第25章 解直角三角形(第1-2节)

第25章解直角三角形一、地位与作用本章内容是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容。

锐角三角函数”属于三角学，是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容。

从《数学课程标准》看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段。

在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容，本套教材安排了一章的内容，就是本章“解直角三角形”。

在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。

无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。

本章包括锐角三角函数的概念（主要是正弦、余弦和正切的概念），以及利用锐角三角函数解直角三角形等内容。

锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具，解直角三角形在实际当中有着广泛的应用，这也为锐角三角函数提供了与实际联系的机会。

研究锐角三角函数的直接基础是相似三角形的一些结论，解直角三角形主要依赖锐角三角函数和勾股定理等内容，因此相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础。

本章内容与已学“相似三角形”“勾股定理”等内容联系紧密，并为高中数学中三角函数等知识的学习作好准备。

二、教材说明本章的主要内容包括直角三角形的边角关系——锐角三角函数的概念和性质，利用各种条件解直角三角形，再灵活运用解直角三角形解决实际问题。

具体编排包括三节：测量；锐角三角函数；解直角三角形。

其中第一节主要学习测量，本节既是第24章相关内容的发展，同时又为后面两节内容创设了情境，起承上启下的作用；第二节研究三角函数的概念性质，特殊角的三角函数值外，还利用计算器由已知锐角求它的三角函数值和由已知三角函数值求它对应的锐角。

为下节运用锐角三角函数解直角三角形做好准备。

第三节是解直角三角形，主要综合运用直角三角形的勾股定理和边角关系解决简单的实际问题。

解直角三角形公式大全 [解直角三角形]第25章解直角三角形一、本章知识要点：1、锐角三角函数的概念；2、解直角三角形。

二、本章教材分析：（一）.使学生正确理解和掌握三角函数的定义，才能正确理解和掌握直角三角形中边与角的相互关系，进而才能利用直角三角形的边与角的相互关系去解直角三角形，因此三角形函数定义既是本章的重点又是理解本章知识的关键,而且也是本章知识的难点。

如何解决这一关键问题，教材采取了以下的教学步骤： 1.从实际中提出问题，如修建扬水站的实例，这一实例可归结为已知RtΔ的一个锐角和斜边求已知角的对边的问题。

显然用勾股定理和直角三角形两个锐角互余中的边与边或角与角的关系无法解出了，因此需要进一步来研究直角三角形中边与角的相互关系。

2.教材又采取了从特殊到一般的研究方法利用学生的旧知识，以含30°、45°的直角三角形为例：揭示了直角三角形中一个锐角确定为30°时，那么这角的对边与斜边之比就确定比值为1：2，接着以等腰直角三角形为例，说明当一个锐角确定为45°时，其对边与斜边之比就确定为 ,同时也说明了锐角的度数变化了,由30°变为45°后,其对边与斜边的比值也随之变化了,由到。

这样就突出了直角三角形中边与角之间的相互关系。

3.从特殊角的例子得到的结论是否也适用于一般角度的情况呢？教材中应用了相似三角形的性质证明了:当直角三角形的一个锐角取任意一个固定值时，那么这个角的对边与斜边之比的值仍是一个固定的值，从而得出了正弦函数和余弦函数的定义，同理也可得出正切、余切函数的定义。

4.在最开始给出三角函数符号时，应该把正确的读法和写法加强练习，使学生熟练掌握。

同时要强调三角函数的实质是比值。

防止学生产生sinX=60°,sinX= 等错误，要讲清sinA不是sin*A而是一个整体。

如果学生产生类似的错误，应引导学生重新复习三角函数定义。

第25章解直角三角形教学内容本单元主要内容是锐角三角函数的概念，特殊角三角函数值，以及三角函数的有关计算和应用．直角三角形中边角之间的关系，是现实世界中应用广泛的关系之一，在现实生活中有着极为重要的作用．研究图形之中各个元素间的关系，将这种关系用数量的方式呈现出来，是分析问题和解决问题过程中常用的方法．在学习中，应进一步感受数形结合的思想，体会数形结合的方法．通过数学知识之间的联系，如比和比例、图形的相似、推理证明等，将为一般性地学习三角函数的知识及进一步学习数学知识打下坚实的基础．本单元从测量说起，引出三角函数，再从所熟悉的三角尺引入特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值．对于一般锐角三角函数的计算问题，介绍了应用计算器来求三角函数值以及由锐角三角函数值求锐角的方法．解直角三角形是本单元的主要内容．知识结构三维目标1．知识与技能．理解锐角三角函数的概念，并能够解决实际问题，会计算特殊角的三角函数值；能借助计算器解决三角函数值的问题，或由已知三角函数值求出相应的锐角．2．过程与方法．经历探索直角三角形中边角之间关系的过程．发展学生观察、分析、应用能力，掌握解直角三角形的方法．3．情感、态度与价值观．能够运用三角函数解直角三角形，培养学生解决问题的能力，体会数形之间的联系，认识三角函数的应用价值．教学重点本单元的教学重点是锐角三角函数的概念及其应用于解直角三角形．教学难点从图形中找出相似三角形，解决这一难点是图形相似的前提．教学关键1．理解锐角三角函数（正切、余切、正弦、余弦），•并正确地使用它们解决实际问题．2．借助比、•比值以及比的概念的本质内涵建构出几种常见的锐角三角函数关系．课时安排§25．1 测量 1课时§25．2 锐角三角函数 4课时§25．3 解直角三角形 3课时复习与小结 1课时§25.1 测量【教学目标】一、知识目标1、复习巩固相似三角形知识。

