2018届高考数学知识点复习滚动检测3(训练目标)

滚动训练(三)一、选择题1．下列说法错误的是( )A ．对分类变量X 与Y ，随机变量K 2的观测值k 越大，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小B ．在线性回归方程y ^＝0.2x ＋0.8中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量y ^平均增加0.2个单位C ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1D ．回归直线过样本点的中心(x ，y )考点 残差分析与相关指数题点 残差及相关指数的概念答案 A解析 对于选项A ，对分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越大，“X 与Y 有关系”的可信程度越大，因此不正确；对于选项B ，在线性回归方程y ^＝0.2x ＋0.8中，当x 每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位，正确；对于选项C ，两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1，正确； 对于选项D ，回归直线过样本点的中心(x ，y )，正确．综上可知：只有A 不正确．故选A.2．已知复数z ＝(a 2－4)＋(a ＋2)i(a ∈R )，则“a ＝2”是“z 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件考点 复数的概念题点 复数的概念及分类答案 D 解析 复数z ＝(a 2－4)＋(a ＋2)i(a ∈R )为纯虚数等价于⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4＝0，a ＋2≠0，解得a ＝2，故“a ＝2”是“z为纯虚数”的充要条件，故选D.3．已知复数f(n)＝i n(n∈N*)，则集合{z|z＝f(n)}中元素的个数是()A．4 B．3 C．2 D．无数考点虚数单位i及其性质题点虚数单位i的运算性质答案 A解析结合虚数单位i的性质，得i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，则集合{z|z＝f(n)}中含有4个元素，故选A.4．设(1＋i)x＝1＋y i，其中x，y是实数，则x＋y的值为()A．1 B. 2 C. 3 D．2考点复数相等题点复数相等的条件答案 D解析依据复数相等的条件，得x＝y＝1，故x＋y＝2，故选D.5．以－5＋2i的虚部为实部，以5i＋2i2的实部为虚部的新复数是()A．2－2i B．－5＋5iC．2＋i D.5＋5i考点复数相等题点复数相等的条件答案 A解析设所求新复数z＝a＋b i(a，b∈R)，由题意知，复数－5＋2i的虚部为2；复数5i＋2i2＝5i＋2×(－1)＝－2＋5i的实部为－2，则所求的z＝2－2i.故选A.6．设复数z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论中正确的是()A．复数z对应的点在第一象限B．复数z一定不是纯虚数C．复数z对应的点在实轴上方D．复数z一定是实数考点复数的概念题点复数的概念及分类答案 C解析∵2t2＋5t－3＝0的Δ＝25＋24＝49>0，∴方程有两根，2t2＋5t－3的值可正可负可为零，∴A ，B 不正确．又∵t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1>0，∴D 不正确，∴C 正确．7．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－1或1考点 复数的概念题点 复数的概念及分类答案 A 解析 由复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，解得x ＝－1. 8．已知首项为正数的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1 008和a 1 009是方程x 2－2 017x －2 018＝0的两根，则使S n >0成立的正整数n 的最大值是( )A ．1 008B ．1 009C ．2 016D ．2 017 考点 合情推理与演绎推理题点 合情推理与演绎推理答案 C解析 依题意知a 1 008＋a 1 009＝2 017>0，a 1 008a 1 009＝－2 018<0，∵数列的首项为正数，∴a 1 008>0，a 1 009<0，∴S 2 016＝(a 1＋a 2 016)×2 0162＝(a 1 008＋a 1 009)×2 0162>0， S 2 017＝(a 1＋a 2 017)×2 0172＝a 1 009×2 017<0， ∴使S n >0成立的正整数n 的最大值是2 016，故选C.二、填空题9．复数z ＋ilog 3 12对应的点位于复平面内的第________象限． 考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系答案 三解析 ，log 312<0，∴z ＋ilog 3 12对应的点位于复平面内的第三象限． 10．设 z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i ，且z 1＝z 2，则实数m ＝_____，n ＝______. 考点 复数相等题点 复数相等的条件答案 2 ±2解析 由z 1＝z 2得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝n 2－3m －1，－4＝n 2－m －6， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝±2. 11．给出下列命题：①若x 是实数，则x 可能不是复数；②若z 是虚数，则z 不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；④－1没有平方根．则其中正确命题的个数为________．考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数答案 1解析 因为实数是复数，故①错；②正确；因为复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；因为－1的平方根为±i ，故④错．故答案为1.三、解答题12．设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i(1)当m 为何值时，z 是实数；(2)当m 为何值时，z 是纯虚数．考点 复数的概念题点 复数的概念及分类解 (1)要使复数z 为实数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2>0，m 2＋3m ＋2＝0，解得m ＝－2或－1. 即当m ＝－2或－1时，z 是实数． (2)使复数z 为纯虚数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －2＝1，m 2＋3m ＋2≠0，解得m ＝3. 即当m ＝3时，z 是纯虚数．13．已知数列{a n }，其前n 项和S n ＝－3n 2，{b n }为单调递增的等比数列，b 1b 2b 3＝512，a 1＋b 1＝a 3＋b 3.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若c n ＝b n (b n －2)(b n －1)，数列{c n }的前n 项和为T n ，求证：23≤T n <1. 考点 综合法及应用题点 利用综合法解决数列问题(1)解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－3n 2－[－3(n －1)2]＝－6n ＋3，当n ＝1时，也满足a n ＝－6n ＋3，∴a n ＝－6n ＋3，∵数列{b n }为等比数列，∴b 1b 3＝b 22，设{b n }的公比为q ，∴b 1b 2b 3＝b 32＝512，∴b 2＝8，又∵a 1＋b 1＝a 3＋b 3 ，∴－3＋8q ＝－15＋8q ，∴q ＝2或q ＝－12(舍去)， ∴b n ＝b 2q n －2＝2n ＋1.(2)证明 由(1)可得，c n ＝2n ＋1(2n ＋1－2)(2n ＋1－1)＝2n (2n －1)(2n ＋1－1)＝12n －1－12n ＋1－1， ∴T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－122－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1－123－1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1－1＝1－12n ＋1－1<1， 显然数列{T n }是递增数列，∴T n ≥T 1＝23，即23≤T n <1. 四、探究与拓展14．若sin 2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( )A ．2k π－π4(k ∈Z ) B ．2k π＋π4(k ∈Z ) C ．2k π±π4(k ∈Z ) D.k 2π＋π4(k ∈Z ) 考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数答案 B 解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧sin 2θ－1＝0，2cos θ＋1≠0， 解得⎩⎨⎧ θ＝k π＋π4，θ≠2k π±3π4(k ∈Z )，∴θ＝2k π＋π4，k ∈Z . 15．设z ∈C ，在复平面内对应点Z ，试说明满足下列条件的点Z 的集合是什么图形．(1)|z |＝2；(2)1≤|z |≤2.考点 复数的几何意义的综合应用题点 利用几何意义解决轨迹图形问题解 (1)方法一 |z |＝2说明复数z 在复平面内对应的点Z 到原点的距离为2，这样的点Z 的集合是以原点O 为圆心，2为半径的圆．方法二 设z ＝a ＋b i ，由|z |＝2，得a 2＋b 2＝4.故点Z 对应的集合是以原点O 为圆心，2为半径的圆．(2)不等式1≤|z |≤2可以转化为不等式组⎩⎨⎧ |z |≤2，|z |≥1.不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2及该圆内部所有点的集合．不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1及该圆外部所有点的集合．这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z |≤2的点的集合．如图中的阴影部分，所求点的集合是以O 为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界．。

训练目标 (1)理解椭圆的定义，能利用定义求方程；(2)会依据椭圆标准方程用待定系数法求椭圆方程.训练题型 (1)求椭圆的标准方程；(2)椭圆定义的应用；(3)求参数值. 解题策略(1)定义法求方程；(2)待定系数法求方程；(3)根据椭圆定义及a 、b 、c 之间的关系列方程求参数值.一、选择题1．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|等于( ) A.32 B. 3 C.72D ．42．(2015·厦门上学期期末)椭圆E ：x 2a 2＋y 23＝1(a >0)的右焦点为F ，直线y ＝x ＋m 与椭圆E 交于A ，B 两点，若△F AB 周长的最大值为8，则m 的值等于( ) A ．0 B ．1 C. 3 D ．23．(2015·四川石室中学“一诊”)点F 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点，若椭圆上存在点A ，使得△AOF 为正三角形，那么椭圆的离心率为( ) A.22 B.32 C.3－12D.3－14．(2015·三明模拟)设F 1，F 2是椭圆x 249＋y224＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，则△PF 1F 2的面积为( ) A ．30 B ．25 C ．24D ．405．(2016·杭州月考)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋2bx ＋c ＝0的两个实数根分别是x 1，x 2，则点P (x 1，x 2)到原点的距离为 ( ) A. 2 B.72 C ．2D.746．一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的方程为( ) A.x 28＋y 26＝1 B.x 216＋y 26＝1 C.x 28＋y 24＝1D.x 216＋y 24＝17．我们把离心率为黄金比5－12的椭圆称为“优美椭圆”．设F 1，F 2是“优美椭圆”C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，则椭圆C 上满足∠F 1PF 2＝90°的点P 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．38．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A.x 264－y 248＝1 B.x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1二、填空题9．(2015·上海市十三校联考)若椭圆的方程为x 210－a ＋y 2a －2＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a ＝________.10．(2015·合肥一模)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点(1，12)作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是________________．11．设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左，右焦点，若P 是第一象限内该椭圆上的一点，且PF 1→·PF 2→＝－54，则点P 的坐标为________． 12．已知中心在原点，焦点坐标为 (0，±52)的椭圆被直线3x －y －2＝0截得的弦的中点的横坐标为12，则该椭圆的方程为________________．答案解析1．C [不妨设F 1的坐标为(3，0)，P 点坐标为(x 0，y 0)， ∵PF 1与x 轴垂直，∴x 0＝ 3.把x 0＝3代入椭圆方程x 24＋y 2＝1，得y 20＝14， ∴|PF 1|＝12，∴|PF 2|＝4－|PF 1|＝72.] 2．B [设椭圆的左焦点为F ′，则△F AB 的周长为AF ＋BF ＋AB ≤AF ＋BF ＋AF ′＋BF ′＝4a ＝8， 所以a ＝2，当直线AB 过焦点F ′(－1,0)时， △F AB 的周长取得最大值， 所以0＝－1＋m ， 所以m ＝1，故选B.]3．D [由题意，可设椭圆的焦点F 的坐标为(c,0)， 因为△AOF 为正三角形，则点(c 2，32c )在椭圆上， 代入得c 24a 2＋3c 24b 2＝1，即e 2＋3e 21－e2＝4，得e 2＝4－23， 因为e ∈(0,1)，解得e ＝3－1. 故选D.]4．C [∵|PF 1|＋|PF 2|＝14， 又|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3， ∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6， ∵|F 1F 2|＝10，∴PF 1⊥PF 2. ∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×8×6＝24.]5．A [由e ＝c a ＝12，得a ＝2c ， 所以b ＝a 2－c 2＝3c ，则方程ax 2＋2bx ＋c ＝0为2x 2＋23x ＋1＝0， 所以x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝12， 则点P (x 1，x 2)到原点的距离为d ＝x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝3－1＝2，故选A.]6．A [设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由点P (2，3)在椭圆上知4a 2＋3b 2＝1. 又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列， 则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|， 即2a ＝2×2c ，c a ＝12， 又c 2＝a 2－b 2，联立得a 2＝8，b 2＝6，故选A.] 7．A [设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2a ，4c 2＝m 2＋n 2，mn ＝2a 2－2c 2. 而5－12＝c a ，所以mn ＝2a 2－2(5－12a )2＝(5－1)a 2， 与m ＋n ＝2a 联立无实数解．] 8．D [设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16>8＝|C 1C 2|， 所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆， 且 2a ＝16,2c ＝8，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.] 9．4或8解析 ①当焦点在x 轴上时，10－a －(a －2)＝22， 解得a ＝4.②当焦点在y 轴上时，a －2－(10－a )＝22， 解得a ＝8. 10.x 25＋y 24＝1解析 由题意可设斜率存在的切线的方程为 y －12＝k (x －1)(k 为切线的斜率)， 即2kx －2y －2k ＋1＝0， 由|－2k ＋1|4k 2＋4＝1，解得k ＝－34， 所以圆x 2＋y 2＝1的一条切线方程为3x ＋4y －5＝0， 求得切点A (35，45)，易知另一切点B (1,0)， 则直线AB 的方程为y ＝－2x ＋2. 令y ＝0得右焦点为(1,0)，即c ＝1， 令x ＝0得上顶点为(0,2)，即b ＝2， 所以a 2＝b 2＋c 2＝5，故所求椭圆的方程为x 25＋y 24＝1. 11．(1，32)解析 设P (x ，y )(x >0，y >0)，F 1(－3，0)，F 2(3，0)．则⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，(x ＋3)(x －3)＋y 2＝－54，x >0，y >0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝32，即P (1，32)．12.y 275＋x 225＝1解析 根据题意可设椭圆的方程为 y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)， 联立直线与椭圆方程可得， (9b 2＋a 2)x 2－12b 2x ＋4b 2－a 2b 2＝0， 则可得弦的中点的横坐标为6b 29b 2＋a 2，即6b 29b 2＋a 2＝12， 又a 2－b 2＝50，解得a 2＝75，b 2＝25， 所以椭圆的方程为y 275＋x 225＝1.。

