2015-2016学年高中数学 第2章 6平面向量数量积的坐标表示课时作业 北师大版必修4

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、基础过关1．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k 等于( )A ．－12B ．－6C ．6D ．12[答案] D[解析] 由已知得a ·(2a －b )＝2a 2－a·b＝2(4＋1)－(－2＋k )＝0，∴k ＝12.2．已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为() A ．－17 B.17C ．－16 D.16[答案] A[解析] 由a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，知λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2)．又(λa ＋b )·(a －2b )＝0，∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－17.3．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) A. 3B ．2 3C ．4D ．12[答案] B[解析] a ＝(2,0)，|b |＝1，∴|a |＝2，a ·b ＝2×1×cos 60°＝1.∴|a ＋2b |＝a 2＋4×a ·b ＋4b 2＝2 3. 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )A.⎝⎛⎭⎫79，73B.⎝⎛⎭⎫－73，－79C.⎝⎛⎭⎫73，79D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 [答案] D[解析] 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)，又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.①又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.②由①②解得x ＝－79，y ＝－73. 5．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( )A ．－π4B.π6C.π4D.3π4[答案] C[解析] 2a ＋b ＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)，a －b ＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)，(2a ＋b )·(a －b )＝9，|2a ＋b |＝32，|a －b |＝3.设所求两向量夹角为α，则cos α＝932×3＝22，∵0≤α≤π，∴α＝π4. 6．已知a ＝(3，3)，b ＝(1,0)，则(a －2b )·b ＝________.[答案] 1[解析] a －2b ＝(1，3)，(a －2b )·b ＝1×1＋3×0＝1.7．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)．(1)求a 与b 的夹角的余弦；(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值．解 (1)∵a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2，|a |＝42＋32＝5，|b |＝(－1)2＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝255＝2525. (2)∵a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7,8)，又(a －λb )⊥(2a ＋b )，∴(a －λb )·(2a ＋b )＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，∴λ＝529. 二、能力提升已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ等于( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1[答案] B[解析] 因为m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)．所以m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)．因为(m ＋n )⊥(m －n )，所以(m ＋n )·(m －n )＝0，所以－(2λ＋3)－3＝0，解得λ＝－3. 已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.322B.3152C. －322D ．－3152[答案] A[解析] AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，∴AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD →|＝2×5＋1×552＋52 ＝1552＝322. 10．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝45，则b ＝________.[答案] (－4,8)[解析] 由题意可设b ＝λa ＝(λ，－2λ)，λ<0，则|b |2＝λ2＋4λ2＝5λ2＝80，∴λ＝－4，∴b ＝－4a ＝(－4,8)．11．在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，求k 的值．解 ∵AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3)．若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝2×1＋3×k ＝0，∴k ＝－23； 若∠B ＝90°，则AB →·BC →＝2×(－1)＋3(k －3)＝0，∴k ＝113； 若∠C ＝90°，则AC →·BC →＝1×(－1)＋k (k －3)＝0， ∴k ＝3±132. 故所求k 的值为－23或113或3±132.12．设a＝(1,2)，b＝(－2，－3)，又c＝2a＋b，d＝a＋m b，若c与d的夹角为45°，求实数m的值．解∵a＝(1,2)，b＝(－2，－3)，∴c＝2a＋b＝2(1,2)＋(－2，－3)＝(0,1)，d＝a＋m b＝(1,2)＋m(－2，－3)＝(1－2m,2－3m)，∴c·d＝0×(1－2m)＋1×(2－3m)＝2－3m.又∵|c|＝1，|d|＝(1－2m)2＋(2－3m)2，∴cos 45°＝c·d|c||d|＝2－3m(1－2m)2＋(2－3m)2＝22.化简得5m2－8m＋3＝0，解得m＝1或m＝35.三、探究与拓展已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)．(1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 两对角线所成的锐角的余弦值．(1)证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)，∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)，又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)解 AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形，∴AB →＝DC →.设C 点坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5.∴C 点坐标为(0,5)．由于AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，所以AC →·BD →＝8＋8＝16>0，|AC →|＝2 5，|BD →|＝2 5.设AC →与BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|＝1620＝45>0， ∴矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45.。

课后训练1．已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( )．A ．x ＝12- B ．x ＝－1 C ．x ＝5 D ．x ＝02．若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的射影的数量为( )．A B C D 3．已知向量a ＝(2,1)，a·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |等于( )．A B C ．5 D ．254．已知a ＝(1，m )与b ＝(n ，－4)共线，且c ＝(2,3)与b 垂直，则m ＋n 的值为( )． A ．163 B ．203 C ．152D ．－45．已知a ＝1,2⎛- ⎝⎭，|b |＝a ·(b －a )＝2，则向量a 与向量b 的夹角是( )． A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 6．在平面直角坐标系中点O (0,0)，P (6,8)，将向量OP 绕点O 按逆时针方向旋转34π后得到向量OQ ，则点Q 的坐标是__________．7．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，则(1)与2a ＋b 同向的单位向量的坐标表示为______；(2)向量b －3a 与向量a 夹角的余弦值为______．8．已知平面向量a ＝ (3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )且a ∥b ，a ⊥c ．(1)求b 和c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小．9．已知在△ABC 中，A (2,4)，B (－1，－2)，C (4,3)，BC 边上的高为AD ．(1)求证：AB ⊥AC ； (2)求点D 和向量AD 的坐标；(3)设∠ABC ＝θ，求cos θ．10．已知平面xOy 内有向量OA ＝(1,7), OB ＝(5,1)，OP ＝(2,1)，点X 为直线OP 上的一个动点． (1)当XA XB ⋅ 取最小值时，求OX 的坐标；(2)当点X 满足(1)的条件时，求cos ∠AXB 的值．参考答案1答案：D2答案：A3答案：C4答案：A5答案：A6答案：(-7答案：(1)⎝⎭(2)8答案：(1)b＝(9,12)，c＝(4，－3)(2)3 4π9答案：(1)略(2)D点75, 22⎛⎫ ⎪⎝⎭33 ,22AD⎛⎫=-⎪⎝⎭(3)1010答案：(1)(4,2)(2)17 -。

