25、3(2)解直角三角形

第25章解直角三角形一、地位与作用本章内容是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容。

锐角三角函数”属于三角学，是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容。

从《数学课程标准》看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段。

在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容，本套教材安排了一章的内容，就是本章“解直角三角形”。

在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。

无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。

本章包括锐角三角函数的概念（主要是正弦、余弦和正切的概念），以及利用锐角三角函数解直角三角形等内容。

锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具，解直角三角形在实际当中有着广泛的应用，这也为锐角三角函数提供了与实际联系的机会。

研究锐角三角函数的直接基础是相似三角形的一些结论，解直角三角形主要依赖锐角三角函数和勾股定理等内容，因此相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础。

本章内容与已学“相似三角形”“勾股定理”等内容联系紧密，并为高中数学中三角函数等知识的学习作好准备。

二、教材说明本章的主要内容包括直角三角形的边角关系——锐角三角函数的概念和性质，利用各种条件解直角三角形，再灵活运用解直角三角形解决实际问题。

具体编排包括三节：测量；锐角三角函数；解直角三角形。

其中第一节主要学习测量，本节既是第24章相关内容的发展，同时又为后面两节内容创设了情境，起承上启下的作用；第二节研究三角函数的概念性质，特殊角的三角函数值外，还利用计算器由已知锐角求它的三角函数值和由已知三角函数值求它对应的锐角。

为下节运用锐角三角函数解直角三角形做好准备。

第三节是解直角三角形，主要综合运用直角三角形的勾股定理和边角关系解决简单的实际问题。

┌
F
C
30m
100m
由梯形面积公式S AD BCAF 得,
2
再求体
积!
先算面 积!
S 36 4 2 72 2. 2
V 100 S 100 72 2 10182 .34 m3 .
答:修建这个大坝共需土石方约 10182.34m3.
第14页，共17页。
回味无穷
由锐角的三角函数值求锐角
解:如图,(1)求坡角∠ABC的大小(dàxiǎo). 过点D作DE⊥BC于点E,过点A作
AF⊥BC于点F.
则EC DE DC sin 45 4 2, B
A 6m D
135° 8m
┌
┐
F 30m E C
有两个直 角三角形
AF DE 4 2, BF 30 6 4 2 24 4 2.
?这样
解答
x tan 60 x tan 30 50.
30°
A 50m
D
60┌° BC
x
50 tan 60 tan 30
答:该塔约有43m高.
50 25 3 43m.
3 3 3
老师期望:这道题你能有更简单的解法吗？
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做一做P22
楼梯加长了多少
某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把
∠BA的邻边 ∠AB的对边
定义: 在Rt∆中, 除直角外,一共有5个元素(三边和两锐角), 由Rt∆中除直角外的已知元素, 求出未知元素的过程, 叫做解直角三角形 .
特殊(tèshū)角30°,45°,60°角的三角函数值.
第2页，共17页。
想一想P21 船有触礁的危险吗
如图,海中有一个小岛A,该岛四
如图,水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=8m,坡

解直角三角形公式大全 [解直角三角形]第25章解直角三角形一、本章知识要点：1、锐角三角函数的概念；2、解直角三角形。

二、本章教材分析：（一）.使学生正确理解和掌握三角函数的定义，才能正确理解和掌握直角三角形中边与角的相互关系，进而才能利用直角三角形的边与角的相互关系去解直角三角形，因此三角形函数定义既是本章的重点又是理解本章知识的关键,而且也是本章知识的难点。

如何解决这一关键问题，教材采取了以下的教学步骤： 1.从实际中提出问题，如修建扬水站的实例，这一实例可归结为已知RtΔ的一个锐角和斜边求已知角的对边的问题。

显然用勾股定理和直角三角形两个锐角互余中的边与边或角与角的关系无法解出了，因此需要进一步来研究直角三角形中边与角的相互关系。

2.教材又采取了从特殊到一般的研究方法利用学生的旧知识，以含30°、45°的直角三角形为例：揭示了直角三角形中一个锐角确定为30°时，那么这角的对边与斜边之比就确定比值为1：2，接着以等腰直角三角形为例，说明当一个锐角确定为45°时，其对边与斜边之比就确定为 ,同时也说明了锐角的度数变化了,由30°变为45°后,其对边与斜边的比值也随之变化了,由到。

这样就突出了直角三角形中边与角之间的相互关系。

3.从特殊角的例子得到的结论是否也适用于一般角度的情况呢？教材中应用了相似三角形的性质证明了:当直角三角形的一个锐角取任意一个固定值时，那么这个角的对边与斜边之比的值仍是一个固定的值，从而得出了正弦函数和余弦函数的定义，同理也可得出正切、余切函数的定义。

