2017_2018学年高中数学第四章圆与方程章末综合测评1含解析

4．1.2圆的一般方程［提出问题]已知圆心（2,3),半径为2。

问题1：写出圆的标准方程．提示：(x－2）2＋(y－3)2＝4。

问题2:上述方程能否化为二元二次方程的形式？提示:可以,x2＋y2－4x－6y＋9＝0.问题3：方程x2＋y2－4x－6y＋13＝0是否表示圆？提示：配方化为(x－2)2＋(y－3)2＝0，不表示圆．问题4:方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定表示圆吗？提示：不一定．[导入新知]1．圆的一般方程的概念当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．2．圆的一般方程对应的圆心和半径圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为错误!,半径长为错误!错误!。

［化解疑难］1．圆的一般方程体现了圆的方程形式上的特点：（1）x2,y2的系数相等且不为0;(2)没有xy项．2．对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明:方程条件图形x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0D2＋E2－4F<0不表示任何图形D2＋E2－4F＝0表示一个点错误!D2＋E2－4F>0表示以错误!为圆心,以错误!D2＋E2－4F为半径的圆圆的一般方程的概念辨析[例1] 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆,求：(1)实数m的取值范围；（2）圆心坐标和半径．[解] (1)据题意知D2＋E2－4F＝(2m）2＋（－2）2－4(m2＋5m）＞0，即4m2＋4－4m2－20m＞0,解得m＜错误!,故m的取值范围为错误!.(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为（x＋m)2＋（y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为（－m，1)，半径r＝错误!。

［类题通法］形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：（1）由圆的一般方程的定义令D2＋E2－4F＞0，成立则表示圆,否则不表示圆；(2）将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解,应用这两种方法时,要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式,若不是,则要化为这种形式再求解．［活学活用]下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径．(1)x2＋y2＋x＋1＝0；(2）x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)；(3）2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)．解：(1)∵D＝1，E＝0，F＝1，∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3＜0，∴方程不表示任何图形．(2)∵D＝2a,E＝0，F＝a2,∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0，∴方程表示点(－a，0)．(3)两边同除以2,得x2＋y2＋ax－ay＝0，D＝a，E＝－a,F＝0，∴D2＋E2－4F＝2a2＞0,∴方程表示圆,它的圆心为错误!，半径r＝错误!错误!＝错误!|a｜.圆的一般方程的求法[例2］ABC A B（－2,3）,C（4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．[解］法一：设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∵A，B，C在圆上，∴错误!∴错误!∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，即(x－1）2＋(y＋1）2＝25。

1.1.1 集合的含义与表示章末检测时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．空间两点A (3，－2,5)，B (6,0，－1)之间的距离为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 解析：|AB |＝3－62＋－2－02＋5＋12＝49＝7.答案：B2．方程x 2＋y 2－4x ＋4y ＋10－k ＝0表示圆，则k 的取值范围是( ) A ．k ＜2 B ．k ＞2 C ．k ≥2D ．k ≤2解析：若方程表示圆，则(－4)2＋42－4(10－k )＞0， 解得k ＞2. 答案：B3．将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝0解析：因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C. 答案：C4．直线4x －3y －2＝0与圆x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2－12＝0总有两个交点，则a 应满足( ) A ．－3＜a ＜7 B ．－6＜a ＜4 C ．－7＜a ＜3D ．－21＜a ＜19解析：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2－12＝0， 配方得(x －a )2＋(y ＋2)2＝16， 圆心为(a ，－2)，半径r ＝4. 若直线与圆总有两个交点， 则|4a ＋6－2|5＜4，∴|4a ＋4|＜20，∴|a ＋1|＜5.∴－6＜a ＜4. 答案：B5．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( ) A ．1或3 B ．1或5 C ．3或5 D ．1或2解析：当k ＝3时，两直线平行；当k ≠3时，由两直线平行，斜率相等，得3－k 4－k ＝k －3，解得k ＝5. 答案：C6．直线l ：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12与圆C ：x 2＋y 2＝1的位置关系为( )A ．相交或相切B ．相交或相离C ．相切D ．相交解析：解法一 因为直线y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0， 而点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0在圆x 2＋y 2＝1内，所以直线和圆相交．解法二 圆C 的圆心(0,0)到直线y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12k k 2＋1，因为d 2＝14k 2k 2＋1<14<1，所以直线与圆相交． 答案：D7．当点P 在圆x 2＋y 2＝1上运动时，它与定点Q (3,0)连线的中点M 的轨迹方程是( ) A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D ．(2x ＋3)2＋4y 2＝1解析：设M (x ，y )，则P (2x －3,2y )． 因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上， 故有(2x －3)2＋4y 2＝1. 答案：C8．已知直线x －2y －3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E ，F 两点，则△EOF (O 是原点)的面积为( )A.32B.34 C ．2 5 D.655解析：该圆的圆心为A (2，－3)，半径长r ＝3，圆心到直线的距离d ＝|2＋6－3|1＋4＝5，弦长为2r 2－d 2＝29－5＝4.因为原点到直线的距离为|0－0－3|1＋4＝35，所以S ＝12×4×35＝655.答案：D9．设A (1,1，－2)，B (3,2,8)，C (0,1,0)，则线段AB 的中点P 到点C 的距离为( )A.132 B.534 C.532 D.532解析：利用中点公式，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3，由两点间距离公式计算知|PC |＝2－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋3－02＝4＋14＋9＝532. 答案：D10．若过定点M (－1,0)且斜率为k 的直线与圆x 2＋4x ＋y 2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是( ) A ．0＜k ＜ 5 B ．－5＜k ＜0 C ．0＜k ＜13D ．0＜k ＜5解析：圆x 2＋4x ＋y 2－5＝0可变形为(x ＋2)2＋y 2＝9，如图所示． 当x ＝0时，y ＝±5，结合图形可得A (0，5)， ∵k AM ＝51＝5， ∴k ∈(0，5)． 答案：A11．动圆x 2＋y 2－(4m ＋2)x －2my ＋4m 2＋4m ＋1＝0的圆心的轨迹方程是( ) A ．2x －y －1＝0 B ．2x －y －1＝0(x ≠1) C ．x －2y －1＝0(x ≠1)D ．x －2y －1＝0解析：圆心为(2m ＋1，m )，r ＝|m |(m ≠0)． 不妨设圆心坐标为(x ，y )，则x ＝2m ＋1，y ＝m ，∴x －2y －1＝0. 又∵m ≠0，∴x ≠1，故选C. 答案：C12．过点P (2,3)向圆x 2＋y 2＝1作两条切线PA 、PB ，则弦AB 所在直线的方程为( ) A ．2x －3y －1＝0 B ．2x ＋3y －1＝0 C ．3x ＋2y －1＝0D ．3x －2y －1＝0解析：圆x 2＋y 2＝1的圆心为坐标原点O ，以OP 为直径的圆的方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝134.显然这两个圆是相交的，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝134，得2x ＋3y －1＝0，这就是弦AB 所在直线的方程． 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．圆心为点(2，－3)，且被直线2x ＋3y －8＝0截得的弦长为43的圆的标准方程为____________．解析：∵圆心(2，－3)到直线距离d ＝|4－9－8|4＋9＝1313＝13，∴R 2＝d 2＋(23)2＝13＋12＝25， ∴R ＝5.答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝2514．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a <3)相交于点A 、B ，弦AB 的中点为(0,1)，则直线l 的方程为____________．解析：依题意得圆心坐标为(－1,2)，且直线l 与由圆心与点(0,1)确定的直线相互垂直，因此直线l 的斜率等于1，又该直线l 经过点(0, 1)，所以直线的方程是y －1＝x ，即x －y ＋1＝0.答案：x －y ＋1＝015．在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等，则M 的坐标是________．解析：设M (0，y,0)，由1＋y 2＋4＝1＋(－3－y )2＋1，可得y ＝－1，故M (0，－1,0)． 答案：(0，－1,0)16．点P 为圆x 2＋y 2＝1上的动点，则点P 到直线3x －4y －10＝0的距离的最小值为________． 解析：点P 到直线3x －4y －10＝0距离的最小值为圆心到直线的距离减半径．d min ＝1032＋42－1＝105－1＝1. 答案：1三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知圆M ：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－1＝0与圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0相交于A 、B 两点，且这两点平分圆N 的圆周，求圆M 的圆心坐标． 解析：由圆M 和圆N 的方程易知两圆的圆心分别为M (m ，－2)，N (－1，－1)． 两圆方程相减得直线AB 的方程为 2(m ＋1)x －2y －m 2－1＝0. ∵A 、B 两点平分圆N 的圆周，∴AB 为圆N 的直径，直线AB 过点N (－1，－1)． ∴2(m ＋1)×(－1)－2×(－1)－m 2－1＝0. 解得m ＝－1.故圆M 的圆心为M (－1，－2)．18．(本小题满分12分)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P (2,2)，过点P 作直线l 交圆C于A ，B 两点．(1)当直线l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； (2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程．解析：(1)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9的圆心为C (1,0)，因为直线l 过点P ，C ，所以直线l 的斜率为2，直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.(2)当弦AB 被点P 平分时，直线l 垂直于PC ，直线l 的方程为y －2＝－12(x －2)，即x ＋2y－6＝0.19．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0(m ∈R)． (1)判断直线l 与圆C 的位置关系；(2)设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若直线l 的倾斜角为120°，求弦AB 的长． 解析：(1)直线l 可变形为y －1＝m (x －1)，因此直线l 过定点D (1,1)，又12＋1－12＝1<5，所以点D 在圆C 内，则直线l 与圆C 必相交． (2)由题意知m ≠0，所以直线l 的斜率k ＝m ， 又k ＝tan 120°＝－3，即 m ＝－ 3.此时，圆心C (0,1)到直线l ：3x ＋y －3－1＝0的距离d ＝|－3|32＋12＝32，又圆C 的半径r ＝5， 所以|AB |＝2r 2－d 2＝25－⎝⎛⎭⎪⎫322＝17. 20．(本小题满分12分)已知圆C 的方程为：x 2＋y 2－4mx －2y ＋8m －7＝0，(m ∈R)． (1)试求m 的值，使圆C 的面积最小；(2)求与满足(1)中条件的圆C 相切，且过点(4，－3)的直线方程．解析：配方得圆的方程为(x －2m )2＋(y －1)2＝4(m －1)2＋4.(1)当m ＝1时，圆的半径最小，此时圆的面积最小．(2)当m ＝1时，圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4. 当斜率存在时设所求直线方程为y ＋3＝k (x －4)， 即kx －y －4k －3＝0.由直线与圆相切，所以|2k －1－4k －3|k 2＋1＝2，解得k ＝－34.所以切线方程为y ＋3＝－34(x －4)，即3x ＋4y ＝0.又过(4，－3)点，且与x 轴垂直的直线x ＝4，也与圆相切． 所以所求直线方程为3x ＋4y ＝0及x ＝4.21.(本小题满分13分)如图所示，圆O 1和圆O 2的半径长都等于1，|O 1O 2|＝4.过动点P 分别作圆O 1，圆O 2的切线PM ，PN (M ，N 为切点)，使得|PM |＝2|PN |.试建立平面直角坐标系，并求动点P 的轨迹方程． 解析：以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在的直线为x 轴，O 1O 2的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．则O 1(－2,0)，O 2(2,0)．由已知|PM |＝2|PN |，得|PM |2＝2|PN |2. 因为两圆的半径长均为1， 所以|PO 1|2－1＝2(|PO 2|2－1)．设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]， 即(x －6)2＋y 2＝33，所以所求动点P 的轨迹方程为(x －6)2＋y 2＝33.22．(本小题满分13分)已知：以点C ⎝⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点． (1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M 、N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程．解析：(1)证明：∵圆C 过原点O ，∴r 2＝OC 2＝t 2＋4t2.设圆C 的方程是(x －t )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t2＋4t2.令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t .∴S △OAB ＝12OA ×OB ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值．(2)∵OM ＝ON ，CM ＝CN ，∴OC 垂直平分线段MN . ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12.∴直线OC 的方程是y ＝12x .∴2t ＝12t .解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5， 此时C 点到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5，圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，OC＝5，此时C点到直线y＝－2x＋4的距离d＝95>5，圆C与直线y＝－2x＋4不相交，∴t＝－2不符合题意，舍去．∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.。