【成才之路】2015-2016学年高中数学 第2章 6平面向量数量积的坐标表示课时作业 北师大版必修4一、选择题1、(2015·全国卷Ⅱ文,4)向量a ＝(1,－1),b ＝(－1,2),则(2a ＋b )·a ＝( ) A 、－1 B 、0 C 、1 D 、2[答案] C[解析] 由题意可得a 2＝2,a ·b ＝－3,所以(2a ＋b )·a ＝2a 2＋a·b ＝4－3＝1、故选C 、 2、已知向量a ＝(3,4),b ＝(2,－1),如果向量(a ＋x b )与b 垂直,则x 的值为( ) A 、233B 、323C 、2D 、－25[答案] D[解析] a ＝(3,4),b ＝(2,－1),a ＋x b ＝(3＋2x,4－x ), ∵(a ＋x b )⊥b ,∴2(3＋2x )－(4－x )＝0,x ＝－25、故选D 、3、若a ＝(2,3),b ＝(－4,7),则a 在b 方向上的射影为( ) A 、 3B 、135 C 、655D 、65[答案] C[解析] ∵a ＝(2,3),b ＝(－4,7), ∴a ·b ＝2×(－4)＋3×7＝13,|b |＝－42＋72＝65、∴a 在b 方向上的射影a ·b |b |＝1365＝655、 4、平面向量a 与b 的夹角为120°,a ＝(－2,0),|b |＝1,则|a ＋b |＝( ) A 、3 B 、 3 C 、7 D 、7[答案] B [解析] |a |＝2,|a ＋b |＝a ＋b2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝22＋2×2×1×cos120°＋12＝4＋1－2＝3、5、已知向量a ＝(1,3),b ＝(3,m ),若向量a ,b 的夹角为π6,则实数m ＝( )A 、2 3B 、 3C 、0D 、－ 3[答案] B[解析] 本题考查向量的坐标运算及数量积、a ·b ＝3＋3m ＝|a |·|b |·cos π6＝2·9＋m 2·32、 解之,m ＝3、6、已知向量OA →＝(2,2),OB →＝(4,1),在x 轴上有一点P ,使AP →·BP →有最小值,则P 点坐标为( )A 、(－3,0)B 、(3,0)C 、(2,0)D 、(4,0)[答案] B[解析] 设P (x,0),则AP →＝(x －2,－2), BP →＝(x －4,－1),AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1,∴当x ＝3时AP →·BP →有最小值, ∴P (3,0)、 二、填空题7、已知a ＝(1,0),|b |＝1,c ＝(0,－1)满足3a ＋k b ＋7c ＝0,则实数k 的值为________、 [答案] ±58[解析] k b ＝－3a －7c ＝－3(1,0)－7(0,－1)＝(－3,7)、 ∴|k b |＝|k |·|b |＝－32＋49＝58、∵|b |＝1, ∴k ＝±58、8、已知向量a ＝(1,0),b ＝(1,1),则(1)与2a ＋b 同向的单位向量的坐标表示为________; (2)向量b －3a 与向量a 夹角的余弦值为________、[答案] (1)(31010,1010) (2)－255[解析] 本题主要考查了向量的坐标运算,单位向量及夹角的求法、 (1)2a ＋b ＝2(1,0)＋(1,1)＝(3,1), 单位向量为(31010,1010),(2)cos 〈a ,b －3a 〉＝a ·b －3a|a |·|b －3a |＝错误!＝－错误!、三、解答题9、已知向量a ＝(3,－1)与b ＝(1,3),若a ·c ＝b ·c ,试求模为2的向量c 的坐标、 [分析] 设出c 的坐标,再利用数量积的坐标运算公式及模长公式求解、[解析] 设c ＝(x ,y ),则a ·c ＝(3,－1)·(x ,y )＝3x －y ,b ·c ＝(1,3)·(x ,y )＝x ＋3y ,由a ·c ＝b ·c 及|c |＝2,得⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝x ＋3y x 2＋y 2＝2解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12y ＝3－12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋12y ＝－3－12、所以c ＝(3＋12,－3－12)或c ＝(－3＋12,－3－12)、 10、已知平面向量a ＝(3,4),b ＝(9,x ),c ＝(4,y )且a ∥b ,a ⊥C 、 (1)求b 与c ;(2)若m ＝2a －b ,n ＝a ＋c ,求向量m ,n 的夹角的大小、 [解析] (1)∵a ∥b ,∴3x －36＝0、∴x ＝12、 ∵a ⊥c ,∴3×4＋4y ＝0、∴y ＝－3、∴b ＝(9,12),c ＝(4,－3)、 (2)m ＝2a －b ＝(6,8)－(9,12)＝(－3,－4),n ＝a ＋c ＝(3,4)＋(4,－3)＝(7,1),设m ,n 的夹角为θ, 则cos θ＝－3×7＋－4×1－32＋－42×72＋12＝－25252＝－22、又∵0°≤θ≤180°,∴θ＝135°、一、选择题1、定义一种新运算a ⊗b ＝|a ||b |sin θ,其中θ为a 与b 的夹角,已知a ＝(－3,1),b＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫120,则a ⊗b ＝( ) A 、32 B 、12 C 、22D 、33[答案] B [解析] ∵cos θ＝a ·b|a |·|b |＝错误!＝错误!＝－错误!,又∵0°≤θ≤180°,∴θ＝150°, 所以a ⊗b ＝|a |·|b |sin θ＝2×12×12＝12、2、已知向量a ＝(1,2),b ＝(2,－3)、若向量c 满足(c ＋a )∥b ,c ⊥(a ＋b ),则c 等于( )A 、(79,73)B 、(－73,－79)C 、(73,79)D 、(－79,－73)[答案] D[解析] 设c ＝(x ,y ),则c ＋a ＝(1＋x,2＋y ), ∵(c ＋a )∥b ,∴－3(1＋x )＝2(2＋y )、① 又a ＋b ＝(3,－1),且c ⊥(a ＋b ),∴3x －y ＝0、② 联立①②,解得x ＝－79,y ＝－73、∴c ＝(－79,－73)、二、填空题3、如图,在平行四边形ABCD 中,AC →＝(1,2),BD →＝(－3,2),则AD →·AC →＝________、[答案] 3[解析] AD →·AC →＝[12(AC →＋BD →)]·AC →＝12[(1,2)＋(－3,2)]·(1,2)＝(－1,2)·(1,2)＝3、4、已知a ＝(2t,7),b ＝(1,t ),若a ,b 的夹角为钝角,实数t 的取值范围为________、 [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1420 [解析] 因为a ,b 的夹角为钝角, 所以a·b <0,且a ,b 不共线,即有⎩⎪⎨⎪⎧2t ×1＋7×t <02t ×t －7×1≠0,解得t <0且t ≠－142、 故t 的取值范围为t <0且t ≠－142、 三、解答题5、已知向量a ＝(1,2),b ＝(2,－2)、 (1)设c ＝4a ＋b ,求(b·c )a ; (2)若a ＋λb 与a 垂直,求λ的值; (3)求向量a 在b 方向上的射影、 [解析] (1)∵a ＝(1,2),b ＝(2,－2), ∴c ＝4a ＋b ＝(4,8)＋(2,－2)＝(6,6)、 ∴b·c ＝2×6－2×6＝0, ∴(b·c )a ＝0a ＝0、(2)a ＋λb ＝(1,2)＋λ(2,－2)＝(2λ＋1,2－2λ), 由于a ＋λb 与a 垂直,∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0,∴λ＝52、(3)设向量a 与b 的夹角为θ, 向量a 在b 方向上的射影为|a |cos θ、 ∴|a |cos θ＝a·b |b |＝1×2＋2×－222＋－22＝－222＝－22、6、已知点A (2,0),B (0,2),C (cos α,sin α)(其中0<α<π),O 为坐标原点,若|OA →＋OC →|＝7,求OB →与OC →的夹角、[解析] 由已知得OA →＋OC →＝(2＋cos α,sin α)、 ∵|OA →＋OC →|＝7,∴(2＋cos α)2＋sin 2α＝7、 即4＋4cos α＋cos 2α＋sin 2α＝7、 ∴cos α＝12,又α∈(0,π),∴sin α＝32、∴OC →＝(12,32),又OB →＝(0,2)、∴cos ∠BOC ＝OB →·OC →|OB →||OC →|＝32,∴∠BOC ＝π6、故OB →与OC →的夹角为π6、7、已知三个点A (2,1),B (3,2),D (－1,4)、 (1)求证:AB ⊥AD ;(2)要使四边形ABCD 为矩形,求点C 的坐标,并求矩形ABCD 两对角线所夹的锐角的余弦值、[解析] (1)证明:因为A (2,1),B (3,2),D (－1,4),所以AB →＝(1,1),AD →＝(－3,3)、 又因为AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0、 所以AB →⊥AD →,即AB ⊥AD 、(2)解:如图,由四边形ABCD 为矩形,知DC →＝AB →, 设C (x ,y ),则(x ＋1,y －4)＝(1,1),即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝1y －4＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝5所以C (0,5)、所以CA →＝(2,－4),DB →＝(4,－2), 所以CA →·DB →＝2×4＋(－4)×(－2)＝16, |CA →|＝22＋－42＝25,|DB →|＝|CA →|＝25,所以cos 〈CA →,DB →〉＝CA →·DB →|CA →|·|DB →|＝1625×25＝45,所以矩形ABCD 两对角线所夹的锐角的余弦值为45、。

