分。

数列、不等式1．已知前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2).由S n 求a n 时，易忽略n ＝1的情况．[问题1] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2， n ＝12n －1， n ≥22．等差数列的有关概念及性质(1)等差数列的判断方法：定义法a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)或a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2)． (2)等差数列的通项：a n ＝a 1＋(n －1)d 或a n ＝a m ＋(n －m )d . (3)等差数列的前n 项和：S n ＝n (a 1＋a n )2，S n ＝na 1＋n (n －1)2d . (4)等差数列的性质①当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n 是关于n 的二次函数且常数项为0.②若公差d >0，则为递增等差数列；若公差d <0，则为递减等差数列；若公差d ＝0，则为常数列．③当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ＋a n ＝2a p . ④S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列．[问题2] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝12，S 20＝17，则S 30为( ) A ．15 B ．20 C ．25 D ．30 答案 A3．等比数列的有关概念及性质(1)等比数列的判断方法：定义法a n ＋1a n ＝q (q 为常数)，其中q ≠0，a n ≠0或a n ＋1a n ＝a na n －1(n ≥2)．如一个等比数列{a n }共有2n ＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则a n ＋1＝56.(2)等比数列的通项：a n ＝a 1q n－1或a n ＝a m q n－m.(3)等比数列的前n 项和：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q.易错警示：由于等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n 项和时，首先要判断公比q 是否为1，再由q 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q 是否为1时，要对q 分q ＝1和q ≠1两种情形讨论求解．(4)等比中项：若a ，A ，b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项．值得注意的是，不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个，即为±ab .如已知两个正数a ，b (a ≠b )的等差中项为A ，等比中项为B ，则A 与B 的大小关系为A >B . (5)等比数列的性质当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ·a n ＝a p ·a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ·a n ＝a 2p .[问题3] (1)在等比数列{a n }中，a 3＋a 8＝124，a 4a 7＝－512，公比q 是整数，则a 10＝________. (2)各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5·a 6＝9，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝________. 答案 (1)512 (2)10 4．数列求和的方法(1)公式法：等差数列、等比数列求和公式； (2)分组求和法； (3)倒序相加法； (4)错位相减法； (5)裂项法；如：1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；1n (n ＋k )＝1k ⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋k .(6)并项法．数列求和时要明确：项数、通项，并注意根据通项的特点选取合适的方法．[问题4] 数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N ，n ≥1)，若a 2＝1，S n 是{a n }的前n 项和，则S 21的值为________． 答案 925．在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示，不能直接用不等式表示．[问题5] 不等式－3x 2＋5x －2>0的解集为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫23，16．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，必须讨论这个数的正负．两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能进行．[问题6] 已知a ，b ，c ，d 为正实数，且c >d ，则“a >b ”是“ac >bd ”的________条件． 答案 充分不必要7．基本不等式：a ＋b2≥ab (a ，b >0)(1)推广：a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a ，b >0)． (2)用法：已知x ，y 都是正数，则①若积xy 是定值p ，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2p ； ②若和x ＋y 是定值s ，则当x ＝y 时，积xy 有最大值14s 2.易错警示：利用基本不等式求最值时，要注意验证“一正、二定、三相等”的条件． [问题7] 已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则y ＝1a ＋4b 的最小值是________．答案 98．解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解．[问题8] 设定点A (0,1)，动点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，则|P A |的最小值是________．答案22易错点1 忽视对等比数列中公比的分类讨论致误例1 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝S 9，则数列的公比q 是________． 错解 －1找准失分点 当q ＝1时，符合要求．很多考生在做本题时都想当然地认为q ≠1. 正解 ①当q ＝1时，S 3＋S 6＝9a 1，S 9＝9a 1， ∴S 3＋S 6＝S 9成立． ②当q ≠1时，由S 3＋S 6＝S 9 得a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝a 1(1－q 9)1－q∴q 9－q 6－q 3＋1＝0，即(q 3－1)(q 6－1)＝0. ∵q ≠1，∴q 3－1≠0，∴q 6＝1，∴q ＝－1. 答案 1或－1易错点2 忽视分类讨论或讨论不当致误例2 若等差数列{a n }的首项a 1＝21，公差d ＝－4，求：S k ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a k |. 错解 由题意，知a n ＝21－4(n －1)＝25－4n ，因此由a n ≥0，解得n ≤254，即数列{a n }的前6项大于0，从第7项开始，以后各项均小于0.|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a k |＝(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6)－(a 7＋a 8＋…＋a k )＝2(a 1＋a 2＋…＋a 6)－(a 1＋a 2＋…＋a 6＋a 7＋a 8＋…＋a k ) ＝2k 2－23k ＋132 所以S k ＝2k 2－23k ＋132.