4．1圆的方程4．1.1 圆的标准方程圆的标准方程［提出问题］右图是一个公园内的摩天轮．该摩天轮总高度为160米，转盘直径为153米．问题1：游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距离一样吗？提示：一样．圆上的点到圆心距离都是相等的，都是圆的半径．问题2：若以摩天轮中心所在位置为原点，建立平面直角坐标系,游客在任一点(x，y)的坐标满足什么关系？提示：错误!＝错误!。

问题3：以（1,2)为圆心，3为半径的圆上任一点的坐标（x，y)满足什么关系？提示：错误!＝3。

［导入新知]圆的标准方程（1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,定点称为圆心，定长称为圆的半径．(2）确定圆的要素是圆心和半径，如图所示．（3）圆的标准方程：圆心为C(a，b),半径长为r的圆的标准方程是（x－a）2＋（y－b)2＝r2.当a＝b＝0时,方程为x2＋y2＝r2,表示以原点为圆心、半径为r 的圆．[化解疑难]1．由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小;反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程,这一点体现了圆的标准方程的直观性，为其优点．2．几种特殊位置的圆的标准方程:条件圆的标准方程过原点(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2＞0)圆心在x轴上(x－a）2＋y2＝r2(r≠0)圆心在y轴上x2＋（y－b）2＝r2(r≠0）圆心在x轴上（x－a)2＋y2＝a2（a≠0）且过原点圆心在y轴上x2＋（y－b）2＝b2(b≠0）且过原点与x轴相切(x－a)2＋（y－b）2＝b2(b≠0）与y轴相切（x－a）2＋（y－b）2＝a2（a≠0)点与圆的位置关系[提出问题］爱好运动的小华、小强、小兵三人相邀搞一场掷飞镖比赛,他们把靶子钉在土墙上，规定谁的飞镖离靶心O越近，谁获胜．如图A，B,C分别是他们掷一轮飞镖的落点．看图回答下列问题：问题1：点与圆的位置关系有几种？提示：三种．点在圆外、圆上、圆内．问题2：如何判断他们的胜负?提示：利用点与圆心的距离．［导入新知］点与圆的位置关系圆的标准方程为(x－a）2＋（y－b）2＝r2，圆心C（a，b)，半径为r。

