乘幂反幂法

数值分析幂法和反幂法数值分析中的幂法和反幂法是求解矩阵最大特征值和最小特征值的常用方法。

这两种方法在许多数值计算问题中都有着广泛的应用，包括图像压缩、数据降维、谱聚类等。

幂法（Power Method）是一种迭代算法，通过不断迭代矩阵与一个向量的乘积，来逼近原矩阵的最大特征值和对应的特征向量。

其基本思想是，对于一个矩阵A和一维向量x，可以通过不断迭代计算Ax，Ax，Ax...，来使得向量x逼近最大特征值对应的特征向量。

具体的迭代过程如下：1.初始化一个向量x0（可以是单位向量或任意非零向量）2.令x1=Ax0，对向量进行归一化（即除以向量的范数）得到x13.重复步骤2，即令x2=Ax1，x3=Ax2...，直到收敛（即相邻迭代向量的差的范数小于一些阈值）为止4. 最终得到的向量xn就是A的最大特征值对应的特征向量在实际求解时，我们可以将迭代过程中的向量进行归一化，以防止数值溢出或下溢。

此外，为了提高迭代速度，我们可以选择使得xn与xn-1的内积大于0的方向作为迭代方向，这样可以使得特征值的模快速收敛到最大特征值。

幂法的收敛性是保证的，但收敛速度可能较慢，尤其是当最大特征值与其他特征值非常接近时。

此时可能需要使用一些改进的方法来加速收敛，例如Rayleigh商或位移策略。

相反，反幂法（Inverse Power Method）是求解矩阵的最小特征值和对应的特征向量的方法。

它的基本思想和幂法类似，但在每次迭代中，需要计算A和依其逆矩阵A-1的乘积。

迭代过程如下：1.初始化一个向量x0（可以是单位向量或任意非零向量）2.令x1=A-1x0，对向量进行归一化（即除以向量的范数）得到x13.重复步骤2，即令x2=A-1x1，x3=A-1x2...4. 最终得到的向量xn就是A的最小特征值对应的特征向量反幂法和幂法的区别在于迭代过程中乘以了A的逆矩阵，从而可以利用矩阵的特殊结构或性质来提高迭代速度。

同时，在实际求解时，可能需要将矩阵进行一些变换，以确保A-1存在或数值稳定性。

当前位置：第7章>>第1节>>7.1.3逆幂法逆幂法是求实方阵按模最小特征值及相应的特征向量的一种反迭代方法。

1. 求A按模最小的特征值设非奇异矩阵A的n 个特征值为，其相应的特征向量为e ，则的特征值为其相应的特征向量仍为。

按模最大的特征值的倒数则为矩阵A按模最小的特征值。

利用乘幂法求按模最大的特征值。

任取初始非零初始向量，作迭代序列它等价于（7.5）我们可以通过反迭代过程，即解方程组.求得.当k 充分大时，则有在实际计算中，为了减少运算量，先将矩阵A作三角分解A=LR然后再求解方程组2．求在附近的特征值设与最接近的特征值为即有作矩阵，它的特征值和相应的特征向量为若用逆幂法于矩阵，则有则可求出矩阵的按模最小的特征值和相应的特征向量为于是得A在附近的特征值和相应的特征向量为（7.6）例3 用逆幂法求矩阵在3.4附近的特征值和相应的特征向量解对进行三角分解得：用半次迭代法，取，则得再解得再解得于是练习7.1 1.用乘幂法求矩阵按模最大特征值与特征向量. 乘幂法的计算公式设矩阵A的n个特征值按模的大小排列为：其相应的特征向量为且它们是线性无关的。

先任取非零初始向量，作迭代序列首先将表示为所以为了得出计算和的公式，下面分三种情况讨论1．为实根，且。

当不为0，k充分大时，则有所以（7.1）2．为实根，且。

当不为0，k充分大时，则有（7.2）于是得从而有（7.3）3．,且。

当k充分大时，则有在实际应用幂法时，可根据迭代向量个分量的变化情况判断属于那种情况。

若迭代向量各分量单调变化，且有关系式，则属于第1种情况；若迭代向量各分量不是单调变化，但有关系式，则属于第2种情况；若迭代向量各分量变化不规则，但有关系式，则属于第3种情况；为了防止溢出，可采用迭代公式：（7.4）例2 乘幂法求矩阵按模最大特征值和相应特征向量。