找准失分点 忽视了k ≤6的情况，只给出了k ≥7的情况．正解 由题意，知a n ＝21－4(n －1)＝25－4n ，因此由a n ≥0，解得n ≤254，即数列{a n }的前6项大于0，从第7项开始，以后各项均小于0. 当k ≤6时，S k ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a k |＝a 1＋a 2＋…＋a k ＝－2k 2＋23k .当k ≥7时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a k | ＝(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6)－(a 7＋a 8＋…＋a k )＝2(a 1＋a 2＋…＋a 6)－(a 1＋a 2＋…＋a 6＋a 7＋a 8＋…＋a k ) ＝2k 2－23k ＋132，所以S k ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2k 2＋23k (k ≤6)2k 2－23k ＋132 (k ≥7).易错点3 忽视等比数列中的隐含条件致误例3 各项均为实数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝10，S 30＝70，则S 40＝________. 错解 150或－200找准失分点 数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30的公比q 10>0.忽略了此隐含条件，就产生了增解－200.正解 记b 1＝S 10，b 2＝S 20－S 10，b 3＝S 30－S 20，b 4＝S 40－S 30， b 1，b 2，b 3，b 4是以公比为r ＝q 10>0的等比数列． ∴b 1＋b 2＋b 3＝10＋10r ＋10r 2＝S 30＝70， ∴r 2＋r －6＝0，∴r ＝2或r ＝－3(舍去)， ∴S 40＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝10(1－24)1－2＝150.答案 150易错点4 忽视基本不等式中等号成立的条件致误例4 已知：a >0，b >0，a ＋b ＝1，求⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2的最小值．错解 由⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2＝a 2＋b 2＋1a 2＋1b 2＋4 ≥2ab ＋2ab＋4≥4ab ·1ab＋4＝8， 得⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2的最小值是8. 找准失分点 两次利用基本不等式，等号不能同时取到． 正解 ⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2 ＝a 2＋b 2＋1a 2＋1b 2＋4＝(a 2＋b 2)＋⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＋4 ＝[(a ＋b )2－2ab ]＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1a ＋1b 2－2ab ＋4＝(1－2ab )⎝⎛⎭⎫1＋1a 2b 2＋4 由ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，得1－2ab ≥1－12＝12，且1a 2b2≥16,1＋1a 2b2≥17.∴原式≥12×17＋4＝252(当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立)，∴⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2的最小值是252.1．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7等于( ) A ．10 B ．18 C ．20 D ．28答案 C解析 因为a 3＋a 8＝10，所以由等差数列的性质，得a 5＋a 6＝10， 所以3a 5＋a 7＝2a 5＋2a 6＝20，选C.2．若1a <1b <0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b 中，正确的不等式有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案 B解析 由1a <1b<0，得a <0，b <0，故a ＋b <0且ab >0，所以a ＋b <ab ，即①正确； 由1a <1b<0，得⎪⎪⎪⎪1a >⎪⎪⎪⎪1b ，两边同乘|ab |，得|b |>|a |，故②错误；由①②知|b |>|a |，a <0，b <0，所以a >b ，即③错误，选B.3．已知，x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy 有( )A ．最小值eB ．最小值 eC ．最大值eD ．最大值 e答案 A解析 x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，14ln x ·ln y ＝(14)2，即14＝ln x ·ln y ≤(ln x ＋ln y 2)2，ln x ＋ln y ≥1，ln xy ≥1，故xy ≥e.4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5等于( ) A ．3∶4 B ．2∶3 C ．1∶2 D ．1∶3答案 A解析 ∵{a n }是等比数列，∴S 5，S 10－S 5，S 15－S 10也构成等比数列， 记S 5＝2k (k ≠0)，则S 10＝k ，可得S 10－S 5＝－k ， 进而得S 15－S 10＝12k ，于是S 15＝32k ，故S 15∶S 5＝32k ∶2k ＝3∶4.5．把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，…循环分为(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，…，则第50个括号内各数之和为( ) A ．195 B ．197 C ．392 D ．396答案 C解析 将三个括号作为一组，则由50＝16×3＋2，知第50个括号应为第17组的第二个括号，即第50个括号中应是两个数．又因为每组中含有6个数，所以第48个括号的最末一个数为数列{2n －1}的第16×6＝96项，第50个括号的第一个数应为数列{2n －1}的第98项，即为2×98－1＝195，第二个数为2×99－1＝197，故第50个括号内各数之和为195＋197＝392.故选C.6．已知点A (m ，n )在直线x ＋2y －1＝0上，则2m ＋4n 的最小值为________． 答案 2 2解析 点A (m ，n )在直线x ＋2y －1＝0上，则m ＋2n ＝1；2m ＋4n ＝2m ＋22n ≥22m ·22n ＝22m＋2n＝2 2.7．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b )2cd 的最小值是________．答案 4解析 由x ，a ，b ，y 成等差数列知a ＋b ＝x ＋y ，① 由x ，c ，d ，y 成等比数列知cd ＝xy ，②把①②代入(a ＋b )2cd 得(a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ＝x 2＋y 2＋2xy xy ≥4，∴(a ＋b )2cd的最小值为4.8．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2y ≤2x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________．答案 4解析 画出可行域D ，如图中阴影部分所示，而z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ， ∴y ＝－2x ＋z ， 令l 0：y ＝－2x ，将l 0平移到过点(2，2)时， 截距z 有最大值， 故z max ＝2×2＋2＝4.