解答题专项训练三1.[2017·常德模拟]已知数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为2的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(－1)na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)由已知条件可得S nn＝1＋(n －1)×2＝2n －1， ∴S n ＝2n 2－n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－n －[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，而4×1－3＝1，∴a n ＝4n －3.(2)由(1)可得b n ＝(－1)n a n ＝(－1)n(4n －3)，当n 为偶数时，T n ＝－1＋5－9＋13－17＋…＋(4n －3)＝4×n2＝2n ，当n 为奇数时，n＋1为偶数，T n ＝T n ＋1－b n ＋1＝2(n ＋1)－(4n ＋1)＝－2n ＋1.综上，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n n ＝2k ，k ∈N *，－2n ＋n ＝2k －1，k ∈N *2．[2017·太原模拟]已知等差数列{a n }的公差不为零，其前n 项和为S n ，a 22＝S 3，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)记T n ＝a 1＋a 5＋a 9＋…＋a 4n －3，求T n .解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由a 22＝S 3，得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3. 由S 1，S 2，S 4成等比数列，得S 22＝S 1S 4. 又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d . 故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )．若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，解得d ＝0，不符合题意．若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )，解得d ＝2或d ＝0(不符合题意，舍去)． 因此数列{a n }的通项公式为a n ＝a 2＋(n －2)d ＝2n －1. (2)由(1)知a 4n －3＝8n －7，故数列{a 4n －3}是首项为1，公差为8的等差数列． 从而T n ＝n 2(a 1＋a 4n －3)＝n2(8n －6)＝4n 2－3n .3．[2017·海口调研]设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝2，对任意n ∈N *，都有2S n＝(n ＋1)a n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫4a na n ＋的前n 项和为T n ，求证：12≤T n <1.解 (1)因为2S n ＝(n ＋1)a n ，当n ≥2时，2S n －1＝na n －1，两式相减，得2a n ＝(n ＋1)a n －na n －1， 即(n －1)a n ＝na n －1，所以当n ≥2时，a n n ＝a n －1n －1，a n n ＝a 11.因为a 1＝2，所以a n ＝2n .(2)证明：因为a n ＝2n ，令b n ＝4a na n ＋，n ∈N *，所以b n ＝42n n ＋＝1nn ＋＝1n －1n ＋1. 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1.因为1n ＋1>0，所以1－1n ＋1<1. 因为f (n )＝1n ＋1在N *上是递减函数， 所以1－1n ＋1在N *上是递增的， 当n ＝1时，T n 取最小值12，所以12≤T n <1.4．[2017·乌鲁木齐模拟]设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意的正整数n ，都有S n ＝2a n＋n －3成立．(1)求证：数列{a n －1}为等比数列； (2)求数列{na n }的前n 项和T n .解 (1)证明：当n ＝1时，S 1＝2a 1＋1－3，得a 1＝2， 由S n ＝2a n ＋n －3，得S n ＋1＝2a n ＋1＋n ＋1－3， 两式相减得a n ＋1＝2a n ＋1－2a n ＋1， 即a n ＋1＝2a n －1，a n ＋1－1a n －1＝2a n －2a n －1＝2，而a 1－1＝1， ∴数列{a n －1}是首项为1，公比为2的等比数列． (2)由(1)得a n －1＝1·2n －1＝2n －1，即a n ＝2n －1＋1，na n ＝n (2n －1＋1)＝n ·2n －1＋n ，∴T n ＝(1×20＋1)＋(2×21＋2)＋(3×22＋3)＋…＋(n ·2n －1＋n )＝(1×20＋2×21＋3×22＋…＋n ·2n －1)＋(1＋2＋3＋…＋n )＝(1×20＋2×21＋3×22＋…＋n ·2n －1)＋n n ＋2.令V n ＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n ·2n －1，则2V n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n， 两式相减得－V n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝－2n1－2－n ·2n ＝2n －1－n ·2n，∴V n ＝n ·2n－2n＋1＝(n －1)2n＋1，∴T n ＝(n －1)2n＋n n ＋2＋1.5．[2017·辽宁模拟]设函数f (x )＝x2＋sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x n }．(1)求数列{x n }的通项公式；(2)令b n ＝x n 2π，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n ·b n ＋1的前n 项和为S n ，求证S n <32. 解 (1)f (x )＝x 2＋sin x ，令f ′(x )＝12＋cos x ＝0，得x ＝2k π±2π3(k ∈Z )．由f ′(x )>0⇒2k π－2π3<x <2k π＋2π3(k ∈Z )，由f ′(x )<0⇒2k π＋2π3<x <2k π＋4π3(k ∈Z )，当x ＝2k π－2π3(k ∈Z )时，f (x )取得极小值，∴x n ＝2n π－2π3(n ∈N *)．(2)证明：∵b n ＝x n 2π＝n －13＝3n －13，∴1b n ·b n ＋1＝33n －1·33n ＋2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋2， ∴S n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12－15＋15－18＋…＋13n －1－13n ＋2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13n ＋2＝32－33n ＋2， ∴S n <32.6．[2017·甘肃诊断]某乡镇引进一高科技企业，投入资金720万元建设基本设施，第一年各种运营费用120万元，以后每年增加40万元．每年企业销售收入500万元，设f (n )表示前n 年的纯收入(f (n )＝前n 年的总收入－前n 年的总支出－投资额)．(1)从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后，该企业为开发新产品，有两种处理方案： ①年平均利润最大时，以480万元出售该企业；②纯利润最大时，以160万元出售该企业．问哪种方案最合算？解 由题意知每年的运营费用(万元)是以120为首项，40为公差的等差数列． 则f (n )＝500n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤120n ＋n n －2×40－720＝－20n 2＋400n －720.(1)获取纯利润就是f (n )>0，故有－20n 2＋400n －720>0，解得2<n <18. 又n ∈N *，可知从第三年开始获取纯利润．(2)①年平均利润f n n ＝400－20⎝⎛⎭⎪⎫n ＋36n ≤160，当且仅当n ＝6时取等号．故此方案获利6×160＋480＝1440(万元)，此时n ＝6. ②f (n )＝－20n 2＋400n －720＝－20(n －10)2＋1280， 当n ＝10时，f (n )max ＝1280.故此方案共获利1280＋160＝1440(万元)．比较两种方案，在同等数额获利的基础上，第①种方案只需6年，第②种方案需要10年，故选择第①种方案．7．[2017·合肥模拟]已知递增的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 6＝64，且a 4，a 5的等差中项为3a 3.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝na 2n －1，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 5＝64，a 1q 3＋a 1q 4＝6a 1q 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2或q ＝－舍，所以a n ＝2n. (2)因为b n ＝na 2n －1＝n22n －1，所以T n ＝12＋223＋325＋427＋…＋n22n －1，14T n ＝123＋225＋327＋…＋n －122n －1＋n22n ＋1， 所以34T n ＝12＋123＋125＋127＋…＋122n －1－n 22n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14－n 22n ＋1＝23－4＋3n 3×22n ＋1，故T n ＝89－16＋12n 9×22n ＋1＝89－4＋3n 9×22n －1.8．[2017·昆明检测]已知数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＋1＝n ＋1na n ＋2n ＋2. (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)证明：1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n<1.证明 (1)由a n ＋1＝n ＋1n a n ＋2n ＋2，得a n ＋1n ＋1＝a nn＋2， 即a n ＋1n ＋1－a nn＝2， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为3，公差为2的等差数列．(2)由(1)知，a n n＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1， ∴a n ＝n (2n ＋1)， ∴1a n ＝1nn ＋<1nn ＋＝1n －1n ＋1， ∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n <⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝11－1n ＋1<1， ∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n<1.。