必修二第四章 圆与方程单元测试第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．圆心为(3，4)且过点(0，0)的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＝25B ．x 2＋y 2＝5C ．(x －3)2＋(y －4)2＝25D ．(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝252．若x 2＋y 2－x ＋y －m ＝0表示一个圆的方程，则m 的取值范围是( )A ．m >－12B ．m ≥－12C ．m <－12D ．m >－2 3．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0，点P 在圆C 上，点Q (－2，2)在圆C 外，则|PQ |的最大值为( )A ．5B ．6C ．7D ．84．已知圆C 的圆心是直线x ＋y ＋1＝0与直线x －y －1＝0的交点，直线3x ＋4y －11＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋(y ＋1)2＝18B ．x 2＋(y ＋1)2＝3 2C ．(x ＋1)2＋y 2＝18D ．(x ＋1)2＋y 2＝3 25．若直线x －2y －3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E ，F 两点，则△EOF (O 是坐标原点)的面积为( ) A.32 B.34 C ．25 D.6556．在空间直角坐标系中，已知点P (1，2，3)，若过点P 作平面yOz 的垂线PQ ，则垂足Q 的坐标为( )A ．(0，2，0)B ．(0，2，3)C ．(1，0，3)D ．(1，3，0)7．若直线l 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0平分，且与直线x ＋2y ＝0垂直，则直线l 的方程为( )A ．y ＝2xB ．y ＝2x －2C ．y ＝－12x ＋32D ．y ＝12x ＋328．若点P (1，1)为圆x 2＋y 2－6x ＝0的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．x ＋2y －3＝0D ．2x －y －1＝09．圆O 1：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0与圆O 2：x 2＋y 2－8x －6y ＋16＝0的位置关系是( )A ．相交B ．外离C ．内含D ．内切10．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )A ．(4，6)B ．[4，6]C ．(4，5)D ．(4，5]11．若过点A (－1，4)作圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1的切线l ，则切线l 的方程是( )A ．3x －y ＋7＝0B ．3x ＋4y －13＝0C ．3x －y －7＝0D ．y ＝4或3x ＋4y －13＝012．与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －2)2＝2B ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝2C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2D ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝2第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是__________________．14．圆x 2＋y 2＝1上的点到直线3x ＋4y －25＝0的距离的最小值是________．15．已知A(－2，0)，B(2，0)，点P在圆(x－3)2＋(y－4)2＝4上运动，则|PA|2＋|PB|2的最小值是________．16．若直线y＝x＋m与曲线y＝4－x2有且只有一个公共点，则实数m的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)求圆心在直线l1：y－3x＝0上，与x轴相切，且被直线l2：x－y＝0截得的弦长为27的圆的方程．18．(12分)已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB 的中点．以D为原点，建立如图D4­1所示的空间直角坐标系．(1)写出点D，N，M的坐标；(2)求线段MD，MN的长度；(3)设点P是线段DN上的动点，求|MP|的最小值．AB＝27，19．(12分)设半径为3的圆C被直线l：x＋y－4＝0截得的弦AB的中点为P(3，1)，且弦长||求圆C的方程．20．(12分)已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0.(1)求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；(2)若直线l与圆C交于A，B两点，且|AB|＝17，求m的值．21．(12分)已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值；(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．22．(12分)已知圆M：x2＋(y－4)2＝1，直线l：2x－y＝0，点P在直线l上，过点P作圆M的切线P A，PB，切点分别为A，B.(1)若∠APB＝60°，求P点的坐标；(2)若点P的坐标为(1，2)，过点P作一条直线与圆M交于C，D两点，当|CD|＝2时，求直线CD的方程；(3)求证：经过A，P，M三点的圆与圆M的公共弦必过定点，并求出此定点的坐标．1．C [解析] 由圆心(3，4)及圆上一点(0，0)，可得半径r ＝32＋42＝5，故圆的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25.2．A [解析] ∵方程表示一个圆，∴D 2＋E 2－4F ＝(－1)2＋12－4×(－m)>0，∴m>－12.3．C [解析]由题可知，圆C 的圆心坐标为C(1，－2)，半径r ＝2，则|CQ|＝（－2－1）2＋（2＋2）2＝5，根据几何意义得|PQ|的最大值为|CQ|＋r ＝5＋2＝7.4．A [解析] 易求得直线x ＋y ＋1＝0与直线x －y －1＝0的交点为(0，－1)，所以圆C 的圆心为(0，－1)．设圆C 的半径为r ，由题意可得⎝ ⎛⎭⎪⎫|3×0＋4×（－1）－11|32＋422＋32＝r 2，解得r 2＝18，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝18.5．D [解析] 由题知该圆的圆心为A(2，－3)，半径r ＝3，圆心到直线的距离d ＝|2＋6－3|1＋4＝5，弦长为2r 2－d 2＝29－5＝4，又因为原点到直线的距离为|0－0－3|1＋4＝35，所以S ＝12×4×35＝655. 6．B [解析] 垂足Q 即为P 在平面yOz 上的射影，坐标为()0，2，3.7．A [解析] 圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心为(1，2)，与直线x ＋2y ＝0垂直的直线的斜率为2，故所求直线的方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x.8．D [解析] 圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝9，圆心为A(3，0)，因为点P(1，1)是弦MN 的中点，所以AP ⊥MN ，因为AP 的斜率为k ＝1－01－3＝－12，所以直线MN 的斜率为2，所以弦MN 所在直线的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.9．D [解析]把圆O 1：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0与圆O 2：x 2＋y 2－8x －6y ＋16＝0分别转化为标准方程为：()x －22＋()y －32＝1和()x －42＋()y －32＝9，两圆心间的距离d ＝()4－22＋()3－32＝2＝r 2－r 1，所以两圆的位置关系为内切．10．A [解析] 圆心到直线4x －3y －2＝0的距离为|3×4－3×（－5）－2|42＋（－3）2＝5， 若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是(4，6)．11．D [解析] 结合图形知切线l 的斜率存在，设切线l 的方程是y －4＝k(x ＋1)，即kx －y ＋k ＋4＝0，则圆心到切线l 的距离等于半径，即|2k －3＋k ＋4|k 2＋1＝1，解得k ＝0或k ＝－34， 因此，所求切线l 的方程是y ＝4或3x ＋4y －13＝0.12．A [解析]设所求圆的标准方程为(x当已知圆与所求圆圆心的连线垂直于已知直线时，所求圆的半径最小，此时2r ＋32等于已知圆的圆心到已知直线的距离，即|6＋6－2|2＝2r ＋32，解得r ＝2，则⎩⎪⎨⎪⎧b －6a －6＝1，|a ＋b －2|2＝2，解得a ＝2，b ＝2.∴所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.13．(x ＋2)2＋y 2＝2 [解析] 设圆心坐标为(a ，0)(a<0)，则圆心到直线的距离等于半径，即r ＝|a ＋0|12＋12＝2，解得a ＝－2.故圆O 的标准方程为(x ＋2)2＋y 2＝2.14．4 [解析] 因为圆心到直线的距离为d ＝||－2532＋42＝5，所以圆x 2＋y 2＝1上的点到直线3x ＋4y －25＝0的距离的最小值是d －r ＝4.15．26 [解析] 设P(x ，y)，则|PA|2＋|PB|2＝(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝2(x 2＋y 2)＋8＝2|OP|2＋8. ∵圆心为C(3，4)，∴|OP|min ＝|OC|－r ＝5－2＝3，∴|PA|2＋|PB|2的最小值为2×32＋8＝26.16．－2≤m<2或m ＝22 [解析] ∵曲线y ＝4－x 2表示半圆x 2＋y 2＝4(y ≥0)，∴利用数形结合法，可得实数m 的取值范围是－2≤m<2或m ＝2 2.17．解：由已知可设圆心为(a ，3a)，若圆与x 轴相切，则r ＝||3a ，圆心到直线l 2的距离d ＝||2a 2. 由弦长为27得7＋4a 22＝9a 2，解得a ＝±1. 故圆心为(1，3)或(－1，－3)，r ＝3，圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝9或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝9.18．解：(1)D(0，0，0)，N(2，1，0)，M(1，2，3)．(2)|MD|＝（1－0）2＋（2－0）2＋（3－0）2＝14，|MN|＝（1－2）2＋（2－1）2＋（3－0）2＝11.(3)∵点P 在xOy 平面上，∴设点P 的坐标为(x ，y ，0)，∵P 在DN 上运动，∴x y ＝AD AN＝2，∴x ＝2y ，∴P 点坐标为(2y ，y ，0)， 则|MP|＝（2y －1）2＋（y －2）2＋（0－3）2＝5y 2－8y ＋14＝5⎝⎛⎭⎫y －452＋545. ∵y ∈[0，1]，且0<45<1，∴当y ＝45时，|MP|取得最小值545，即3305. ∴|MP|的最小值为3305. 19．解：由题意，设所求圆的标准方程为(x －a)2＋(y －b)2＝9，圆心到直线的距离d ＝9－（7）2＝2，则|a ＋b －4|2＝2，又因为弦AB 所在的直线的斜率为－1，所以1－b 3－a ＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧||a ＋b －42＝2，1－b 3－a＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝0， 故所求圆的标准方程为(x －4)2＋(y －2)2＝9或(x －2)2＋y 2＝9. 20．解：(1)证明：由已知l ：y －1＝m(x －1)，可知直线恒过定点P(1，1)．∵12＋(1－1)2<5，∴P(1，1)在圆C 内．∴直线l 与圆C 总有两个不同的交点．(2)由题意得圆C 的半径r ＝5，圆心(0，1)到直线l 的距离d ＝r 2－⎝⎛⎭⎫|AB|22＝32.由点到直线的距离公式得|－m|m 2＋（－1）2＝32，解得m ＝± 3. 21．解：(1)由方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0得(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，∵方程表示圆，∴5－m>0，即m<5.(2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1＝4－2y 1，x 2＝4－2y 2.得x 1x 2＝16－8(y 1＋y 2)＋4y 1y 2.∵OM ⊥ON ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0，①由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2y ，x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，得5y 2－16y ＋m ＋8＝0. ∴y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝8＋m 5，代入①得m ＝85.(3)以MN 为直径的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0，即x 2＋y 2－(x 1＋x 2)x －(y 1＋y 2)y ＝0，∵x 1＋x 2＝8－2(y 1＋y 2)＝85，y 1＋y 2＝165， ∴所求圆的方程为x 2＋y 2－85x －165y ＝0.22．解：(1)由条件可知|PM|＝2，设P 点坐标为(a ，2a)，则|PM|＝a 2＋（2a －4）2＝2，解得a ＝2或a ＝65，所以P(2，4)或P 65，125. (2)由条件可知圆心到直线CD 的距离d ＝1－222＝22，设直线CD 的方程为y －2＝k(x －1)， 则由点到直线的距离公式得|k ＋2|k 2＋1＝22，解得k ＝－7或k ＝－1， 所以直线CD 的方程为x ＋y －3＝0或7x ＋y －9＝0.(3)证明：设P(a ，2a)，过A ，P ，M 三点的圆即以PM 为直径的圆，其方程为x(x －a)＋(y －4)(y －2a)＝0，整理得x 2＋y 2－ax －4y －2ay ＋8a ＝0，与x 2＋(y －4)2－1＝0相减得公共弦的方程为(4－2a)y －ax ＋8a －15＝0，即(－x －2y ＋8)a ＋4y －15＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧4y －15＝0，－x －2y ＋8＝0，解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝154，所以两圆的公共弦过定点⎝⎛⎭⎫12，154.。