6.3.2 平面向量数量积的坐标表示（精练）【题组一 数量积的坐标运算】1．（2021·深圳市龙岗区）已知向量()1,3a =-，()5,4b =-，则⋅=a b （ ） A ．15 B ．16C ．17D ．18【答案】C【解析】因为向量()1,3a =-，()5,4b =-，所以()()153417a b ⋅=-⨯-+⨯=，故选：C 2．（2020·广东高一期末）若(1,2),(2,3)=-=a b 则(2b)b a -⋅=（ ） A ．-5 B ．5C ．-6D ．6【答案】A【解析】因为(1,2),(2,3)=-=a b ，所以(2b)b a -⋅=(4,1)(2,3)42135-⋅=-⨯+⨯=-.故选：A.3．（2020·湖北高一期末）已知向量()4,5a =，()22,11a b -=-，则向量a 在向量b 方向上的投影为（ ）A ．1B ．2-C ．2D ．-1【答案】B【解析】由题意，()4,5a =，()22,11a b -=-，可得()26,6b -=-，则()3,3b =-，所以43353a b ⋅=⨯-⨯=-，()233b =+-=所以向量a 在向量b 方向上的投影为3232a b b⋅-==-.故选：B.4．（2020·湖北武汉市·高一期末）已知()1,2A -，()4,1B-，()3,2C ，则cos BAC ∠=（ ）A ．10-B ．10C ．2-D ．2【答案】D【解析】由已知得()3,1AB =，()2,4AC =，∴cos cos ,23AB AC BAC AB AC AB AC⋅∠====.故选：D. 5．（2020·安徽合肥市·高一期末）已知点()1,1A -，()1,2B ，()2,1C --，()3,4D ，则向量CD →在BA→方向上的投影是（ ） A．- B．2-C．D．2【答案】A【解析】由题可知，(1,1)A -，(1,2)B ，(2,1)C --，(3,4)D ，所以(2,1)BA →=--，(5,5)CD →=， 则向量CD →在BA →方向上的投影是||BA CD BA →→→⋅==-故选：A.6．（2020·四川内江市）已知向量(1,2)a =，(,4)b x =，(2,)c y =，若//a b ，a c ⊥，则()b a c ⋅-=（ ） A ．14 B ．-14C ．10D ．6【答案】C【解析】向量(1,2)a =，(,4)b x =，(2,)c y =，//a b ，可得142x ⨯=，解得2x =，(2,4)b =，a c ⊥，可得1220y ⨯+=，解得1y =-，(1,3)a c -=-，则()21210b a c -=-+=．故选：C ．7．（2020·山东聊城市·高一期末）向量(1,3)a =，(3,1)b =，则向量a b +与a b -的夹角为（ ） A ．12πB ．6πC ．3π D ．2π 【答案】D【解析】设θ为a b +与a b -的夹角，(1,3)a =，(3,1)b =，则1+31+a b +=（，，131a b -=（-，）||=6a b ++||6a b -=-又()()0cos 04a b a b a b a bθ+⋅-===+-，0,2πθπθ≤≤∴=. 故选：D .8．（2020·尤溪县第五中学高一期末）已知向量(1,2)a =，(,4)a b m +=，若a b ⊥ ，则m =（ ） A ．3- B ．2-C ．2D ．3【答案】A【解析】()()(,4)1,2(1,2)b a b a m m =+-=-=-，因为a b ⊥，所以()112230a b m m ⋅=-⨯+⨯=+=，解得：3m =-，故选：A9．（2020·全国高一课时练习）设(3,4)a =，a b ⊥且b 在x 轴上的投影为2，则b =（ ） A ．8(2,)3B ．3(2,)2-C ．8(2,)3-D ．3(2,)2-【答案】B【解析】由题意，向量b 在x 轴上的投影为2，可设(2,)b y =， 因为a b ⊥，可得2340a b y ⋅=⨯+=，解得32y =-，所以3(2,)2b =-.故选：B. 10．（2021·江苏高一）已知平面向量(1,)a m =，()0,2b =，若(3)b a mb ⊥-，则实数m =（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】因为(3)b a mb ⊥-，所以(3)0b a mb ⋅-=，即23a b mb ⋅=，又(1,)a m =，()0,2b =，故324m m ⨯=，解得0m =.故选：B.11．（2020·全国高一）已知向量()()126,,3,2e e λ==-，若12,e e 为钝角，则λ的范围是（ ） A ．(,9)-∞ B ．(9,)+∞C ．(,4)(4,9)-∞⋃D ．(,4)(4,9)-∞-⋃-【答案】D【解析】12,e e 为钝角，∴12·0e e <且12,e e 不共线，∴18201230λλ-+<⎧⎨+≠⎩，解得9λ<且4λ≠-， λ∴的范围是(-∞，4)(4-⋃-，9).故选：D.12．（多选）（2021·江苏高一）已知向量(),3a m =，()2,4b =-，若()a b a +⊥，则（ ） A ．1m =或3m =- B ．1m =-或3m = C ．2a b +=或10a b += D ．2a b +=或26a b +=【答案】AC【解析】因为向量(),3a m =，()2,4b =-，所以()2,1b m a +=+-，若()a b a +⊥，则()()2130m m +⨯+-⨯=，即2230m m +-=，解得1m =或3m =-， 故A 正确，B 错；当3m =-时，(b m a +=+=当1m =时，(a b m +=+=故C 正确，D 错.故选：AC.13．（多选）（2020·全国高一）设向量()2,0a =，()1,1b =，则（ ） A ．a b = B ．()//a b b - C ．()a b b -⊥ D ．a 与b 的夹角为π4【答案】CD【解析】因为()2,0a =，()1,1b =， 所以2,2a b ==，所以a b ≠，故A 错误； 因为()2,0a =，()1,1b =，所以()()=1,1a b --，又()1,1b =， 则1111⨯≠-⨯，所以()a b -与b 不平行，故B 错误； 又()110a b b -⋅=-=，故C 正确；又2cos ,222a b a b a b⋅<>===⋅， 又a 与b 的夹角范围是[]0,π， 所以a 与b 的夹角为π4，故D 正确. 故选：CD.14．（2020·全国高一）已知向量()1,2a =-，()4,3b =，22c =.若a 与()b c -垂直，则向量a 与c 的夹角的余弦值是______.【答案】10-【解析】由已知14(2)32a b ⋅=⨯+-⨯=-，5a =，∵a 与()b c -垂直，∴()0a b c a b a c ⋅-=⋅-⋅=，∴2a c a b ⋅=⋅=-，∴2cos 105a c a c a c⋅-<⋅>===-⨯．15．（2020·绵阳市·四川省绵阳江油中学）已知向量()1,2a =，与向量(),1b x = （1）当x 为何值时，a b ⊥；（2）当3x =为何值时，求向量a 与向量b 的夹角； （3）求2b a -的最小值以及取得最小值时向量b 的坐标． 【答案】（1）2x =-；（2）4π；（3）最小值3，(2,1)=b ． 【解析】（1）20a b x ⋅=+=，2x =-，所以2x =-时，a b ⊥；（2）由题意(3,1)b =，3cos ,25a b a b a b⋅+<>===⨯,4a b π<>=；（3）由已知2(2,3)b a x -=--， 所以2(2)b a x -=-2x =时，2b a -取得最小值3，此时(2,1)=b ．【题组二 巧建坐标解数量积】1．（2020·安徽省亳州市第十八中学高一期中）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，点P 为CD 的中点，点Q 在BC 上，且2BQ =．（1）求AP AQ ⋅；（2）若AC AP AQ λμ=+（λ，μ∈R ），求λμ的值.【答案】（1）14；（2）23λμ=. 【解析】如图，分别以边AB ，AD 所在的直线为x 轴，y 轴， 点A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则()0,0A ，()2,3P ，()4,0B ，()4,3C ，()4,2Q .