《数学史》课件

中国古代数学体系形成
《九章算术》在隋唐时期曾传到朝鲜、日本，并成为这些国家当时的 数学教科书。它的一些成就如十进位值制、今有术、盈不足术等还传到 印度和阿拉伯，并通过印度、阿拉伯传到欧洲，促进了世界数学的发展。
《九章算术》的内容
1.方田：主要是田亩面积的计算和分数的计算，是世界 上最早对分数进行系统叙述的著作。 2.粟米：组好事粮食交易的计算方法，其中涉及许多比 例问题。 3.衰（读作“翠”）分：主要内容为分配比例的算法。 4.少广：主要讲开平方和开立方的方法。 5.商功：主要是土石方和用工量等工程数学问题，以体 积的计算为主。 6.均输：计算税收等更加复杂的比例问题。 7.盈不足：双设法的问题。 8.方程：主要是联立一次方程组的解法和正负数的加减 法，在世界数学史上是第一次出现。 9.勾股：勾股定理的应用。
商高定理-----勾股定理
“勾广三,股修四,径 隅五” “……以日下为勾, 日高为股,勾股各自 乘,并而开方除之,得 邪至日.”
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古典数学的形成与发展时期
周人的测日影表 古代认为夏至时立一8尺高的标竿，它的影长正好是6尺。 “求邪至日者，以日下为勾，以日高为股，勾股各自乘，
并而开方除之，得邪至日从髀所旁至日所十万里。”
第三章 中世纪的中国数学
3.1《周髀算经》与《九章算术 》
主讲人：翟影 搜集资料：刘玲 ppt制作：李艾娟
3.1.1 古代背景
第一章中已涉及了中国远古数与形概念的萌芽。殷商甲骨文中 已经使用完整的十进制记数。至迟到春秋战国时代，又开始出现严 格的十进位值制筹算记数。
《孙子算经》中记载的筹算记数法则说：“凡算之法，先识其 位。一纵十横，百立千僵。千十相望，百万相当”。
纵式用来表示个位、百位、万位，……数字；横式用来表 示十位、千位、十万位、……数字。纵、横相间，零则以空位 表示。这样，数76 031用算筹表示出来是 。这种十进位值 记数法是中国古代数学对人类文明的特殊贡献。 关于几何学，《史记》“夏本纪”记载说：夏禹治水，“左 规矩，右准绳”。“规”是圆规，“矩”是直尺，“准绳”则 是确定铅垂方向的器械。
《九章算术》的内容是由周代的“九 明代刊印的《九章算术注》 数”发展而来的。刘徽称：“周公制 礼而有九数，九数之流则《九章》是 矣”。 《九章算术》标志着中国传统数
学的知识体系已初步形成。
代
表了中国传统数学体系和思想方 法的特点：注重实际问题的数值 计算方法，缺少抽象的理论和逻 辑系统性，使用算筹，形成世界 上独有的计算工具和程序化计算 方法
中国古代数学的萌芽
“数学”一词相当于我国古代 的“算术” 数学一词，在中国最早出现 在12世纪宋代数学家秦九韶的著 作中。他指出“物生有象，象生 有数，乘除推阐，务究造化之源 者，是数学”。
中国古代数学的萌芽
战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，尤其是对于正名和一些 命题的争论直接与数学有关。 儒家以“九数”为核心，具有鲜明的政治和人文色彩，并以《周易 》象数学宇宙论为哲学依托. 墨家则以几何学为核心，具有一定的抽象性和思辨性，以《墨经》 的逻辑学为其论说的工具。 名家认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不同，他们提 出“矩不方，规不可以为圆”，把“大一”(无穷大)定义为“至大无 外”，“小一”(无穷小)定义为“至小无内”。还提出了“一尺之棰， 日取其半，万世不竭”等命题。
（二）代数方面
（1）方程术。“方程术”即线性联立方程组的解法。 （2）正负术。《九章算术》在代数方面的另一项突出
贡献是负数的引进。
(3) 开方术。《九章算术》“少广”章有“开方术”和 “开立方术”给出了开平方和开立方的算法。《九章
算术》开方术本质上是一种减根变换法，开创了后来开
更高次方和求高次方程数值解之先河。
中国古代数学的萌芽
中国古代数学的萌芽原始公社末期，私有制和货物交换产生以后， 数与形的概念有了进一步的发展，仰韶文化时期出土的陶器，上面 已刻有表示1234的符号。到原始公社末期，已开始用文字符号取代 结绳记事了。
商代(又称殷代，约公元前17世 纪～约前11世纪)：1899年在河南 安阳发掘出来的殷墟龟甲和兽骨上 所刻的象形文字(甲骨文，公元前14 世纪)。 自然数的记法：10进位制，最大 的数字是3万。
中国古代数学体系形成
《九章算术》是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总 结，就其数学成就来说，堪称是世界数学名著。例如分数四则运算、今 有术(西方称三率法)、开平方与开立方(包括二次方程数值解法)、盈不 足术(西方称双设法)、各种面积和体积公式、线性方程组解法、正负数 运算的加减法则、勾股形解法(特别是勾股定理和求勾股数的方法)等， 水平都是很高的。其中方程组解法和正负数加减法则在世界数学发展上 是遥遥领先的。就其特点来说，它形成了一个以筹算为中心、与古希腊 数学完全不同的独立体系。