《新课程课堂同步练习册·数学(华东版九年级上)》参考答案 第22章二次根式§22.1 二次根式（一）一、1. D 2. C 3. D 4. C 二、1.12+x 2. x ＜-7 3. x ≤3 4. 1 5. x ≥2y 三、1. x ≥212. x ＞-13. x =0 §22.1 二次根式（二）一、1. B 2. B 3. D 4. B二、1.（1）3 （2）8 （3）4x 2 2. x-2 3. 42或(-4)2 27）（或27）（- 4. 1 5. 3a三、1. (1) 1.5 (2) 73(3) 25 (4) 20 2. 原式=(x -1)+(3-x )=23. 原式=-a -b +b -a =-2 a §22.2 二次根式的乘除法（一） 一、1. D 2. B二、1. 14,a 15 2. 30 3. 112-=-n n ·1+n (n ≥3,且n 为正整数)三、1. （1）15 （2）32 （3） -108 2. 1021cm 2 §22.2 二次根式的乘除法（二） 一、1. A 2. C 3. B 4. D二、1. 53 b b 2 2. a 32 72 3. 5三、1. (1) 52 (2) 26 (3) 22 (4) b a 234 2. 14cm §22.2 二次根式的乘除法（三）一、1. D 2. A 3. A 4. C二、1.33, 210 2. x =2 3. 6 三、1.(1) 232(2) 3-22 (3) 10 (4) 2 2. 258528=÷nn ,因此是2倍. 3. (1) 不正确，9494)9(4⨯=⨯=-⨯-；(2) 不正确，574251122512425124==+=. §22.3 二次根式的加减法一、1. A 2. C 3. D 4. B二、1. 52 53-(答案不唯一) 2. 1 3. 3＜x ＜334. 10255+5. 33 三、1.（1）34 （2）33（3） 1 （4）3-25 （5）25-23 （6）3a -2 2. 因为25.45232284242324321824≈=⨯=++=++）（）（＞45所以王师傅的钢材不够用. 3. 2322)26(-=-第23章一元二次方程§23.1 一元二次方程一、1．C 2．A 3. C二、1. ≠1 2. 3y 2-y +3=0，3，-1，3 3．-1三、1. (1) x 2-7x -12=0，二次项系数是1，一次项系数是-7，常数项是-12(2) 6x 2-5x +3=0，二次项系数是6，一次项系数是-5，常数项是3 2. 设长是xm ,按照题意,列出方程x (x -10)=375 3. 设彩纸的宽度为x 米,按照题意得(30+2x )(20+2x )=2×20×30（或2(20+2x )x +2×30x =30×20 或2×30x +2×20x +4x 2=30×20）§23.2 一元二次方程的解法(一)一、1．C 2．D 3．C 4. C 5. C二、1. x =0 2. x 1=0，x 2=2 3. x 1=2，x 2=21- 4. x 1=-22，x 2=22三、1. (1) x 1=-3，x 2=3； (2) x 1=0，x 2=1；(3) x 1=0，x 2=6； (4) x 1=32-, x 2=1 2. 11米 §23.2 一元二次方程的解法(二) 一、1．D 2. D 3. B二、1. x 1=3，x 2=-1 2. x 1=3+3，x 2=3-3； 3．直接开平方式，移项，因式分解，x 1=3，x 2=1 三、1.（1） x 1=3，x 2=0 （2） x 1=3，x 2=-5（3） x 1=-1+22，x 2=-1-22 （4）x 1=27，x 2=452. x=1或x=31-§23.2 一元二次方程的解法(三) 一、1．D 2．A 3. D二、1. 9，3；3191，； 2. 移项，1 3．3或7 三、1. （1）x 1=1，x 2=-5；（2） x 1=2135+，x 2=2135-；（3）x 1=7，x 2=-1；（4）x 1=1，x 2=-9.2. x=2175+或x=2175-.3. x 1=242q p p -+-，x 2=242q p p ---.§23.2 一元二次方程的解法(四)一、1．B 2．D 二、1. 3x 2+5x=-2，3，32352-=+x x ，(65)2，222)65(32)65(35+-=++x x ，65+x ，361，x 1=32-，x 2=-1 2. 41，1625 3. 4三、1.(1)222±=x ； (2)4173±-=x ； (3)a ac b b x 242-±-=.2. 原式变形为2(x -45)2+87，因为2452）（-x ≥0，且87＞０， 所以2x 2-5x -4的值老是正数，当x=45时，代数式2x 2-5x +4最小值是87.§23.2 一元二次方程的解法(五)一、1．A 2．D二、1. x 2+3x -40=0，169，x 1=5，x 2=-8； 2. b 2-4ac ＞0，两个不相等的；3. x 1=251+- ，x 2=251-- 三、1.-1或-5； 2. 222±=x ； 3. 3102±=x ； 4.2979±-§23.2 一元二次方程的解法(六)一、1．A 2．B 3. D 4. A二、1. 公式法；x 1=0，x 2=-2.5 2. x 1=0，x 2=6 3. 1 4. 2 三、1. x 1=2155+，x 2=2155-； 2. x 1=4+42，x 2=4-42 ；3. y 1=3+6，y 2=3-64. y 1=0，y 2=-21； 5. x 1=21，x 2=-21（提示：提取公因式(2x -1），用因式分解法） 6. x 1=1，x 2=-31§23.2 一元二次方程的解法（七） 一、1．D 2．B二、1. 90 2. 7三、1. 4m ； 2. 道路宽应为1m §23.2 一元二次方程的解法（八）一、1．B 2. B 3．C二、1. 500+500(1+x )+500(1+x )2=20000, 2. 30% 三、1. 20万元； 2. 10% §23.3 实践与探索(一) 一、1．D 2．A二、1. x (60-2x )=450 2. 50 3. 700元（ 提示：设这种箱子底部宽为x 米，则长为(x +2)米，依题意得x (x +2)×1=15，解得x 1=-5，（舍），x 2=3.这种箱子底部长为5米、宽为3米．所以要购买矩形铁皮面积为(5+2)×(3+2)=35（米2），做一个这样的箱子要花35×20=700元钱）. 三、1. （1）1800 （2）2592 2. 5元3．设道路的宽为xm ，依题意，得(20-x )(32-x )=540 整理，得x 2-52x +100=0解这个方程，得x 1=2，x 2=50（不合题意舍去）.答：道路的宽为2m .§23.3 实践与探索(二) 一、1．B 2．D二、1. 8, 2. 50+50（1+x ）+50(1+x )2=182 三、1.73%； 2. 20%3.（1）（i ）设通过x 秒后，△PCQ 的面积等于4厘米2，此时，PC=5-x ，CQ=2x .由题意，得21(5-x )2x=4，整理，得x 2-5x +4=0. 解得x 1=1，x 2=4.当x=4时，2x=8＞7，此时点Q 越过A 点，不合题意，舍去. 即通过1秒后，△PCQ的面积等于4厘米2.（ii ）设通过t 秒后PQ 的长度等于5厘米. 由勾股定理，得(5-t )2+(2t )2=52 .整理，得t 2-2t=0. 解得t 1=2，t 2=0(不合题意，舍去). 答：通过2秒后PQ 的长度等于5厘米.