（1）∵()2,3AP =，()4,2AQ =，∴243214AP AQ ⋅=⨯+⨯=. （2）∵()4,3AC =，()2,3AP =，()4,2AQ =，由AC AP AQ λμ=+，得()()4,324,32λμλμ=++，∴244,323,λμλμ+=⎧⎨+=⎩解得1,23,4λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴23λμ=.2．（2020·江西高一期末）如图，在ABC 中，已知2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，D 为线段BC 中点，E 为线段AD 中点.（1）求AD BC ⋅的值；（2）求EB ，EC 夹角的余弦值.【答案】（1）6；（2. 【解析】（1）依题意可知ABC为直角三角形，BC =则(0,0)B ，(0,2)A，C ， 因为D 为BC的中点，故D ，∴()3,2AD =-，()2BC =，∴36AD BC ⋅=⨯=.（2）由E 为线段AD 中点可知2E ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，∴12EB ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，312EC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，∴cos ,||||EB ECEB EC EB EC ⋅<>=11-⨯+⨯==3．（2020·河北邢台市·高一期中）如图，扇形OAB的圆心角为90︒，2OA =，点M 为线段OA 的中点，点N 为弧AB 上任意一点.（1）若30BON ∠=︒，试用向量OA ，OB 表示向量ON ； （2）求MB ON ⋅的取值范围. 【答案】（1）1322ON OA OB =+；（2）[]2,4-. 【解析】（1）如图，以O 为坐标原点，建立直角坐标系xOy ， 则()0,0O ，()0,2A ，()2,0B ，)N，所以()0,2OA =，()2,0OB =，()3,1ON =.设ON xOA yOB=+，则212x y =⎧⎪⎨=⎪⎩12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以1322ON OA OB =+. （2）设()0θ90BON θ∠=︒≤≤︒，则()2cos ,2sin N θθ，()0,1M ， 则()2,1MB =-，()2cos ,2sin ON θθ=， 所以()4cos 2sin MB ON θθθϕ⋅=-=+， 其中cos 5ϕ=，sin 5ϕ=（ϕ为锐角）. 因为090θ︒≤≤︒，所以90ϕθϕϕ≤+=+︒， 则()maxcos cos 5θϕϕ+==，()()mincos cos 90sin 5θϕϕϕ+=︒+=-=-，所以MBON ⋅的取值范围为[]2,4-.【题组三 数量积与三角函数综合运用】1．（2020·河南安阳市·林州一中高一月考）已知向量(4sin ,1cos ),(1,2)a b αα=-=-,若2a b ⋅=-,则22sin cos 2sin cos αααα=-( ) A ．1 B ．1-C ．27-D ．12-【答案】A【解析】由2a b ⋅=-，得4sin 2(1cos )2αα--=-，整理得1tan 2α=-，所以2221sin cos tan 2112sin cos 2tan 112αααααα-===---，故选：A . 2．（2020·辽宁高一期末）已知向量()1,cos2a x =，(sin 2b x =，将函数()f x a b =⋅的图象沿x 轴向左平移ϕ()0ϕ>个单位后，得到的图象关于原点对称，则ϕ的最小值为（ ）A ．12πB ．6πC ．512π D ．3π 【答案】D【解析】()sin 222sin 23f x a b x x x π=⋅⎛⎫==+⎪⎝⎭， 将函数()f x 的图象向左平移ϕ个单位，得到()2sin 22sin 2233y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 该函数的图象关于原点对称，∴该函数是奇函数，23k πϕπ∴+=，k Z ∈，62k ππϕ∴=-+，k Z ∈，又0ϕ>，min 3πϕ∴=.故选：D .3．（2020·陕西宝鸡市·高一期末）已知α是锐角，3(,sin )2a α=，1(,2cos )3b α=-，且a b ⊥，则α为（ ） A ．15° B ．45°C ．75°D ．15°或75°【答案】D【解析】a b ⊥，3(,sin )2a α=，1(,2cos )3b α=-，112sin cos 0sin 222a b ααα∴⋅=-=⇒=，又()0,90α∈，则20,180α，230α∴=或150，解得α=15°或75°.故选：D4．（2020·辽宁大连市·）已知向量1,tan 3a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,cos b α=，若a b ⊥，则3cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．13- B ．13C ．D 【答案】A【解析】若a b ⊥，则1tan cos 03a b αα⋅=+⋅=，即1sin 3α=-， 所以31cos sin 23παα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭.故选：A 5．（2020·陕西宝鸡市·高一期末）已知向量(sin 70,cos 70)a =，(cos80,sin 80)b =，则a b +的值为（ ）A ．1 BC ．2D ．4【答案】B 【解析】(sin 70,cos 70)a =，(cos80,sin 80)b =(sin 701a ∴==，(cos801b ==，1sin 70cos80cos70sin80sin1502a b ， ()22223a b a b a a b b ∴+=+=+⋅+=.故选：B.6．（2020·泰兴市第二高级中学高一期末）已知(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，其中0αβπ<<<. （1）求向量a b +与a b -所成的夹角； （2）若k a b +与a k b -的模相等，求2αβ-的值（k 为非零的常数）.【答案】（1）90；（2）4π-. 【解析】（1）由已知得：1a b ==，则：()()22·0a b a b a b +-=-=，因此：()()a b a b +⊥-，因此，向量a b +与a b -所成的夹角为90；（2）由(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，可得()cos cos ,sin sin k a b k k αβαβ+=++，()cos cos ,sin sin a k b k k αβαβ-=--，(cos ka b k +=，(cos a kb α-=∴=整理可得：()()222cos 112cos k k k k βαβα+-+=--+，即：()4cos 0k βα-=，0k ≠ ， ()cos 0βα∴-=，即()cos 0αβ-=，00αβππαβ<<<∴-<-<，因此：2παβ-=-，即：24αβπ-=-.7．（2020·株洲市南方中学高一期末）已知向量()2sin ,1a α=，()1,cos b α=. （1）若角α的终边过点()3,4，求a b ⋅的值； （2）//a b ，且角α为锐角，求角α的大小； 【答案】（1）115；（2）4π．【解析】（1）角α的终边过点()3,4，点(3,4)到原点距离为5r ==，∴4sin 5α，3cos 5α=， ∴43112sin cos 2555a b αα⋅=+=⨯+=； （2）∵//a b ，∴2sin cos 10αα-=，sin21α=，又α为锐角，∴22πα=，∴4πα=．8．（2020·林芝市第二高级中学高一期末）在平面直角坐标系xoy中，已知向量2(,22m =-，(sin ,cos )n x x =，(0,)2x π∈．（1）若m n ⊥，求tan x 的值； （2）若m 与n 的夹角为3π，求x 的值． 【答案】（1）tan 1x =（2）512π． 【解析】（1）∵m n ⊥，∴0mn ⋅=0x x -=，∴tan 1x =． （2）∵m 与n 的夹角为3π，∴2cos 122cos ,112x x m n m n m n -⋅<>===⨯||||，故1sin()42x π-=， 又(0,)2x π∈，∴(,)444πππ-∈-x ，46x ππ∴-=，即512x π=．故x 的值为512π． 9．