4.3.1 空间直角坐标系4.3.2 空间两点间的距离公式(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在空间直角坐标系中，点P (1,3，－5)关于平面xOy 对称的点的坐标是( )A ．(－1,3，－5)B ．(1,3,5)C ．(1，－3,5)D ．(－1，－3,5)【解析】 P (1,3，－5)关于平面xOy 对称的点的坐标为(1,3,5)． 【答案】 B 2．点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫66，33，22到原点O 的距离是( ) A.306 B ．1C.336D.356【解析】 |PO |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫662＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝1. 【答案】 B3．与A (3,4,5)，B (－2,3,0)两点距离相等的点M (x ，y ，z )满足的条件是( ) A ．10x ＋2y ＋10z －37＝0 B ．5x －y ＋5z －37＝0 C ．10x －y ＋10z ＋37＝0 D ．10x －2y ＋10z ＋37＝0【解析】 由|MA |＝|MB |，得(x －3)2＋(y －4)2＋(z －5)2＝(x ＋2)2＋(y －3)2＋z 2，化简得10x ＋2y ＋10z －37＝0，故选A.【答案】 A4．已知点A (1，a ，－5)，B (2a ，－7，－2)，则|AB |的最小值为( ) A ．3 3 B ．3 6 C ．2 3D ．2 6【解析】 |AB |＝2a －1 2＋ －7－a 2＋ －2＋5 2＝5a 2＋10a ＋59＝5 a ＋1 2＋54，当a ＝－1时，|AB |min ＝54＝3 6. 【答案】 B5．如图4­3­3，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1，A 1C 的中点E 到AB 的中点F 的距离为( )图4­3­3A.2aB.22a C ．aD.12a 【解析】 由题意得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a2，0，A 1(a,0，a )，C (0，a,0)，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a2，则|EF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－a 22＝22a . 【答案】 B 二、填空题6．点P (1,2，－1)在xOz 平面内的射影为B (x ，y ，z )，则x ＋y ＋z ＝________. 【解析】 点P (1,2，－1)在xOz 平面内的射影为B (1,0，－1)，∴x ＝1，y ＝0，z ＝－1，∴x ＋y ＋z ＝1＋0－1＝0.【答案】 07．在空间直角坐标系中，以O (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，C (0,0,2)为一个三棱锥的顶点，则此三棱锥的表面积为________.【解析】 S△AOC ＝S △BOC ＝S △AOB ＝12×2×2 ＝2，S △ABC ＝34×|AB |2＝34×8＝23， 故三棱锥的表面积S ＝6＋2 3. 【答案】 6＋2 3 三、解答题8．已知点A (－4，－1，－9)，B (－10,1，－6)，C (－2，－4，－3)，判断△ABC 的形状.【解】 |AB |＝－4＋10 2＋ －1－1 2＋ －9＋6 2＝49， |BC |＝ －10＋2 2＋ 1＋4 2＋ －6＋3 2＝98， |AC |＝ －4＋2 2＋ －1＋4 2＋ －9＋3 2＝49. 因为|AB |＝|AC |，且|AB |2＋|AC |2＝|BC |2， 所以△ABC 为等腰直角三角形．9．如图4­3­4，在空间直角坐标系中，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点D 在平面yOz 内，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，求点D 的坐标．图4­3­4【解】 过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E .在Rt △BDC 中，∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得|BD |＝1，|CD |＝3，∴|DE |＝|CD |sin 30°＝32，|OE |＝|OB |－|BE |＝|OB |－|BD |cos 60°＝1－12＝12，∴点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，32.[能力提升]10．在空间直角坐标系中，一定点P 到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( )A.62 B.3 C.32D.63【解析】 设P (x ，y ，z )，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，y 2＋z 2＝1，x 2＋z 2＝1，∴x 2＋y 2＋z 2＝32，∴x 2＋y 2＋z 2＝62.【答案】 A11．如图4­3­5，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M 为BD 1的中点，N 在A 1C 1上，且|A 1N |＝3|NC 1|，试求MN 的长．图4­3­5【解】 以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (a ，a,0)，A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )，D 1(0,0，a )．由于M 为BD 1的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2，取A 1C 1中点O 1，则O 1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a2，a ，因为|A 1N |＝3|NC 1|，所以N 为O 1C 1的中点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，34a ，a .由两点间的距离公式可得：|MN |＝⎝⎛⎭⎪⎫a 2－a 42＋⎝⎛⎭⎪⎫a 2－34a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＝64a .。

圆的方程补充练习11. 若方程22260x y x y k +-++=表示圆，则实数k 的取值范围是____________．2. 经过点(6,3)，且圆心为(2,2)-的圆的方程为____________．3. 若无论实数a 取何值，直线(1)10a x y a --++=恒过定点C ，则以C 的圆的一般方程为____________．4. 若曲线22224540x y ax ay a ++-+-=上所有的点都在第二象限内，则实数a 的取值范围是____________．5. 若方程2222210x y m x m y m m +++++-=表示圆，则实数m 的取值范围是____________．6. 已知圆221:(1)(1)1C x y ++-=，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为____________．7. 经过点(1,1)A -和点(1,1)B -，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程为____________．8. 已知点(4,5)A --和点(6,1)B -，则以线段AB 为直径的圆的标准方程为____________．9. 若直线220(0,0)ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则ab 的最大值为____________． 10. 经过三点(0,0),(1,1),(4,2)A B C 的圆的一般方程为____________．11. 若点A 在圆22:450C x y ax y +++-=上，它关于直线210x y +-=的对称点也在圆C 上，则实数a =____________．12. 若方程222(2)220a x a y ax a ++++=表示圆，则实数a =____________．13. 无论实数a 取何值，曲线22225100x y ax ay a ++---=恒过定点____________．14. 过点(2,4)-与点(3,1)-，且在x 轴上截得的弦长为6的圆的一般方程为____________．15. 动圆2222450x y kx ky k k ++++-=的圆心的轨迹方程为____________．16. 已知两定点(2,0)A -和(1,0)B ，若动点P 满足2PA PB =，则点P 的轨迹所包围的面积为____________．17. 若方程22242(3)2(14)1690x y m x m y m +-++-++=表示圆，则（1）实数m 的取值范围是____________．（2）该圆的半径r 的取值范围是____________．（3）该圆的圆心的轨迹方程是____________．18. 已知点(6,0)P ，动点Q 在圆229x y +=上，点M 满足12PM MQ ，求点M 的轨迹．。