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(4－a 2)x ＋4(x ≤6)，a x －5(x >6)(a >0，a ≠1)．数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是单调递增数列，则实数a 的取值范围是________． 答案 (4,8)解析 ∵{a n }是单调递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧4－a 2>0a >1(4－a 2)×6＋4<a2，⎩⎪⎨⎪⎧a <8a >1a <－7或a >4， ∴4<a <8.10．已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足8S n ＝a 2n ＋4a n ＋3，且a 2是a 1和a 7的等比中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)符号[x ]表示不超过实数x 的最大整数，记b n ＝[log 2(a n ＋34)]，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n .解 (1)由8S n ＝a 2n ＋4a n ＋3，①知8S n －1＝a 2n －1＋4a n －1＋3(n ≥2，n ∈N )．② 由①－②得8a n ＝(a n －a n －1)(a n ＋a n －1)＋4a n －4a n －1， 整理得(a n －a n －1－4)(a n ＋a n －1)＝0(n ≥2，n ∈N )． ∵{a n }为正项数列， ∴a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝4(n ≥2，n ∈N )．∴{a n }为公差为4的等差数列，由8a 1＝a 21＋4a 1＋3，得a 1＝3或a 1＝1. 当a 1＝3时，a 2＝7，a 7＝27，不满足a 2是a 1和a 7的等比中项． 当a 1＝1时，a 2＝5，a 7＝25，满足a 2是a 1和a 7的等比中项． ∴a n ＝1＋(n －1)4＝4n －3.(2)由a n ＝4n －3得b n ＝[log 2(a n ＋34)]＝[log 2n ]，由符号[x ]表示不超过实数x 的最大整数知，当2m ≤n <2m＋1时，[log 2n ]＝m ，所以令S ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n ＝[log 21]＋[log 22]＋[log 23]＋…＋[log 22n ] ＝0＋1＋1＋2＋…＋3＋…＋4＋…＋n －1＋…＋n . ∴S ＝1×21＋2×22＋3×23＋4×24＋(n －1)×2n －1＋n ，①2S ＝1×22＋2×23＋3×24＋4×25＋(n －1)×2n ＋2n .② ①－②得－S ＝2＋22＋23＋24＋…＋2n －1－(n －1)2n －n＝2(1－2n －1)1－2－(n －1)2n －n ＝(2－n )2n －n －2，∴S ＝(n －2)2n ＋n ＋2，即b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n ＝(n －2)2n ＋n ＋2.。

北京各区二模理科数学分类汇编三角(2015届西城二模)11．已知角α的终边经过点（－3，4），则cos α＝ ；cos 2α＝ ．答案：257,53-- (2015届西城二模)15．（本小题满分13 分）在锐角△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a，b ＝3，32sin sin 7=+A B ．（Ⅰ） 求角A 的大小； （Ⅱ） 求△ABC 的面积．（Ⅰ）解：在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a b AB=， ……………… 2分得3sin sin AB=3sin B A =， ……………… 3分sin B A +=，解得sin 2A =……………… 5分因为ABC ∆为锐角三角形，所以π3A =. ……………… 6分 （Ⅱ）解：在ABC ∆中，由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=， ……………… 8分得219726c c+-=，即2320c c -+=，解得1c = 或 2c =. ……………… 10分当1c =时，因为222cos 2014c b Baca +-==-<， 所以角B 为钝角，不符合题意，舍去. ……………… 11分当2c =时，因为222cos 20c b B aca +-==>，且b c >，b a >， 所以ABC ∆为锐角三角形，符合题意.所以ABC ∆的面积11sin 3222S bc A ==⨯⨯. ……………… 13分(2015届海淀二模)答案：B(2015届海淀二模)（15）（共13分）解：（Ⅰ）因为a A =， 所以22222b c a a bc+-=. ………………3分因为 5c =，b =所以23404930a a +-⨯=.解得：3a =，或493a =-（舍）. ………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：cos 3A ==.所以21cos 22cos 13A A =-=. ………………9分 因为3a =，5c =，b =，所以2221cos 23a cb B ac +-==. ………………11分所以cos2cos A B =. ………………12分 因为 c b a >>，所以 (0,)3A π∈.因为 (0,)B ∈π，所以2B A ∠=∠. ………………13分另解：因为(0,)A ∈π，所以sin 3A ==.由正弦定理得：sin 3B = 所以sin 3B =.所以sin 22sin 333A B =⨯==. ………………12分 因为 c b a >>，所以 (0,)3A π∈，(0,)2B π∈.所以 2B A ∠=∠. ………………13分(2015届东城二模) （1）23sin()6π-=（C ） （A）-（B ）12-（C ）12（D(2015届东城二模) （15）（本小题共13分）已知函数2sin 22sin ()sin x x f x x-=．（Ⅰ）求()f x 的定义域及其最大值；（Ⅱ）求()f x 在(0,π)上的单调递增区间．（15）（共13分）解：（Ⅰ）由sin 0x ≠，得xk k ≠π(∈)Z ．所以()f x 的定义域为{|}x x k k ∈≠π,∈R Z ． …………………2分因为2sin 22sin ()sin x x f x x-=，2cos 2sin x x =-)4x π=+， …………………6分所以()f x的最大值为 …………………7分（Ⅱ）函数cos y x =的单调递增区间为[22k k π+π,π+2π]（k ∈Z ）由224k x k ππ+π≤+≤π+2π，x k k ≠π(∈)Z ，且(0,x ∈π)，所以()f x 在(0,π)上的单调递增区间为3[,4ππ)． ……13分(2015届昌平二模) 11. 在ABC ∆中，若a =b =5π6B ∠=，则边c =__________. 答案：1(2015届昌平二模) 15. (本小题满分13分) 已知函数()sin()(0,0,||,)2f x A x A x ωϕωϕπ=+>><∈R 的部分图象如图所示. （I ）求函数()f x 的解析式；（II ）求函数()()()123g x f x f x ππ=+-+ 的单调递增区间.解：（I ）由题意可知，2A =,39412T π=，得T =π,2T ωπ==π，解得2=ω.()2sin(2)233f ϕππ=⨯+=， 即2232k k ϕππ+=+π,∈Z ，||2ϕπ<，所以 6ϕπ=-，故()2sin(2)6f x x π=-. ……………7分(II)ππππ()2sin(2(+)-)-2sin(2(+)-)12636g x x x =π2sin2-2sin(2+)2=2sin22cos2)4x x x -x =x =π-由222,242k x k k πππ-+π≤-≤+π∈Z,,88k x k k π3π-+π≤≤+π∈Z. 故()g x 的单调递增区间是[,],88k k k π3π-+π+π∈Z..……………13分(2015届丰台二模)15.（本小题共13分） 在△ABC 中，30A ︒=，52=BC ，点D 在AB 边上，且BCD ∠为锐角，2CD =，△BCD 的面积为4．（Ⅰ）求cos BCD ∠的值； （Ⅱ）求边AC 的长． 15.（本小题共13分） 解：（Ⅰ）因为1sin 42BCDS BC CD BCD ∆=⋅⋅∠=， 所以552sin =∠BCD ．因为BCD ∠为锐角，所以cos BCD∠==． ……………………6分 （Ⅱ）在BCD ∆中，因为BCD BC CD BC CD DB∠⋅⋅-+=cos 2222，所以4=DB ． 因为222BC CD DB=+，所以︒=∠90CDB ．所以ACD ∆为直角三角形． 因为30A ︒=，所以24AC CD ==，即4AC =． ……………………13分。