（2）设通过m 秒后，四边形ABPQ 的面积等于11厘米2. 由题意，得21(5-m ) ×2m=21×5×7-11，整理得m 2-5m +6.5=0， 因为15.614)5(422-=⨯⨯--=-ac b ＜0，所以此方程无实数解. 所以在P 、Q 两点在运动进程中，四边形ABPQ 的面积不能等于11厘米2..§23.3 实践与探索(三)一、1．C 2．A 3. C二、1. 1,-2, 2. 7, 3. 1，2 4.（x -1）(x +3） 三、1.3； 2. 32-=q ．3. k 的值是1或-2. 当k =1时，方程是一元一次方程，只有-1这一个根；当k =-2时，方程另一个根为-31.第24章图形的相似§24.1 相似的图形1．(2)(3)(4) 2. 略 3. 略 §24.2 相似图形的性质（一）一、1．D 2．C 3. A 4. D二、1. 23, 38 2．22221=(或22221=……等) 3．57三、1. 51 2. 5113. 95§24.2 相似图形的性质（二）一、1．A 2．D 3. C二、1. 1:40 000 2. 5 3．180 4．③⑤ 三、1. ∠β=81°，∠α=83°，x =28.2．(1)由已知，得MN =AB ，MD =21AD =21BC ． ∵ 矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，DM MN AB BC =，∴21AD 2=AB 2，∴ 由AB =4得，AD =42(2)矩形DMNC 与矩形ABCD 的相似比为DM AB =§24.3 相似三角形（一） 一、1．D 2．B二、1. AB ,BD ,AC 2. 21 3．45 ，31三、1．x =6，y =3.5 2．略§24.3 相似三角形（二）一、1．B 2．A 3. A 4. B二、1. 310 2. 6 3．答案不唯一（如：∠1=∠B 或∠2=∠C 或AD :AB=AE :AC 等）4．28三、1. 因为∠A =∠E =47°，75==ED AC EF AB ，所以△ABC ∽△EFD . 2．CD=213．（1）① △ABE ∽△GCE ，② △ABE ∽△GDA .① 证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB ∥DC ，∴ ∠ABE=∠GCE ，∠BAE=∠CGE ，∴ △ABE ∽△GCE ．② 证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ ∠ABE=∠GDA ， AD ∥BE ，∴ ∠E=∠DAG ，∴ △ABE ∽△GDA . （2）32.4.（1）正确的结论有①，②，③； （2）证明第①个结论：∵ MN 是AB 的中垂线，∴DA =DB ，则∠A =∠ABD =36°， 又等腰三角形ABC 中AB =AC ，∠A =36°，∴ ∠C =∠ABC =72°，∴ ∠DBC =36°， ∴ BD 是∠ABC 的平分线．§24.3 相似三角形（三）一、1．B 2．D 3. C 二、1. 3:2, 3:2, 9:4 2. 18 3．2:5 4. 答案不唯一.（如：△ABC ∽△DAC ,5:4或△BAD ∽△BCA ,3:5 或△ABD ∽△CAD ,3:4） 三、1．（1）31,（2）54cm 2.2. 提示:设正方形的边长为x cm.由PN ∥BC ，得△APN ∽△ABC ,BCPN ADAE =,1288x x =-, 解得x =4.8cm.3．（1）8,（2）1:4.§24.3 相似三角形（四） 一、1．B 2．A二、1. 1.75 2. 100 3．10 4. 712或2三、1．过E 作EF ⊥BD ，∵∠AEF =∠CEF ，∴∠AEB =∠CED .又∵∠ABE =∠CDE =90°，∴ △ABE ∽△CDE ，∴DE BE CD AB = ，即1850.050.16=⨯=⨯=DE CD BE AB (米).2.（1）△CDP ∽△PAE .证明：∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ ∠D=∠A=90°，∴ ∠PCD +∠DPC=90°.又∵ ∠CPE=90°,∴ ∠EPA +∠DPC=90°, ∴ ∠PCD=∠EPA . ∴ △CDP ∽△PAE .（2）在Rt △PCD 中，CD=AB=6,由tan ∠PCD =CDPD .∴ PD=CD •tan ∠PCD=6•tan 30°=6×33=23. ∴ AP=AD -PD=11-23.解法1：由△CDP ∽△PAE 知APCD AE PD =， ∴ AE=233116)3211(32-=-⨯=⋅CD AP PD解法2：由△CDP ∽△PAE 知∠EPA =∠PCD =30°，∴ AE=AP •tan ∠EAP=(11-23)•tan 30°=23311-.（3）假设存在知足条件的点P ，设DP=x ，则AP=11-x由△CDP ∽△PAE 知2=AP CD ，∴ 2116=-x，解得x=8，∴ DP=8．§24.4 中位线（一）一、1．D 2．C 3．C二、1. 26 2. 2.5 3．25 4. 12 三、1．（1）提示：证明四边形ADEF 是平行四边形； （2）AC =AB ； （3）△ABC是直角三角形(∠BAC =90°)；（4）△ABC 是等腰直角三角形(∠BAC =90°，AC =AB )2. 提示：∵ DC =AC ，CE ⊥AD ，∴ 点E 是AD 的中点. §24.4 中位线（二） 一、1．D 2．D二、1. 7.5 2. 2 3．15三、1．ab 21 2．2§24.5 画相似图形一、1．D 2．B二、1. 4,画图略 2. P 3. 略 三、1．略 2．略 §24.6 图形与坐标（一） 一、1．D 2．B 二、1．（-2, 1） 2．（7,4）三、1．略 2．略 §24.6 图形与坐标（二）一、1．C 2．C 3. C 二、1．（1,2） 2．x 轴，横，纵 3.（-a ,b ） 三、1．略 2．略3.（1）平移，P 1(a -5,b +3).（2）如图所示. A 2(-8,2), B 2(-2,4),C 2(-4,0),P 2(2a -10,2b +6).第25章解直角三角形§25.1 测量 一、1. B 2.Ｃ 二、1．30 2．200 三、1．13.5m§25.2 锐角三角函数（一）一、1．C 2．B 3．C 4．A 二、1．53 2．21 3．54三、1. sinB =53,cosB =54,tanB =43,cotB =34 2．sinA =55,cosA =552,tanA =21,cotA =2§25.2 锐角三角函数（二）一、1. A . 2. C 3. A 4．A 5．C 6．C 二、1. 1 2. 1 3．70三、1．计算：（1 （2）-3 （3）0 （4）-12.(1)在Rt △ADC 中55sin =α, 552cos =α, tan α=21,cot α=2(2)在Rt △ABC 中，BC =AC ·cot α=2×2=4，∴BD =BC -CD =4-1=3. §25.2 用计算器求锐角三角函数（三） 一、1. A 2. B二、1. 0.7344 2. 0.464 3. ＞ 三、1．（1）0.9943 （2）0.4188 （3）1.76172．（1）17°18′ （2）57°38′ （3）78°23′ 3. 6.21§25.3 解直角三角形（一） 一、1．A 2．C二、1. 2．5 3．4. 8 三、1．答案不唯一. 2．