第四章圆与方程（时间120分钟，满分150分）一、选择题（共10小题，每小题6分，共60分） 1 •直线I : y = k 》+1 :与圆C ： x 2+ y 2= 1的位置关系为（ ） A. 相交或相切 B .相交或相离 C.相切 D.相交 答案：D 2 .已知圆x 2 + y 2 + Dx + Ey = 0的圆心在直线 x + y = 1上，贝U D 与E 的关系是（ ） A . D+ E = 2 B . D + E = 1 C. D+ E =- 1 D. D + E =- 2 答案：D 3.若圆C ： x + y - 2( m — 1)x + 2(m- 1)y + 2m — 6m^ 4= 0过坐标原点，则实数 m 的值为 ( ) A . 2 或 1 B .- 2 或—1 C. 2 D. 1 答案：C 4.以正方体 ABCDABCD 的棱AB AD AA 所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系, 且正方体的棱长为一个单位长度，则棱 CC 中点坐标为（ ） . . 2 2 . . 2 2 5. 圆O ： x + y — 2x = 0和圆Q: x + y — 4y = 0的位置关系是( A .相离 C.外切 答案：B6. 自点A —1,4)作圆(x - 2)2+ (y -3)2= 1的切线，则切线长为( )A. 5 B . 3B .相交 D.内切 2 D . 2 A.答案：C1 2,C. 10D. 5 答案：B7. 直线.3x — y + m= 0与圆x 2 + y 2— 2x — 2 = 0相切，则实数 m 等于( ) A. 3或—3 B .— 3或 3 3 C.— 3 3或 3 D.— 3 3或 3 3 答案：C 8 .圆心在x 轴上，半径长为 .2,且过点(一2,1)的圆的方程为( ) 2 2 A. (x + 1) + y = 2 2 2 B. x + (y + 2) = 2 C. (x + 3)2+ y 2 = 2 2 2 2 2 D. (x + 1) + y = 2 或(x + 3) + y = 2 答案：D 9. 已知三点A (1,0) , B(0 , 3) , C (2 , _ 3),则厶ABC 外接圆的圆心到原点的距离为 (D.- 答案：B 10. 若直线x — y = 2被圆(x — a )2+ y 2= 4所截得的弦长为2 2，则实数a 的值为( ) A .— 1 或 3 C.— 2 或 6 答案：D B . 1 或 3 D. 0 或 4 二、填空题(共4小题，每小题 5分，共20分) 11.在如图所示的长方体 ABCDABCD 中，已知 A(a,0, c ) , Q0 , b, 0)，则点B 的坐标 为. 答案：(a , b , c ) 12. _________________________________________________________ (北京高考)直线y = x 被圆x 2 + (y — 2)2= 4截得的弦长为 ______________________________________ 答案：2 2A.3B. ,21 ~T~ .1 ■A L13. 设点A为圆(x—2)2+ (y—2)2= 1上一动点，则A到直线x—y—5= 0的最大距离为答案：522+114. 已知M —2,0) , N2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是答案：x2+ y2= 4(x^ 土2)三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15. (本小题满分10 分)已知两圆C : x+ y —2x —6y—1 = 0 和C2：x + y —10x—12y + 45 =0.(1) 求证：圆C和圆C2相交；(2) 求圆C和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.解：⑴证明：圆C的圆心C(1,3),半径11,圆C2的圆心C2(5,6)，半径「2= 4,两圆圆心距d= | CC2| = 5, r 1 + r2=寸11 + 4,|「1 —「2| = 4 —11 ,—「2|<d<r1+「2,二圆C和C2相交.(2)圆C和圆C的方程左、右分别相减，得4x + 3y —23= 0,•两圆的公共弦所在直线的方程为4x + 3y —23= 0.圆心C2(5,6)到直线4x+ 3y —23= 0的距离|20 + 18—23|d = : = 3,寸16+ 9故公共弦长为2 , 16 —9 = 2 7.16. (本小题满分12分)正方形ABCD^正方形ABEF勺边长都是1,并且平面ABCCL平面ABEF点M在AC上移动，点N在BF上移动.若| CM = | BN = a(0 v a v 2).(1) 求MN的长度；(2) 当a为何值时，MN的长度最短.解：因为平面ABCDL平面ABEF且交线为AB BEL AB所以BE!平面ABCD所以BA BC BE两两垂直.取B为坐标原点，BA BE BC所在直线分别为x轴、y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为|BC = 1 , |CM = a,点M在坐标平面xBz上且在正方形ABCD勺对角线AC上 ,因为点 N 在坐标平面 xBy 上且在正方形 ABEF 的对角线 BF 上，| BN = a ,所以点17.(本小题满分12分)一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米?解：以圆拱顶点为原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.设圆心为C,水面所在弦的端点为 A , B,则由已知可得 A (6 , — 2),设圆的半径长为r ,贝U C (0，— r )，即圆的方程为 x 2+ (y + r )2= r 2•将点A 的坐标代入上 述方程可得r = 10,所以圆的方程为 x 2+ (y + 10)2= 100.当水面下降1米后，可设A (x c , — 3)( xo0)，代入x 2 + (y + 10) 2= 100,解得2x 0= 2 51 , 即当水面下降1米后，水面宽2 51米.18. (本小题满分12分)已知圆M 的方程为x 2 + (y — 2)2= 1，直线I 的方程为x — 2y = 0, 点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的切线PA PB 切点为A, B(1) 若/ APB= 60°，试求点 P 的坐标；⑵由⑴得 | MN = ,a 2— 2a + 1a = ~2(满足 0 v a v 2）时,V 》-¥ j+2取得最小值乎, 即MN 的长度最短，最短为(1)由空间两点间的距离公式，得 =.a 2—... 2a + 1,即 卩 MN 的长度为 a 2—. 2a + 1. 当------- 12 ------ *(2) 若点P的坐标为(2,1)，过P作直线与圆M交于C, D两点，当CD= 2时，求直线CD 的方程.2 2 ^4 解：⑴ 设P (2 m m ，由题可知 MP= 2，所以(2 m + ( m- 2) = 4，解得 m= 0或m=R 故 5 ⑵ 由题意易知k 存在，设直线 CD 的方程为y — 1 = k (x — 2)，由题知圆心 M 到直线CD 的 距离为老，所以步=1 —2k — 21，解得k =— 1或k = —1，故所求直线CD 的方程为：x + y —3 2 2 『+ k 7 =0 或 x + 7y — 9= 0. 19. (本小题满分12分)已知以点C 为圆心的圆经过点 A — 1,0)和 氏3,4)，且圆心在直 线x + 3y — 15= 0上•设点P 在圆C 上，求△ PAB 的面积的最大值. 解：•••线段AB 的中点为(1,2)，直线AB 的斜率为1, •••线段AB 的垂直平分线的方程为 y — 2=— (x — 1)，即y = — x + 3. y = — x + 3, x + 3y — 15= 0, 即圆心C 为(一3,6), 则半径 r = — 3+] 2+ 62= 2 10. 又| AB = . :〕+ 1 2 + 42 =4 2, •圆心 C 到 AB 的距离 d = . 2 10 2— 2 . 2 2 = 4 2, •••点P 到AB 的距离的最大值为 d + r = 4 2+ 2 10 , • △ PAB 的面积的最大值为 1x4 2X (4 2+ 2 10) = 16+ 8 5. 2 2 20. (本小题满分12分)已知方程x + y — 2x — 4y + n == 0. (1) 若此方程表示圆，求 m 的取值范围； (2) 若(1)中圆与直线x + 2y — 4= 0相交于 M N 两点，且OML ONO 为坐标原点)，求m 的 值； (3) 在(2)的条件下，求以 MN 为直径的圆的方程. 解：(1) •/ x + y — 2x — 4y + m= 0 , • D =— 2 , E =— 4 , F = m 由 D"+ E 2— 4F = 20— 4m >0 , 可得m ：5.故m 的取值范围为(—g , 5). 了x + 2y — 4 = 0 , (2)联立方程组 2 2 |x + y — 2x — 4y + m= 0 , 2 消去 x 得 5y — 16y + 8 + m= 0.所求点P 的坐标为P (0,0)或 P 5，5. 联立 解得 y = 6,设Mx1 , y1), N(X2 , y2),•/ OML ON ... X 1X 2+ y i y 2= 0, • 5y i y 2- 8( y i + y 2)+16 = 0.⑶设圆心为（a , b ），则 4 y i + y 2 8 _ b =------------------------ =— 5， 2 5,16 ••• y i + 屮=~5, 8 + m yiy2= 丁.半径r = | MN = 2 = •圆的方程为 8 2 i6 5 = ~5 X i + X 2。

