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解题技巧专题：解决抛物线中与系数a，b，c有关的问题◆类型一由某一函数的图象确定其他函数图象的位置【方法5】1．一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )2．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则直线y＝abx＋c的图象不经过( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限第2题图第3题图第4题图3．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则一次函数y ＝ax ＋b 与反比例函数y ＝c x在同一平面直角坐标系内的图象大致为( )4．★如图，一次函数y 1＝x 与二次函数y 2＝ax 2＋bx ＋c 的图象相交于P ，Q 两点，则函数y ＝ax 2＋(b －1)x ＋c 的图象可能是( )◆类型二 由抛物线的位置确定代数式的符号或未知数的值5．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列结论：①4ac <b 2；②a ＋c >b ；③2a ＋b >0.其中正确的有( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③6．(2017·成都中考)在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列说法正确的是( )A ．abc ＜0，b 2－4ac ＞0B ．abc ＞0，b 2－4ac ＞0C ．abc ＜0，b 2－4ac ＜0D ．abc ＞0，b 2－4ac ＜07．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3，0)，对称轴为直线x ＝－1，给出下列4个结论：①c >0；②若点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，y 1，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，y 2为函数图象上的两点，则y 1<y 2；③2a －b ＝0；④4ac －b 24a <0.其中正确结论的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第7题图第8题图8．(2017·安顺中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出下列4个结论：①4ac－b2＜0；②3b＋2c＜0；③4a＋c＜2b；④m(am＋b)＋b＜a(m≠－1)．其中正确结论的个数是( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．★二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，且P＝|2a＋b|＋|3b－2c|，Q＝|2a－b|－|3b＋2c|，试判断P，Q的大小关系．参考答案与解析1．C 2.D 3.B4．A 解析：∵一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于P，Q两点，∴方程ax2＋(b－1)x ＋c＝0有两个不相等的根，分别为点P，Q的横坐标x P，x Q.∴函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象与x轴有两个交点，分别为(x P ，0)，(x Q ，0)．∵x P ＞0，x Q ＞0，∴选项A 符合条件．故选A.5．B 6.B7．B 解析：由抛物线交y 轴于正半轴，可知c >0，故①正确；∵对称轴为直线x ＝－1，抛物线开口向下，－52<－32<－1，∴y 1>y 2，故②错误；∵对称轴为直线x ＝－1，∴－b2a ＝－1，即2a －b ＝0，故③正确；由函数图象可知抛物线最高点的纵坐标大于0，∴4ac －b 24a >0，故④错误．综上所述，正确的结论有2个．故选B.8．C 解析：∵图象与x 轴有两个交点，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根，∴b 2－4ac ＞0，∴4ac －b 2＜0，∴①正确；∵－b 2a ＝－1，∴b ＝2a .∵当x ＝1时，y ＜0，即a ＋b ＋c ＜0，∴12b ＋b ＋c ＜0，∴3b ＋2c ＜0，∴②是正确；∵当x ＝－2时，y ＞0，∴4a －2b ＋c ＞0，∴4a ＋c ＞2b ，∴③错误；∵由图象可知当x ＝－1时该二次函数取得最大值，∴a －b ＋c ＞am 2＋bm ＋c (m ≠－1)，∴m (am ＋b )＋b ＜a (m ≠－1)，∴④正确．∴正确的结论有①②④.故选C.9．思路点拨：先根据图象判断出2a ＋b ，3b －2c ，2a －b ，3b ＋2c 的正负，然后将P ，Q 去绝对值，再用作差法来比较两数的大小．解：∵抛物线的开口向下，∴a ＜0.∵－b 2a ＞0，∴b ＞0，∴2a －b ＜0.∵－b2a＝1，∴b ＋2a ＝0.当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＜0，∴－12b －b ＋c ＜0，∴3b －2c ＞0.∵抛物线与y 轴的正半轴相交，∴c ＞0，∴3b ＋2c ＞0，∴P ＝3b －2c ，Q ＝b －2a －3b －2c ＝－2a －2b －2c ，∴Q －P ＝－2a －2b －2c －3b ＋2c ＝－2a －5b ＝－4b ＜0.