10§25.3 解直角三角形（二） 一、1．D 2．B二、1．20sin α 2. 520cos 50°(或520sin 40°) 3．1.66 三、1. 3.93米.2. 作CD ⊥AE 交AB 于D ，则∠CAB =27°，在Rt △ACD 中，CD =AC ·tan ∠CAB =4×0.51=2.04（米） 所以小敏不会有碰头危险，姚明则会有碰头危险．§25.3 解直角三角形（三） 一、1. B 2. B二、1. 10332. 2633. 30三、1．15米2．如图，由已知，可得∠ACB =60°，∠ADB =45°． ∴在Rt △ABD 中，BD=AB ．又在Rt △ABC 中，tan 60AB BC =， 3AB BC∴=， 即33BC AB =．BD BC CD =+， 33AB AB CD ∴=+．∴ CD =AB -33AB =180-180×33=180-603（米）． 答：小岛C ,D 间的距离为(180603-)米．3．有触礁危险．理由：过点P 作PD ⊥AC 于D ．设PD 为x ，在Rt △PBD 中，∠PBD =90°-45°=45°． ∴ BD =PD =x ．在Rt △PAD 中，∵∠PAD =90°-60°=30°，∴ x ．xAD 330tan =︒=∵ AD =AB +BD ， ∴ x ．x +=123∴ )13(61312+=-=x ．∵ ，＜18)13(6+∴ 渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险．§25.3 解直角三角形（四）一、1．C 2．A二、1. 30° 2．2+23 3．34 三、1. 作AE ⊥BC ,DF ⊥BC ，垂足别离为E ，F ，西东PACBN M 60° 45° D ABC D 60°45°在Rt △ABE 中，tan AE B BE =，∴ tan AE BE B ==6tan55． ∴6221624.4tan55BC BE AD =+=⨯+≈（cm ）． 答：燕尾槽的里口宽BC 约为24.4cm ．2．如图所示，过点A 、D 别离作BC 的垂线AE 、DF 分别交BC 于点E 、F ，所以△ABE 、△CDF 均为Rt △， 又因为CD =14，∠DCF =30°， 所以DF =7=AE ，且FC =73=12.1， 所以BC =7+6+12.1=25.1m ． 3．延长CD 交PB 于F ,则DF ⊥PB ． ∴ DF =BD ·sin 15°≈50×0.26=13.0． ∴ CE =BF =BD ·cos 15°≈50×0.97=48.5． ∴ AE =CE ·tan 10°≈48.5×0.18=8.73． ∴ AB =AE +CD +DF =8.73+1.5+13 =23.2． 答:树高约为23.2米.3.（1）在Rt △BCD 中，CD =BCsin 12°≈10×0.21=2.1（米） （2）在Rt △BCD 中，BD =BCcos 12°≈10×0.98=9.8（米）在Rt △ACD 中，︒=5tan CD AD ≈09.01.2≈23.33（米），AB =AD -BD ≈23.33-9.8=13.53≈13.5（米） 答：（1）坡高2.1米，（2）斜坡新起点与原起点的距离为13.5米．第26章 随机事件的概率§26.1 概率的预测——什么是概率（一）一、1. D 2. B 3. C 4. A 5. B 二、1. 20，30 2. 0.18 3.124. 0.2 三、1.（1）2583，5839，8396，3964，9641，6417 （2）62. ①—D ②—C ③—A ④—B ⑤—E §26.1 概率的预测——什么是概率（二） 一、1. B 2. C3. C4. A 二、1.25 2. 35 3.（1）14（2）113 （3）413 4. 1三、1.不公平，红色向上概率对于甲骰子是31，而其他色向上的概率是61 CBA45°30°D6m 14m EFF2. 提示：任意将其中6个单个的小扇形涂黑即可.3. 24个球别离为4个红球、8个白球、12个黄球.§26.1 概率的预测——在复杂情况下列举所有机缘均等的结果 一、1. A 2. C 二、1.13 2. 34 3. 12 4.（1）32；（2）61；（3）21三、1. 树形图：第一张卡片上的整式 xx -1 2第二张卡片上的整式 x -1 2 x 2 x x -1 所有可能出现的结果 1x x - 2x 1x x - 12x - 2x 21x - 所以P （能组成份式）63==． 2.（1）设绿球的个数为x ．由题意，得21212x =++．解得x=1．经查验x=1是所列方程的根，所以绿球有1个． （2）按照题意，画树状图：红2 黄 绿 红1 黄 绿 红1 红2 绿 红1 红2 红1 红2 黄 绿 开始 第二次摸球 第一次摸球 黄由图知共有12种等可能的结果，即（红1，红2），（红1，黄），（红1，绿），（红2，红1），（红2，黄），（红2，绿），（黄，红1），（黄，红2），（黄，绿）， （绿，红1），（绿，红2），（绿，黄），其中两次都摸到红球的结果有两种（红1，红2），（红2，红1）∴ P （两次摸到红球）21126==．由表格知共有12种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有两种．∴ P （两次都摸到红球）21126==． 3. 这个游戏对小慧有利．每次游戏时，所有可能出现的结果如下：（列表）土口木土 （土，土） （土，口） （土，木） 口 （口，土） （口，口） （口，木） 木（木，土） （木，口） （木，木）（树状图）土口木开始土（土，土）口（土，口） 木（土，木） 土（口，土）口（口，口） 木（口，木） 土（木，土）口（木，口） 木（木，木）总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同， 其中能组成上下结构的汉字的结果有4种：（土，土）“圭”，（口，口）“吕”，（木，口）“杏”或“呆”，（口，木）“呆”或“杏”．()49P =小敏获胜∴，()59P =小慧获胜，∵()P <小敏获胜()P 小慧获胜．∴ 游戏对小慧有利§26.2 模拟实验——用替代物做模拟实验 一、1. A 2. C二、1．两张别离标有0、1的纸片 2. 三张纸片进行抽签，两张写“1”一张写“2”．3．合理 三、1. 略 2.14，后者答案不唯一 3. 点数和为偶数与点数和为奇数的机缘各占50%，替代物不唯一 §26.2 模拟实验——用计算器做模拟实验 一、1. B 2. B二、1．1 6 6 2．1 30 13 三、1.（1）0.6；（2）0.6；（3）1六、242.（1）若甲先摸，共有15张卡片可供选择，其中写有“石头”的卡片共3张，故甲摸出“石头”的概率为31155=． （2）若甲先摸且摸出“石头”，则可供乙选择的卡片还有14张，其中乙只有摸出卡片“锤子”或“布”才能获胜，这样的卡片共有8张，故乙获胜的概率为84147=．（3）若甲先摸，则“锤子”、“石头”、“剪子”、“布”四种卡片都有可能被摸出．若甲先摸出“锤子”，则甲获胜（即乙摸出“石头”或“剪子”）的概率为71142=；若甲先摸出“石头”，则甲获胜（即乙摸出“剪子”）的概率为42147=；若甲先摸出“剪子”，则甲获胜（即乙摸出“布”）的概率为63147=；若甲先摸出“布”，则甲获胜（即乙摸出“锤子”或“石头”）的概率为514．故甲先摸出“锤子”获胜的可能性最大．3.（1）填18，0.55 ；（2）画出正确图形；（3）给出猜想的概率的大小为0.55±0.1均为正确.。