第四章单元质量评估时间：120分钟 满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－6x ＋8y －24＝0的位置关系是( C ) A ．相交 B ．相离 C ．内切 D ．外切解析：圆x 2＋y 2＝4的圆心为A (0,0)，半径为r ＝2，圆x 2＋y 2－6x ＋8y －24＝0的圆心为B (3，－4)，半径为R ＝7，因为|AB |＝5＝R －r ＝7－2，故两圆内切．2．直线x ＋y －1＝0被圆(x ＋1)2＋y 2＝3截得的弦长等于( B ) A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4解析：由题意，得圆心为(－1,0)，半径r ＝3，弦心距d ＝|－1＋0－1|12＋12＝2，所以所求的弦长为2r 2－d 2＝2，选B.3．以点A (1，－2)，B (3,4)为直径端点的圆的方程是( D ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝10 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝10 C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝10 D ．(x －2)2＋(y －1)2＝10 解析：圆心为⎝⎛⎭⎪⎫1＋32，－2＋42，即(2,1)，r ＝12|AB |＝10，故方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10. 4．已知圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－6x ＋6y ＋14＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程是( D )A ．x －2y ＋1＝0B ．2x －y －1＝0C ．x －y ＋3＝0D ．x －y －3＝0解析：两圆关于直线l 对称，则直线l 为两圆圆心连线的垂直平分线．圆x 2＋y 2＝4的圆心为O (0,0)，圆x 2＋y 2－6x ＋6y ＋14＝0的圆心为P (3，－3)，则线段OP 的中点为M ⎝⎛⎭⎫32，－32，其斜率k OP ＝－1，则直线l 的斜率为k ＝1，故直线l 的方程为y －⎝⎛⎭⎫－32＝x －32，即x －y －3＝0.5．已知a ，b 是方程x 2－x －2＝0的两个不等实数根，则点P (a ，b )与圆C ：x 2＋y 2＝8的位置关系是( A )A ．点P 在圆内B ．点P 在圆上C ．点P 在圆外D ．无法确定解析：因为a ，b 是方程x 2－x －2＝0的两个不等实数根，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，ab ＝－2，所以a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1＋22<8，由此可知，点P (a ，b )在圆内．故选A.6．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0，直线l ：3x －4y ＋m ＝0，圆上存在两点到直线l 的距离为1，则m 的取值范围是( C )A ．(－17，－7)B ．(3,13)C ．(－17，－7)∪(3,13)D ．[－17，－7]∪[3,13]解析：当圆心到直线的距离d 满足r －1<d <r ＋1时，圆上存在两个点到直线的距离为1，即满足1<|2＋m |5<3，解得m ∈(－17，－7)∪(3,13)．7．若直线l ：y ＝kx ＋1(k <0)与圆C ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝2相切，则直线l 与圆D ：(x －2)2＋y 2＝3的位置关系是( A )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：依题意，直线l 与圆C 相切，则|－2k －1＋1|k 2＋1＝2，解得kk <0，所以k ＝－1，于是直线l 的方程为x ＋yD (2,0)到直线l 的距离d ＝|2＋0－1|2＝22<3，所以直线l 与圆D 相交，故选A.8．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任意一点连线的中点的轨迹方程是( A ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：设圆上任意一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋x2，y ＝－2＋y 02，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，又因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故选A.9．设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是( A )A ．[－1,1] B.⎣⎡⎦⎤－12，12 C ．[－2，2] D.⎣⎡⎦⎤－22，22 解析：当点M 的坐标为(1,1)时，圆上存在点N (1,0)，使得∠OMN ＝45°，所以x 0＝1符合题意，故排除B ，D ；当点M 的坐标为(2，1)时，|OM |＝3，过点M 作圆O 的一条切线MN ′，连接ON ′，则在Rt △OMN ′中，sin ∠OMN ′＝33<22，则∠OMN ′<45°，故此时在圆O 上不存在点N ，使得∠OMN ＝45°，即x 0＝2不符合题意，排除C ，故选A.10．在平面直角坐标系中，圆M 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，若直线x ＋my ＋2＝0上至少存在一点P ，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆M 有公共点，则m 的取值范围是( D )A.⎣⎡⎭⎫－34，0B.⎣⎡⎭⎫－34，＋∞C.⎝⎛⎦⎤0，34D.⎝⎛⎦⎤－∞，34 解析：依题意，圆M 的圆心为M (0,4)，半径rx ＋my ＋2＝0上至少存在一点P ，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆M 有公共点，则在直线l 上至少存在一点P ，使得|MP |≤2＋2成立，又点M 到直线l 的距离为|4m ＋2|m 2＋1，则|4m ＋2|m 2＋1≤4，解得m ≤34，故选D.11．从点A (－2,1)发出的光线l 经过x 轴反射，其反射光线所在直线正好与圆M ：x 2＋y 2－4x －6y ＋9＝0相切，则所有反射光线所在直线的斜率之和为( B )A.43B.83C ．2D ．4 解析：圆M ：x 2＋y 2－4x －6y ＋9＝0可化为(x －2)2＋(y －3)2＝4，圆心为M (2,3)，半径rA (－2,1)关于x 轴的对称点为A ′(－2，－1)，则可设反射光线所在的直线方程为y ＋1＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2kM 相切，得|2k －3＋2k －1|k 2＋1＝2，即3k 2－8k ＋3＝0，由根与系数的关系，得该方程的两根之和为83，即所有反射光线所在直线的斜率之和为83，故选B.12．如图，已知直线y ＝34x －3与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是以C (0,1)为圆心，1为半径的圆上的一动点，连接P A ，PB ，则△P AB 的面积的最大值是( C )A ．8B ．12 C.212D.172解析：易得A (4,0)，B (0，－3)，即|OA |＝4，|OB |＝3，所以|AB |＝5.根据题意分析，可知要使△P AB 的面积最大，则需使点P 到直线AB 的距离最远，所以点P 在过点C 的AB 的垂线上．因为直线AB 的方程可化为3x －4y －12＝0，所以点C 到直线AB 的距离为|－4－12|(－4)2＋32＝165，所以点P 到直线AB 的距离为1＋165＝215，所以△P AB 的面积的最大值为12×5×215＝212，故选C.二、填空题(每小题5分，共20分)13．若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.解析：因为点(1,0)关于直线y ＝x 对称的点的坐标为(0,1)，所以所求圆的圆心为(0,1)，半径为1，于是圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.14．设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为4π.解析：圆C 的方程可化为x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，可得圆心的坐标为C (0，a )，半径r ＝a 2＋2，所以圆心到直线x －y ＋2a ＝0的距离为|－a ＋2a |2＝|a |2，所以⎝⎛⎭⎫|a |22＋(3)2＝(a 2＋2)2，解得a 2＝2，所以圆C 的半径为2，所以圆C 的面积为4π.15．点M (4，－3,5)到x 轴的距离为m ，到xOy 坐标平面的距离为n ，则m 2＋n ＝39. 解析：由题意，得m 2＝(－3)2＋52＝34，n ＝5，所以m 2＋n ＝39.16．已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．则|CD |＝4.解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3,0)，D (x 4,0)，由x －3y ＋6＝0，得x ＝3y －6，代入圆的方程，并整理，得y 2－33y ＋6＝0，解得y 1＝23，y 2＝3，所以x 1＝0，x 2＝－3，所以直线AC 的方程为y －23＝－3x ，令y ＝0得x 3＝2，直线BD 的方程为y －3＝－3(x ＋3)，令y ＝0得x 4＝－2，则|CD |＝|x 3－x 4|＝4.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l 过点P (2,3)，且与圆M 交于A ，B 两点，且|AB |＝23，求直线l 的方程．解：当直线l 的斜率k 存在时，设直线l 的方程为y －3＝k (x －2)， 即kx －y ＋3－2k ＝0. 如图，作MC ⊥AB 于点C .在Rt △MBC 中，BC ＝3，MB ＝2，MC ＝MB 2－BC 2＝1，圆心M (1,1)到直线l 的距离为d ＝|k －1＋3－2k |k 2＋1＝1，解得k ＝34.因此，所求直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0；当直线l 的斜率不存在时，此时直线l 的方程为x ＝2，圆心到此直线的距离也是1，所以符合题意；故所求直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0或x ＝2.18．(12分)已知圆M ：x 2＋(y －4)2＝4，P 是直线l ：x －2y ＝0上的动点，过点P 作圆M 的切线P A ，切点为A .当切线P A 的长度为23时，求点P 的坐标．解：由题可知圆M 的圆心为M (0,4)，半径r ＝2.设P (2b ，b )，因为P A 是圆M 的一条切线，所以∠MAP ＝90°. 在Rt △MAP 中，|MP |2＝|AM |2＋|AP |2，故|MP |＝22＋(23)2＝4.又|MP |＝(0－2b )2＋(4－b )2＝5b 2－8b ＋16，所以5b 2－8b ＋16＝4，解得b ＝0或85.所以点P 的坐标为(0,0)或⎝⎛⎭⎫165，85.19．(12分)已知圆M 经过A (1，－2)，B (－1,0)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2.(1)求圆M 的方程；(2)若P ⎝⎛⎭⎫2，12为圆内一点，求过点P 被圆M 截得的弦长最短时的直线l 的方程． 解：(1)设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，圆在x 轴上的截距之和为x 1＋x 2＝－D ；令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，圆在y 轴上的截距之和为y 1＋y 2＝－E .由题意有－D －E ＝2，即D ＋E ＝－2.①又A (1，－2)，B (－1,0)两点在圆上，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋4＋D －2E ＋F ＝0，1－D ＋F ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧D －2E ＋F ＋5＝0，－D ＋F ＋1＝0.② 联立①②，解得D ＝－2，E ＝0，F ＝－3，于是所求圆M 的方程为x 2＋y 2－2x －3＝0. (2)设直线l 的斜率为k l .由(1)知，圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝4，圆心M (1,0)． 当直线l 过定点P ⎝⎛⎭⎫2，12，且与过此点的圆的半径垂直时，l 被圆截得的弦长最短，此时直线MP 的斜率k MP ＝12－02－1＝12， 所以k l ＝－1k MP ＝－2，于是直线l 的方程为y －12＝－2(x －2)，即4x ＋2y －9＝0.20．(12分)已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝2.(1)求与圆C 相切，且在x 轴、y 轴上的截距相等的直线l 的方程；(2)从圆C 外一点P 作圆C 的一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，若|PM |＝|PO |，求点P 的轨迹方程，并求此轨迹被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长．解：(1)依题意，可知在x 轴、y 轴上的截距相等的直线l 分两种情况： ①直线l 过原点，可设直线l 的方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，所以|－2k |k 2＋1＝2，解得k＝±1，即直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y ＝0；②直线l 不过原点，可设l 的方程为x a ＋ya＝1(a ≠0)，即x ＋y －a ＝0，所以|－2－a |2＝2，解得a ＝0(舍去)或a ＝－4，即直线l 的方程为x ＋y ＋4＝0.所以直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y ＝0或x ＋y ＋4＝0.(2)设P (x ，y )，由|PM |＝|PO |，|PM |2＝|PC |2－|CM |2，得x 2＋y 2＝(x ＋2)2＋y 2－2，化简得点P 的轨迹方程为x ＝－12.于是直线x ＝－12被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为212－⎝⎛⎭⎫122＝ 3.21．(12分)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)，当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．解：(1)不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2.又C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC⊥BC 的情况．(2)证明：BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝⎛⎭⎫x －x 22. 由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎨⎧x ＝－m 2，y －12＝x 2⎝⎛⎭⎫x －x 22，又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎨⎧x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2 r 2－⎝⎛⎭⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．22.(12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程． 解：(1)圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，其圆心M (6,7)，半径为5. 由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)．因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，于是圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)如图，因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0，则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5.因为BC ＝OA ＝22＋42＝25，而MC 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫BC 22，所以25＝(m ＋5)25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.。