（2020·广西桂林市·高一期末）已知向量(sin ,1)m x =-，向量13cos ,2n x ⎛⎫= ⎪⎭，函数()()f x m n m =+⋅.（1）求()f x 的最小正周期T 及其图象的对称轴的方程； （2）若方程()0f x t -=在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求实数t 的取值范围.【答案】（1）π，23k x ππ=+，k z ∈；（2）3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）∵(sin ,1)m x =-，13cos ,2n x ⎛⎫= ⎪⎭，∴1sin ,2m n x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，可得1()()sin (sin )2f x m n m x x x =+⋅=+21sin cos 2x x x =+∵21sin (1cos 2)2x x =-，1sin cos sin 22x x x =∴11()(1cos 2)2sin 212226f x x x x π⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭ 因此，()f x 的最小正周期22T ππ==. ∵262x k πππ-=+，k z ∈，∴对称轴方程为23k x ππ=+，k z ∈. （2）∵,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得52,636x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，∴1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得()sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的值域为3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ∵方程()0f x t -=在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解， ∴()f x t =在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，即得实数t 的取值范围为3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 10．（2020·甘肃白银市·高一期末）设向量()3cos ,2sin a θθ=-． （1）当43θπ=时，求a 的值： （2）若()3,1b =-，且//a b，求22cos 124θπθ-⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1；（2）23．【解析】（1）43θπ=，所以4433cos ,2sin ,332a ππ⎛⎫⎛=-= ⎪ ⎝⎭⎝，所以2322a ⎛⎫==⎪； （2）//a b ，则3cos 32sin 0θθ-+⨯=，所以1tan 2θ=，故22cos 1cos 122sin cos tan 134θθπθθθθ-===++⎛⎫+ ⎪⎝⎭．11．（2020·湖北荆门外语学校高一期中）已知向量()2sin ,cos a m x x =，()sin cos ,4sin b x x m x =+-，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.（1）若//a b ，tan 2x =-，求实数m 的值；（2）记()f x a b =⋅，若()1f x ≤恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）±（2）(,1]-∞. 【解析】（1）∵//a b ，∴ 228sin cos (sin cos )m x x x x -=+，整理得：228tan tan 1m x x =-- ∵tan 2x =-，2321m =，解得：m = （2）∵()f x a b =⋅，()2sin ,cos a m x x =，()sin cos ,4sin b x x m x =+-， ∴()2sin (sin cos )4sin cos f x m x x x x x =+-22sin 2sin cos m x m x x =- (1cos 2)sin 2m x m x =-- (sin 2cos2)m m x x =-+sin(2)4m x π=+∵(,0)2x π∈-，∴32444x πππ-<+<，∴1sin(2)42x π-≤+<，∴01)14x π<+≤若()sin(2)14f x m x π=+≤恒成立，则11)4m x π≤+恒成立，又∵111)4x π≥=+，∴1m ≤，故实数m的取值范围为(,1]-∞.12．（2020·山西朔州市·应县一中高一期中（理））已知()sin ,cos a x x ωω=，()sin ,2sin cos b x x x ωωω=-，()0,4ω∈，若()2f x a b =⋅其图像关于点,08M π⎛⎫⎪⎝⎭对称（1）求()f x 的解析式； （2）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调区间； （3）当a b ⊥时，求x 的值. 【答案】（1）()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的增区间是30,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，减区间是3,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）28k x ππ=+，k Z ∈. 【解析】（1）()sin ,cos a x x ωω=，()sin ,2sin cos b x x x ωωω=- ∴()2222sin4sin cos 2cos f x a b x x x x ωωωω=⋅=+-2sin22cos2x x ωω=-24x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭∵()f x 的图象关于点,08M π⎛⎫⎪⎝⎭对称 ∴284k ππωπ⋅-=，k Z ∈即41k ω=+，k Z ∈∵()0,4ω∈ ∴1ω=∴()24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.（2）()24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间为： ()()322224288k x k k Z k x k k Z πππππππππ-≤-≤+∈⇒-≤≤+∈； 单调递减区间为：()()33722224288k x k k Z k x k k Z πππππππππ+≤-≤+∈⇒+≤≤+∈； 所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的增区间是30,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，减区间是3,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （3）∵a b ⊥∴()222sin 204f x a b x π⎛⎫=⋅=-= ⎪⎝⎭即24x k ππ-=，k Z ∈ 解得28k x ππ=+，k Z ∈13．（2020·广东高一期末）已知向量(1,2cos ),3sin ,0,23π⎛⎫⎛⎫⎛⎫==∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭a x b x x . （1）若//a b ，求tan2x 的值；（2）若f （x ）＝a •b ，则函数f （x ）的值域．【答案】（1（2）【解析】（1）因为//a b ，所以cos 0x x -=，所以1sin 22x =，因为03x π<<，所以2023x π<<，所以26x π=，所以tan 2tan63x π==.（2）()f x a b =⋅=2cos 2x x x x+⨯=+)4x π=+， 因为03x π<<，所以74412x πππ<+<，所以sin(),1]42x π+∈，所以()f x ∈.14．