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4分布函数理论

式中p 称为 n重（或n 粒子）标明分布函数。标明分布函数是归一化的，即 (n) (4-4) p (r1 , r2 ,rn )dr1dr2 drn 1 显然，由式（4-3）可知二重标明分布函数为
p (2) (r1 , r2 ) 1 EN e dr3 drN QN
2
ur g r 4 r dr
2 0

若
EN
N ( N 1) u (r12 ) 2
EN / kT
(4-21)
将式（4-21）代入式（4-20）中，可得体系平均位能为 N ( N 1) e dr dr )dr dr E u ( r )( 2 Q
)dr1 drN
1 EN e EN / kT dr1 drN QN
在系统中，每一个分子对的平均位能u(r)应为：
u r1, r2 dr1dr2
这个式子的意义在于：在r1处dr1中出现分子1和在r2处 dr2中出现分子2的几率为p(2)dr1dr2，这时的位能为u(r12) u(r12)的平均值应为所有可能的u(r12)乘以几率求和(积分)。

2
r dr dr N V dr dr
2 1 2 1
2
(4-14)
代入（4-13）
可见g(r)=1，即随机分布的径向分布函数等于1。如果分子的分布不是随机的；例如是近程有序的，则在与某一分子相距为r处的微元dr2中出现其它的任一个分子的几率将不再是(N/V)dr2，按式(4-13)应该是(N/V)g(r)dr2 ，由以上讨论可见，对于随机分布，二重分布函数ρ(2)(r) 应该是(N/V)2，而如不是随机分布，则应乘以径向分布函数g(r)即式(4-13)。因此，径向分布函数g(r)应是在距离r处找到另一个分子的几率相对于随机分布几率的比值。