4.在最开始给出三角函数符号时，应该把正确的读法和写法加强练习，使学生熟练掌握。

同时要强调三角函数的实质是比值。

防止学生产生sinX=60°,sinX= 等错误，要讲清sinA不是sin*A而是一个整体。

如果学生产生类似的错误，应引导学生重新复习三角函数定义。

专题05解直角三角形（考点清单，知识导图+3个考点清单+5种题型解读）【清单01】解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程.【清单02】直角三角形的边角关系ABC ∆中，90C ∠=︒222;90;tan ;cot ;sin .a b c A B aba bA A A A b a c c ⎧⎪+=⎪∠+∠=︒⎨⎪⎪====⎩①三边关系：②锐角关系：③边角关系：【清单03】解直角三角形的应用（1）仰角与俯角在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角；（2）坡度：坡面的铅垂高度h 和水平宽度l 的比叫做坡面的坡度，记作i ，即h i l=；坡度表示形式：1:i m =.坡面与水平面的夹角叫坡角，记为α；坡度i 与坡角α的关系：tan h i l ==α.【考点题型一】解直角三角形（共7小题）【例5】（2023秋•宝山区期中）已知平面直角坐标系xOy 中，第一象限内射线OA 与x 轴正半轴的夹角为α，点P 在射线OA 上，如果4cos 5α=，且5OP =，那么点P 的坐标是()A ．(3,4)B ．(4,3)C ．(3,5)D ．(5,3)【变式1-1】（2023秋•松江区期中）在ABC ∆中，90C ∠=︒，AC m =，A α∠=，则AB 的长为()A ．sin m αB ．cos m a C ．sin mαD ．cos mα【变式1-2】（2022秋•青浦区校级期末）如图，ABC ∆在边长为1个单位的方格纸中，ABC ∆的顶点在小正方形顶点位置，那么ABC ∠的正切值为．【变式1-3】（2022秋•虹口区期中）已知ABC ∆中，90C ∠=︒，3cos 5A =，6AC =，那么AB 的长是．【变式1-4】（2023秋•浦东新区校级期中）如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥，5BD =，3CD =，4tan 3BAC ∠=，则线段AD 的长．【变式1-5】（2023•徐汇区二模）如图，AD、AE分别是ABC∆边BC上的高和中线，已知18,tan3 BC B==，45C∠=︒．（1）求AD的长；（2）求sin BAE∠的值．【变式1-6】（2023秋•宝山区期中）如图，Rt ABC∆中，90C∠=︒，2cos3A=，D是边AC的中点，联结BD．（1）已知BC=，求AB的长；（2）求cot ABD∠的值．【考点题型二】解直角三角形的应用（共6小题）【例2】（2024•浦东新区三模）图1是第七届国际数学教育大会()ICME 会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC ．若1AB BC ==，AOB α∠=，则2OC 的值为()A ．211cos α+B ．2cos 1α+C ．211sin α+D ．2sin 1α+【变式2-1】（2024•浦东新区三模）某停车场入口“曲臂直杆道闸”在工作时，一曲臂杆OA 绕点O 匀速旋转，另一曲臂杆AB 始终保持与地面平行．如图1，是曲臂直杆道闸关闭时的示意图，此时O 、A 、B 在一条直线上．已知闸机高度CD 为1.2m ， 1.5OA AB m ==，0.2OD m =，入口宽度为3m ．（1）如图2，因机器故障，曲臂杆OA 最多可逆时针旋转72︒，求此时点A 到地面的距离；（2）在（1）的条件下，一辆宽为2.58m 、高为2.2m 的货车可否顺利通过入口？请说明理由．（参考数据：sin 720.95︒≈，tan 723)︒≈【变式2-2】（2024•上海模拟）如图，某校有一块三角形空地ABC ，90ACB ∠=︒，为了更好的落实“双减”政策，丰富孩子们的课业生活，学校计划将该三角形空地改造成多功能区域，现要求将三角形ACD区域设计成手工制作区，其余部分设计成健身区，经测量：30BC=米，130AB=米．AD=米，120CD=米，40（1）求ADC∠的度数；（2）求图中健身区（阴影部分）的面积．【变式2-3】（2023秋•虹口区期末）如图①是某款智能磁吸键盘，如图②是平板吸附在该款设备上的照片，图③是图②的示意图．已知8BCD∠=︒．当AE与BC形成的ABC∠为116︒时，=，63CD cmBC cm=，20求DE的长．（参考数据：sin630.90︒≈；sin530.80︒≈，︒≈，cos530.60︒≈，cot630.50︒≈，cos630.45︒≈cot530.75)（2024•杨浦区三模）如图1是光的反射规律示意图，MO是入射光线，ON是反射光线，法线XO⊥【变式2-4】平面镜L，入射角MOX∠．