（2021·广东湛江）已知向量33cossin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，cos sin()22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，且0.2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，（1）求a b 及a b +的值；（2）若()·2f x a b a b λ=-+的最小值是32-，求实数λ的值． 【答案】（1）·cos 2a b x =，2cos a b x +=，（2）12λ= 【解析】（1）因为向量33cossin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，cos sin()22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，所以33·cos cos sin sin cos 22222x x x xa b x =-=， 33cos cos ,sin sin 2222x x x x a b ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，所以(cosa b +===因为02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以cos 0x >， 所以2cos a b x +=，（2）由（1）可得()2·2cos 24cos 2cos 4cos 1f x a b a b x x x x λλλ=-+=-=--， 令cos t x =，则[0,1]t ∈，令2()241g t t t λ=--，其图像的对称轴为直线44t λλ-=-=， 则问题转化为当λ为何值时，函数2()241g t t t λ=--在[0,1]t ∈上有最小值32-， ①当0λ≤时，则函数()g t 在[0,1]上递增，最小值为3(0)12g =-≠-，不合题意，舍去， ②01λ<<时，则函数()g t 在[0,]λ上递减，在[,1]λ上递增，则最小值为23()212g λλ=--=-，解得12λ=或12λ=-（舍去）， ③当1λ≥时，则函数()g t 在[0,1]上递减，最小值为3(1)142g λ=-=-，解得58λ=，不合题意，舍去，综上，12λ=【题组四 数量积与几何综合运用】1．（2020·全国高一课时练习）一个平行四边形的三个顶点坐标分别是()5,7、()3,5-、()3,4，则第四个顶点的坐标不可能是（ ） A ．()1,8- B ．()5,2-C ．()11,6D ．()5,2【答案】D【解析】设点()5,7A 、()3,5B -、()3,4C ，设第四个顶点为(),D x y ，分以下三种情况讨论： ①若四边形ABDC 为平行四边形，则AC BD =，即()()2,33,5x y --=+-，即3253x y +=-⎧⎨-=-⎩，解得52x y =-⎧⎨=⎩，此时，点D 的坐标为()5,2-；②若四边形ABCD 是平行四边形，则AD BC =，则()()5,76,1x y --=-， 即5671x y -=⎧⎨-=-⎩，解得116x y =⎧⎨=⎩，此时，点D 的坐标为()11,6；③若四边形ACBD 为平行四边形，则AD CB =，即()()5,76,1x y --=-，即5671x y -=-⎧⎨-=⎩，解得18x y =-⎧⎨=⎩，此时，点D 的坐标为()1,8-.综上所述，第四个顶点的坐标为()11,6或()5,2-或()1,8-，所以不可能是()5,2，故选：D. 2．（2020·辽宁）已知向量．（1）若ΔABC 为直角三角形，且∠B 为直角，求实数λ的值． （2）若点A 、B 、C 能构成三角形，求实数λ应满足的条件 ． 【答案】（1）λ=2；（2）λ≠−2． 【解析】∵即：−7(6−λ)+7(3λ−2)=0,∴λ=2（2）∵若点A 、B 、C 能构成三角形，则A 、B 、C 不共线 ∴−7(3λ−2)≠7(6−λ) ∴实数λ应满足的条件 是λ≠−23．（2021·重庆市）已知向量(3,4),(6,3),(5,3)OA OB OC x y =-=-=---,(4,1)OD =． （1）若四边形ABCD 是平行四边形，求,x y 的值；（2）若ABC ∆为等腰直角三角形，且B ∠为直角，求,x y 的值． 【答案】（1）2,5x y =-=-；（2）0{3x y ==-或2{3x y =-=．【解析】（1）(1,5)AD =，(1,)BC x y =---，由AD BC =得x=-2,y=-5． （2）(3,1),AB =(1,)BC x y =---，若B ∠为直角，则AB BC ⊥， ∴3(1)0x y ---=，又AB BC =，∴22(1)10x y ++=，再由3(1)y x =--，解得0{3x y ==-或2{3x y =-=．4．（2020·浙江温州市·高一期末）已知平面上三点,,A B C ，()2,3BC k =-，()2,4AC =. （1）若BC AC =，求实数k 的值.（2）若ABC ∆是以BC 为斜边的直角三角形，求实数k 的值.【答案】（1）2k =（2）2k =-【解析】（1）由于BC AC =，则=解得2k =.（2）(),1AB AC BC k =-= 由题意得A 为直角，则•0AB AC =. 即240k +=，故2k =-.5．（2020·山西朔州市·应县一中高一期中（文））已知向量OA =()3,4-,OB =()6,3-,OC =()5,3m m ---,O 为坐标原点.（1）若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值； （2）若点A 、B 、C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件. 【答案】（1）74m =；（2）12m ≠ 【解析】（1）因为OA =()3,4-，OB =()6,3-，OC =()5,3m m ---， 所以(3,1)AB OB OA =-=，(2,1)AC OC OA m m =-=--， 若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，则AB AC ⊥， ∴3（2﹣m ）+（1﹣m ）＝0，解得74m =． （2）若点A ，B ，C 能构成三角形，则这三点不共线，即AB 与AC 不共线， 得3（1﹣m ）≠2﹣m ，∴实数12m ≠时，满足条件． 6．（2020·广东云浮市·高一期末）（1）已知向量a ，b 满足5a =，()1,2b =，且//a b ，求a 的坐标． （2）已知()1,4A --、()5,2B 、()3,4C ，判断并证明以A ，B ，C 为顶点的三角形是否为直角三角形，若是，请指出哪个角是直角．【答案】（1）()1,2a =或()1,2a =--；（2）ABC 为直角三角形，B 为直角，证明见解析. 【解析】（1）设(),a x y =，则225x y +=，又//a b ，所以20x y -=，联立2252x y y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩或12x y =-⎧⎨=-⎩． 于是()1,2a =或()1,2a =--．（2）ABC 是直角三角形，B 为直角．证明如下：∵()()()1,45,26,6BA =---=--，()()()3,45,22,2BC =-=-，∴()()62620BA BC ⋅=-⨯-+-⨯=，∴BA BC ⊥，即ABC 为直角三角形，B 为直角．7．（2020·湖北襄阳市·襄阳五中高一月考）已知向量(3,4)OA =-，(6,3)OB =-，(5,3)OC x y =-+，(4,1)OD =--．（Ⅰ）若四边形ABCD 是平行四边形，求x ，y 的值；（Ⅱ）若ABC ∆为等腰直角三角形，且B 为直角，求x ，y 的值．【答案】（Ⅰ）2,5--；（Ⅱ）03x y =⎧⎨=-⎩或23x y =-⎧⎨=⎩． 【解析】（Ⅰ）(3,4)OA =-，(6,3)OB =-，(5,3)OC x y =-+，∴(1,5)AD =--，(1,)BC x y =+，由AD BC =，2x =-，5y =-； （Ⅱ）(3,1)AB =--，(1,)BC x y =+，B ∠为直角，则AB BC ⊥，3(1)0x y ∴-+-=，又||||AB BC =，22(1)10x y ∴++=，再由3(1)y x =-+，解得：03x y =⎧⎨=-⎩或23x y =-⎧⎨=⎩．。