阶段质量检测（四) 圆与方程（时间120分钟满分150分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线x＋y－1＝0被圆(x＋1)2＋y2＝3截得的弦长等于（）A. 2 B．2C．2 2 D．4解析：选B 由题意，得圆心为（－1，0)，半径r＝错误!，弦心距d＝错误!＝错误!，所以所求的弦长为2错误!＝2，选B。

2．若点P（1,1)为圆x2＋y2－6x＝0的弦MN的中点,则弦MN所在直线的方程为（）A．2x＋y－3＝0 B．x－2y＋1＝0C．x＋2y－3＝0 D．2x－y－1＝0解析：选D 由题意,知圆的标准方程为(x－3）2＋y2＝9，圆心为A（3，0）．因为点P(1,1）为弦MN的中点，所以AP⊥MN。

又AP的斜率k＝1－01－3＝－错误!，所以直线MN的斜率为2,所以弦MN所在直线的方程为y－1＝2(x－1），即2x－y－1＝0.3．半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋（y－3)2＝1内切,则此圆的方程为( ）A．(x－4）2＋(y－6)2＝6 B．（x±4)2＋(y－6）2＝6C．（x－4)2＋(y－6）2＝36 D．(x±4）2＋(y－6)2＝36解析：选D ∵半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b),则b＝6。

再由a2＋32＝5,可以解得a＝±4,故所求圆的方程为(x±4）2＋（y－6）2＝36.4．经过点M(2,1)作圆x2＋y2＝5的切线，则切线方程为（) A。

错误!x＋y－5＝0 B.错误!x＋y＋5＝0C．2x＋y－5＝0 D．2x＋y＋5＝0解析：选C ∵M（2，1)在圆上，∴切线与MO垂直．∵k MO＝错误!，∴切线斜率为－2。

又过点M(2,1)，∴y－1＝－2（x－2)，即2x＋y－5＝0.5．把圆x2＋y2＋2x－4y－a2－2＝0的半径减小一个单位则正好与直线3x－4y－4＝0相切，则实数a的值为( ）A．－3 B．3C．－3或3 D．以上都不对解析：选C 圆的方程可变为(x＋1）2＋(y－2）2＝a2＋7,圆心为（－1,2）,半径为错误!，由题意得错误!＝错误!－1，解得a＝±3.6.如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时,拱顶离水面2米，水面宽12米,当水面下降1米后，水面宽度为( ）A．14米B．15米C。