北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理工类） 2015．1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设i 为虚数单位，则复数1iiz +=在复平面内对应的点所在的象限是 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2. 过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点．若AB 中点M 到抛物线准线的距离为6，则线段AB 的长为A ．6B ．9C ．12D ．无法确定 3．设函数()sin(2)3f x x π=-的图象为C ，下面结论中正确的是 A ．函数()f x 的最小正周期是2π B ．图象C 关于点(,0)6π对称C ．图象C 可由函数()sin 2g x x =的图象向右平移3π个单位得到D ．函数()f x 在区间(,)2ππ-12上是增函数 4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的全面积是 A ． 426+ B ．8 C ． 423+ D ．435．αβ，表示不重合的两个平面，m ，l 表示不重合的两条直线．若m αβ= ，l α⊄，l β⊄，则“l ∥m ”是“l ∥α且l ∥β”的A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．在ABC ∆中，π4B =，则sin sin A C ⋅的最大值是 A ．124+ B ．34 C ．22D ．224+7．点O 在ABC ∆的内部，且满足24OA OB OC ++=0，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积之比是A ．72 B ． 3 C ．52D ．2 8.设连续正整数的集合{}1,2,3,...,238I =，若T 是I 的子集且满足条件：当x T ∈时，7x T ∉，则集合T 中元素的个数最多是（ ）A.204B. 207C. 208D.209第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P ，则sin(π)α-的值是 ．10．双曲线22:C x y λ-=（0λ>）的离心率是 ；渐近线方程是 ．11．设不等式组240,0,0x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一点P ，则点P 落在圆221x y +=内的概率为 ．12．有一口大钟每到整点就自动以响铃的方式报时，1点响1声，2点响2声，3点响3声，……，12点响12声（12时制），且每次报时时相邻两次响铃之间的间隔均为1秒．在一次大钟报时时，某人从第一声铃响开始计时，如果此次是12点的报时，则此人至少需等待 秒才能确定时间；如果此次是11点的报时，则此人至少需等待 秒才能确定时间．13．在锐角AOB 的边OA 上有异于顶点O 的6个点，边OB 上有异于顶点O 的4个点，加上点O ，以这11个点为顶点共可以组成 个三角形（用数字作答）． 14．已知函数1sin π()()ππx xxf x x -=∈+R ．下列命题：①函数()f x 既有最大值又有最小值； ②函数()f x 的图象是轴对称图形；③函数()f x 在区间[π,π]-上共有7个零点； ④函数()f x 在区间(0,1)上单调递增．其中真命题是 ．（填写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20~80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”，[40,60)为“中年人”， [60,80]为“老年人”.（Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄； （Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率．从该城市20-80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．1 6．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAB ⊥底面ABCD ，PA AB =，点E 是PB 的中点，点F 在边BC 上移动．O频率组距20 30 40 5060 8070 0.01 0.03 0.02 年龄（Ⅰ）若F 为BC 中点，求证：EF //平面PAC ； （Ⅱ）求证：AE PF ⊥； （Ⅲ）若2PB AB =，二面角E AF B --的余弦值等于1111，试判断点F 在边BC 上的位置，并说明理由.17．（本小题满分13分）若有穷数列1a ，2a ，3,,m a a （m 是正整数）满足条件：1(1,2,3,,)i m i a a i m -+== ，则称其为“对称数列”．例如，1,2,3,2,1和1,2,3,3,2,1都是“对称数列”．（Ⅰ）若}{n b 是25项的“对称数列”，且,13b ,14b 15,b ，25b 是首项为1，公比为2的等比数列．求}{n b 的所有项和S ；（Ⅱ）若}{n c 是50项的“对称数列”，且,26c ,27c 28,c ，50c 是首项为1，公差为2的等差数列．求}{n c 的前n 项和n S ，150,n n *≤≤∈N .18．（本小题满分13分）设函数2e (),1axf x a x =∈+R ． DPCBFAE（Ⅰ）当35a =时,求函数)(x f 的单调区间； （Ⅱ）设()g x 为()f x 的导函数，当1[,2e]ex ∈时，函数()f x 的图象总在()g x 的图象的上方，求a的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点3(1,)2，离心率为32．过椭圆右顶点A 的两条斜率乘积为14-的直线分别交椭圆C 于,M N 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线MN 是否过定点D ？若过定点D ，求出点D 的坐标；若不过，请说明理由．20．（本小题满分13分）已知函数123()()()()f x x x x x x x =---，1x ，2x ，3x ∈R ,且123x x x <<．（Ⅰ）当10x =，21x =，32x =时，若方程()f x mx =恰存在两个相等的实数根，求实数m 的值； （Ⅱ）求证：方程()0f x '=有两个不相等的实数根； （Ⅲ）若方程()0f x '=的两个实数根是,αβ()αβ<，试比较122x x +与,αβ的大小并说明理由．北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末统一考试数学答案（理工类） 2015．1一、选择题（满分40分） 二、填空题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DCBACDAC（满分30分） 题号 9101112 13 14 答案2552;y x =±π1611;11120①②③（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题（满分80分） 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意估算，所调查的600人的平均年龄为：250.1350.2450.3550.2650.1750.148⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（岁）….