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5反函数

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5 反函数
一、 基本知识体系：
1、 反函数的概念及求解步骤：①由方程y=ƒ(x)中解出x=ϕ(y)；即用y 的代数式表示x.。

②改写字母x 和y ，得出y=ƒ-1(x)；③求出或写出反函数的定义域，（亦即y=ƒ(x)的值域）。

即反解⇒互换⇒求定义域
2、 互为反函数的两个函数的图象之间的关系：
3、 互为反函数的两个函数性质之间的关系：注意：在定义域内严格单调的函数必有反函
数，但存在反函数的函数在定义域内不一定严格单调，如y=1
x 。

二、
典例剖析：
★【题1】、（2006年全国·T 6）已知函数()ln 1(0)f x x x =+>，则()f x 的反函数为 (B ) （A ）1()x y e x R +=∈ （B ）1()x y e x R -=∈（C ）1(1)x y e x +=> （D ）
1(1)x y e x -=>
解：
1
l n 1(0)l n 1()y y x x x y x e y R -=+>⇒=-
⇒=∈所以反函数为
1()x y e x R -=∈故选B
★【题2】、（2006年重庆·T 9）设函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，且(21)y f x =-的图像过点1
(,1)2
，
则1
()y f x -=的图像必过( C )（A ）1(,1)2 （B ）1
(1,)2
（C ）(1,0)
（D ）(0,1) 解：当x ＝
12
时，2x －1＝0，即y ＝f （x ）的图象过点（0，1），所以1
()y f x -=的图像必过（1，0）故选C
★【题3】、（2006年安徽·T 5）函数22,0
,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩
的反函数是（ C ）
A
．,020x x y x ⎧≥⎪=< B
．2,00x x y x ≥⎧⎪=< C
．,02
x x y x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩
D
．2,00x x y x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩ ★【题4】、（2006年广东·T 7）函数)(x f y =的反函数)
(1
x f
y -=的图象与y 轴交于点)2,0(P (如图2所示)，则方程0)(=x f 的根是=x
A. 4
B. 3
C. 2
D.1
●0)(=x f 的根是=x 2，故选C
★【题5】、（2006年辽宁·T 7）与方程221(0)x x y e e x =-+≥的曲线关于直线y x =对称的曲线的方程为
(A)ln(1y = (B)
ln(1y = (C) ln(1y =- (D)
ln(1y =-
【解析】2221(0)(1)x x x y e e x e y =-+≥⇒-=，
0,1x x e ≥∴≥，即：
1ln(1x e x =⇒=，所以1()ln(1f x -=，故选择答案A 。

★【题6】、（2005年天津·T 9）设()1f x -是函数()()()112
x
x f x a a a -=
->的反函数，则使()1
1f x ->成立的x 的取值范围为（A ） A 、
21(,)2a a
-+∞ B 、21(,)2a a --∞ C 、21(,)2a a a
- D 、(,)a +∞ 解
:
1
a >时
，
()
f x 单调增函数，所以
()()()()()21
1
1
1112a f
x f f
x f x f a
--->⇔
>⇔>=。

★【题7】、（2006年北京·T 9）已知函数()43x
f x a a =-+的反函数的图象经过点（-1，2），那么a 的值等于 2 .
解：依题意，当x ＝2时，y ＝1，代入()43x
f x a a =-+中，得a ＝2
★【题8】（2005年湖南·T 14）设函数f (x )的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数f －
1(x )，
f (4)＝0，则f －
1(4)=__
[解析]:由题意f(x)图象上点(4,0),关于(1,2)对称点(-2,4).则点(4,-2)在f --1(x)上,则f --1(4)= -2.
★【题9】关于函数21
()lg (0),x f x x x
+=≠有下列命题：
①其图像关于y 轴对称；目 ②当x ＞0时，()f x 是增函数；当x ＜0时，()f x 是减函数；
③()f x 的最小值是lg 2；④当102x x -<<>或时，()f x 是增函数；⑤()f x 无最大值，
也无最小值。