1．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导函数． (1)求函数F (x )＝f (x )f ′(x )＋(f (x ))2的最大值和最小正周期； (2)若f (x )＝2f ′(x )，求1＋sin 2xcos 2x －sin x cos x 的值．2．已知函数f (x )＝ax －e x (a >0)． (1)若a ＝12，求函数f (x )的单调区间； (2)当1≤a ≤1＋e 时，求证：f (x )≤x .3．已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，a ∈R ， (1)求f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝x 2－2x ＋1，若对任意x 1∈(0，＋∞)，总存在x 2∈[0,1]，使得f (x 1)<g (x 2)，求实数a 的取值范围．4．(2015·陕西)设f n (x )＝x ＋x 2＋…＋x n －1，x ≥0，n ∈N ，n ≥2. (1)求f n ′(2)；(2)证明：f n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23内有且仅有一个零点(记为a n )，且0＜a n －12＜13⎝ ⎛⎭⎪⎫23n .5．(2015·北京西城区期末)对于函数f (x )，g (x )，如果它们的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，则称函数f (x )和g (x )在点P 处相切，称点P 为这两个函数的切点．设函数f (x )＝ax 2－bx (a ≠0)，g (x )＝ln x .(1)当a ＝－1，b ＝0时，判断函数f (x )和g (x )是否相切，并说明理由； (2)已知a ＝b ，a >0，且函数f (x )和g (x )相切，求切点P 的坐标；(3)设a >0，点P 的坐标为(1e ，－1)，问是否存在符合条件的函数f (x )和g (x )，使得它们在点P 处相切？若点P 的坐标为(e 2,2)呢？(结论不要求证明)答案解析1．解 (1)已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ， 则f ′(x )＝cos x －sin x ， 代入F (x )＝f (x )f ′(x )＋(f (x ))2，可得F (x )＝cos 2x ＋sin 2x ＋1＝2sin(2x ＋π4)＋1， 当2x ＋π4＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时， F (x )max ＝2＋1，其最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由f (x )＝2f ′(x )，易得sin x ＋cos x ＝2cos x －2sin x ，解得tan x ＝13. ∴1＋sin 2x cos 2x －sin x cos x ＝2sin 2x ＋cos 2x cos 2x －sin x cos x ＝2tan 2x ＋11－tan x ＝116. 2．(1)解 当a ＝12时，f (x )＝12x －e x . f ′(x )＝12－e x ，令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 2. 当x <－ln 2时，f ′(x )>0； 当x >－ln 2时，f ′(x )<0，∴函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－ln 2)；单调递减区间为(－ln 2，＋∞)． (2)证明 令F (x )＝x －f (x )＝e x －(a －1)x ， ①当a ＝1时，F (x )＝e x >0， ∴f (x )≤x 成立．②当1<a ≤1＋e 时，F ′(x )＝e x －(a －1)＝e x －e ln(a －1)，∴当x <ln(a －1)时，F ′(x )<0； 当x >ln(a －1)时，F ′(x )>0，∴F (x )在(－∞，ln(a －1))上单调递减，在(ln(a －1)，＋∞)上单调递增， ∴F (x )≥F (ln(a －1))＝e ln(a －1)－(a －1)·ln(a －1)＝(a －1)[1－ln(a －1)]， ∵1<a ≤1＋e ，∴a －1>0,1－ln(a －1)≥1－ln [(1＋e)－1]＝0，∴F (x )≥0，即f (x )≤x 成立． 综上，当1≤a ≤1＋e 时，f (x )≤x . 3．解 (1)f ′(x )＝a ＋1x ＝ax ＋1x (x >0)．①当a ≥0时，由于x >0，故ax ＋1>0，f ′(x )>0， 所以f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)． ②当a <0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－1a ，在区间(0，－1a )上，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 在区间(－1a ，＋∞)上，f ′(x )<0，f (x )单调递减．综上所述，当a ≥0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a <0时，f (x )的单调递增区间为(0，－1a )，f (x )的单调递减区间为(－1a ，＋∞)． (2)由已知，转化为f (x )max <g (x )max ， 又g (x )max ＝g (0)＝1.由(1)知，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，值域为R ，故不符合题意． 当a <0时，f (x )在(0，－1a )上单调递增，在(－1a ，＋∞)上单调递减， 故f (x )的极大值即为最大值，即f (x )max ＝f (－1a )＝－1＋ln(－1a )＝－1－ln(－a )， 所以1>－1－ln(－a )，解得a <－1e 2. 故实数a 的取值范围是(－∞，－1e 2)．4．(1)解 方法一 由题设f n ′(x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1， 所以f n ′(2)＝1＋2×2＋…＋(n －1)2n －2＋n ·2n －1，① 则2f n ′(2)＝2＋2×22＋…＋(n －1)2n －1＋n ·2n ，② ①－②得，－f n ′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝1＋2－2n1－2－n ·2n ＝(1－n )2n －1，所以f n ′(2)＝(n －1)2n ＋1.方法二 当x ≠1时，f n (x )＝x －x n ＋11－x －1，则f n ′(x )＝[1－(n ＋1)x n ](1－x )＋(x －x n ＋1)(1－x )2，可得f n ′(2)＝－[1－(n ＋1)2n ]＋2－2n ＋1(1－2)2＝(n －1)2n ＋1.(2)证明 因为f n (0)＝－1＜0， f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 1－23－1＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n≥1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＞0，所以f n (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，23内至少存在一个零点，又f ′n (x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1＞0， 所以f n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23内单调递增，因此f n (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，23内有且仅有一个零点a n ， 由于f n (x )＝x －x n ＋11－x－1，所以0＝f n (a n )＝a n －a n ＋1n1－a n－1，由此可得a n ＝12＋12a n ＋1n ＞12， 故12＜a n ＜23，所以0＜a n －12＝12a n ＋1n ＜12×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫23n. 5．解 (1)结论：当a ＝－1，b ＝0时，函数f (x )和g (x )不相切． 理由如下：由条件知f (x )＝－x 2，g (x )＝ln x ，得x >0. 又因为f ′(x )＝－2x ，g ′(x )＝1x ，所以当x >0时，f ′(x )＝－2x <0，g ′(x )＝1x >0， 所以对于任意的x ，f ′(x )≠g ′(x )．所以当a ＝－1，b ＝0时，函数f (x )和g (x )不相切． (2)若a ＝b ，则f ′(x )＝2ax －a ，g ′(x )＝1x . 设切点坐标为(s ，t )，其中s >0. 由题意，得as 2－as ＝ln s ，① 2as －a ＝1s .②由②，得a ＝1s (2s －1)，代入①，得s －12s －1＝ln s ．③因为a ＝1s (2s －1)>0，且s >0，所以s >12.设函数F (x )＝x －12x －1－ln x ，x ∈(12，＋∞)，则F ′(x )＝－(4x －1)(x －1)x (2x －1)2. 令F ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝14(舍)．当x 变化时，F ′(x )与F (x )的变化情况如下表所示.所以当x ＝1时，F (x )取到最大值F (1)＝0，且当x ∈(12，1)∪(1，＋∞)时，F (x )<0. 因此，当且仅当x ＝1时F (x )＝0. 所以方程③有且仅有一解s ＝1. 于是t ＝ln s ＝0，因此切点P 的坐标为(1,0)．(3)当点P 的坐标为(1e ，－1)时，存在符合条件的函数f (x )和g (x )，使得它们在点P 处相切；当点P 的坐标为(e 2,2)时，不存在符合条件的函数f (x )和g (x )，使得它们在点P 处相切．。