…..4分（Ⅱ）由频率分布直方图可知，“老年人”所占的频率为15. 所以从该城市20~80年龄段市民中随机抽取1人，抽到“老年人”的概率为15. 依题意，X 的可能取值为0,1,2,3.00331464(0)()()55125P X C ===1231448(1)()()55125P X C ===2231412(2)()()55125P X C ===3303141(3)()()55125P X C ===所以，随机变量X 的分布列如下表：X 0 1 2 3P64125 48125 12125 1125因此，随机变量X 的数学期望64481213()01231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………..13分 16. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在PBC ∆中，因为点E 是PB 中点，点F 是BC 中点，所以EF //PC ．又因为EF ⊄平面PAC ，PC ⊂平面PAC ， 所以EF //平面PAC ．……………..4分 （Ⅱ）证明：因为底面ABCD 是正方形，所以BC AB ⊥．又因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，平面PAB 平面ABCD =AB ， 且BC ⊂平面ABCD ， 所以BC ⊥平面PAB ．由于AE ⊂平面PAB ，所以BC AE ⊥．由已知PA AB =，点E 是PB 的中点，所以AE PB ⊥． 又因为=PB BC B ，所以AE ⊥平面PBC .因为PF ⊂平面PBC ，所以AE PF ⊥．……………..9分 （Ⅲ）点F 为边BC 上靠近B 点的三等分点．因为PA AB =，2PB AB =，所以PA AB ⊥．由（Ⅱ）可知，BC ⊥平面PAB .又BC //AD ,所以AD ⊥平面PAB ，即AD PA ⊥，AD AB ⊥ . 所以AD ，AB ，AP 两两垂直．分别以AD ，AB ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴 建立空间直角坐标系（如图）. 不妨设2AB =，BF m =，则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(0,0,2)P ， (0,1,1)E ，(,2,0)F m .于是(0,1,1)AE =，(,2,0)AF m = .设平面AEF 的一个法向量为(,,)p q r =n ，由0,0,AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 得0, 20.q r mp q +=⎧⎨+=⎩ 取2p =，则q m =-，r m =， 得 (2,,)m m =-n ．由于AP AB ⊥，AP AD ⊥,AB AD A = ,所以AP ⊥平面ABCD .即平面ABF 的一个法向量为(0,0,2)AP =．根据题意，221111||||422AP m AP m ⋅==⋅+⨯ n n ，解得23m =． 由于2BC AB ==，所以13BF BC =. 即点F 为边BC 上靠近B 点的三等分点．……………..14分 17.（本小题满分13分）D CBFAEPxyz（Ⅰ）依题意，131,b =142b =，…，1212251322b b =⋅=. 则121252b b ==，112242b b ==，…，12142b b ==.则()12121212121()22 (121112)S b b b ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=++++=⨯+-1423=- ……………..6分 （Ⅱ）依题意，502624249c c =+⨯=，因为}{n c 是50项的“对称数列”，所以15049,c c ==24947,c c ==…， 2526 1.c c ==所以当125n ≤≤时，250n S n n =-+； 当2650n ≤≤时，251(25)(25)(26)22n S S n n n =+-+⨯--⨯， n S =1250502+-n n .综上，22501255012502650,.n n nn n S n n n n **⎧-+≤≤∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩N N ，， ……………..13分18. （本小题满分13分）（Ⅰ）解：当35a =时，32522e (3103)()5(1)x x xf x x -+'=+．由()0f x '>得231030x x -+>，解得13x <或3x >； 由()0f x '<得231030x x -+<，解得133x <<． 所以函数)(x f 的单调增区间为1(,)3-∞,(3,)+∞，单调减区间为1(,3)3． ……………..5分（Ⅱ）因为222e (2)()()(1)ax ax x a g x f x x -+'==+， 又因为函数()f x 的图象总在()g x 的图象的上方，所以()()f x g x >，即2222e e (2)1(1)ax ax ax x a x x -+>++在1[,2e]e x ∈恒成立．又因为2e 01axx >+，所以22(1)2(1)a x x x +-<+，所以2(1)(1)2a x x -+<． 又210x +>，所以2211xa x -<+． 设22()1x h x x =+，则min1()a h x -<1([,2e])ex ∈即可． 又2222(1)()(1)x h x x -'=+．由2222(1)()0(1)x h x x -'=>+，注意到1[,2e]e x ∈，解得11e x ≤<； 由2222(1)()0(1)x h x x -'=<+，注意到1[,2e]e x ∈，解得12e x <≤． 所以()h x 在区间1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递增，在区间(]1,2e 单调递减． 所以()h x 的最小值为1()eh 或(2e)h ．因为212e ()ee 1h =+，24e (2e)4e 1h =+，作差可知224e 2e4e 1e 1<++，所以24e14e 1a -<+．所以a 的取值范围是224e 4e+1(,)4e 1+-∞+． ……………..13分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得22321314c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 解得2241a b ⎧=⎨=⎩．所以椭圆的标准方程为2214x y +=． ……………..4分 （Ⅱ）直线MN 过定点(0,0)D .说明如下：由（Ⅰ）可知椭圆右顶点(2,0)A ．由题意可知，直线AM 和直线AN 的斜率存在且不为0．设直线AM 的方程为(2)y k x =-．由2244(2)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩得2222(14)161640k x k x k +-+-=． 42225616(14)(41)160k k k ∆=-+-=>成立，所以22164214M k x k -⋅=+．所以228214M k x k -=+． 所以222824(2)(2)1414M M k k y k x k k k --=-=-=++．于是，点222824(,)1414k k M k k--++． 因为直线AM 和直线AN 的斜率乘积为14-，故可设直线AN 的方程为1(2)4y x k =--． 同理，易得222218()228411414()4N k k x k k---==++-． 所以点222284(,)1414k kN k k -++． 所以，当M N x x ≠时，即12k ≠±时，2214MN k k k=-. 直线MN 的方程为22224228()141414k k k y x k k k--=-+-+． 整理得2214ky x k=-． 显然直线MN 过定点(0,0)D ．（点,M N 关于原点对称）当M N x x =,即12k =±时，直线MN 显然过定点(0,0)D ． 综上所述，直线MN 过定点(0,0)D ． ……………..14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）当10x =，21x =，32x =时，()(1)(2)f x x x x =--.