其中所有正确结论的序号是 ①③④。

★【题10】、▲①已知函数g(x)的图像向左平移1个单位后与函数ƒ（x)=3x
的图像关于直线
y=x 对称，且g(19)=a+2，则函数y=3ax
(0<x ≤1)的值域为____
▲②已知函数ƒ(x)是定义域在R 上的减函数，图象经过点A （-4，1），B （0，-1）两点，ƒ(x)
的反函数是ƒ-1(x)，则有ƒ-1(1)=______,不等式|ƒ(x-2)|<1的解集为_____（答案：ƒ-1
(1)=-4；
不等式的解集为｛x|-2<x<2｝)
【★题11】、若函数ƒ（x ）的定义域为R,它的反函数为ƒ-1（x ）,且ƒ-1
（x+ａ）与ƒ（x+ａ）
互为反函数,且ƒ（ａ）=ａ （ａ为非零常数）,则ƒ-1
（2ａ）之值为（ ） A-ａ B 0 C ａ D 2ａ
※【注解】①ƒ-1
（x+ａ）与ƒ（x+ａ）互为反函数,⇒ ƒ（x ）—ａ=ƒ（x+ａ）
②赋值x=0,则ƒ（0）=ａ+ƒ（ａ）=2ａ；③ƒ-1
（2ａ）=0从而选(B)
★【题12】在研究“原函数图像与其反函数的图像的交点是否在直线y=x 上”这个课题时，我们可以分三步进行研究：①首先选取如下函数：y=2x+1,y=2x
x+1,y=-x+1 ；②求出以上函
数的图像与其反函数的图像的交点坐标：y=2x+1与其反函数y=x-1
2的图像的交点坐标为（-1，
-1）；y=
2x x+1与其反函数y=x
2-x
的图像的交点坐标为(0,0)、（1，1）；y=-x+1 与其反函数y=x 2
-1(x ≤0)的图像的交点坐标为（ 1- 5 2 ， 1- 5 2
）,(-1，0），（0，-1）；③观察分析
上述结果，可得出研究结论为_______
解、原函数图像与其反函数的图像的交点不一定在直线y=x 上。

★【题13】、已知定义于R 上的奇函数ƒ(x)与偶函数g(x)满足：ƒ(x)+g(x)=a x
(a>0,a ≠1)；①求证：ƒ(2x)=2 ƒ(x)·g(x)；②设ƒ(x)的反函数为ƒ-1
(x)，当a= 2 -1时，求出ƒ(-1)
之值；③证明：ƒ-1
(g(x)）≤-1。

解：①∵ƒ(x)+g(x)= a x
；ƒ(x)-g(x) =a -x
，∴则ƒ(x)=a x
-a -x
2；g(x)= a x
+a
-x
2
；
又有2ƒ(x)·g(x)=a x -a -x 2·a x +a -x 2×2=a 2x -a
-2x
2
=ƒ(2x)
②由于a= 2 -1<1，ƒ(-1)= （ 2 -1）-1
-（ 2 -1）
2 =1；③、当0<a<1时，ƒ(x)为↘，
则ƒ-1
(x)也为↘，又∵ g(x)= a x
+a -x
2
≥1，∴ƒ-1(g(x)）≤ƒ-1
(1）= -1（注意：应避免去求反
函数！）。

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函数的奇偶性与反函数

函数的奇偶性与反函数


⎧1 − x 2 ≥ 0 （5）解：定义域为 ⎨ 2 ⎩x −1 ≥ 0
∴ x2 = 1
即 { x x = ±1}
∴ f ( x) = 0
∴ f ( x) 即是奇函数且偶函数
⎧1 − x 2 ≥ 0 （6）解：定义域 ⎨ ⎩x+2 −2≠0
∴ f ( x) =
{ x −1 ≤ x < 0或0 < x ≤ 1}
例 6、四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相 等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左 到右依次为 h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是（ ）
A．h2＞h1＞h4
B．h1＞h2＞h3
C．h3＞h2＞h4
2 2 ∴ g ( x ) = − g ( − x) = − ⎡ ⎣(− x) + 2(− x) − 1⎤ ⎦ = −x + 2x + 1
x = 0 时， g (0) = − g (0)
⎧ x2 + 2x − 1 ⎪ ∴ g ( x) = ⎨ 0 ⎪− x 2 + 2 x + 1 ⎩
∴ g (0) = 0
例6
例 7、C【解析】对于 a = 0 时，有 f ( x ) = x 是一个偶函数
2
A
例题 8、D
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【解析】∵ f ( x + 1) 与 f ( x − 1) 都是奇函数，
∴ f (− x + 1) = − f ( x + 1), f (− x − 1) = − f ( x − 1) ，
5.函数性质、反函数