阶段滚动练3(对应1～8练)(建议时间：90分钟)一、选择题1.(2017·北京)若集合A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{x |x <－1或x >3}，则A ∩B 等于( ) A.{x |－2<x <－1} B.{x |－2<x <3} C.{x |－1<x <1} D.{x |1<x <3}答案 A解析 ∵A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{x |x <－1或x >3}， ∴A ∩B ＝{x |－2<x <－1}.故选A.2.已知a ＋i i ＝1＋b i ，其中a ，b 是实数， i 是虚数单位，则a ＋b 等于( )A.0B.1C.2D.－1 答案 A解析 由复数的运算法则有a ＋i ＝i(1＋b i)＝－b ＋i ⇒a ＝－b ，则a ＋b ＝0.3.函数f (x )＝x ＋1x (x ≠0)，命题p ：∀x >0，f (x )≥2，命题q ：∃x 0＜0，f (x 0)≤－2，则下列判断正确的是( ) A.p 是假命题 B.綈q 是真命题 C.p ∨(綈q )是真命题 D.(綈p )∧q 是真命题 答案 C解析 由基本不等式可得，命题p ，q 均为真命题，那么綈p ，綈q 均为假命题，因此综合分析，只有C 中p ∨(綈q )是真命题正确，故选C.4.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎨⎧log 3()x ＋1，x ≥0，g (x )，x ＜0，则g (－8)等于( )A.－2B.－3C.2D.3 答案 A解析 由分段函数的解析式可知，g (－8)＝f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2. 5.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x －y 的最大值是( )A.－2B.2C.－6D.6 答案 D解析 将z ＝2x －y 化为y ＝2x －z ，作出可行域和目标函数基准直线y ＝2x ，当直线y ＝2x －z向左上方平移时，直线y ＝2x －z 在y 轴上的截距－z 增大，即z 减小，由图象，得当直线y ＝2x －z 过点A (3，0)时， z 取得最大值2×3＝6，故选D.6.(2017·北京)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN 最接近的是( )(参考数据：lg 3≈0.48) A.1033 B.1053 C.1073 D.1093 答案 D解析 由题意知，lg M N ≈lg 33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28.又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93， 所以与MN 最接近的是1093.故选D.7.设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则t ＝x ＋y 的最小值是( )A.13B.2C.3D.43 答案 C解析 当直线x ＋y ＝t 过点(1，2)时，t 最小，故选C.8.已知A (－3，0)，B (0，3)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝60°，设OC →＝λOA →＋OB →，则实数λ等于( ) A.33 B.3 C.13D.3 答案 C解析 设||OC →＝2，则||OA →＝3，||OB →＝3， 所以OC →＝13OA →＋OB →，即λ＝13.9.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A.(－2，1)B.(－1，2)C.(－∞，－1)∪(2，＋∞)D.(－∞，－2)∪(1，＋∞) 答案 A解析 当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，所以当x ≥0时，f (x )单调递增，f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (x )在R 上单调递增.由f (2－a 2)>f (a )，得2－a 2>a ，即a 2＋a －2＜0，解得－2＜a ＜1. 10.已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数，则( ) A.f (－25)＜f (11)＜f (80) B.f (80)＜f (11)＜f (－25) C.f (11)＜f (80)＜f (－25) D.f (－25)＜f (80)＜f (11) 答案 D解析 因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数， 则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)，又因为f (x )在R 上是奇函数，得f (0)＝0，f (80)＝f (0)＝0，f (－25)＝f (－1)＝－f (1)，而由f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－3)＝－f (1－4)＝f (1)，又因为f (x )在区间[0，2]上是增函数，所以f (1)＞f (0)＝0，所以，f (11)＞0，即f (－25)＜f (80)＜f (11)，故选D.11.在平面直角坐标系xOy 中，点A (5，0).对于某个正实数k ，存在函数f (x )＝ax 2(a >0)，使得OP →＝λ·⎝ ⎛⎭⎪⎫OA →|OA →|＋OQ →|OQ →|(λ为常数)，这里点P ，Q 的坐标分别为P (1，f (1))，Q (k ，f (k ))，则k 的取值范围为( ) A.(2，＋∞) B.(3，＋∞) C.[4，＋∞) D.[8，＋∞)答案 A解析 OP →＝(1，a )，λ·⎝ ⎛⎭⎪⎫OA →|OA →|＋OQ →|OQ →|＝λ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋k |OQ →|，ak 2|OQ →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋λk |OQ →|，λak 2|OQ →|，由OP →＝λ·⎝ ⎛⎭⎪⎫OA →|OA →|＋OQ →|OQ →|得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋λk|OQ →|＝1，λak 2|OQ →|＝a ，消元得k －2＝a 2k ，因为k 是正实数，所以k －2>0，则k >2.12.f (x )＝a ln x ＋x 2－b (x －1)－1，若对∀x ∈⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞， f (x )≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.a ≤e ＋1e －2B.a ＜2C.2e ≤a ＜2 D.a ≤2e答案 A解析 因为f (1)＝0，由题意可知f (1)为极小值， 故f ′(1)＝0，求导有f ′(x )＝ax ＋2x －b ，∴f ′(1)＝a ＋2－b ＝0，b ＝a ＋2. 则 f ′(x )＝ax ＋2x －(a ＋2)＝(x －1)(2x －a )x.①当a 2≤1e 时，f (x )在⎝⎛⎭⎫1e ，1上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，满足题意； ②当1e ＜a2＜1时， f (x )在⎝⎛⎭⎫1e ，a 2，(1，＋∞)上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎫a 2，1上单调递减， 只需f ⎝⎛⎭⎫1e ≥0，解得 a ≤e ＋1e －2， ∴2e ＜a ≤e ＋1e－2； ③当a2＝1时， f ′(x )＝2(x －1)2x ≥0，f (x )在定义域内单调递增，而f (1)＝0，存在x 0∈⎣⎡⎦⎤1e ，1满足f (x 0)＜0；④当a2>1时， f (x )在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，⎝⎛⎭⎫a 2，＋∞上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎫1，a 2上单调递减，不合题意.综上可得实数a 的取值范围是a ≤e ＋1e －2.二、填空题13.已知向量a ＝(λ，1)，b ＝(λ＋2，1)，若||a ＋b ＝||a －b ，则实数λ＝________. 答案 －1解析 因为||a ＋b ＝||a －b ，由向量加减法的几何意义知，a ⊥b (或将||a ＋b ＝||a －b 平方得a ·b ＝0)， 所以λ(λ＋2)＋1＝0⇒λ＝－1.14.由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ≥0，y ≤－3x ＋3，y ≤kx ＋1确定的可行域D 能被半径为22的圆面完全覆盖，则实数k 的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，13 解析 由题意得，约束条件表示的可行域如图所示， 要使得可行域能被以22为半径的圆面覆盖， 只需直线y ＝kx ＋1斜率小于等于与直线y ＝－3x ＋3垂直时的斜率13即可，即k ≤13.15.下列四个命题中，真命题的序号有_________.(写出所有真命题的序号) ① 若a ，b ，c ∈R ，则“a >b ”是“ac 2>bc 2”成立的充分不必要条件； ② 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时，函数y ＝sin x ＋1sin x的最小值为2； ③ 命题“若|x |≥2，则x ≥2或x ≤－2”的否命题是“若|x |＜2，则－2＜x ＜2”； ④ 函数f (x )＝ln x ＋x －32在区间(1，2)上有且仅有一个零点.答案 ③④解析 a >b ，c 2＝0，则ac 2＝bc 2，故①错； y ＝sin x ＋1sin x ≥2，当且仅当sin x ＝1sin x，即sin x ＝1时成立，②错；③正确； f ′(x )＝1x ＋1，当x >0时，f ′(x )>0，所以f (x )单调递增，f (1)＝－12＜0，f (2)＝ln 2＋12>0，故函数f (x )＝ln x ＋x －32在区间(1，2)上有且仅有一个零点，④正确.16.若两曲线y ＝x 2－1与y ＝a ln x －1存在公切线，则正实数a 的取值范围是________. 答案 (0，2e]解析 设两个切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 两个切线方程分别为y －(x 21－1)＝2x 1(x －x 1)，y －(a ln x 2－1)＝ax 2(x －x 2)，化简得y ＝2x 1x －1－x 21，y ＝ax 2x ＋a ln x 2－a －1，两条切线为同一条. 可得⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝a x 2，a ln x 2－a ＝－x 21，a ＝－4x 22(ln x 2－1)，令g (x )＝4x 2－4x 2ln x (x >0)， 则g ′(x )＝4x (1－2ln x )， 所以g (x )在(0，e)上递增， 在(e ，＋∞)上递减， g (x )max ＝g (e)＝2e. 所以a ∈(0，2e]. 三、解答题17.已知集合A ＝{x |x 2－x －12＜0}，集合B ＝{x |x 2＋2x －8>0}，集合C ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2＜0}. (1)求A ∩(∁R B )；(2)若C ⊇(A ∩B )，试确定实数a 的取值范围.解 (1)依题意得A ＝{x |－3＜x ＜4}，B ＝{x |x ＜－4或x >2}，A ∩(∁R B )＝(－3，2]. (2)A ∩B ＝{x |2＜x ＜4}，①若a ＝0，则C ＝{x |x 2＜0}＝∅， 不满足C ⊇(A ∩B )， ∴a ≠0，②若a >0，则C ＝{x |a ＜x ＜3a }，由C ⊇(A ∩B )得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤23a ≥4⇒43≤a ≤2，③若a ＜0，则C ＝{x |3a ＜x ＜a }，由C ⊇(A ∩B )得⎩⎪⎨⎪⎧3a ≤2a ≥4⇒a ∈∅，综上，实数a 的取值范围为43≤a ≤2.18.已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋1＝0有实根；命题q ：对任意x ∈[－1，1]，不等式a 2－3a －x ＋1≤0恒成立，若p ∧q 是假命题，綈q 也是假命题，求实数a 的取值范围. 解 若p 真，则Δ＝a 2－4×1≥0，∴a ≤－2 或a ≥2.若q 真，则由对任意 x ∈[－1，1]，不等式 x －1≥a 2－3a 恒成立. ∴(x －1)min ≥a 2－3a ，即a 2－3a ≤－2，解得1≤a ≤2 ，即q 为真命题时，a 的取值范围是[1，2].∵p ∧q 是假命题，綈q 也是假命题，则p 是假命题，q 是真命题，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＜a ＜2，1≤a ≤2， ∴1≤a ＜2，∴实数a 的取值范围为[1，2).19.某校要建一个面积为450平方米的矩形球场，要求球场的一面利用旧墙，其他各面用钢筋网围成，且在矩形一边的钢筋网的正中间要留一个3米的进出口(如图).设矩形的长为x 米，钢筋网的总长度为y 米.(1)列出y 与x 的函数关系式，并写出其定义域；(2)问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？(3)若由于地形限制，该球场的长和宽都不能超过25米，问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？ 解 (1)矩形的宽为450x 米，y ＝2·450x －3＋x ＝900x ＋x －3，定义域为{x |0＜x ＜150}. (2)y ＝900x＋x －3≥2900x·x －3＝60－3＝57， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧900x ＝x ，x >0，即x ＝30时取等号，此时宽为450x＝15(米)，所以，长为30米，宽为15米时，所用的钢筋网的总长度最小. (3)y ＝900x＋x －3(0＜x ≤25)，因为y ′＝－900x 2＋1＝(x ＋30)(x －30)x 2，所以当0＜x ≤25时，x ＋30>0，x －30＜0，x 2>0， 所以y ′＜0，所以y 在(0，25]上是单调递减函数， 所以当x ＝25时，y min ＝90025＋25－3＝58，此时，长为25米，宽为450x＝18(米)， 所以，长为25米，宽为18米时，所用的钢筋网的总长度最小.20.已知函数f (x )＝ax ＋x ln x 图象在点(e ，f (e))(e 为自然对数的底数)处的切线斜率为3.(1)求实数a 的值；(2)若k ∈Z ，且f (x )－k (x －1)>0对任意x >1恒成立，求k 的最大值. 解 (1)由已知得f ′(x )＝a ＋ln x ＋1，故f ′(e)＝3， ∴a ＋ln e ＋1＝3， ∴a ＝1.(2)由(1)知，f (x )＝x ＋x ln x ，等价于k ＜x ＋x ln xx －1对任意x ＞1恒成立，令g (x )＝x ＋x ln x x －1，则g ′(x )＝x －ln x －2(x －1)2，令h (x )＝x －ln x －2，x ＞1， 则h ′(x )＝1－1x ＝x －1x ＞0，∴h (x )在(1，＋∞)上单调递增，∵h (3)＝1－ln 3＜0，h (4)＝2－2ln 2＞0， ∴h (x )＝0在(1，＋∞)上有唯一实数根x 0， 满足x 0∈(3，4)，且h (x 0)＝0， 当x ∈(1，x 0)时，h (x )＜0， ∴g ′(x )＜0；当x ∈(x 0，＋∞)时，h (x )＞0， ∴g ′(x )＞0，∴g (x )＝x ＋x ln xx －1在(1，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增， ∴g (x )min ＝g (x 0)＝x 0＋x 0ln x 0x 0－1＝x 0(1＋x 0－2)x 0－1＝x 0∈(3，4)，∴k ＜g (x )min ＝x 0∈(3，4)， ∴整数k 的最大值为3.。

基础巩固题组(建议用时:40分钟）一、选择题1.（2017·西安调研)定积分错误!（2x＋e x）d x的值为（)A.e＋2B.e＋1 C。

e D。

e－1解析错误!(2x＋e x）d x＝（x2＋e x)错误!）＝1＋e1－1＝e。

故选C。

答案C2。

若错误!错误!d x＝3＋ln 2(a>1），则a的值是( ）A.2 B。

3 C。

4 D.6解析错误!错误!d x＝(x2＋ln x）错误!＝a2＋ln a－1,∴a2＋ln a－1＝3＋ln 2，则a＝2。

答案A3.从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v＝gt（g为常数)，则电视塔高为（)A。

错误!g B。

g C。

错误!g D.2g解析 电视塔高h ＝⎠⎜⎜⎛12gt d t ＝错误!错误!1＝错误!g 。

答案 C4.如图所示,曲线y ＝x 2－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为( )A.错误!|x 2－1｜d xB.错误!C 。