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平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、选择题（每小题3分,共18分)1.（2014·肇庆高一检测）设向量a=(2，0）,b=(1，1)，则下列结论中正确的是（）A。

｜a|=|b｜B。

a·b=C。

(a—b)⊥b D。

a∥b【解析】选C。

因为a=（2，0)，b=（1,1),所以|a｜=2，|b|=，故｜a|≠｜b|，A错误；a·b=(2，0）·（1，1）=2×1+0×1=2，故B错误；因为a—b=（1,—1），所以（a-b)·b=(1，—1）·(1，1）=0,所以(a—b)⊥b，故C正确；因为2×1-0×1≠0,所以a与b不共线，故D错误.2。

（2014·厦门高一检测）已知a=（2，1)，b=（-1,—3)，则｜a—b｜等于（)A. B. C.5 D.25【解析】选C.因为a=（2,1),b=（-1,—3），所以a—b=(3，4），所以|a—b｜==5.【变式训练】已知向量a=(1,）,b=(-1，0)，则|2a+b｜等于( )A.1 B。

2019-2020学年高中数学 第2章 6平面向量数量积的坐标表示课时作业 北师大版必修4一、选择题1．(2015·全国卷Ⅱ文，4)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2[答案] C[解析] 由题意可得a 2＝2，a ·b ＝－3，所以(2a ＋b )·a ＝2a 2＋a·b ＝4－3＝1.故选C ．2．已知向量a ＝(3,4)，b ＝(2，－1)，如果向量(a ＋x b )与b 垂直，则x 的值为( ) A ．233B ．323C ．2D ．－25[答案] D[解析] a ＝(3,4)，b ＝(2，－1)，a ＋x b ＝(3＋2x,4－x )， ∵(a ＋x b )⊥b ，∴2(3＋2x )－(4－x )＝0，x ＝－25.故选D ．3．若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的射影为( ) A ． 3 B ．135 C ．655D ．65[答案] C[解析] ∵a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)， ∴a ·b ＝2×(－4)＋3×7＝13，|b |＝－2＋72＝65.∴a 在b 方向上的射影a ·b |b |＝1365＝655. 4．平面向量a 与b 的夹角为120°，a ＝(－2,0)，|b |＝1，则|a ＋b |＝( ) A ．3 B ． 3 C ．7 D ．7[答案] B [解析] |a |＝2，|a ＋b |＝a ＋b2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝22＋2×2×1×cos120°＋12＝4＋1－2＝3.5．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A ．2 3B ． 3C ．0D ．－ 3[答案] B[解析] 本题考查向量的坐标运算及数量积．a ·b ＝3＋3m ＝|a |·|b |·cos π6＝2·9＋m 2·32. 解之，m ＝ 3.6．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点坐标为( )A ．(－3,0)B ．(3,0)C ．(2,0)D ．(4,0)[答案] B[解析] 设P (x,0)，则AP →＝(x －2，－2)， BP →＝(x －4，－1)，AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，∴当x ＝3时AP →·BP →有最小值， ∴P (3,0)． 二、填空题7．已知a ＝(1,0)，|b |＝1，c ＝(0，－1)满足3a ＋k b ＋7c ＝0，则实数k 的值为________． [答案] ±58[解析] k b ＝－3a －7c ＝－3(1,0)－7(0，－1)＝(－3，7)． ∴|k b |＝|k |·|b |＝－2＋49＝58.∵|b |＝1， ∴k ＝±58.8．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，则(1)与2a ＋b 同向的单位向量的坐标表示为________； (2)向量b －3a 与向量a 夹角的余弦值为________．[答案] (1)(31010，1010) (2)－255[解析] 本题主要考查了向量的坐标运算，单位向量及夹角的求法． (1)2a ＋b ＝2(1,0)＋(1,1)＝(3,1)， 单位向量为(31010，1010)，(2)cos 〈a ，b －3a 〉＝a b －3a|a |·|b －3a |＝，－2，5＝－255.三、解答题9．已知向量a ＝(3，－1)和b ＝(1，3)，若a ·c ＝b ·c ，试求模为2的向量c 的坐标．[分析] 设出c 的坐标，再利用数量积的坐标运算公式及模长公式求解．[解析] 设c ＝(x ，y )，则a ·c ＝(3，－1)·(x ，y )＝3x －y ，b ·c ＝(1，3)·(x ，y )＝x ＋3y ，由a ·c ＝b ·c 及|c |＝2，得⎩⎨⎧3x －y ＝x ＋3y ，x 2＋y 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12，y ＝3－12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋12，y ＝－3－12.所以c ＝(3＋12，－3－12)或c ＝(－3＋12，－3－12)． 10．已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )且a ∥b ，a ⊥C ． (1)求b 和c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小． [解析] (1)∵a ∥b ，∴3x －36＝0.∴x ＝12. ∵a ⊥c ，∴3×4＋4y ＝0.∴y ＝－3.∴b ＝(9,12)，c ＝(4，－3)． (2)m ＝2a －b ＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，n ＝a ＋c ＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)，设m ，n的夹角为θ， 则cos θ＝－3×7＋－－2＋－2×72＋12＝－25252＝－22.又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝135°.一、选择题1．定义一种新运算a ⊗b ＝|a ||b |sin θ，其中θ为a 与b 的夹角，已知a ＝(－3，1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，则a ⊗b ＝( )A ．32 B ．12 C ．22D ．