第25章解直角三角形图25.1.1．如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识．图25.1.2而这一问题的解决将涉及到直角三角形中的边角关系．三条边有什么关系？它的边与角又有什么关系？这一切都是本章图25.2.1 不变时，三条边的比例也不变（即为一个固定值）。

图25.2.2三．课堂练习P91（练习）：1～4（习题25.2）：1～3显示再按下列顺序依次按键：显示结果为0.897 859 012.所以sin63゜52′41″≈0.8979（屏幕显示出显示结果为0.349 215 633.（屏幕显示出显示结果为36.538 445 77.再按键：≈36゜32′.图25.3.1．在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，图25.3.2图25.3.3为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的测得电线杆顶端B的仰角a＝22°，求电线杆图25.3.4（米）．2. AE图25.3.5图25.3.6︒=32tan概括1. 了解勾股定理的历史，经历勾股定理的探索过程；2. 理解并掌握直角三角形中边角之间的关系；3. 能应用直角三角形的边角关系解决有关实际问题．课堂练习1.求下列阴影部分的面积：（第2题）已知直角三角形两条直角边分别为6、8，求斜边上中线的长．cot 60°－2tan 45°;cos2 60°;tan260︒（第5题）6.小明放一个线长为125米的风筝，他的风筝线与水平地面构成39°角．的风筝有多高？（精确到1米）7. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，∠A平分线AM的长为15 cm求直角边AC和斜边AB的长．（第9题）（第10题）一架25米的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物7米．如果梯子的顶部滑下4米，梯子的底部滑开多远？如图，一段河坝的断面为梯形，试根据图中数据，求出坡角（第13题）两建筑物的水平距离BC为24米，从点A测得点的俯角b＝60°，求AB和CD两座建筑物的高．（第14题）。