错误!（x 2－1）d xD 。

错误!(x 2－1)d x ＋错误!（1－x 2)d x解析 由曲线y ＝｜x 2－1｜的对称性知，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即错误!|x 2－1｜d x .答案 A5。

若S 1＝错误!x 2d x ,S 2＝错误!错误!d x ,S 3＝错误!e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ）A 。

S 1〈S 2〈S 3B 。

S 2<S 1<S 3 C.S 2<S 3<S 1 D.S 3〈S 2<S 1解析S2＝错误!错误!d x＝ln 2，S3＝错误!e x d x＝e2－e,∵e2－e＝e(e－1)＞e＞错误!＞ln 2，∴S2＜S1＜S3。

答案B二、填空题6.已知t>0，若错误!(2x－2)d x＝8,则t＝________.解析由错误!（2x－2）d x＝8得，（x2－2x)错误!＝t2－2t ＝8，解得t＝4或t＝－2(舍去)。

限时：90分钟 满分：122分一、选择题(共8个小题，每小题5分，共40分)1．在数列{a n }中，a 1＝2，当n 为正奇数时，a n ＋1＝a n ＋2，当n 为正偶数时，a n ＋1＝2a n ，则a 6＝( )A ．11B ．17C ．22D ．23解析：选C 逐项计算得该数列的前6项依次为：2,4,8,10,20,22.2．各项均为正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 3a 4＋a 2a 6a 2a 6＋a 4a 5＝( )A.5＋11B.5－12 C.1－52D.5＋12解析：选B 依题意，有a 3＝a 1＋a 2，设公比为q ， 则有q 2－q －1＝0，所以q ＝1＋52(舍去负值)． a 3a 4＋a 2a 6a 2a 6＋a 4a 5＝a 2a 4(q ＋q 2)a 2a 4(q 2＋q 3)＝1q ＝21＋5＝5－12. 3．公差不为0的等差数列{a n }中，3a 2 010－a 22 012＋3a 2 014＝0，数列{b n }是等比数列，且b 2 012＝a 2 012，则b 2 011b 2 013＝( )A ．4B ．8C ．16D ．36解析：选D ∵3a 2 010－a 22 012＋3a 2 014＝0，∴6a 2 012－a 22 012＝0，即a 2 012(a 2 012－6)＝0， ∵数列{b n }是等比数列， ∴a 2 012＝b 2 012≠0， ∴b 2 012＝a 2 012＝6，∴b 2 011b 2 013＝b 22 012＝62＝36.4．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：选B ∵a 3·a 11＝16，∴a 27＝16. 又∵等比数列{a n }的各项都是正数，∴a 7＝4.又∵a 10＝a 7q 3＝4×23＝25，∴log 2a 10＝5.5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A ．2n －1B.⎝⎛⎭⎫32n －1C.⎝⎛⎭⎫23n －1D.12n －1 解析：选B ∵S n ＝2a n ＋1，∴当n ≥2时，S n －1＝2a n ， ∴a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－2a n ，∴3a n ＝2a n ＋1， ∴a n ＋1a n ＝32. 又∵S 1＝2a 2，∴a 2＝12，∴a 2a 1＝12，∴{a n }从第二项起是以32为公比的等比数列，∴S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝1＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫32n －11－32＝⎝⎛⎭⎫32n －1.6．在公差为d ，各项均为正整数的等差数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＝51，则n ＋d 的最小值为( )A ．14B ．16C ．18D ．10解析：选B 由题意得a n ＝1＋(n －1)d ＝51，即(n －1)d ＝50，且d >0.由(n －1)＋d ≥2(n －1)d ＝250(当且仅当n －1＝d 时等号成立)，得n ＋d ≥102＋1，因为n ，d 均为正整数，所以n ＋d 的最小值为16.7．定义在R 上的函数f (x )在区间(－∞，2)上是增函数，且f (x ＋2)的图像关于y 轴对称，则( )A ．f (0)>f (3)B ．f (0)＝f (3)C ．f (－1)＝f (3)D ．f (－1)<f (3)解析：选D 函数f (x ＋2)的图像关于y 轴对称，说明这个函数是偶函数，所以f (－x ＋2)＝f (x ＋2)，令x ＝1，得f (1)＝f (3)，因为函数f (x )在(－∞，2)上是增函数，所以f (－1)<f (1)＝f (3)．8．(2018·上海高考)设a n ＝1n sin n π25，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( )A ．25B ．50C ．75D ．100解析：选D 由数列通项可知，当1≤n ≤25，n ∈N *时，a n ≥0，当26≤n ≤50，n ∈N *时，a n ≤0，因为a 1＋a 26>0，a 2＋a 27>0，…，所以S 1，S 2，…，S 50都是正数；当51≤n ≤100，n ∈N *时，同理S 51，S 52，…，S 100也都是正数，所以正数的个数是100.二、填空题(共6个小题，每小题5分，共30分)9．已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________.解析：设{a n }的公差为d ，由S 2＝a 3知，a 1＋a 2＝a 3，即2a 1＋d ＝a 1＋2d ， 又因为a 1＝12，所以d ＝12，故a 2＝a 1＋d ＝1.答案：110．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________. 解析：依题意得a －c ＝(3－k ，－6),3(3－k )＋6＝0，解得k ＝5. 答案：511．在△ABC 中，∠B ＝π3，三边长a ，b ，c 成等差数列，且ac ＝6，则b 的值是________．解析：由三边长a ，b ，c 成等差数列可得2b ＝a ＋c ，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 60°＝(a ＋c )2－3ac ＝4b 2－18，解得b ＝ 6.答案： 612．如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图像的一部分，A ，B 是图像上的一个最高点和一个最低点，O 为坐标原点，则OA ·OB 的值为________．解析：设函数y ＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为T .由图知T 4＝5π12－π6＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2πT ＝2，将点⎝⎛⎭⎫－π12，0代入y ＝sin(2x ＋φ)得sin ⎝⎛⎭⎫－π6＋φ＝0， ∵0<φ<π，∴φ＝π6，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. ∴B ⎝⎛⎭⎫2π3，－1.又A ⎝⎛⎭⎫π6，1，∴OA ·OB ＝π29－1. 答案：19π2－113．(2018·新课标全国卷)数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为________．解析：由a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1得a n ＋2＝(－1)n a n ＋1＋2n ＋1＝(－1)n [(－1)n －1a n ＋2n －1]＋2n ＋1＝－a n ＋(－1)n (2n －1)＋2n＋1，即a n ＋2＋a n ＝(－1)n (2n －1)＋2n ＋1， ① 也有a n ＋3＋a n ＋1＝－(－1)n (2n ＋1)＋2n ＋3， ② ①②两式相加得a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＝－2(－1)n ＋4n ＋4.设k 为整数，则a 4k ＋1＋a 4k ＋2＋a 4k ＋3＋a 4k ＋4＝－2(－1)4k ＋1＋4(4k ＋1)＋4＝16k ＋10，于是S 60＝∑k ＝014 (a 4k ＋1＋a 4k ＋2＋a 4k ＋3＋a 4k ＋4)＝∑k ＝014(16k ＋10)＝1 830.答案：1 83014．(2018·福建高考)数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2＋1，前n 项和为S n ，则S 2 012＝________.解析：∵a n ＝n cosn π2＋1，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝6，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝6，…，a 4k ＋1＋a 4k ＋2＋a 4k ＋3＋a 4k ＋4＝6，k ∈N ，故S 2 012＝503×6＝3 018.答案：3 018三、解答题(共4个小题，每小题13分，共52分)15．设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *. (1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式． 解：(1)当n ＝1时，T 1＝2S 1－12.因为T 1＝S 1＝a 1，所以a 1＝2a 1－1，解得a 1＝1.(2)当n ≥2时，S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2]＝2S n －2S n －1－2n ＋1， 所以S n ＝2S n －1＋2n －1，① 所以S n ＋1＝2S n ＋2n ＋1，② ②－①得a n ＋1＝2a n ＋2. 所以a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，即a n ＋1＋2a n ＋2＝2(n ≥2)． 当n ＝1时，a 1＋2＝3，a 2＋2＝6，则a 2＋2a 1＋2＝2， 所以当n ＝1时也满足上式．所以{a n ＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列， 所以a n ＋2＝3·2n －1，所以a n ＝3·2n －1－2.16．设函数f (x )＝x2＋sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x n }．(1)求数列{x n }的通项公式；(2)设{x n }的前n 项和为S n ，求sin S n .解：(1)令f ′(x )＝12＋cos x ＝0，所以cos x ＝－12，解得x ＝2k π±23π(k ∈Z)．由x n 是f (x )的第n 个正极小值点知， x n ＝2n π－23π(n ∈N *)．(2)由(1)可知，S n ＝2π(1＋2＋…＋n )－23n π＝n (n ＋1)π－2n π3，所以sin S n ＝sin ⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)π－2n π3.因为n (n ＋1)表示两个连续正整数的乘积，n (n ＋1)一定为偶数，所以sin S n ＝－sin 2n π3. 当n ＝3m －2(m ∈N *)时， sin S n ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2m π－43 π＝－32； 当n ＝3m －1(m ∈N *)时， sin S n ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2m π－23 π＝32； 当n ＝3m (m ∈N *)时， sin S n ＝－sin 2m π＝0.综上所述，sin S n＝⎩⎨⎧－32，n ＝3m －2(m ∈N *)，32，n ＝3m －1(m ∈N *)，0，n ＝3m (m ∈N *).17．已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos B 2，12与向量n ＝⎝⎛⎭⎫12，cos B 2共线，其中A ，B ，C 是△ABC 的三个内角．(1)求角B 的大小；(2)求2sin 2A ＋cos(C －A )的取值范围．解：(1)因为向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos B 2，12与向量n ＝12，cos B 2共线，所以cos B 2cos B 2＝14，即cos B 2＝±12， 又因为0<B <π，所以cos B 2＝12，所以B 2＝π3，即B ＝2π3.(2)由(1)知A ＋C ＝π3，所以C ＝π3－A ，所以2sin 2A ＋cos (C －A )＝2sin 2A ＋cos ⎝⎛⎭⎫π3－2A ＝1－cos 2A ＋12cos 2A ＋32sin 2A ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6， 因为0<A <π3，所以－π6<2A －π6<π2，所以sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6∈⎝⎛⎭⎫－12，1， 所以1＋sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6∈⎝⎛⎭⎫12，2， 故2sin 2A ＋cos(C －A )的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，2.18．已知各项均为正数的数列{a n }满足2a 2n ＋1＋3a n ＋1·a n －2a 2n ＝0，n 为正整数，且a 3＋132是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若c n ＝－log 12a na n，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，求使T n ＋n ·2n ＋1>125成立的正整数n 的最小值．解：(1)由2a 2n ＋1＋3a n ＋1·a n －2a 2n ＝0， 所以(a n ＋1＋2a n )(2a n ＋1－a n )＝0，即a n ＋1＝12a n ，所以{a n }是以12为公比的等比数列．因为a 3＋132是a 2，a 4的等差中项， 所以a 2＋a 4＝2a 3＋116， 即a 1q ＋a 1q 3＝2a 1q 2＋116，即a 1＝12， 所以{a n }的通项公式为a n ＝⎝⎛⎭⎫12n.(2)由c n ＝－log 12a na n＝－n ·2n .T n ＝－1×2－2×22－3×23－…－(n －1)·2n －1－n ·2n 2T n ＝－1×22－2×23－…－(n －1)·2n －n ·2n ＋1相减得－T n ＝－2－22－23－…－2n ＋n ·2n ＋1则T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2要T n＋n·2n＋1>125成立，即2n＋1－2>125成立，即2n＋1>127，则n≥6，即使T n＋n·2n＋1>125成立的正整数n最小值为6.。