解取，用乘幂法迭代公式计算列表如下：k1 1 11 0 12 -2 26 -8 620 -28 2068 -96 68232 -328 232792 -1120 7923.414 3.415 3.414所以事实上，矩阵的最大特征值为其相应的特征向量为。

竭诚为您提供优质文档/双击可除matlab用规范化乘幂法求以下矩阵的按模最大特征值及其特征向量篇一：幂法,反幂法求解矩阵最大最小特征值及其对应的特征向量数值计算解矩阵的按模最大最小特征值及对应的特征向量一.幂法1.幂法简介：当矩阵a满足一定条件时，在工程中可用幂法计算其主特征值(按模最大)及其特征向量。

矩阵a需要满足的条件为：(1)|1||2|...|n|0,i为a的特征值xn(2)存在n个线性无关的特征向量，设为x1,x2,...,1.1计算过程：n对任意向量x，有x(0)(0)iui,i不全为0，则有i1x(k1)ax(k)...ak1x(0)aαiuiαiλik1uik1i1i1nnnk12k1λ1u1()a2u2()anun11k111u1k112|越小时，收敛越快；且当k充分大时，有可见，当|1 (k1)k111u1x(k1)x(k1)(k)x1(k)，对应的特征向量即是。

kxx11u12算法实现(1).输入矩阵a，初始向量x，误差限,最大迭代次数n(2).k1,0;y(k)x(k)max(abs(x(k))(3).计算xay,max(x);(4).若||,输出,y,否则,转(5)(5).若kn,置kk1,,转3,否则输出失败信息,停机.3matlab程序代码function[t,y]=lpowera,x0,eps,n)%t为所求特征值，y 是对应特征向量k=1;z=0;%z相当于y=x0./max(abs(x0));%规范化初始向量x=a*y;%迭代格式b=max(x);%b相当于ifabs(z-b) t=max(x);return;endwhileabs(z-b)>epsz=b;y=x./max(abs(x));x=a*y;b=max(x);end[m,index]=max(a(matlab用规范化乘幂法求以下矩阵的按模最大特征值及其特征向量)bs(x));%这两步保证取出来的按模最大特征值t=x(index);%是原值，而非其绝对值。

数值分析幂法和反幂法数值分析中，幂法（Power method）和反幂法（Inverse Power method）是求解矩阵的特征值和特征向量的两种常用方法。

它们都是通过迭代过程逼近特征值和特征向量。

1.幂法：幂法是求解矩阵的最大特征值和对应的特征向量的一种迭代方法。

幂法的原理是通过迭代过程，将一个任意选择的初始向量不断与矩阵相乘，使其逼近对应最大特征值的特征向量。

幂法的迭代公式为：$x^{(k+1)} = \frac{Ax^{(k)}}{\，Ax^{(k)}\，}$幂法的迭代过程是不断对向量进行归一化，使其逐渐逼近最大特征值对应的特征向量。

当迭代次数足够多时，可以得到非常接近最大特征值的估计。

2.反幂法：反幂法是幂法的一种变形，用于求解矩阵的最小特征值和对应的特征向量。

反幂法的原理是通过迭代过程，将一个任意选择的初始向量不断与矩阵的逆相乘，使其逼近对应最小特征值的特征向量。

反幂法的迭代公式为：$x^{(k+1)} = \frac{A^{-1}x^{(k)}}{\，A^{-1}x^{(k)}\，}$反幂法的迭代过程同样是不断对向量进行归一化，使其逐渐逼近最小特征值对应的特征向量。