3.1.3《九章算术》
《九章算术》是中国古典数学最重要的著作。成书年代至迟 在公元前1世纪，其中的数学内容，有些也可以追溯到周代。 《周礼》记载,西周贵族子弟必学的六门课程（“六艺”） 中有一门是“九数”，刘徽《九章算术注》“序”中就称《九章 算术》是由“九数”发展而来，并经过西汉张苍（?-公元前 152）、耿寿昌等人删补。 《九章算术》采用问题集的形式，全书246个问题，分成九章。
(一）算术方面
（1）分数四则运算法则。《九章算术》“方田”章给出了完整 的分数加、减、乘、除以及约分和通分运算法则。 （2）比例算法。《九章算术》“粟米”、“衰分”、“均输” 诸章集中讨论比例问题，并提出“今有术”作为解决各类比例问题 的基本算法。 （3）盈不足术。“盈不足”术是以盈亏类问题为原型，通过两 次假设来求繁难算术问题的解的方法。 “盈不足术”在中世纪阿拉伯数学著作中称为“契丹算法”，即中 国算法。
的密切联系。从数学上看，《周髀算经》主要的成就是分数
运算、勾股定理及其在天文测量中的应用，其中关于勾股定 理的论述最为突出。
《周髀算经》上卷 :勾股定理的证明
昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问 昔者包牺立周天历度——夫天可不阶而升，地不可得尺 寸而度，请问数安从出？”

商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩， 矩出于九九八十一。故折矩，以为句广三，股修四，径 隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。 两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者， 此数之所生也。”
3.1.2《周髀算经》
“周髀”是测 量日影的工具 —八尺长竿
在现存的中国古代数学著作中，《周髀算经》是最早的 一部。 作者不祥，成书年代应不晚于公元前2世纪西汉时期， 但书中涉及的数学、天文知识，有的可追溯到西周（公元前 11世纪-前8世纪）。这部著作实际上是从数学上讨论“盖天 说”（天圆地方）宇宙模型，反映了中国古代数学与天文学
（三）几何方面
《九章算术》“方田”、“商功”和“勾股”三章处理几何问题。 其中“方田”章讨论面积问题，“商功”章讨论体积问题，“勾股” 章则是关于勾股定理的应用。 各种几何图形的名称就反映着它们的现实来源。如平面图形有 “方田”（正方形）、“直田”（矩形）、“圭田”（三角形）、 “箕 (ji) 田”（梯形）、“圆田”（圆）、“弧田”（弓形）、 “环田”（圆环）等；立体图形则有“仓”（长方体）、“方亭” （平截头方锥）、“阳马”（底面为长方形而有一棱与地面垂直的 锥体）以及“刍童”（上、下底面都是长方形的棱台）等等。
考察以一直角三角形的勾和股为 边的两个正方形的合并图形，其面积 应有 a 2 b 2 . 如果将这合并图形所含 的两个三角形移补到图中所示的位置， 将得到一个以原三角形之弦为边的正 方形，其面积应为
a2 b2 c2 .
c 2 ，因此
古代数学家赵爽
赵爽，又名婴，字君卿，中国数学家。东汉末至三国时 代吴国人。他是我国历史上著名的数学家与天文学家。 生平不详，约生活于公元3世纪初。赵爽的《周髀算经注 》逐段解释《周髀》经文。
谢 谢！
中国古代数学的萌芽
与此同时，殷人用十个天干和十二个地支组成甲子、乙丑、丙寅、 丁卯等60个名称来记60天的日期；在周代，又把以前用阴、阳符号 构成的八卦表示八种事物发展为六十四卦，表示64种事物。
周(约公元前11世纪～公元前 256年)：奴隶制经济获得进一步 的发展. “数”作为六艺之一，开 始形成一个学科。 算筹记数和四则运算已经开始 春秋战国时期：人们已经能熟 练地进行筹算。
墨家
墨家不同意“一尺之棰”的命题，提出一个“非半”的 命题来进行反驳：将一线段按一半一半地无限分割下去 ，就必将出现一个不能再分割的“非半”，这个“非半 ”就是点。
中国古代数学的萌芽
名家的命题论述了有限长度可分割成一个无穷序列，墨 家的命题则指出了这种无限分割的变化和结果。名家和 墨家的数学定义和数学命题的讨论，对中国古代数学理 论的发展是很有意义的。
日S
日高公式（重差术）
c A’
前表 日远
日高
O’ h 南戴日下 O
B’
前影
h A
h 后表 C B
后影
a
b
D
表高 h ×表距 e 日高 SO = c + 表高 h = + 表高 h 影差 d
影差d =后影长BD — 前影长AC = b — a 表距AB = e
中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家，是公元3世 纪三国时期的赵爽（吴）。赵爽注《周髀算经》，作“勾股圆 方图”，其中的“弦图”，相当于运用面积的出入相补证明了 勾股定理。
《九章算术》中给出的所有直线形的面、体积公 式都是准确的，例如刍童（上下底面都是长方形 的棱台）体积公式：
b a
h V [(2b d )a (2d b)c] 6
c
d
羡除（三个侧面均为梯形的楔形体）体积公式为：
1 V (a b c )h l 6