当(1)(2)x x x mx --=时，即()2320x x x m -+-=.依题意，若方程()f x mx =恰存在两个相等的实数根，包括两种情况： （1）若0x =是一元二次方程2320x x m -+-=的一个实数根，则2m =时，方程()2320x x x m -+-=可化为2(3)0x x -=，恰存在两个相等的实数根0(另一根为3）.（2）若一元二次方程2320x x m -+-=有两个相等的实数根，则方程2320x x m -+-=的根的判别式94(2)0m ∆=--=，解得14m =-.此时方程()f x mx =恰存在 两个相等的实数根32(另一根为0). 所以当14m =-或2m =时，方程()f x mx =恰存在两个相等的实数根. ………4分（Ⅱ）证明：由123()()()()f x x x x x x x =---，可得，()()32123121323123()f x x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，所以()2123121323()320f x x x x x x x x x x x x '=-+++++=.此一元二次方程的判别式21231213234)12()x x x x x x x x x ∆=++-++（，则()()()2221223312x x x x x x ⎡⎤∆=-+-+-⎣⎦. 由123x x x <<可得，0∆>恒成立.所以方程()0f x '=有两个不等的实数根.………8分 （Ⅲ）122x x αβ+<<.说明如下： 由()2123121323()320f x x x x x x x x x x x x '=-+++++=，得12()2x x f +'=()()212123123()+4x x x x x x x +-+++121323x x x x x x ++． ()()22121212=044x x x x x x +--=-<. 即12()2x x f +'=12123()()022x x x x αβ++--<, 由αβ<，得122x x αβ+<<． ………13分。

北京市朝阳区 2015-2016 学年度高三年级第二学期统一考试数学试卷（理工类）2016．5（考试时间 120 分钟满分 150 分） 本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合 A = {x 1 < 2x< 4}， B = {x x -1 ≥ 0}，则 A I B ＝A ．{x 1 ≤ x < 2}iB ．{x 0 < x ≤ 1}C ．{x 0 < x < 1}D ．{x 1 < x < 2}2．复数 z =1- i（ i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为 A ．6 B ．10 C ．14D ．154．已知非零向量 a ， b ，“ a ∥ b ”是 “ a ∥ (a + b ) ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．同时具有性质:“①最小正周期是 π ； ②图象关于直线 x = π对称；3③在区间⎡ 5π , π⎤上是单调递增函数”的一个函数可以是⎢⎣ 6⎥⎦ A ． y = cos( x + π)2 6C ． y = cos(2x - π)3B ． y = sin(2x+ 5π)6D ． y = sin(2x - π)63 A BODE ⎪ ⎧ 6．已知函数 f (x ) = ⎨x -1, x ≤ 2,(a > 0 且 a ≠ 1) 的最大值为1,则 a 的取值范围是 ⎩2 + log a x , x > 21 A ．[ ,1)2B ． (0,1)1C ． (0, ]2D ． (1, )7． 某学校高三年级有两个文科班， 四个理科班， 现每个班指定 1 人， 对各班的卫生进行检 查．若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不 同安排方法的种数是A ． 48B ． 72C ． 84D ．1688．已知正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的棱长为 2， E 是棱 D 1C 1 的中点，点 F 在正方体内部或正方体的表面上，且 EF ∥平面 A 1BC 1 ，则动点 F 的轨迹所形成的区域面积是9 A ．B ． 2 2C ． 3D ． 4 第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．把答案填在答题卡上．9．双曲线 C : x - y 2= 1 的渐近线方程是；若抛物线 y 2= 2 px ( p > 0) 的焦点与3双曲线 C 的一个焦点重合，则 p =．10．如图， P 为⊙ O 外一点， PA 是⊙ O 的切线， A 为切点，割线PBC与 ⊙ O 相 交 于 B , C 两 点 ， 且 PC = 3PA ， D 为 线 段 BC 的 中 P C点，AD 的延长线交⊙ O 于点 E ．若 PB 1，则 PA 的长为 ；AD DE 的值是 ．11．已知等边 ∆ABC 的边长为 3， D 是 BC 边上一点，若 BD = 1，则u u u r u u u rAC ⋅ AD 的值是．⎧ 12．已知关于 x , y 的不等式组 ⎪ x ≥ 0, y ≥ x ,所表示的平面区域 D 为三角形区域，则实数 k 的取值范围是 ．⎨ x + y ≤ 2, ⎪⎩2x - y ≥ k13．为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召，某经销商投资 60 万元建了一个蔬菜生产基地.第3223 6 频率组距一年支出各种费用 8 万元，以后每年支出的费用比上一年多 2 万元.每年销售蔬菜的收入为 26 万元. 设 f (n ) 表示前 n 年的纯利润（ f (n ) =前 n 年的总收入－前 n 年的总费用支出－投资额），则f (n ) =（用 n 表示）；从第年开始盈利.14．在平面直角坐标系x O y 中，以点 A (2, 0) ，曲线 y = 上的动点 B ，第一象限内的点 C，构成等腰直角三角形 ABC ,且 ∠A = 90︒ ，则线段 OC 长的最大值是．三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分 13 分）在 ∆ABC 中 ， 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 是 a ， b ， c ， 已 知cos 2 A = - 1， 3c = , s in A = sin C ．(Ⅰ)求a 的值； (Ⅱ) 若角 A 为锐角，求b 的值及 ∆ABC 的面积．16．（本小题满分 13 分） 交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映某区域道路网在某特定时段内畅通或拥堵实际情况的概念性指数值．交通指数范围为(0，10) ，五个级别规定如下： 交通指数 (0, 2)[2, 4)[4, 6)[6,8)[8,10)级别畅通基本畅通轻度拥堵中度拥堵严重拥堵某人在工作日上班出行每次经过的路段都在同一个区域内，他随机记录了上班的 40 个工作日 早高峰时段(早晨 7 点至 9 点)的交通指数(平 均值)，其统计结果如直方图所示． （Ⅰ）据此估计此人 260 个工作日中早高峰时段（早晨 7 点至 9 点）中度拥堵的 天数；（Ⅱ）若此人早晨上班路上所用时间近似 为：畅 通 时 30 分 钟 ， 基 本 畅 通 时 35 分0.250.20 0.150.100.05钟，1 2 3 45 6 7 89 101- x 21 轻度拥堵时 40 分钟，中度拥堵时 50 分钟，严重拥堵时 70 分钟，以直方图 中各种路况的频率作为每天遇到此种路况的概率，求此人上班路上所用时间 X 的数学期望．17．（本小题满分 14 分）如图 1，在等腰梯形 ABCD 中， BC // AD ， BC = 1AD = 2 ， ∠A = 60︒， 2E 为 AD中点，点 O , F 分别为 BE , DE 的中点．将 ∆ABE 沿 BE 折起到 ∆A 1BE 的位置，使得平面 A 1BE ⊥ 平面 BCDE （如图 2）．（Ⅰ）求证： A 1O ⊥ CE ；（Ⅱ）求直线 A 1B 与平面 A 1CE 所成角的正弦值；（Ⅲ）侧棱 A C 上是否存在点 P ，使得 BP // 平面 A OF ? 