分布函数

第一章分布函数在研究气象学中的问题时，人们对于动力气象学中的一套思想方法是较为熟悉的。

现在我们仍然研究气象学中的种种实际问题，但是思考这些问题的着眼点变了。

这种新的思考方法会涉及到一些新的物理概念。

我们希望它能引导我们，发现新的气象规律。

这一章我们要对后边反覆用到的“分布函数”概念作一个统一的说明。

分布函数的概念是很容易理解又十分有用的。

抓住这个概念可以方便地引出很多气象上的新问题，它也是在新框架中作进一步讨论的思维工具。

这一章先从易于理解的实例引出这个概念，进而对它作数学分析，指出它与概率密度分布函数的关系。

此后将问题引到气象学中，起到在新思路下提出问题的目的。

§1 实例1.1 人口中的年龄构成人口的年龄构成对于社会学家来说，是一个十分重要的问题。

一个国家如果儿童、少年过多，那么教育、就业等一系列环节都会遇到难题。

反之，一个国家老年人过多又会遇到另一些难题。

所以，一个国家的不同年龄的人各占多少，即人口在年龄上的分配(分布)是了解一个国家状况的重要数据。

描述一个国家(或地区)人口年龄构成的简明方法是给出一张人口数与年龄数的直方柱图。

图1．1就是给出的一个例子[1] 。

它是经过人口普查，分档统计出处于不同年龄组 (例如以十岁为一个年龄组)各有多少人，进而绘出的一张人口的年龄构成直方图。

年龄图1．1 人口数量在年龄上的分布 (日本，1975年10月1日，年龄低于90岁部分)人口在年龄上的这种分布关系，我们称为分布函数。

1.2 颗粒度为了取暖，很多人家要买煤。

煤里有多少大块，有多少煤沫是个重要问题。

这可以说成是个颗粒度问题。

煤是用某种手段先从煤矿中把它破碎后才取人口数（百万）出来的，大块的，中等的，小的都有。

所谓颗粒度也就是不同大小的个体(煤块)在总体中(1吨或100公斤等等)各占了多少。

它也是一个分布函数。

表1．1给出了颗粒度分布的一个实例，它分析的不是煤块大小的分布，而是大气中的尘埃的大小的分布[2]。

概率论随机变量的分布函数ppt课件

因此， A 是不可能事件
P{A} 0.
ppt课件
12
例1: 设随机变量X具有概率密度
ke 3 x
x0
f (x)
0 x0
(1)试确定常数k，(2)求F(x)，(3)并求P{X>0.1}。
解: (1)由于
f (x)dx
ke3xdx k 1
，解得k=3.
0
3
于是X的概率密度为
f
(
x)
O
x
(3) 在 x= 处曲线有拐点，且以x轴为渐近线 ;
(4) 对固定的,改变的值,图形沿Ox轴平移;
(5) 对固定的,改变, 越小,图形越尖.
正态分布的分布函数为: F ( x)
ppt课件
1
2
e dt x
(t )2 2 2
28
标准正态分布
当=0, =1时,称X服从标准正态分布,记作X～N(0,1).
例3 设电阻值R是一个随机变量，均匀分布在800欧～1000
欧，求R的概率密度及R落在850欧～950欧的概率.
解: 由题意，R的概率密度为
1 f (r) 1000 800
， 800 r 1000
0
, 其它
950 1
而 P{850 X 950}
dr 0.5
200 ppt课件
850
18
2. 指数分布
注 (4)式及连续性随机变量分布函数的定义表示了分布函数与概率密度间的两个关系．利用这些关系，可以根据分布函数和概率密度中的一个推出另一个．
ppt课件
10
连续型随机变量的分布函数与概率密度的几何意义：
1. F(x)等于曲线f(x)在(-∞,x]上的曲边梯形的面积。

第二节分布函数（Distribu...

上课材料之‎三：第二节分布函数(Distr ‎ibuti ‎on funct ‎ion)，数学期望(Expec ‎tatio ‎n)与方差(Varia ‎nce)本节主要介‎绍概率及其‎分布函数，数学期望，方差等方面‎的基础知识‎。

一、概率(Proba ‎bilit ‎y)1、概率定义(Defin ‎ition ‎ of Proba ‎bilit ‎y)在自然界和‎人类社会中‎有着两类不‎同的现象，一类是决定‎性现象，其特征是在‎一定条件必‎然会发生的‎现象；另一类是随‎机现象，其特征是在‎基本条件不‎变的情况下‎，观察到或试‎验的结果会‎不同。

换句话说，就个别的试‎验或观察而‎言，它会时而出‎现这种结果‎，时而出现那‎样结果，呈现出一种‎偶然情况，这种现象称‎为随机现象‎。

随机现象有‎其偶然性的‎一面，也有其必然‎性的一面，这种必然性‎表现为大量‎试验中随机‎事件出现的‎频率的稳定‎性，即一个随机‎事件出现的‎频率常在某‎了固定的常‎数附近变动‎，这种规律性‎我们称之为‎统计规律性‎。

频率的稳定‎性说明随机‎事件发生可‎能性大小是‎随机事件本‎身固定的，不随人们意‎志而改变的‎一种客观属‎性，因此可以对‎它进行度量‎。

对于一个随‎机事件A ，用一个数P ‎（A ）来表示该事‎件发生的可‎能性大小，这个数P （A ）就称为随机‎事件A 的概‎率，因此，概率度量了‎随机事件发‎生的可能性‎的大小。

对于随机现‎象，光知道它可‎能出现什么‎结果，价值不大，而指出各种‎结果出现的‎可能性的大‎小则具有很‎大的意义。

有了概率的‎概念，就使我们能‎对随机现象‎进行定量研‎究，由此建立了‎一个新的数‎学分支——概率论。

概率的定义‎定义在事件‎域F 上的一‎个集合函数‎P 称为概率‎，如果它满足‎如下三个条‎件：（i ）P （A ）≥0，对一切∈A F （ii ）P （Ω）=1；（iii ）若∈i A ，i=1,2…，且两两互不‎相容，则∑∑∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛11)(i i i i A P A P 性质（iii ）称为可列可‎加性（confo ‎r mabl ‎e addit ‎i on ）或完全可加‎性。