当迭代次数足够多时，可以得到非常接近最小特征值的估计。

3.收敛性分析：幂法和反幂法的收敛性分析与矩阵的特征值分布有关。

对于幂法而言，如果矩阵$A$的最大特征值是唯一的，并且其他特征值的绝对值小于最大特征值的绝对值，那么幂法是收敛的，而且收敛速度是指数级的。

对于反幂法而言，如果矩阵$A$的最小特征值是唯一的，并且其他特征值的绝对值大于最小特征值的绝对值，那么反幂法是收敛的，而且同样是指数级的收敛速度。

4.实际应用：幂法和反幂法在实际中广泛应用于各个领域，例如物理、工程、计算机科学等。

比如在结构力学中，幂法可以用来求解结构的自振频率和相应的振型；在电力系统中，反幂法可以用来求解电力系统决定性特征值，例如功率稳定性的最小特征值。

数值分析 第一章： 误差估计绝对误差，相对误差，有效数字。

大数吃小数。

（填空）三角分解（大题）杜利脱尔分解，克洛脱分解，乔列斯基分解，平方根法，追赶法， 例 1 用最小刻度为毫米的卡尺测量直杆甲和直杆乙，分别读出长度为 ，问： 各是多少？两直杆的实际长度 在什么范围内？ 例2 设 是分别由准确值 经过四舍五入而得到的近似值， 问： 各是多少？例3 下列近似值的绝对误差限都是0.005， 问：各个近似值有几位有效数字？求和时从小到大相加，可使和的误差减小。

1、下列各近似值均有四位有效数字，试指出它们的绝对误差限和相对误差限。

2、下列近似值的绝对误差限都是0.0005，试指出它们有几位有效数字。

3、在四位十进制的限制下，试选择精确度最高的算法，计算下式的值。

答案：1、0.000005,0.03712%;0.005,0.04052%;0.0005,0.04167%.2、4、2、03、1342004、 高斯消去法步骤：(1) 首先将增广阵 [ A, b ] 化为上三角阵； (2) 用三角方程组，回代求解 。

例1在四位十进制的限制下，分别用不选主元高斯消去法与列选主元高斯消去法求解下列方程组。

mm b mm a 24,312==)( ,)( ,)(,)(b a b a r r εεεεm m y m m m m x m m b b b a a a m m b a r r 5.245.23,5.3125.311%,08.2245.0)()( %,16.03125.0)()( ,5.0)()(≤≤≤≤≈==≈====εεεεεε1200.2,18.2=-=b a )( ,)( ,)(,)(b a b a r r εεεε%0024.01200.200005.0)()( %,23.018.2005.0)()( 05000.0)(,005.0)(≈==≈====b b b a a a b a r r εεεεεε41086.0,0312.0,38.1-⨯=-==c b a 200.1,341.12,01347.0-=-==c b a 00032.0,042.0,00031.1-==-=c b a 906050401013402++++⨯=u )1(41,1411---==+n n n n y ny n y y 1231231230.012 0.0100.1670.67810.8334 5.91012.132001200 4.2981x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解：用顺序消去法的消元过程：回代后，得列选主元高斯消去法的消元过程：回代后，得杜利脱尔分解：如果方程组 Ax =b 的系数阵 A 能分解为A =LU ， 其中，L 是下三角矩阵，U 是上三角矩阵.例1.3 用矩阵的杜利脱尔（Doolittle ）分解解方程组解：设 比较两边系数得:3215.546,100.0,104.0x x x ===-3215.546,45.76,17.46x x x ==-=11121212221210010010n n n n nn u u u l u u A l l u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦0.01200.0100.16700.67811.0000.8334 5.91012.1032001200 4.200981.0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦320.01200.0100.16700.678100.1000108.01044.4101467445410179810-⎡⎤⎢⎥→⨯--⎢⎥⎢⎥--⨯-⨯⎣⎦3550.01200.0100.16700.678100.1000108.01044.4100117510654710-⎡⎤⎢⎥→⨯--⎢⎥⎢⎥-⨯-⨯⎣⎦0.01200.0100.16700.67811.0000.8334 5.91012.1032001200 4.200981.0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦232001200 4.200981.000.45845.90911.7900.5500100.16700.6744-⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⨯⎣⎦32001200 4.200981.000.4584 5.90911.79000.096090.5329⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦.201814513252321321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x x x LU u u u u u u l l l =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡332322131211323121111513252321⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=======2454132321333223223121131211u l u u l l u u u ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2441321153121U L 于是练习： 用矩阵的杜利脱尔（Doolittle ）分解 A=LU 解方程组。