25.4 解直角三角形的应用解直角三角形在实际生活中有着广泛的应用．在解决问题时，既要了解相关的名词，更根据实际情况灵活运用相关知识．1．仰角、俯角与方位角如图25.4.1在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．【例1】如图25.4.2，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m ，请问：这栋高楼有多高？(结果精确到0.1m)【解】由题意得α＝30°，β＝30°，AD ＝120m ，AD ⊥BC ． ∵tan α＝BD AD ，tan β＝CDAD， ∴BD ＝AD ·tan α＝120×tan30°＝(m)， CD ＝AD ·tan β＝120×tan60°＝．∴BC ＝BD ＋CD＝＋277.1(m)．即这栋楼高约为277.1m ．【例2】如图25.4.3，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A 处，他沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34°方向上的B 处，请问：此时，海轮所在的B 处距离灯塔P 有多远？(精确到0.01海里，cos25°≈0.91，sin34°≈0.559)图25.4.2视线视线仰角 俯角图25.4.1铅垂线【解】过点P 作PC ⊥AB 于点C ，由题意得∠APC ＝90°－65°＝25°，∠BPC ＝90°－34°＝56°，AP ＝80海里．在Rt △APC 中，∵cos ∠APC ＝PCPA， ∴PC ＝P A ·cos25°＝80×cos25°≈80×0.91≈72.80(海里)． ∵sin B ＝PCPB， ∴PB ＝sin PC B ＝72.80sin34 ≈72.800.559≈130.23(海里)． 即海轮所在的B 处距离灯塔P 有130.23海里．【例3】如图25.4.4，甲、乙两只捕捞船同时从A 港出海捕鱼，甲船以每小时60°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进，甲船航行2小时到达C 处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船加快速度(匀速)沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B 处相遇． ⑴甲船从C 处追赶上乙船用了多少时间？⑵求甲船加快速度后，追赶乙船时的速度．(结果保留根号)【解】⑴过点A 作AD ⊥BC 于点D ，由题意得∠B ＝30°，∠BAC ＝105°，∠BCA ＝45°，AC ＝千米) ．在Rt △ADC 中，CD ＝AD ＝AC ·cos45°＝30(千米) ． 在Rt △ABD 中，AB ＝2AD ＝60(千米)，t ＝6015－2＝2(时) ． 即甲船从C 处追赶上乙船用了2小时．北图25.4.4图25.4.3⑵由⑴知BD ＝AB ·cos30°＝(千米) ．∴BC ＝30＋(千米)，从而v ＝15＋(千米/时) ． 即甲船加快速度后，追赶乙船时的速度为(15＋)(千米/时) ．练习25.4（1）1．如图，一架飞机在高度为5千米的点A 时，测得前方山顶D 的俯角为30°，水平向前飞行2千米到达点B 时，又测得山顶D 的俯角为45°．求这座山的高度DN ．(结果可保留根号)2．某高层建筑物图中AB 所示．小明家住在建筑物附近的“祥和”大厦(图中CD 所示)，小明想利用所学的有关知识测量出高层建筑物AB 的高度．他先在自己家的阳台(图中的点Q 处)测得AB 的顶端(点A )的仰角为37°，然后来到楼下，由于附近建筑物影响测量，小明向AB 方向走了84米，来到另一座高楼的底端(图中的点P 处)，测得点A 的仰角为45 °．又点C 、P 、B 在一条直线上，小明家的阳台距地面60米，请你画出示意图，并根据上述信息求出AB 的高度．(参考数据：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，tan37°＝0.75)CADCA B NM北3．小岛B 正好在深水港口A 的东南方向，一艘集装箱货船从港口A 出发，沿正东方向以每小时30千米的速度行驶，40分钟后在C 处测得小岛B 在它的南偏东15°方向，求小岛B 离港口A 的距离．(精确到0.1千米)(1.41≈2.45，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27)答案练习25.4（1）1．根据题意，得∠ACD ＝90°，∠CAD ＝30°，∠CBD ＝45°，AB ＝2． 设CD ＝x ，在Rt △BCD 中，∵∠CBD ＝45°，∴BC ＝CD ＝x ． 在Rt △ACD 中，∵∠CAD ＝45°，∴AC．∴＝x ＋2．解得x1．所以，这座山的高度DN ＝5－1)＝(4千米)2．过点Q 作QE ⊥AB ，交AB 于点E ．根据题意，得：∠AQE ＝37°，∠APB ＝45°，CQ ＝60(米)，CP ＝84(米)． 设AB ＝x (米)，则AE ＝x －60，QE ＝CB ＝x ＋84． 在Rt △APB 中，PB ＝AB ＝x ，在Rt △AQE 中，AE ＝QE ·tan37°，即x －60＝34(x ＋84)， 解得x ＝492．即楼AB 的高度为492米．3．由题意，得AC ＝30×23＝20(千米) ． 过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ．在Rt △ADC 中，∠ADC ＝90°，∠CAD ＝45°，∴AD ＝AC ·cos45°＝千米) ．CD ＝AC ·sin45°＝千米) ．37°APCQ EB45°北 B在Rt △BDC 中，∠BDC ＝90°，∠B ＝90°―45°―15°＝30°， ∴BD ＝CD ·cos30°＝千米) ．AB ＝AD ＋BD ＝)≈10(1.41＋2.45)＝38.6(千米) ．即小岛B 离深水港口A 的距离是38.6千米．2．坡度在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．如图25.4.5，坡面的铅直高度(h )和水平长度(l )的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i ，即i ＝h l． 坡度通常写成1：m 的形式，如i ＝1：6． 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i ＝hl＝tan α．α就越大，坡面就越陡．【例4】如图25.4.6，水坝的横截面是梯形ABCD ，上底AD ＝4米，坝高AM ＝DN ＝3米，斜坡AB 的坡比i 1＝1CD 的坡比i 2＝1：1．⑴求坝底BC 的长；(结果保留根号)⑵为了增强水坝的防洪能力，在原来的水坝上增加高度，使得水坝的上底EF ＝2米，求水坝增加的的高度．(精确到0.1 1.73)【解】⑴由题意得四边形AMND 是矩形，∴MN ＝AD ＝4(米)．∵i 1＝AM BM ，i 2＝DN CN ＝1，∴BM ＝米)，CN ＝DN ＝3(米)． ∴BC ＝BM ＋MN ＋CN ＝4＋3＝7＋米)．AB CDM N 图1图2AB CDM N FE图25.4.6图25.4.5。