第四章聚合物的分子量和分子量分布解读

a，b是两个可调节参数
M
n

a1 b
1 1 b
M
w

a

1
b
1

1 b

M
z

a1
b
1

2 b

d．Scholz-Zimm分布
wM

yh
rh
1
1
M
h
e

ym
四．分级数据与平均分子量
若原试样的归一化重量分布 wM
0 wM dM 1
M
2
e
bMdM

b2
2 b3

2 b
M w2 Mn
，为定值。
wM 的峰位分子量：
dwM dM
b2
e bM
bM e bM
b2 e bM 1 bM
从
d
wM

dM

0
：
wM 的峰位分子量为：
1 b
M
n
b．对数正态分布函数
wM 1

M
z

1

N
i
M
i
4

N
i
M
3 i

W
i
M
i
3
W
i
M
i
2
粘均分子量：
M

W
i
M

i
1
这里的是指Mark-Houvink方程:
K M
中的值。当 1 时，
M M w
0.5 1
平均分子量的通式：

分布函数

5 2 5 F P X 2 3 2
5 1 5 1 21 1 P X F F 2 2 2 2 3 6 2
12
X为离散型随机变量分布函数 F x 与概率函数
pk 的关系。
设离散型X 的分布列是
X pk
x1 p1
x 2 xk xn p2 pk pn
k 1, 2, 3,
xk x k
F x
P X xk pk
xk x k
p P X x
由于 F x 是X 取 x 的诸值 k x 的概率之和，故又称
F x 为累积概率函数.
F x 的定义域：
,
10
X pk
1 1 6
2 1 2
3 1 3
x 1 0 1 / 6 1 x 2 F ( x) 2/3 2 x 3 1 x3
13
O
分布函数图形
F (x )
1
1 2
O
16
1
O
12 13 16
0
1

2
3
x
F 不难看出， x 的图形是阶梯状的图形，在 x 1, 2, 3
且右连续。处有跳跃，
11
分布函数
x 1 0 1 / 6 1 x 2 F x P X x 2/3 2 x 3 1 x3
对应规律：函数值 F(x) 取落在 , x 上的概率值。
由此例可见：
1 1 1 F P X 2 6 2
13
F x 为累积概率函数.
F x 1
pk p3

概率论与数理统计第二章随机变量及其分布

解：
6 6 X ~ ( ), 且 P X 0 e 即 e e 6
P { X 2 } 1 P { X 2 } 1 P { X 0 } P { X 1 }
6 6 1 e 6 e 0 . 9826
A={X=1}，B={X=2}，C={X=0}
② 设Y为进行5次试验中成功的次数，则 D={Y=1}，F={Y1},G={Y3}
随机变量的分类
离散型随机变量随机变量连续型非离散型奇异型（混合型）
§2 离散型随机变量的分布律(P27)
定义若随机变量X取值x1, x2, …, xn, … ，且取这些值的概率依次为p1, p2, …, pn, …, 则称 P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … ) 为X的分布律。可表为 X～ P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … )，或…
k k n
k 0 , 1 , , n
若以X表示n重贝努里试验中事件A发生的次数， P(A)=p, 则称X服从参数为n,p的二项分布。记作X~b(n,p), 其分布律为：
P { X k } p ( 1 p ), ( k 0 , 1 ... n ) C n
kk
n k
例2 掷一颗骰子10次，求（1）双数点出现6次的概率？（2）“3”点出现两次的概率？解：(1)设X表出现双数点的次数，则X~b(10，1/2） 6 6 10 6 6 10 1 1 1 所求概率： P ( X 6 ) C ( ) ( ) C ( ) 10 10 2 2 2 (2) 设Y表出现“3”点的次数，则Y~b(10，1/6） 2 1258 所求概率为： P ( Y 2 ) C () () 10

分布函数

分布函数分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）是概率统计中重要的函数，正是通过它，可用的方法来研究随机变量。

1.伯努利分布伯努利分布(Bernoulli distribution)又叫做两点分布或者0-1分布，是一个离散型概率分布，若伯努利实验成功，则伯努利随机变量取值为1，如果失败，则伯努利随机变量取值为0。