若存在，求出A 1P的值；若不11AC 存在，请说明理由．BB图 1图 218． （本小题满分 13 分）已知函数 f (x ) = - 1x 2+ (a +1)x +（1- a ) ln x ， a ∈ R ．2（Ⅰ）当 a = 3 时，求曲线C : y = f (x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程；⎬ 1 2 1 2⎧⎪1 ≤ x ≤ 2, （Ⅱ）当 x ∈[1, 2]时，若曲线 C : y = ⎪f (x ) 上的点 (x , y ) 都在不等式组 ⎨ ⎪x ≤ y , 所表示的⎪ y ≤ x + 3⎩ 2平面区域内，试求a 的取值范围．19．（本小题满分 14 分）x 2 在平面直角坐标系 x O y 中，点 P (x 0 , y 0 )( y 0 ≠ 0) 在椭圆 C : + y 2= 1上，过点P 的直线 l 的 2x x方程为 0 + y y = 1．2（Ⅰ）求椭圆 C 的离心率；（Ⅱ）若直线 l 与 x 轴、 y 轴分别相交于 A , B 两点，试求 ∆OAB 面积的最小值；（Ⅲ）设椭圆 C 的左、右焦点分别为 F 1 ， F 2 ，点 Q 与点 F 1 关于直线 l 对称，求证：点 Q , P , F 2三点共线．20．（本小题满分 13 分）⎧⎪ 已知集合 S = ⎨k 1 ≤ k ≤3n -1, k ∈ N * ⎫⎪ (n ≥ 2 ，且 n ∈ N * ) ．若存在非空集合 S , S , , S ⎩⎪ 2 ⎪⎭，使 得S = S 1 S 2 S n ，且S i S j = ∅ (1 ≤ i , j ≤ n , i ≠ j ) ，并∀x , y ∈ S i (i = 1, 2, , n ), x > y ，都有 x - y ∉ S i ，则称集合 S 具有性质 P ， S i （ i = 1, 2, , n ）称为集合 S 的 P 子集．（Ⅰ）当 n = 2 时，试说明集合 S 具有性质 P ，并写出相应的 P 子集 S , S ；（Ⅱ）若集合 S 具有性质 P ，集合 T 是集合 S 的一个 P 子集，设 T ' = {s + 3n| s ∈T } ，n3 6 6 3 2 求证： ∀x , y ∈T T '， x > y ，都有 x - y ∉T T ' ；（Ⅲ）求证：对任意正整数 n ≥ 2 ，集合 S 具有性质 P ．北京市朝阳区 2015-2016 学年度第二学期高三年级统一考试数学答案（理工类）2016．5一、选择题：（满分 40 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ABBCDADC二、填空题：（满分 30 分） 题 号 91011121314答 案y = ±3 x ， 433 ，166(-∞, -2] [0,1)-n 2 +19n - 60 , 52 2 +1（注：两空的填空，第一空 3 分，第二空 2 分） 三、解答题：（满分 80 分） 15．（本小题满分 13 分）解：(Ⅰ) 因为cos 2 A = 1- 2 s in 2A = - 1，且 30 < A < π ，所以 sin A =6 ．3因为 c =由正弦定理 , s in A = a=c sin C ，，得 a = ⋅ c = ⨯ = 3．…………………6 分 sin A sin C(Ⅱ) 由 sin A =6, 0 < A < π 得 cos A =3． 3 2 3由余弦定理 a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A ，得 b 2 - 2b -15 = 0 ．6EFO解得 b = 5 或 b = -3 （舍负）．所以 S∆ABC= 1 bc sin A =5 2． …………………13 分2 2解: （Ⅰ）由已知可得：上班的 40 个工作日中早高峰时段中度拥堵的频率为 0.25，据此估计此人 260 个工作日早高峰时段（早晨 7 点至 9 点）中度拥堵的天数为 260×0.25=65 天.……………………………………………………5 分（Ⅱ）由题意可知 X 的可能取值为 30, 35, 40, 50, 70 ．且 P ( X = 30) = 0.05 ； P ( X = 35) = 0.10 ； P ( X = 40) = 0.45 ；P ( X = 50) = 0.25 ； P ( X = 70) = 0.15 ；所以 EX = 30 ⨯ 0.05+35⨯ 0.1+40 ⨯ 0.45+50 ⨯ 0.25+70 ⨯ 0.15=46 ．…………………………………13 分17．（本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）如图 1，在等腰梯形 ABCD 中，AED由 BC //AD ， BC = 1AD = 2 ， ∠A = 60︒， E 为2AD 中点，所以 ∆ABE 为等边三角形．如图 2, BC图 1因为 O 为 BE 的中点，所以 A 1O ⊥ BE ．A 1又因为平面 A 1BE ⊥ 平面 BCDE ，且平面 A 1BE 平面 BCDE = BE ，D所以 A 1O ⊥ 平面 BCDE ，所以 A 1O ⊥ CE ．………4 分BC （Ⅱ）连结 OC ，由已知得 CB = CE ，又 O 为 BE 的中点，图 2所以 OC ⊥ BE ．由（Ⅰ）知 A 1O ⊥ 平面 BCDE ，z所以 A 1O ⊥ BE , A 1O ⊥ OC ， A 1所以 OA 1 , O B , O C 两两垂直．PEFOB Cxy3 3 3 33 - 3 - 3 2 ⨯ 53 5 1515以 O 为原点， OB , O C , O A 1 分别为 x , y , z 轴建立空间直角坐标系（如图）．因为 BC = 2 ，易知 OA 1 = OC = ．所以 A 1 (0，0，3), B (1，0，0), C (0，3，0), E (-1，0，0) ，所以 A 1B = (1，0，- ), A 1C = (0，3，- ), A 1E = (-1，0，- ) ．设平面 A 1CE 的一个法向量为 n = (x , y , z ) ，⎧⎪ n ⋅ A 1C = 0, 由 ⎪⎧ 3y - 得z = 0, ⎧⎪ y - z = 0, 即⎨ ⎨⎨⎪⎩n ⋅ A 1E = 0⎪⎩-x - z = 0. ⎪⎩x + z = 0.取 z = 1，得 n = (- ,1,1) ．设直线 A 1B 与平面 A 1CE 所成角为，则 sin = cos 〈 A 1B , n 〉 = = = ．5所以直线 A 1B 与平面 A 1CE 所成角的正弦值为． …………………9 分 5（Ⅲ）假设在侧棱 A 1C 上存在点 P ，使得 BP // 平面 A 1OF ．设 A 1P = A 1C ，∈[0,1]．因为 BP = BA 1 + A 1P = BA 1 + A 1C ，所以 BP = (-1，0，3) + (0，3，-) = (-1, 3, 3 - 3) ．易证四边形 BCDE 为菱形，且 CE ⊥ BD ， 又由（Ⅰ）可知， A 1O ⊥ CE ，所以 CE ⊥ 平面 A 1OF ．所以 CE = (-1, - , 0) 为平面 A 1OF 的一个法向量．由 BP ⋅ C E = (-1, 3, 3 -3) ⋅ (-1, - , 0) = 1- 3= 0 ，得= 1∈[0,1]． 3所以侧棱 A 1C 上存在点 P ，使得 BP // 平面 A 1OF ，且A 1P A 1C = 1 ． …………14 分318．（本小题满分 13 分）3 3 33 33⎨解：（Ⅰ）当 a = 3 时,f '(x ) = -x + 4 - 2xf (x ) = - 1 x 2+ 4x - 2 ln x ， x > 0 ． 2．则 f '(1) = -1+ 4 - 2 = 1 ，而 f (1) = - 1 + 4 = 7．2 2所以曲线 C 在点(1, f (1) )处的切线方程为 y - 7= x -1，即2x - 2 y + 5 = 0 ． 2…………………………………………………………………………4 分⎧⎪1 ≤ x ≤ 2, （Ⅱ）依题意当 x ∈[1, 2]时，曲线 C 上的点 ( x , y ) 都在不等式组 ⎪⎪x ≤ y , 所表示的平面区域内， ⎪ y ≤ x + 3等价于当1 ≤ x ≤ 2 时，x ≤⎩ 2 f (x ) ≤ x + 3恒成立． 2 设g (x ) = f (x ) - x = - 1x 2 + ax +（1- a ) ln x ， x ∈[1, 2]． 2所以 g '(x )=x +a+ 1a -x 2+ ax + (1- a )= = -(x -1)(x - (a -1)) ．