∠等于反射角XON如图2，水平桌面上从左至右分别竖直放置了挡板EF、挡板AB、平面镜I，在挡板AB的正上方有一可上下移动的挡板CD（挡板的厚度都忽略不计）．已知60==厘米，当从点A发出的光线经平面镜I反AB AE射后恰好经过点B时，测得入射角为37︒．（参考数据：sin370.6︒≈︒≈︒≈，cos370.8tan370.75)（1）点A到平面镜I的距离是厘米．（2）移动挡板CD，使空隙BC的长度是20厘米，当从点A发出的光线经平面镜I反射后恰好经过点C时，求入射角的度数．（3）在（2）的条件下，如果从点A发出的光线经平面镜I反射后通过空隙BC落到挡板EF上的最高点为P，最低点为Q，那么PQ的长度是厘米．【变式2-5】（2023•奉贤区三模）如图1，是一种购物小拉车，底部两侧装有轴承三角轮，可以在平路及楼梯上推拉物品．拉杆固定在轴上，可以绕连接点旋转，拉杆，置物板，脚架形状保持不变．图2，图3为购物车侧面示意图，拉杆OP DE ⊥，24DF cm =，FG =，A ，B ，C 的半径均为4cm ，O 为三角轮的中心，OA OB OC ==，AOB BOC AOC ∠=∠=∠．如图2，当轮子B ，C 及点G 都放置在水平地面HI 时，D 恰好与A 的最高点重合．此时，D 的高度为20cm ，则OA =cm ；如图3，拉动OP ，使轮子A ，B 在楼梯表面滚动，当//OA HI ，且B ，O ，D 三点共线时，点G 与B 的垂直高度差为cm ．【考点题型三】解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共7小题）【例3】（2024•徐汇区二模）小杰沿着坡比1:2.4i =的斜坡，从坡底向上步行了130米，那么他上升的高度是米．【变式3-1】（2023秋•杨浦区期末）小华沿着坡度1:3i=的斜坡向上行走了米，那么他距离地面的垂直高度上升了米．【变式3-2】（2024•徐汇区三模）一斜坡的坡角为α，坡长比坡高多100米，那么斜坡的高为（用α的锐角三角比表示）．【变式3-3】（2022秋•崇明区期末）如图，有一斜坡AB长40m，坡顶离地面的高度为20m，求AC的长度及此斜坡的倾斜角A∠的度数．【变式3-4】（2024•宝山区二模）小明家院内靠墙安装了一个遮阳篷（如图1)，图2是它的侧面示意图，遮阳篷长6AB=米，已知该地区冬至正午太阳光照入AC=米，与水平面的夹角为17.5︒，靠墙端A离地高度5射角36.9∠=︒，因此，点D、E之间的区域是一年四季中阳CDFCEF∠=︒，夏至正午太阳光照入射角82.4光不一定照射到的区域，求该区域深度DE的长．（结果精确到0.1米）参考数据：sin17.50.3︒≈；︒≈，cos17.50.95︒≈，tan36.90.75︒≈，cos36.90.8︒≈，tan17.50.32︒≈；sin36.90.6︒≈，tan82.47.5︒≈．sin82.40.99︒≈，cos82.40.13【变式3-5】（2023•奉贤区二模）图是某地下商业街的入口的玻璃顶，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，它的示意图．经过测量，支架的立柱AB与地面垂直(90)∠=︒， 2.7BACAB=米，点A、C、M 在同一水平线上，斜杆BC与水平线AC的夹角33⊥，垂足为E，该支架的边BDACB∠=︒，支撑杆DE BC与BC 的夹角66DBE ∠=︒，又测得 2.2CE =米．（1）求该支架的边BD 的长；（2）求支架的边BD 的顶端D 到地面AM 的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin 330.54︒≈，sin 660.91︒≈，cos 330.84︒≈，cos 660.40︒≈，tan 330.65︒≈，tan 66 2.25)︒≈【变式3-6】（2022秋•静安区期末）有一把长为6米的梯子AB ，将它的上端A 靠着墙面，下端B 放在地面上，梯子与地面所成的角记为α，地面与墙面互相垂直（如图1所示）．一般满足5075α︒︒时，人才能安全地使用这架梯子．（1）当梯子底端B距离墙面2.5米时，求α的度数（结果取整数），此时人是否能安全地使用这架梯子？（2）当人能安全地使用这架梯子，且梯子顶端A离开地面最高时，梯子开始下滑，如果梯子顶端A沿着墙面下滑1.5米到墙面上的D点处停止，梯子底端B也随之向后平移到地面上的点E处（如图2所示），此时人是否能安全使用这架梯子？请说明理由．(sin750.97)︒≈【考点题型四】解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共6小题）【例4】（2023秋•徐汇区期末）世博会期间，从一架离地200米的无人机A上，测得地面监测点B的俯角是60︒，那么此时无人机A与地面监测点B的距离是()A．