并记成功的概率为p，那么失败的概率就是1p-，概率p p-，则数学期望为p，方差为(1)密度函数为2.二项分布二项分布即重复n次独立的。

在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布服从0-1分布。

假设每次试验的成功概率为p，则二项分布的密度函数为：二项分布函数的数学期望为np，方差为(1)X B n p。

概率密度分布图如下所np p-，记为~(,)示。

3.正态分布正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），若X服从一个为μ、为σ2的高斯分布，记为：X~N(μ,σ2),则其为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。

通常所说的标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布。

分布曲线特征：图形特征集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。

对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。

均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。

曲线与横轴间的面积总等于1，相当于概率密度函数的函数从正无穷到负无穷积分的概率为1。

即频率的总和为100%。

关于μ对称，并在μ处取最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点，形状呈现中间高两边低，正态分布的概率密度函数曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。

高等化工热力学第四章分布函数

N 1 1
(4-27)
du (rij ) drij EN 式中，( ) N ,T V drij dV i j
1 N ( N 1) du (r12 ) d (V 3 rij* ) 2 dr12 dV

N ( N 1) du (r12 ) 1 1 V r12 2 dr12 3
g ( n ) (r1 , , rn ) 1；对因此对于分子相互独立的系统， ( n ) n ，于分子间有相互作用的系统， g ( n) (r1 ,, rn ) 相当于对分子独立性的校正，亦即表示了分子的相关性，因而称之为相关函数。
N ! V N n ( N n)! V N N ( N 1)( N 2) ( N n 1) Vn N ( )n n V
(4-5)
如果分子不可辨别，即任一分子出现在 r1处的 dr1 ，另一个分子出现在 r2 处的 dr2 ，…，任何分子出现在 rn 处的 drn内的几率要比上述分子标明的几率大得多。在 dr1 微元体内有 N 种选择，在 dr2 微元体内有( N 1) 种选择等， n n 则重分布函数（或称密度函数）与 (n)重标明分布函 p 数有以下关系 :
图4-2 L-J流体的分子径向分布函数，图中 T * kT / ， * 3
从径向分布函数 g (r )可以计算液体的配位数:
2 g ( r ) d r d sin d g ( r ) r dr 0 0 0

2

g (r )4 r 2 dr N 1 N
g (2) (r1 , r2 ) 仅取决于分对于由球形对称分子构成的液体，子1和2的距离即，g (2) (r1 , r2 ) 可写成 g (r ) ，式（4-12）可写为 (2) (r ) g (r ) (4-13) 2 故上式中的分子对相关函数g (r ) 就是分子的径向分布函数。 (1) 因，即第一个分子是任意分布的。由于液体分子间存在相互作用，第二个分子不可能任意分布，而构成相对于中心分子的局部密度 (r )，相应的二重分 (2) 布函数 (r )为

2-2.随机变量的分布函数ppt

得 A
1 1 ，B ． 2
2016/11/20
12
随机变量分布函数
本节小结：
1）分布函数的定义及性质； 2）用分布函数计算某些事件的概率，特别是 P{X=a}=F(a)-F(a-0)
2016/11/20
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Pa X b PX b PX a F b F a 0
Pa X b PX b PX a F b 0 F a
Pa X b PX b PX a F b 0 F a 0
0, 0.1, F ( x) 0.7, 1, x 2, 2 x 1, 1 x 2, x 2.
1
-2
2016/11/20
0
1
2
4
x
随机变量分布函数
说明：分布函数 F (x) 在 x = xk (k =1, 2 ,…) 处有跳跃，其跳跃值为 pk=P{X= xk}.
X
pk
-2 0.1
1 0.6
2 0.3
解：当 x <-2 时，{ X x}是不可能事件，
F ( x ) P{ X x } P{} 0.
当 2 x 1 时, 满足 X
x
的 X 取值为 X = -2, 0 2 1 2
F ( x ) XP{ X x } P{ X 2} 0.1.
X
x
-2 x
-2 1
x
x3ຫໍສະໝຸດ 2016/11/20随机变量分布函数
X
x
-2
1
0.6
2
0.3
pk 0.1
当1 x 2 时, 满足 X
的 X 取值为 X = -2, 或1

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