尤新教育辅导学校第二十五章解直角三角形即锐角三角函数【重点难点提示】重点：锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值，三角函数间的同角关系与互余关系．难点：锐角三角函数在0°～90°之间的变化规律的应用．考点：锐角三角函数的有关知识在初中数学中占有比较重要的地位；近年各地中考试题中，大多以填空或选择题的形式出现，约占考量的 2.5 ％．【经典范例引路】2 2sin 15 sin 75例1 （1）计算：cos 0+cot30 °- tan45°- cos30°;（2）Rt△ABC中，∠C=90°,a=2 5 ,b=2 ，求cosA.2 2sin 15 sin (90 15 )解：（1）原式= cos 0+ c ot30 °- tan45°- cos30°;2 sin 152cos 15 3 3 3= cos 0= 2+ 3 -1- 2 =1+ 3 -1- 2（2）在Rt△ABC中，∴∠C＝90°，a＝2 5 ，b＝2，∴c＝ 2 2 22( 5) =2 6 2b 6∴cosA= c = 6= 2 6【解题技巧点拨】（1）主要注意隐含关系式sin 2 2α＋cos α＝1 的运用，来求得sin 215°＋sin 275°＝sin 215°＋cos 215°＝1 的技巧．例2 已知cos α＝0.6975 ，sin β＝0.7328 （α、β均为锐角），求证：α＋β＞90°证明：∵α、β为锐角∴90°- β也为锐角，且cos α＝0.6975 ，cos （90°- β）＝sin β=0.7328 ，根据余弦函数在0°～90°之间的变化规律有：α＞90°- β即α+β＞90°【解题技巧点拨】本题必须灵活运用余弦函数在0°～90°之间的变化规律及三角函数间的互余关系解题．1【综合能力训练】一、填空题1. 计算：sin60 °·cot30 °+sin 245°＝．（2001 江西中考题）1 22．求值： 2 sin60 °· 2cos45°＝. （2001 广州市中考题）3．在△ABC中，如果∠C=90°，∠A＝45°那么tanA ＋sinB= ；△ABC为对称图形（填“轴”或“中心”）（2001 北京中考题）4. α为锐角时，(cos 21) ＝．5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，2(sin A ) ＋|cosB+1| ＝．1sin x cos x6. 已知：cot(90 °-x)= 2 ，则x xsin cos=。