阶段滚动检测（三）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(填空题）和第Ⅱ卷(解答题)两部分，共4页．2．答卷前,考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分160分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上）1．（2016·江苏清江中学周练）已知全集U＝｛1，3,5，7,9}，A＝{1，5，9｝，B＝｛3,5，9}，则∁U（A∪B）的子集个数为________．2．(2016·北京西城区一模)设集合A＝{0,1}，集合B＝｛x|x〉a｝，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是________．3．命题“存在实数x，使x>1”的否定是______________________________．4．已知函数f（x)＝错误!(a∈R）,若ff（－1）]＝1，则a＝________。

5．若函数f（x）＝错误!则f(log43）＝______.6．（2016·辽宁鞍山一中二模）已知函数f（x)＝x3＋mx2＋(m＋6）x ＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是______________．7．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5,错误!＝3错误!，错误!·错误!＝2，则错误!·错误!的值是________．8．(2016·苏北联考)若函数f（x）＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是____________．9．函数f（x)＝A sinωx的图象如图所示，若f（α）＝错误!，α∈（错误!，错误!），则tanα＝________.10．（2015·陕西改编)设曲线y＝e x在点(0，1)处的切线与曲线y＝错误!（x＞0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为____________．11．f（x)，g(x) （g（x)≠0)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x〈0时，f′（x)g（x)<f（x）g′(x），且f(－3）＝0，f xg x<0的解集为________________．12．设△ABC的内角A，B,C所对的边分别为a,b,c，若A＝错误!，a ＝3,则b2＋c2的取值范围为________．13．（2016·内蒙古通辽一模)若直线y＝a与函数y＝错误!的图象恰有3个不同的交点，则实数a的取值范围为____________．14．定义域为a，b］的函数y＝f(x)的图象的两个端点为A，B，M(x,y)是f（x)图象上任意一点，其中x＝λa＋（1－λ）b（λ∈R），向量错误!＝λ错误!＋(1－λ)错误!，若不等式|错误!｜≤k恒成立,则称函数f（x)在a，b]上“k阶线性近似”．若函数y＝x＋错误!在1，2]上“k阶线性近似”,则实数k的取值范围为____________．第Ⅱ卷二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15。