5.函数性质、反函数

5．反函数与函数性质知识点1：反函数1．的反函数为；的反函数为；的反函数为；的反函数为；的反函数为。

2．二次函数是否存在反函数？；要使存在反函数，则定义域为（写出任意一个即可）；，的反函数为。

3．原函数与反函数关于对称，若原函数经过点（），则反函数必经过点，若的反函数经过点（2，4），则= 。

知识点二：定义域、值域4．，的值域；，的值域。

5．定义域，值域。

定义域，值域。

定义域。

6．的值域，的值域。

知识点三：函数奇偶性7．为奇函数，则满足；若为偶函数，则满足。

8．，若，则= ，为奇函数，则的值为。

9．则= ；为奇函数，在上有最小值7，则在的最值为。

10．为奇函数，为偶函数，，则，= 。

11．定义域在上的奇函数，已知时，，求的解析式。

12．是定义在上的奇函数，当时，，不等式的解集为。

知识点四：单调性13．证明：函数在上是增函数14．判断并证明在的单调性15．判断并证明在上的单调性16．判断并证明在定义域上的单调性17．递减区间，递减区间。

18．递增区间，递增区间。

19．在上递减，则的取值范围。

知识点五：综合20．若，规定：，例如：，则的奇偶性为21．在中，当时，使成立的是。

22．已知函数=（1）求证：；（2）若＝1，，求的值。

23．在上是增函数，求的取值范围．24．函数是定义在上的奇函数，且．（1）求实数，并确定函数的解析式；（2）用定义证明在上是增函数；（3）写出的单调减区间，并判断有无最大值或最小值？如有，写出最大值或最小值．（本小问不需说明理由）25．已知函数满足（1）求的解析式，并判断的奇偶性；（2）讨论的单调性。

高考数学必学反函数的性质

高考数学必学反函数的性质

高考数学必学反函数的性质数学是人类智慧的结晶，高考数学更是考验青年才华的阶梯。

其中，反函数是必须掌握的知识。

反函数的性质是高考数学中重要的一块。

本文将从反函数的定义、性质等方面对此进行解析。

一、反函数的定义反函数，顾名思义，是数学中的一种特殊函数。

它是一种将原有函数的定义域和值域互换并且有映射关系的函数。

换言之，如果一个函数f(x)与另一个函数g(x)满足以下条件，那么g(x)就是f(x)的反函数：1. f(x)是单调函数；2. f(x)的定义域和值域分别为[A,B]和[C,D]；3. g(x)与f(x)的定义域和值域互换，也就是说，g(x)的定义域为[C,D]，值域为[A,B]。

二、反函数的性质1.反函数性质的定义在反函数的定义中，已经提到了反函数的主要性质：反函数与原函数的定义域和值域互换。

因此，反函数的主要性质可以总结如下：（1）反函数存在的必要条件是原函数必须是一一映射函数；（2）反函数的定义域和值域与原函数的定义域和值域互换；（3）反函数的导函数等于原函数的导函数的倒数，即f'(g(x))=1/g'(x)。

2.反函数的可导性反函数的可导性也是一个非常重要的性质。

通常情况下，如果一个函数是连续函数且可导，那么它的反函数也应该是连续可导的。

但是，这个性质在较少的情况下不成立，因而反函数的可导性需要我们单独来探讨。

举个例子，如果将y=x^3的图形按y=x的直线做对称，产生的函数是y=x^(1/3)。

由于y=x^3是连续可导的函数，在其定义域上一定是单调递增的函数，因此它的反函数y=x^(1/3)也是单调递增的，且在x≠0处也是连续可导的。

但是，在x=0处，y=x^(1/3)的导数不存在。

这就意味着，反函数的可导性不仅仅取决于原函数的可导性，还受到其定义域和取值范围的影响。

三、反函数的应用反函数的应用非常广泛。

例如，在统计学中，反函数可以用来研究概率分布，因为大多数的概率分布函数具有单调性。

反函数

反函数

一、函数与极限
4、反函数
⑴、反函数的定义：设有函数，若变量y 在函数的值域内任取一值
y 0时，变量x 在函数的定义域内必有一值x 0与之对应，即，那末变量
x 是变量y 的函数.这个函数用来表示，称为函数的反函数.
注：由此定义可知，函数也是函数的反函数。

⑵、反函数的存在定理：若在(a，b)上严格增(减)，其值域为R ，则它的反函数必然在R 上确定，且严格增(减).
注：严格增(减)即是单调增(减)
例题：y=x 2，其定义域为(-∞,+∞)，值域为[0,+∞).对于y 取定的非负值,可求得x=±.若我们不加条件，由y 的值就不能唯一确定x 的值，也就是在区间(-∞,+∞)上，函数不是严格增(减)，故其没有反函数。

如果我们加上条件，
要求x≥0，则对y≥0、x=
就是y=x 2在要求x≥0时的反函数。

即是：函数在此要求下严格增(减).
⑶、反函数的性质：在同一坐标平面内，与的图形是关于直线y=x 对称的。

例题：函数与函数互为反函数，则它们的图形在同一直角坐标系中是关于直线y=x 对称的。

如右图所示：。