20033米B．40033米C．200米D．2003米【变式4-1】（2024•浦东新区校级开学）某人在高为15米的建筑物顶部测得地面一观察点的俯角为60︒，那么这个观察点到建筑物的距离为．【变式4-2】（2024•青浦区二模）如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B的仰角为α，看这栋楼底部C的俯角为β，热气球A处与楼的水平距离为m米，那么这栋楼BC的高度为米．（用含α、β、m的式子表示）【变式4-3】（2024•徐汇区校级三模）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为60︒，6BC m=，则旗杆AC的高度为m．【变式4-4】（2023秋•徐汇区期末）小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡CD，首先在斜坡CD的底端C测得高楼顶端A的仰角是60︒，然后沿斜坡CD向上走到D处，再测得高楼顶端A的仰角是37︒，已知斜坡CD的坡比是1:6i=，斜坡CD的底端C到高楼AB底端B的距离是203米，且B、C、E三点在一直线上（如图所示）．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题：（1）求高楼AB的高度；（2）求点D离地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈，3 1.73)=【变式4-5】（2023秋•普陀区期末）如图，小河的对岸有一座小山，小明和同学们想知道山坡AB的坡度，但由于山坡AB前有小河阻碍，无法直接从山脚B处测得山顶A的仰角，于是小明和同学们展开了如下的测量：第一步：从小河边的C处测得山顶A的仰角为37︒；第二步：从C处后退30米，在D处测得山顶A的仰角为26.6︒；第三步：测得小河宽BC为33米．已知点B、C、D在同一水平线上，请根据小明测量的数据求山坡AB的坡度．（参考数据：sin22.60.45︒≈︒≈，tan370.75)︒≈，cos370.8︒≈，cos26.60.89︒≈，tan26.60.5︒≈，sin370.6【考点题型五】解直角三角形的应用-方向角问题（共6小题）【例5】（2023秋•金山区期末）如图，为了绕开岛礁区，一艘船从A处向北偏东60︒的方向行驶8海里到B 处，再从B处向南偏东45︒方向行驶到发点A正东方向上的C处，此时这艘船距离出发点A处海里．【变式5-1】（2023秋•嘉定区期末）如图，在港口A的南偏西30︒方向有一座小岛B，一艘船以每小时12海里的速度从港口A出发，沿正西方向行驶，行了30分钟时这艘船在C处测得小岛B在船的正南方向，那么小岛B与C处的距离BC=海里（结果保留根号）．【变式5-2】（2023秋•徐汇区期末）如图，一段东西向的限速公路MN长500米，在此公路的南面有一监测点P，从监测点P观察，限速公路MN的端点M在监测点P的北偏西60︒方向，端点N在监测点P的东北方向，那么监测点P到限速公路MN的距离是米（结果保留根号）．【变式5-3】（2024•普陀区校级三模）在城市A地气象台测得台风中心在该地正西方向300千米的B处正以每小时26千米的速度沿射线BN（北偏东60︒方向）移动，如果距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域．假如这次台风从点B位置沿北偏东60︒方向移动3小时后，方向转为北偏东30︒方向继续行进．请问：城市A是否受到台风的影响？如果受到影响，请计算影响的时间；如果不影响，请说明理由？（结≈3 1.73)【变式5-4】（2022秋•崇明区期末）如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东60︒方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛C位于它的北偏东37︒方向，如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长．参考数据：sin370.6︒≈，︒≈，cos370.80︒≈tan370.75（2024•嘉定区二模）某东西方向的海岸线上有A、B两个码头，这两个码头相距60千米(60)【变式5-5】AB=，有一艘船C在这两个码头附近航行．（1）当船C航行了某一刻时，由码头A测得船C在北偏东55︒，由码头B测得船C在北偏西35︒，如图1，求码头A与C船的距离(AC的长），其结果保留3位有效数字；（参考数据：sin350.5736︒≈︒≈，cos350.8192︒≈，cot35 1.428)︒≈，tan350.7002（2）当船C继续航行了一段时间时，由码头A测得船C在北偏东30︒，由码头B测得船C在北偏西15︒，船C到海岸线AB的距离是CH（即)⊥，如图2，求CH的长，其结果保留根号．CH AB。