一、选择题1．(2016·福建“四地六校”联考)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |log 2(x 2－x )>1}，则A ∩B 等于( )A ．(2,3]B ．(2,3)C ．(－3，－2)D ．[－3，－2)2．(2016·北京)设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．(2016·福州质检)已知命题p ：“∃x ∈R ，e x－x －1≤0”，则綈p 为( ) A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<04．(2016·山东)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)等于( )A ．－2B ．－1C ．0D ．25．设a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4log 2(－x )，x <0，|x 2＋ax |，x ≥0.若f [f (－2)]＝4，则f (a )等于( )A ．8B ．4C ．2D ．16．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝log a x ，y ＝a x，y ＝x ＋a 在同一坐标系中的图象可能是( )7．(2017·福州质检)已知函数f (x )＝32,2,(1),2,x x x x ⎧≥⎪⎨⎪-<⎩若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(0,1]D ．(－1,0)8.如图，将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起，其中45°直角三角板的斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合．若DB →＝x ·DC →＋y ·DA →，x >0，y >0，则x ，y 的值分别为()A.3，1 B ．1＋3， 3 C ．2， 3D.3，1＋ 39．已知sin(x －2 017π)＝13，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则tan 2x 等于( ) A.24B ．－24C.427D ．4 210．已知△ABC 三边a ，b ，c 上的高分别为12，22，1，则cos A 等于( )A.32B ．－22 C ．－24D ．－3411．(2015·课标全国Ⅰ)设函数f (x )＝e x(2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，1 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，34C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，1 12．已知O 是锐角△ABC 的外心，tan A ＝22，若cos B sin C AB →＋cos C sin B AC →＝2mAO →，则m 等于( ) A.33B.32 C ．3 D.53二、填空题13．若f (x )＝x ＋2⎠⎛01f (t )d t ，则f (1)＝________.14．若tan α＝3，则sin 2α＋3cos 2αsin 2α＋2sin αcos α－5＝________. 15．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝6，AD ＝DC ＝2，若AC →·BD →＝－14，则AD →·BC→＝________.16．关于函数f (x )＝cos 2x －23sin x cos x ，有下列命题： ①对任意x 1，x 2∈R ，当x 1－x 2＝π时，f (x 1)＝f (x 2)成立；②f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增；③函数f (x )的图象关于点(π12，0)对称；④将函数f (x )的图象向左平移5π12个单位长度后所得到的图象与函数y ＝2sin 2x 的图象重合．其中正确的命题是________．(注：把你认为正确的序号都填上) 三、解答题17．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，x <－2，x ＋3，－2≤x ≤12，5x ＋1，x >12.(1)求函数f (x )的最小值；(2)已知m ∈R ，p ：关于x 的不等式f (x )≥m 2＋2m －2对任意x ∈R 恒成立，q ：函数y ＝(m 2－1)x是增函数，若p 正确，q 错误，求实数m 的取值范围．18．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ；(2)若c ＝t a ＋(1－t )b ，且b·c ＝0，求t 及|c |.19．设向量a ＝(3sin x ，cos x )，b ＝(cos x ，cos x )，记f (x )＝a·b . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)试用“五点法”画出函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，11π12上的简图，并指出该函数的图象可由y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到；(3)若函数g (x )＝f (x )＋m ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3的最小值为2，试求出函数g (x )的最大值．20.已知函数f (x )＝x 2x －a，a ∈R .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(1,2)上是单调函数，求a 的取值范围．21．在△ABC 中，AB →＝(－3sin x ，sin x )，AC →＝(sin x ，cos x )． (1)设f (x )＝AB →·AC →，若f (A )＝0，求角A 的值；(2)若对任意的实数t ，恒有|AB →－tAC →|≥|BC →|，求△ABC 面积的最大值．22.某地棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似为圆面，该圆面的内接四边形ABCD 是原棚户区建筑用地，测量可知边界AB ＝AD ＝4万米，BC ＝6万米，CD ＝2万米．(1)请计算原棚户区建筑用地ABCD 的面积及AC 的长；(2)因地理条件的限制，边界AD ，DC 不能变更，而边界AB ，BC 可以调整，为了提高棚户区建筑用地的利用率，请在ABC 上设计一点P ，使得棚户区改造后的新建筑用地APCD 的面积最大，并求出最大值．答案精析1．A [因为A ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |(x －3)(x ＋1)≤0}＝{x |－1≤x ≤3}＝[－1,3]，B ＝{x |log 2(x 2－x )>1}＝{x |x 2－x >2}＝{x |x <－1或x >2}＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)，所以A ∩B ＝(2,3]．故选A.]2．D [若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为邻边构成的四边形为菱形，a ＋b ，a －b 表示该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立．所以“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件．]3．C [已知全称命题p ：∀x ∈M ，p (x )，则否定为綈p ：∃x 0∈M ，綈p (x 0)，故选C.] 4．D [∵当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即f (x )＝f (x ＋1)，∴T ＝1，∴f (6)＝f (1)．当x <0时，f (x )＝x 3－1且－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )，∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)＝2，故选D.]5．A [由f (－2)＝4log 22＝2，f (2)＝|4＋2a |＝4，解得a ＝－4，所以f (a )＝f (－4)＝4log 24＝8，故选A.]6．C [∵函数y ＝a x与y ＝log a x 互为反函数，∴它们的图象关于直线y ＝x 对称， ∴选项B 的图象不正确；当0<a <1时，y ＝log a x 与y ＝a x都随x 的增大而减小，y ＝x ＋a 的图象与y 轴的交点在y ＝1的下方，只有选项C 的图象正确；当a >1时，y ＝log a x 与y ＝a x都随x 的增大而增大，y ＝x ＋a 的图象与y 轴的交点在y ＝1的上方，没有选项符合要求．]7．B [根据题意作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，?x －1?3，x <2的图象，如图．关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根等价于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，?x －1?3，x <2的图象与直线y ＝k 有两个不同的公共点，则由图象可知当k ∈(0,1)时，满足题意．故选B.] 8．B [设AD ＝DC ＝1，则AC ＝2，AB ＝22，BC ＝ 6.在△BCD 中，由余弦定理，得DB2＝DC 2＋CB 2－2DC ·CB ·cos(45°＋90°)＝7＋2 3.以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则D (0,0)，A (1,0)，C (0,1)，由DB →＝x ·DC →＋y ·DA →，得B (y ，x )，∴CB →＝(y ，x －1)，DB →＝(y ，x )，∴6＝(x －1)2＋y 2，x 2＋y 2＝7＋23，∴x ＝1＋3，y ＝ 3.]9．C [因为sin(x －2 017π)＝13，所以sin x ＝－13，又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，所以cos x ＝－223，所以tan x ＝24， 所以tan 2x ＝2×241－⎝ ⎛⎭⎪⎫242＝427.]10．C [设△ABC 面积为S ⇒a ＝4S ，b ＝22S ，c ＝2S ⇒cos A ＝(22)2＋22－422×22×2＝－24，故选C.]11．D [由已知函数关系式，先找到满足f (x 0)<0的整数x 0，由x 0的唯一性列不等式组求解．∵f (0)＝－1＋a <0，∴x 0＝0.又∵x 0＝0是唯一的使f (x )<0的整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≥0，f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧e －1[2×(－1)－1]＋a ＋a ≥0，e(2×1－1)－a ＋a ≥0，解得a ≥32e.又∵a <1，∴32e≤a <1，经检验a ＝34，符合题意，故选D.]12．A [取AB 的中点D ，连接OD ， 则OD ⊥AB ， ∴OD →·AB →＝0，∵AO →＝AD →＋DO →，∴cos B sin C AB →＋cos C sin B AC →＝2mAO → ＝2m (AD →＋DO →)，∴cos B sin C AB →2＋cos C sin B AC →·AB → ＝2mAD →·AB →＋2mDO →·AB →，∴cos B sin C |AB →|2＋cos C sin B |AC →||AB →|cos A ＝2m ·12|AB →|2＝m |AB →|2， 由正弦定理可得cos B sin C sin 2C ＋cos C sin B sin B sin C cos A ＝m sin 2C ，即cos B ＋cos C cos A ＝m sin C ，又cos B ＝－cos(A ＋C )＝－cos A cos C ＋sin A sin C ， ∴sin A sin C ＝m sin C ，∴m ＝sin A ， 又tan A ＝22，∴m ＝sin A ＝33.] 13．0解析 记a ＝⎠⎛01f (t )d t ，则f (x )＝x ＋2a ，故⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x ＋2a )d x ＝12＋2a ，所以a ＝12＋2a ，a ＝－12，故f (x )＝x －1，f (1)＝0.14．－1235解析 由题意知cos α≠0， ∵sin 2α＋3cos 2αsin 2α＋2sin αcos α－5＝sin 2α＋3cos 2α－4sin 2α＋2sin αcos α－5cos 2α ＝tan 2α＋3－4tan 2α＋2tan α－5， ∴tan 2α＋3－4tan 2α＋2tan α－5＝9＋3－36＋6－5＝－1235， 即sin 2α＋3cos 2αsin α＋2sin αcos α－5＝－1235. 15．－2解析 ∵AC →·BD →＝(AD →＋DC →)·(BC →＋CD →)＝AD →·BC →＋(AD →－BC →－CD →)·CD →＝AD →·BC →＋(AD →＋DC →＋CB →)·CD →＝AD →·BC →＋AB →·CD →， ∴AD →·BC →－6×2＝－14⇒AD →·BC →＝－2. 16．①③解析 f (x )＝cos 2x －23sin x cos x ＝cos 2x －3sin 2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 因为f (x 1)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋π3＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x 2＋π)＋π3＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x 2＋π3＝f (x 2)，故①正确；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，2x ＋π3∈[0，π]，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减，故②错误；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π12＋π3＝2cos π2＝0，故③正确；函数f (x )的图象向左平移5π12个单位长度后得到的图象所对应的函数解析式为y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π12＋π3＝－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，易知该图象与函数y ＝2sin 2x 的图象不重合，故④错误．17．解 (1)作出函数f (x )的图象，如图所示．可知函数f (x )在x ＝－2处取得最小值1.(2)若p 正确，则由(1)得m 2＋2m －2≤1，即m 2＋2m －3≤0， 所以－3≤m ≤1.若q 正确，则函数y ＝(m 2－1)x是增函数， 则m 2－1>1，解得m <－2或m > 2.又p 正确q 错误，则⎩⎨⎧－3≤m ≤1，－2≤m ≤2，解得－2≤m ≤1.即实数m 的取值范围是[－2，1]．18．解 (1)由(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，得a·b ＝－6，∴cos θ＝a·b |a||b|＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)∵b·c ＝b ·[t a ＋(1－t )b ]＝t a·b ＋(1－t )b 2＝－15t ＋9＝0，∴t ＝35，∴|c |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35a ＋25b 2＝10825，∴|c |＝635.19．解 (1)f (x )＝a·b ＝3sin x cos x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝sin(2x ＋π6)＋12，∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)列表如下：描点，连线得函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上的简图如图所示：y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度后得到y ＝sin(x ＋π6)的图象，再保持纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12后得到y ＝sin(2x ＋π6)的图象，最后将y ＝sin(2x ＋π6)的图象向上平移12个单位长度后得到y ＝sin(2x ＋π6)＋12的图象．(3)g (x )＝f (x )＋m ＝sin(2x ＋π6)＋12＋m . ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3， ∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，∴sin(2x ＋π6)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴g (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ，32＋m . 又函数g (x )的最小值为2，∴m ＝2，∴g (x )max ＝32＋m ＝72. 20．解 (1)f (x )的定义域为{x |x ≠a }．f ′(x )＝x (x －2a )(x －a )2. ①当a ＝0时，f ′(x )＝1，则f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．②当a >0时，由f ′(x )>0，得x >2a 或x <0，此时0<a <2a ；由f ′(x )<0，得0<x <a 或a <x <2a ，则f (x )的单调递增区间为(2a ，＋∞)，(－∞，0)，单调递减区间为(0，a )，(a,2a )．③当a <0时，由f ′(x )>0，得x >0或x <2a ，此时2a <a <0；由f ′(x )<0，得2a <x <a 或a <x <0， 则函数f (x )的单调递增区间为(－∞，2a )，(0，＋∞)，单调递减区间为(2a ，a )，(a,0)．(2)①当a ≤0时，由(1)可知，f (x )在(1,2)上单调递增，满足题意；②当0<2a ≤1，即0<a ≤12时，由(1)可知，f (x )在(2a ，＋∞)上单调递增，即在(1,2)上单调递增，满足题意；③当1<2a <2，即12<a <1时，由(1)可得，f (x )在(1,2)上不具有单调性，不满足题意； ④当2a ＝2，即a ＝1时，由(1)可知，f (x )在(a,2a )上单调递减，即在(1,2)上单调递减，满足题意；⑤当1<a <2时，因为f (x )的定义域为{x |x ≠a }，显然f (x )在(1,2)上不具有单调性，不满足题意；⑥当a ≥2时，由(1)可知，f (x )在(0，a )上单调递减，即在(1,2)上单调递减，满足题意．综上所述，a ≤12或a ＝1或a ≥2. 21．解 (1)f (x )＝AB →·AC →＝－3sin 2x ＋sin x cos x ＝－3×1－cos 2x 2＋sin 2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－32. ∵f (A )＝0，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝32， 又2A ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π＋π3， ∴2A ＋π3＝2π3，∴A ＝π6. (2)由|AB →－tAC →|≥|BC →|，得|CB →＋(1－t )AC →|≥|BC →|，则|CB →|2＋2(1－t )CB →·AC →＋(1－t )2|AC →|2≥|BC →|2，故对任意的实数t ，恒有2(1－t )CB →·AC →＋(1－t )2|AC →|2≥0，故CB →·AC →＝0，即BC ⊥AC .∵|AB →|＝4sin 2x ≤2，|AC →|＝1，∴BC ＝AB 2－AC 2≤3，∴△ABC 的面积S ＝12BC ·AC ≤32， ∴△ABC 面积的最大值为32. 22．解 (1)根据题意知，四边形ABCD 内接于圆，∴∠ABC ＋∠ADC ＝180°.在△ABC 中，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos∠ABC ，即AC 2＝42＋62－2×4×6×cos∠ABC .在△ADC 中，由余弦定理，得 AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos∠ADC ，即AC 2＝42＋22－2×4×2×cos∠ADC .又cos ∠ABC ＝－cos ∠ADC ，∴cos ∠ABC ＝12，AC 2＝28， 即AC ＝27万米，又∠ABC ∈(0，π)，∴∠ABC ＝π3. ∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝12×4×6×sin π3＋12×2×4×sin 2π3＝83(平方万米)． (2)由题意知，S 四边形APCD ＝S △ADC ＋S △APC ，且S △ADC ＝12AD ·CD ·sin 2π3＝23(平方万米)． 设AP ＝x ，CP ＝y ，则S △APC ＝12xy sin π3＝34xy .在△APC 中，由余弦定理，得AC 2＝x 2＋y 2－2xy ·cos π3＝x 2＋y 2－xy ＝28，又x 2＋y 2－xy ≥2xy －xy ＝xy ，当且仅当x ＝y 时取等号，∴xy ≤28.∴S 四边形APCD ＝23＋34xy ≤23＋34×28＝93(平方万米)， 故所求面积的最大值为93平方万米，此时点P 为ABC 的中点．。