33[答案] B[解析] ∵cos θ＝a ·b|a |·|b |＝－3，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0－32＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋02＝－322×12＝－32，又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝150°， 所以a ⊗b ＝|a |·|b |sin θ＝2×12×12＝12.2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )A ．(79，73)B ．(－73，－79)C ．(73，79)D ．(－79，－73)[答案] D[解析] 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(1＋x,2＋y )， ∵(c ＋a )∥b ，∴－3(1＋x )＝2(2＋y )．① 又a ＋b ＝(3，－1)，且c ⊥(a ＋b )，∴3x －y ＝0.② 联立①②，解得x ＝－79，y ＝－73.∴c ＝(－79，－73)．二、填空题3．如图，在平行四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－3,2)，则AD →·AC →＝________.[答案] 3[解析] AD →·AC →＝[12(AC →＋BD →)]·AC →＝12[(1,2)＋(－3,2)]·(1,2)＝(－1,2)·(1,2)＝3.4．已知a ＝(2t,7)，b ＝(1，t )，若a ，b 的夹角为钝角，实数t 的取值范围为________． [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，0 [解析] 因为a ，b 的夹角为钝角， 所以a·b <0，且a ，b 不共线，即有⎩⎪⎨⎪⎧2t ×1＋7×t <02t ×t －7×1≠0，解得t <0且t ≠－142. 故t 的取值范围为t <0且t ≠－142. 三、解答题5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)． (1)设c ＝4a ＋b ，求(b·c )a ； (2)若a ＋λb 与a 垂直，求λ的值； (3)求向量a 在b 方向上的射影． [解析] (1)∵a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)， ∴c ＝4a ＋b ＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)． ∴b·c ＝2×6－2×6＝0， ∴(b·c )a ＝0a ＝0.(2)a ＋λb ＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)， 由于a ＋λb 与a 垂直，∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝52.(3)设向量a 与b 的夹角为θ， 向量a 在b 方向上的射影为|a |cos θ. ∴|a |cos θ＝a·b |b |＝1×2＋－22＋－2＝－222＝－22.6．已知点A (2,0)，B (0,2)，C (cos α，sin α)(其中0<α<π)，O 为坐标原点，若|OA →＋OC →|＝7，求OB →与OC →的夹角．[解析] 由已知得OA →＋OC →＝(2＋cos α，sin α)． ∵|OA →＋OC →|＝7， ∴(2＋cos α)2＋sin 2α＝7. 即4＋4cos α＋cos 2α＋sin 2α＝7.∴cos α＝12，又α∈(0，π)，∴sin α＝32.∴OC →＝(12，32)，又OB →＝(0,2)．∴cos ∠BOC ＝OB →·OC →|OB →||OC →|＝32，∴∠BOC ＝π6.故OB →与OC →的夹角为π6.7．已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)． (1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标，并求矩形ABCD 两对角线所夹的锐角的余弦值．[解析] (1)证明：因为A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)，所以AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)． 又因为AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0. 所以AB →⊥AD →，即AB ⊥AD ．(2)解：如图，由四边形ABCD 为矩形，知DC →＝AB →， 设C (x ，y )，则(x ＋1，y －4)＝(1,1)， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝1，y －4＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5，所以C (0,5)．所以CA →＝(2，－4)，DB →＝(4，－2)， 所以CA →·DB →＝2×4＋(－4)×(－2)＝16， |CA →|＝22＋－2＝25，|DB →|＝|CA →|＝25，所以cos 〈CA →，DB →〉＝CA →·DB →|CA →|·|DB →|＝1625×25＝45，所以矩形ABCD 两对角线所夹的锐角的余弦值为45.。

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分,共20分）1．已知向量错误!＝错误!，错误!＝错误!，则∠ABC＝(）A．30°B．45°C．60°D．120°解析:由题意得cos ∠ABC＝错误!＝错误!＝错误!,又0°≤∠ABC≤180°,所以∠ABC＝30°。

答案： A2．已知向量a＝(－1,x)，b＝（1，x）,若2b－a与a垂直，则｜a｜＝（）A．1 B． 2C．2 D．4解析:由题意得，2b－a＝2（1，x)－(－1,x）＝（3，x），∵（2b－a）⊥a,∴－1×3＋x2＝0，即x2＝3，∴｜a|＝错误!＝2。

答案： C3．已知向量a＝（1,错误!），b＝(3，m)，若向量a,b的夹角为错误!，则实数m的值为()A．2错误!B．－错误!C．0 D．错误!解析:由题意得｜a|＝2，|b｜＝错误!，a·b＝3＋错误!m＝2错误!cos 错误!，解得m＝错误!,选D。

答案: D4．若a＝(2,1)，b＝（3，4）,则向量a在向量b方向上的射影的数量为（)A．2错误!B．2C。

错误!D．10解析:设a，b的夹角为θ，则｜a|cos θ＝|a|·错误!＝错误!＝错误!＝2.答案: B二、填空题（每小题5分，共15分)5．已知a＝（－1，3),b＝（1，t），若（a－2b)⊥a,则|b｜＝____________。

解析：∵a＝（－1，3)，b＝(1，t)，∴a－2b＝(－3，3－2t)．∵（a－2b）⊥a,∴(a－2b)·a＝0，即（－3)×(－1)＋3（3－2t）＝0,解得t＝2，∴b＝（1,2)，∴｜b｜＝错误!＝错误!。

答案: 错误!6．已知向量a ＝(1，3),2a ＋b ＝(－1，错误!），a 与2a ＋b 的夹角为θ，则θ＝________。