x x x（1）当 a -1 ≤ 1，即 a ≤ 2 时，当 x ∈[1, 2]时， g '(x ) ≤ 0 ， g (x ) 为单调减函数，所以 g (2) ≤ g (x ) ≤ g (1) ． 依题意应有g (1) a13, 2 2g (2) 2 2a(1 a )ln2 0,a 2, 解得a 1.所以1 ≤ a ≤ 2 ．（2）若 1 < a -1 < 2 ，即 2 < a < 3 时，当 x ∈[1, a -1)， g '(x ) ≥ 0 ， g (x ) 为单调增函数，当 x ∈ (a -1, 2]， g '(x ) < 0 ， g (x ) 为单调减函数． 3 由于 g (1) > ，所以不合题意．2（3）当 a -1 ≥ 2 ，即 a ≥ 3 时，注意到 g (1) = a - 1 ≥ 5，显然不合题意．2 2综上所述，1 ≤ a ≤ 2 ．…………………………………………13 分19．（本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）依题意可知 a = ， c = = 1，2 2 -12 1 2 2 x 0 y 0 x 0 y 02 2 x 0 y 02 x 0 y 02 22222所以椭圆 C 离心率为 e = 12 =． …………… 3 分2（Ⅱ）因为直线 l 与 x 轴， y 轴分别相交于 A , B 两点，所以 x 0 ≠ 0, y 0 ≠ 0 ．令 y = 0 ，由x 0 x+ y y = 1得 x =2 2 ，则 A ( , 0) ．2x 0 x 0令 x = 0 ，由x 0 x+ y y = 1得 y = 1 ，则 B (0, 1) ． 2 y 0 y 0所以 ∆OAB 的面积 S∆OAB= 1 OA OB = = 1 ． 2x 2x 0 2因为点 P (x 0 , y 0 ) 在椭圆 C :+ y 2= 1上，所以 2 + y 0 = 1 ．x 2x y 1 所以1 = 0 + y 2≥ 2 0 0 ．即 x y ≤ ，则 ≥ ．2 0 0 0 2所以 S ∆OAB = 1OA OB = 1≥ ． 2 x 2 当且仅当 0 = y 2 ，即 x= ±1, y = ± 时，∆OAB 面积的最小值为 ． … 9 分20 0 02（Ⅲ）①当 x 0 = 0 时， P (0, ±1) ．当直线 l : y = 1时，易得 Q (-1, 2) ，此时 k F P = -1 ， k F Q = -1．22因为 k F Q = k F P，所以三点 Q , P , F 2 共线． 同理，当直线 l : y = -1时，三点 Q , P , F 2 共线．②当 x 0 ≠ 0 时，设点 Q (m , n ) ，因为点 Q 与点 F 1 关于直线 l 对称，⎧ x 0 ⋅ m -1 + y ⋅ n = 1, ⎪ 2 2 0 2 ⎪所以 ⎪ n 0 ⎧x 0m + 2 y 0n - x 0 - 4 = 0, 整理得 ⎨ - ⎪ 2 ⋅ (- ⎪ m -1 +1 x 0 2 y 0) = -1. ⎨ ⎩ 2 y 0m - x 0n + 2 y 0 = 0. ⎩⎪ 22⎨0 00 0 00 n ⎧ x 2 + 4x - 4 y 2⎪m = 0 0 0 , 解得 ⎪⎪ ⎪⎩4 y 2 + x 2 n = 4x 0 y 0 + 8 y 0 . 4 y 2 + x 2x 2 + 4x - 4 y 2 4x y + 8 y所以点 Q ( 0 00 , 0 0 0 ) ．4 y 2 + x 2 4 y 2 + x 2 0x 2 + 4x - 4 y 24x y + 8 y 0 0 0 0 0 0又因为 F 2 P = (x 0 -1, y 0 ) ， F 2Q = ( 4 y 2 + x 2 -1, 4 y 2 + x 2 ) ， 且( 0 0 0 -1) ⋅ y - 0 0 0 ⋅ (x -1) = y ⋅ 0 0 0 04x - 8 y 2 - (4x 2 + 4x - 8)= y 0 ⋅4 y 2 + x2-8 y 2 - 4x 2+ 8 = y ⋅0 0 = y -4(2 y 2 + x 2 ) + 8 ⋅ 0 0 = y ⋅ -4 ⨯ 2 + 8 = 0 ． 0 4 y 2 + x 2 0 4 y 2 + x 2 0 4 y 2 + x 2所以 F 2 P // F 2Q ．所以点 Q , P , F 2 三点共线．综上所述，点 Q , P , F 2 三点共线．…………………………………14 分20．（本小题满分 13 分）证明：（Ⅰ）当 n = 2 时， S = {1, 2, 3, 4} ，令 S 1 = {1, 4} ， S 2 = {2, 3},则 S = S 1 S 2 , 且对 ∀x , y ∈ S i (i = 1, 2), x > y ，都有 x - y ∉ S i ，所以 S 具有性质 P ．相应的 P 子集为 S 1 = {1, 4} ， S 2 = {2, 3}．………… 3 分（Ⅱ）①若 x , y ∈T (1 ≤ y < x ≤ 3n -1) ,由已知 x - y ∉T , 23n -1又 x - y ≤ -1 < 3n ,所以 x - y ∉T ' ．所以 x - y ∉T T' ． 23n -1②若 x , y ∈T ' ,可设 x = s + 3n, y = r + 3n， r , s ∈T ,且1 ≤ r < s ≤ ，2此时 x - y = (s + 3n) - (r + 3n) = s - r ≤ 3-1 -1 < 3n ．2x 2 + 4x - 4 y 2 4x y + 8 y (4x - 8 y 2) - (4x + 8)(x -1) 4 y 2 + x 20 0 0 4 y 2 + x 20 0 0 0 4 y 2 + x 2 0 0i i ) 所以 x - y ∉T '，且 x - y = s - r ∉T ．所以 x - y ∉T T ' ．③若 y ∈T , x = s + 3n∈T ' , s ∈T ，n n n则 x - y = (s + 3n) - y = (s - y ) + 3n≥ (1- 3 -1 + 3n = 3 + 3 > 3 -1 ,2 2 2所以 x - y ∉T ．又因为 y ∈T , s ∈T ，所以 s - y ∉T ．所以 x - y = (s + 3n) - y = (s - y ) + 3n∉T ' ．所以 x - y ∉T T ' ．综上，对于 ∀x , y ∈T T ' ， x > y ，都有 x - y ∉T T ' ． …………… 8 分（Ⅲ）用数学归纳法证明．（1）由（Ⅰ）可知当 n = 2 时，命题成立，即集合 S 具有性质 P ．3k -1（2）假设 n = k ( k ≥ 2 )时，命题成立．即 S = {1, 2, 3, , } = S 1 S 2 S k ，2且 S i S j = ∅ (1 ≤ i , j ≤ n , i ≠ j ) ， ∀x , y ∈ S i (i = 1, 2, , k ), x > y ，都有 x - y ∉ S i ．那么 当 n = k +1 时，记 S ' = {s + 3k| s ∈ S } ,，并构造如下 k + 1个集合： S 1'' = S 1 S 1' , S 2'' = S 2 S 2' , , S k'' = S k S k ' ，3k -1 3k -1 3k -1S k ''+1 = { 2 +1, 2 + 2, , 2 ⨯ 2+1} ，显然 S i '' S 'j ' = ∅ (i ≠ j) ．3k +1 -1 3k -1 3k +1 -1 又因为 = 3⨯ +1，所以 S 1'' S 2'' S k '' S k ''+1 = {1, 2, 3, , } ．2 2 2下面证明 S '' 中任意两个元素之差不等于 S '' 中的任一元素 (i = 1, 2, , k +1) ．ii3k -1 3k -1 3k -1①若两个元素 2 + r , 2 + s ∈ S k''+1 ,1 ≤ r < s ≤ +1 , 2kkk则 (3 -1 + s ) - (3 -1 + r ) = s - r ≤ 3 -1,2 2 23k -1 3k -1所以 ( 2 + s ) - ( 2+ r ) ∉ S k ''+1 ．②若两个元素都属于S i'' = S i S i' (1 ≤ i ≤ k ),由（Ⅱ）可知，S i'' 中任意两个元素之差不等于S i'' 中的任一数(i = 1, 2, , k +1) ．从而，n = k +1 时命题成立．综上所述，对任意正整数n ≥ 2 ，集合S 具有性质P ．………………………13分。