阶段滚动检测(二) 专题一~专题三 (时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合A ＝{x |log 2x <0}，B ＝{m |m 2－2m <0}，则A ∪B ＝( ) A ．(－∞，2) B ．(0,1) C ．(0,2)D ．(1,2)解析：选C 由题意可得A ＝(0,1)，B ＝(0,2)，所以A ∪B ＝(0,2)．2．在数列{a n }中，“a n ＝2a n －1，n ≥2，n ∈N *”是“{a n }是公比为2的等比数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 当a n ＝0时，也有a n ＝2a n －1，n ≥2，n ∈N *，但{a n }不是等比数列，因此充分性不成立；当{a n }是公比为2的等比数列时，有a n a n －1＝2，n ≥2，n ∈N *，即a n ＝2a n －1，n ≥2，n ∈N *，所以必要性成立．故选B.3．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当x ∈[－1,0)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则f (log 28)＝( )A ．3B.18C ．－2D ．2解析：选D ∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，∴函数f (x )是周期为2的周期函数，∴f (log 28)＝f (3)＝f (3－4)＝f (－1)．又当x ∈[－1,0)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，∴f (log 28)＝f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2.4．(2018届高三·江西九校联考)已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1·a 6·a 11＝33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tanb 3＋b 91－a 4·a 8的值是( )A ．1 B.22C ．－22D ．－ 3解析：选D ∵{a n }是等比数列，{b n }是等差数列， 且a 1·a 6·a 11＝33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，∴a 36＝(3)3,3b 6＝7π，∴a 6＝3，b 6＝7π3， ∴tanb 3＋b 91－a 4·a 8＝tan 2b 61－a 26＝tan2×7π31－32＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π－π3＝－tan π3＝－ 3. 5．(2017·全国卷Ⅲ)函数y ＝1＋x ＋sin xx 2的部分图象大致为( )解析：选D 法一：易知函数g (x )＝x ＋sin xx 2是奇函数，其函数图象关于原点对称，所以函数y ＝1＋x ＋sin xx 2的图象只需把g (x )的图象向上平移一个单位长度，结合选项知选D.法二：当x →＋∞时，sin x x 2→0,1＋x →＋∞，y ＝1＋x ＋sin xx2→＋∞，故排除选项B.当0＜x ＜π2时，y ＝1＋x ＋sin xx2＞0，故排除选项A 、C.选D.6．若△ABC 的三个内角满足sin B －sin A sin B －sin C ＝ca ＋b，则A ＝( )A.π6 B.π3 C.2π3D.π3或2π3解析：选B 由sin B －sin A sin B －sin C ＝c a ＋b ，结合正弦定理，得b －a b －c ＝c a ＋b，整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，由A 为三角形的内角，知A ＝π3，故选B.7．(2017·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．9解析：选A 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－6)－3＝－15.8．已知菱形ABCD 的边长为6，∠ABD ＝30°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝2BE ，CD ＝λCF .若AE ―→·BF ―→＝－9，则λ的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 依题意得AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝12BC ―→－BA ―→，BF ―→＝BC ―→＋1λBA ―→，因此AE ―→·BF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ―→－BA ―→·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC ―→＋1λBA ―→＝12BC ―→2－1λBA ―→2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ－1BC ―→·BA ―→，于是有⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1λ×62＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ－1×62×cos 60°＝－9，由此解得λ＝3，故选B. 9.已知函数f (x )＝exx2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋ln x ，若x ＝2是函数f (x )的唯一一个极值点，则实数k 的取值范围为( )A ．(－∞，e]B ．[0，e]C ．(－∞，e)D ．[0，e)解析：选A f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＋1x ＝x －⎝ ⎛⎭⎪⎫e xx －k x 2(x >0)．设g (x )＝exx，则g ′(x )＝x －xx 2，则g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．∴g (x )在(0，＋∞)上有最小值，为g (1)＝e ，结合g (x )＝exx与y ＝k 的图象可知，要满足题意，只需k ≤e，故选A.10．(2017·沈阳二中模拟)已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )>f (x )g ′(x )，且f (x )＝a xg (x )(a >0且a ≠1)，f 1g 1＋f －1g －1＝52.若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f n g n (n ∈N *)的前n 项和大于62，则n 的最小值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：选C 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝fx g x －f x gxg 2x>0，知f xg x在R 上是增函数，即f xg x ＝a x为增函数，所以a >1.又由f 1g 1＋f －1g －1＝a ＋1a ＝52，得a ＝2或a ＝12(舍)．所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f n gn 的前n 项和S n ＝21＋22＋…＋2n ＝－2n1－2＝2n ＋1－2>62，即2n>32，得n >5，所以n 的最小值为6.故选C.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在题中横线上)11．(2017·杭州模拟)若2sin α－cos α＝5，则sin α＝________，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.解析：由已知条件，2sin α＝5＋cos α，将两边平方，结合sin 2α＋cos 2α＝1，可求得sin α＝255，cos α＝－55，∴tan α＝－2，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－2－11＋－＝3.答案：2553 12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2， x ≤－1，x －x |－，x >－1，则f (f (－2))＝________，若f (x )≥2，则x 的取值范围为________．解析：f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2－2＝2，f (f (－2))＝f (2)＝0.当x ≤－1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2≥2，解得x ≤－2；当x >－1时，f (x )＝(x －2)(|x |－1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －－x －，－1<x ≤0，x －x －，x >0.当－1<x ≤0时，由(x －2)(－x －1)≥2，解得x ＝0，当x >0时，由(x －2)·(x －1)≥2，解得x ≥3.综上，x 的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[3，＋∞)．答案：0 (－∞，－2]∪{0}∪[3，＋∞)13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π4，b ＝6，△ABC 的面积为3＋32，则c ＝_______，B ＝________.解析：由题意得△ABC 的面积等于12bc sin A ＝62c ×22＝3＋32，解得c ＝3＋1，则由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(6)2＋(1＋3)2－2×6×(1＋3)×22＝4，解得a ＝2，则由正弦定理得b sin B ＝asin A，即sin B ＝b sin A a ＝32，又因为b <c ，所以B ＝π3.答案：3＋1π314．(2017·萧山中学模拟)设等比数列{a n }的首项a 1＝1，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，则公比q ＝________；数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析：因为a 1＝1，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，所以4a 2＝4a 1＋a 3，即4q ＝4＋q 2，解得q ＝2，所以S n ＝1－2n1－2＝2n－1.答案：2 2n －115．已知△ABC 的面积是4，∠BAC ＝120°.点P 满足BP ―→＝3PC ―→，过点P 作边AB ，AC 所在直线的垂线，垂足分别是M ，N ，则PM ―→·PN ―→＝________.解析：不妨设△ABC 是等腰三角形，因为∠BAC ＝120°，则B ＝C ＝30°，b ＝c ，S △ABC ＝12bc sinA ＝34b 2＝4，b 2＝1633，由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝16 3.又BP ―→＝3PC ―→，则|BP ―→|＝3a 4，|PC ―→|＝a 4，则|PM ―→|＝|BP ―→|sin B ＝3a 8，|PN ―→|＝|PC ―→|sin C ＝a 8，∠MPN ＝60°，所以PM ―→·PN ―→＝|PM ―→||PN ―→|·cos 60°＝3a 8×a 8×12＝3a 2128＝3128×163＝338.答案：33816．(2017·嘉兴中学模拟)已知a >0，b >0，且满足3a ＋b ＝a 2＋ab ，则2a ＋b 的最小值为________．解析：由3a ＋b ＝a 2＋ab 得显然a ≠1，所以b ＝3a －a2a －1，又因为a >0，b >0，所以(a －1)(3a－a 2)>0，即a (a －1)·(a －3)<0,1<a <3，所以a －1>0，则2a ＋b ＝2a ＋3a －a 2a －1＝2a 2－2a ＋3a －a2a －1＝a 2＋a a －1＝a －1＋2a －1＋3≥2a －2a －1＋3＝22＋3，当且仅当a －1＝2a －1，即a ＝1＋2时，等号成立，所以2a ＋b 的最小值为22＋3.答案：22＋317．(2017·湖南岳阳一中模拟)对于数列{a n }，定义H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a nn为{a n }的“优值”，现在已知某数列{a n }的“优值”H n ＝2n ＋1，记数列{a n －kn }的前n 项和为S n ，若S n ≤S 5对任意的n ∈N *恒成立，则实数k 的取值范围是________．解析：由题意知H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n n＝2n ＋1，所以a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n ＝n ×2n ＋1，①当n ≥2时，a 1＋2a 2＋…＋2n －2a n －1＝(n －1)×2n ，②①－②得2n －1a n ＝n ×2n ＋1－(n －1)×2n ，解得a n ＝2n ＋2，n ≥2，当n ＝1时，a 1＝4也满足上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2，且数列{a n }为等差数列，其公差为2.令b n ＝a n －kn ＝(2－k )n ＋2，则数列{b n }也是等差数列，由S n ≤S 5对任意的n ∈N *恒成立，知2－k <0，且b 5＝12－5k ≥0，b 6＝14－6k ≤0，解得73≤k ≤125.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，125三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18．(本小题满分14分)(2017·杭州质检)设函数f (x )＝2cos x (cos x ＋3sin x )(x ∈R)． (1)求函数y ＝f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，求函数f (x )的最大值． 解：(1)∵f (x )＝2cos x (cos x ＋3sin x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1， ∴最小正周期T ＝2π2＝π，令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，∴k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z)，∴函数y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z)． (2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1的最大值是3. 19．(本小题满分15分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满足⎝ ⎛⎭⎪⎫54c －a cosB ＝b cos A .(1)若sin A ＝25，a ＋b ＝10，求a ；(2)若b ＝35，a ＝5，求△ABC 的面积S .解：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫54c －a cos B ＝b cos A ， ∴由正弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫54sin C －sin A ·cos B ＝sin B cos A ，即54sin C cos B ＝sin A cos B ＋cosA sinB ＝sinC ，∵sin C ≠0，∴54cos B ＝1，即cos B ＝45.(1)由cos B ＝45，得sin B ＝35，∵sin A ＝25，∴a b ＝sin A sin B ＝23，又a ＋b ＝10，解得a ＝4.(2)∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，b ＝35，a ＝5， ∴45＝25＋c 2－8c ，即c 2－8c －20＝0， 解得c ＝10或c ＝－2(舍去)，∴S＝12ac sin B＝12×5×10×35＝15.20．(本小题满分15分)已知f(x)＝x－ln x，x∈(0，e]，g(x)＝ln xx，其中e是自然对数的底数．(1)判断f(x)的单调性并求其极值；(2)求证：f(x)>g(x)＋12 .解：(1)∵f′(x)＝1－1x＝x－1x，x∈(0，e]，∴当0<x<1时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减；当1<x≤e时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增．∴f(x)的极小值为f(1)＝1，无极大值．(2)证明：∵f(x)的极小值为1，即f(x)在(0，e]上的最小值为1，令h(x)＝g(x)＋12＝ln xx＋12，则h′(x)＝1－ln xx2，当0<x≤e时，h′(x)≥0，h(x)在(0，e]上单调递增，∴h(x)max＝h(e)＝1e＋12<1＝f(x)min.∴f(x)>g(x)＋12 .21．(本小题满分15分)已知数列{a n}的前n项和S n满足a n＝1－2S n.(1)求证：数列{a n}为等比数列；(2)设函数f(x)＝，b n＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a n)，求T n＝1b1＋1b2＋1b3＋…＋1b n.解：(1)证明：∵数列{a n}的前n项和S n满足a n＝1－2S n.∴a1＝1－2a1，解得a1＝13 .n≥2时，a n－1＝1－2S n－1，可得a n－a n－1＝－2a n.∴a n ＝13a n －1.∴数列{a n }是首项和公比均为13的等比数列．(2)由(1)可知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，则f (a n )＝log 13a n ＝n .∴b n ＝1＋2＋…＋n ＝n n ＋2.∴1b n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. ∴T n ＝1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1. 22．(本小题满分15分)已知数列{a n }满足：a 1＝12，a n ＋1＝a 2n 2 017＋a n (n ∈N *)．(1)求证：a n ＋1>a n; (2)求证：a 2 018<1；(3)若a k >1，求正整数k 的最小值．解：(1)由a n ＋1－a n ＝a 2n2 017≥0，得a n ＋1≥a n ，因为a 1＝12，所以a n ≥12，因此a n ＋1－a n ＝a 2n2 017>0，所以a n ＋1>a n .(2)由已知得1a n ＋1＝2 017a na n ＋2 017＝1a n －1a n ＋2 017，所以1a n＋2 017＝1a n－1a n＋1，由1a1＋2 017＝1a1－1a2，1a2＋2 017＝1a2－1a3，…，1a n－1＋2 017＝1a n－1－1a n，累加可得1a1－1a n＝1a1＋2 017＋1a2＋2 017＋…＋1a n－1＋2 017.当n＝2 018时，由(1)得12＝a1<a2<a3<…<a2 017，所以1a1－1a2 017＋1a1＋2 017＋1a2＋2 017＋…＋1a2 017＋2 017<2 017×1a1＋2 017<1.所以a2 018<1.(3)由(2)得12＝a1<a2<a3<…<a2 018<1，所以1a1－1a2 019＝1a1＋2 017＋1a2＋2 017＋…＋1a2 018＋2 017>2 018×11＋2 017＝1.所以a2 018<1<a2 019，又因为a n＋1>a n，所以k的最小值为2 019.。