第四章测试(时间：120分钟总分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知两圆的方程是x2＋y2＝1和x2＋y2－6x－8y＋9＝0，那么这两个圆的位置关系是()A．相离B．相交C．外切D．内切解析将圆x2＋y2－6x－8y＋9＝0，化为标准方程得(x－3)2＋(y－4)2＝16.∴两圆的圆心距(0－3)2＋(0－4)2＝5，又r1＋r2＝5，∴两圆外切．答案 C2．过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最长弦所在的直线方程为()A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋1＝0解析依题意知所求直线通过圆心(1，－2)，由直线的两点式方程，得y＋2 1＋2＝x－12－1，即3x－y－5＝0.答案 A3．若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为() A．1，－1 B．2，－2C ．1D ．－1解析 圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心C (1,0)，半径为1，依题意得|1＋a ＋0＋1|(1＋a )2＋1＝1，即|a ＋2|＝(a ＋1)2＋1，平方整理得a ＝－1.答案 D4．经过圆x 2＋y 2＝10上一点M (2，6)的切线方程是( ) A ．x ＋6y －10＝0 B.6x －2y ＋10＝0 C ．x －6y ＋10＝0D ．2x ＋6y －10＝0解析 ∵点M (2，6)在圆x 2＋y 2＝10上，k OM ＝62， ∴过点M 的切线的斜率为k ＝－63. 故切线方程为y －6＝－63(x －2)． 即2x ＋6y －10＝0. 答案 D5．垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x ＋y ＋1＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0解析 由题意可设所求的直线方程为y ＝－x ＋k ，则由|k |2＝1，得k ＝±2.由切点在第一象限知，k ＝ 2.故所求的直线方程y ＝－x ＋2，即x ＋y －2＝0.答案 A6．关于空间直角坐标系O －xyz 中的一点P (1,2,3)有下列说法： ①点P 到坐标原点的距离为13； ②OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫12，1，32；③与点P关于x轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)；④与点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，－3)；⑤与点P关于坐标平面xOy对称的点的坐标为(1,2，－3)．其中正确的个数是()A．2 B．3C．4 D．5解析点P到坐标原点的距离为12＋22＋32＝14，故①错；②正确；点P关于x轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，故③错；点P关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，－2，－3)，故④错；⑤正确．答案 A7．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1处，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定解析∵点M(a，b)在圆x2＋y2＝1外，∴a2＋b2>1，又圆心(0,0)到直线ax＋by＝1的距离d＝1a2＋b2<1＝r，∴直线与圆相交．答案 B8．与圆O1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆O2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线条数是()A．4 B．3C．2 D．1解析两圆的方程配方得，O1：(x＋2)2＋(y－2)2＝1，O2：(x－2)2＋(y－5)2＝16，圆心O1(－2,2)，O2(2,5)，半径r1＝1，r2＝4，∴|O1O2|＝(2＋2)2＋(5－2)2＝5，r1＋r2＝5.∴|O1O2|＝r1＋r2，∴两圆外切，故有3条公切线．答案 B9．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝0垂直，则直线l的方程是()A．2x－y＝0 B．2x－y－2＝0C．x＋2y－3＝0 D．x－2y＋3＝0解析依题意知直线l过圆心(1,2)，斜率k＝2，∴l的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.答案 A10．圆x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心在直线x＋y－4＝0上，那么圆的面积为()A．9π B．πC．2π D．由m的值而定解析∵x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0，∴[x－(2m＋1)]2＋(y－m)2＝m2.∴圆心(2m＋1，m)，半径r＝|m|.依题意知2m＋1＋m－4＝0，∴m＝1.∴圆的面积S＝π×12＝π.答案 B11．当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)的连结线段PQ的中点的轨迹方程是()A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝1解析 设P (x 1，y 1)，Q (3,0)，设线段PQ 中点M 的坐标为(x ，y )， 则x ＝x 1＋32，y ＝y 12，∴x 1＝2x －3，y 1＝2y . 又点P (x 1，y 1)在圆x 2＋y 2＝1上， ∴(2x －3)2＋4y 2＝1.故线段PQ 中点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1. 答案 C12．曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，512) B ．(512，＋∞) C ．(13，34]D ．(512，34] 解析 如图所示，曲线y ＝1＋4－x 2变形为x 2＋(y －1)2＝4(y ≥1)， 直线y ＝k (x －2)＋4过定点(2,4)， 当直线l 与半圆相切时，有 |－2k ＋4－1|k 2＋1＝2，解得k ＝512. 当直线l 过点(－2,1)时，k ＝34. 因此，k 的取值范围是512<k ≤34. 答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．圆x 2＋y 2＝1上的点到直线3x ＋4y －25＝0的距离最小值为____________．解析 圆心(0,0)到直线3x ＋4y －25＝0的距离为5， ∴所求的最小值为4. 答案 414．圆心为(1,1)且与直线x ＋y ＝4相切的圆的方程是________． 解析 r ＝|1＋1－4|2＝2，所以圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.答案 (x －1)2＋(y －1)2＝215．方程x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0表示的圆，①关于直线y ＝x 对称；②关于直线x ＋y ＝0对称；③其圆心在x 轴上，且过原点；④其圆心在y 轴上，且过原点，其中叙述正确的是__________．解析 已知方程配方，得(x ＋a )2＋(y －a )2＝2a 2(a ≠0)，圆心坐标为(－a ，a )，它在直线x ＋y ＝0上，∴已知圆关于直线x ＋y ＝0对称．故②正确．答案 ②16．直线x －2y －3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9相交于A ，B 两点，则△AOB (O 为坐标原点)的面积为________．解析 圆心坐标(2，－3)，半径r ＝3，圆心到直线x －2y －3＝0的距离d ＝5，弦长|AB |＝2r 2－d 2＝4.又原点(0,0)到AB 所在直线的距离h ＝35，所以△AOB 的面积为S ＝12×4×35＝655.答案 655三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)自A (4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程． 解 解法1：连接OP ，则OP ⊥BC ，设P (x ，y )，当x ≠0时，k OP ·k AP ＝－1，即y x ·yx －4＝－1.即x2＋y2－4x＝0.①当x＝0时，P点坐标为(0,0)是方程①的解，∴BC中点P的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0(在已知圆内)．解法2：由解法1知OP⊥AP，取OA中点M，则M(2,0)，|PM|＝12|OA|＝2，由圆的定义，知P点轨迹方程是以M(2,0)为圆心，2为半径的圆．故所求的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4(在已知圆内)．18．(12分)已知圆M：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－1＝0与圆N：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0相交于A，B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M的圆心坐标．解由圆M与圆N的方程易知两圆的圆心分别为M(m，－2)，N(－1，－1)．两圆的方程相减得直线AB的方程为2(m＋1)x－2y－m2－1＝0.∵A，B两点平分圆N的圆周，∴AB为圆N的直径，∴AB过点N(－1，－1)．∴2(m＋1)×(－1)－2×(－1)－m2－1＝0.解得m＝－1.故圆M的圆心M(－1，－2)．19．(12分)点M在圆心为C1的方程x2＋y2＋6x－2y＋1＝0上，点N在圆心为C2的方程x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0上，求|MN|的最大值．解把圆的方程都化成标准形式，得(x＋3)2＋(y－1)2＝9，(x＋1)2＋(y＋2)2＝4.如图所示，C 1的坐标是(－3,1)，半径长是3；C 2的坐标是(－1，－2)，半径长是2.所以，|C 1C 2|＝(－3＋1)2＋(1＋2)2＝13.因此，|MN |的最大值是13＋5.20．(12分)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0，从圆C 外一点P 向圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求|PM |的最小值．解 如图：PM 为圆C 的切线，则CM ⊥PM ，∴△PMC 为直角三角形，∴|PM |2＝|PC |2－|MC |2.设P (x ，y )，C (－1,2)，|MC |＝ 2. ∵|PM |＝|PO |，∴x 2＋y 2＝(x ＋1)2＋(y －2)2－2.化简得点P 的轨迹方程为2x －4y ＋3＝0.求|PM |的最小值，即求|PO |的最小值，即求原点O 到直线2x －4y ＋3＝0的距离，代入点到直线的距离公式可求得|PM |最小值为3510.21．(12分)已知圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0及点Q (－2，3)， (1)若点P (m ，m ＋1)在圆C 上，求PQ 的斜率；(2)若点M 是圆C 上任意一点，求|MQ |的最大值、最小值；(3)若N (a ，b )满足关系：a 2＋b 2－4a －14b ＋45＝0，求出t ＝b －3a ＋2的最大值．解 圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0可化为(x －2)2＋(y －7)2＝8. (1)点P (m ，m ＋1)在圆C 上，所以m 2＋(m ＋1)2－4m －14(m ＋1)＋45＝0，解得m ＝4，故点P (4,5)．所以PQ 的斜率是k PQ ＝5－34＋2＝13；(2)如图，点M 是圆C 上任意一点，Q (－2,3)在圆外， 所以|MQ |的最大值、最小值分别是 |QC |＋r ，|QC |－r . 易求|QC |＝42，r ＝22， 所以|MQ |max ＝62，|MQ |min ＝2 2.(3)点N 在圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上，t ＝b －3a ＋2表示的是定点Q (－2,3)与圆上的动点N 连线l 的斜率． 设l 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0. 当直线和圆相切时，d ＝r ，即|2k －7＋2k ＋3|k 2＋1＝22，解得k ＝2±3.所以t ＝b －3a ＋2的最大值为2＋ 3.22．(12分)已知曲线C ：x 2＋y 2＋2kx ＋(4k ＋10)y ＋10k ＋20＝0，其中k ≠－1. (1)求证：曲线C 表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上； (2)证明曲线C 过定点；(3)若曲线C 与x 轴相切，求k 的值．解 (1)证明：原方程可化为(x ＋k )2＋(y ＋2k ＋5)2＝5(k ＋1)2. ∵k ≠－1，∴5(k ＋1)2>0.故方程表示圆心为(－k ，－2k －5)，半径为5|k ＋1|的圆．设圆心的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝－k ，y ＝－2k －5.消去k ，得2x －y －5＝0.∴这些圆的圆心都在直线2x －y －5＝0上． (2)证明：将原方程变形为(2x ＋4y ＋10)k ＋(x 2＋y 2＋10y ＋20)＝0， ∵上式对于任意k ≠－1恒成立，∴⎩⎨⎧2x ＋4y ＋10＝0，x 2＋y 2＋10y ＋20＝0.解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－3.∴曲线C 过定点(1，－3)． (3)∵圆C 与x 轴相切，∴圆心(－k ，－2k －5)到x 轴的距离等于半径． 即|－2k －5|＝5|k ＋1|.两边平方，得(2k ＋5)2＝5(k ＋1)2. ∴k ＝5±3 5.。