∴P ＞Q .解题技巧专题：圆中辅助线的作法——形成精准思维模式，快速解题◆类型一 遇弦过圆心作弦的垂线或连半径1．如图，以点O 为圆心的两个圆中，大圆的弦AB 切小圆于点C ，OA 交小圆于点D ，若OD ＝2，tan ∠OAB ＝12，则AB 的长是( ) A ．4 B .23 C ．8 D .43第1题图第2题图2．如图，已知⊙O的半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB＝16cm，CD＝6cm，⊙O的半径为________．◆类型二遇直径添加直径所对的圆周角3．如图，AB是⊙O的直径，C，D，E都是⊙O上的点，则∠ACE＋∠BDE等于( )A．60°B．75°C．90°D．120°第3题图第4题图4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是直径，∠B＝40°，则∠ACD的度数是________．5．如图，△ABC的顶点均在⊙O上，AD为⊙O的直径，AE⊥BC于E.求证：∠BAD＝∠EAC.类型三遇切线连接圆心和切点6．已知⊙O的半径为1，圆心O到直线l的距离为2，过l上任一点A作⊙O的切线，切点为B，则线段AB长度的最小值为( )A．1 B. 2 C. 3 D．27．如图，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC.若∠A＝26°，则∠ACB的度数为________．8．★如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于N.(1)求证：∠ADC＝∠ABD；(2)求证：AD2＝AM·AB；(3)若AM ＝185，sin ∠ABD ＝35，求线段BN 的长．。
解题技巧专题：解决抛物线中与系数a ，b ，c 有关的问题◆类型一 由已知函数的图象确定其他函数图象的位置 1．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1的大致位置如图所示，那么直线y ＝ax ＋b 的图象可能是( )第1题图 第2题图2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，反比例函数y ＝ax与正比例函数y ＝bx 在同一坐标系内的大致图象是( )3．已知一次函数y ＝－kx ＋k 的图象如图所示，则二次函数y ＝－kx 2－2x ＋k 的图象大致是( )第3题图 第4题图◆类型二由抛物线的位置确定代数式的符号或未知数的值4．(2017·成都中考)在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列说法正确的是( ) A．abc＜0，b2－4ac＞0B．abc＞0，b2－4ac＞0C．abc＜0，b2－4ac＜0D．abc＞0，b2－4ac＜05．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )A．a＞0B．c＜0C．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根D．当x＜1时，y随x的增大而减小第5题图第6题图6．(2017·烟台中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a＋b＋2c＜0；④3a＋c＜0.其中正确的是( )A．①④B．②④C．①②③D．①②③④7．(2017·营口一模)函数y＝x2＋bx＋c与y＝x的图象如图所示，有以下结论：①b2－4c＞0；②b＋c＋1＝0；③3b＋c＋6＝0；④当1＜x＜3时，x2＋(b－1)x＋c＜0.其中正确的是________(填序号)．8．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，且P＝|2a＋b|＋|3b－2c|，Q＝|2a－b|－|3b＋2c|，比较P，Q的大小关系．参考答案与解析1．A2．C 解析：由y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，对称轴在y轴右侧，得a＜0，－b2a ＞0，∴b＞0，∴反比例函数y＝ax的图象位于第二、四象限，正比例函数y＝bx的图象位于第一、三象限．故选C.3．B 解析：由一次函数的图象可知k＞1，∴－k＜0，－1<－1k<0，∴抛物线开口向下，对称轴在直线x＝－1与y轴之间，与y轴的交点在(0，1)的上方．故选B.4．B 5.C 6.C7．③④解析：∵二次函数y＝x2＋bx＋c与x轴无交点，∴b2－4ac＜0，故①错误；当x＝1时，y＝1＋b＋c＝1，故②错误；∵当x＝3时，y＝9＋3b＋c＝3，∴3b＋c＋6＝0，故③正确；∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2＋bx＋c＜x，∴x2＋(b－1)x＋c＜0，故④正确．故正确的为③④.8．解：∵抛物线的开口向下，对称轴在y轴右侧，∴a＜0，－b2a ＞0，∴b＞0，∴2a－b＜0.∵－b2a＝1，∴2a＋b＝0，a＝－1 2b.当x＝－1时，y＝a－b＋c＜0，∴－12b－b＋c＜0，∴3b－2c＞0.∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∴3b＋2c＞0，∴P ＝|2a＋b|＋|3b－2c|＝3b－2c，Q＝|2a－b|－|3b＋2c|＝b－2a －3b－2c＝－2a－2b－2c，∴Q－P＝－2a－2b－2c－3b＋2c＝－2a－5b＝－4b＜0，∴P＞Q.构建数学的知识网络学习数学,重要的是要构建一个数学的知识网络,将单一的知识都串联起来,这样有助于对综合型题目的解答。