解直角三角形复习说课宋海霞尊敬的各位领导、老师：大家好！今天我说课的内容是华师版教材中考总复习——解直角三角形。

一、教材分析：（一）教材的地位与作用：华东师大版新教材将解直角三角形的学习安排在了九年级上册第25章中，本节重点复习解直角三角形及其应用。

本节在归纳了直角三角形中边角关系的基础上，给出了直角三角形的解法，它既是前面所学知识的运用，也是高中继续学习三角函数和解斜三角形的重要预备知识，解直角三角形在生活实际中应用非常广泛，。

比如：方向角问题、仰角俯角问题、坡度问题等。

从这些问题中，我们要理解解直角三角形的方法，了解方向角、仰角、俯角、坡度等相关名词的意义，掌握将实际问题转化为数学模型的思想方法，从而达到灵活运用数学知识解决实际问题的最终目的。

（二）复习目标：知识与技能目标：.掌握解直角三角形，并能根据题意把实际问题中的已知条件和未知元素，化归到某个直角三角形中加以解决。

会把实际问题转化为含有直角三角形的数学问题，并能给予解决。

体会数学建模的思想。

过程与方法目标：通过问题探究和解决，丰富对现实空间及图形的认识，培养分析、归纳、总结知识的能力。

情感与态度目标：体验数学与生活实际的密切关联，进一步激发学生学习数学的兴趣，逐步养成良好的学习品质。

（三）复习重点：把实际问题中的已知条件和未知元素，化归到某个直角三角形中加以解决。

（四）复习难点：把实际问题转化为解直角三角形的数学问题。

二、学情分析：学生在复习本节课之前已经复习了锐角三角函数、相似三角形有关知识，利用解直角三角形解决实际生活中的问题，对于学生来说已经不是很困难。

三、教法分析：本节课我采用的是345高效课堂模式：自主整理——合作交流——精讲点拨——有效训练。

四、学法分析：学生遵循自主——合作——交流——归纳——应用的主线进行复习。

五、复习过程：(一)情景导入：同学们都有很多理想：有的同学长大了想当设计师、工程师、数a 学家等，我们可能要测量河的宽度、山的高度、设计楼的高度、设计楼间距等等。

华师大版九年级（上）《第二十五章·解直角三角形》第25章解直角三角形课题学习教案【三维教学目标】知识与技能：巩固所学的三角函数，学会制作和应用测倾器，能正确测量底部可以到达的物体高度；培养学生动手实践能力，在实际操作中培养学生分析问题、解决问题的能力。

过程与方法：①引导（教师指出学习目标）②学生自学③分组交流、探究④展示（探究结果）⑤教师点评（探究结果最终确认与知识、能力的提升）情感态度与价值观：渗透数学来源于实践，又反过来作用于实际观点，培养学生用数学的意义；培养学生独立思考、大胆创新的精神。

教学重点：培养学生解决实际问题的能力和用数学知识的意识。

教学难点：能根据实际需要进行测量。

【课堂导入】1.制作测角仪：(1)用木板做一个半圆刻度盘，用量角器在上面画刻度，注意半圆盘上的刻度与量角器不同，它是90°～0°～90°．(2)用手钻在圆心处打孔，并按上图用螺钉、螺母把它和一根长为130cm的木杆联在一起，这时，半圆盘就能绕着固定螺钉旋转(螺母不能固定得太紧或太松)．(3)在圆心螺钉处悬挂一铅垂线，以标出铅直向下．(4)在半圆盘的直径的两端钉两个标针，当木杆与地面垂直时，通过两标针及中心的视线是水平的，因为它与铅垂线互相垂直．让学生把自制的测角仪与教师制好的测角仪对照，以帮学生加以改进。

2.测量：在水平位置。

注意：一定要注意铅垂线与木杆重合，否则说明木杆不竖直，不能测量。

(2)转动半圆盘，使视线通过两标针，并且刚好落在目标物顶部B处．注意：“使目标物顶部点落在视线上”指眼睛、两个标针与目标物顶点点位于同一直线上，即四点共线。

(3)由图6-36知，∠BOE+∠AOE=90°，∠AOC+∠AOE=90°，由同角的余角相等知，倾角∠EOB 等于铅垂线与零度线间的夹角∠AOC，刻度盘上读出∠AOC的度数，就是倾角∠EOB的度数。

在各组同学的重复测量后，比较结果会发现，结果可能差别较大，启发学生：不同的数值都不一定与真实值相同，有的偏大，有的偏小，为了准确度高，可以采用求平均值法，降低误差．由于学生在做物理实验时常采用平均值法，因此对这一点不难理解。

第二十五章 解直角三角形学案一. 锐角三角函数的定义：如图所示.在Rt ∆ABC 中：∠c=90°(要求熟记）斜边的对边A A ∠=sin =c a ⇒∠A 的对边=斜边∙A sin (或 斜边=A A sin 的对边∠)c b A A =∠=斜边的邻边cos A A cos ∙=∠⇒斜边的邻边(或A cos A 的邻边斜边∠=）ba A A A =∠∠=的邻边的对边tan A A A tan ∙∠=∠⇒的邻边的对边(A A tan 的对边或邻边∠=abA A A =∠∠=的对边的邻边cot A A A cot ∙∠=∠⇒的对边的邻边（AA cot A 的邻边对边或∠=∠）A ∠的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角A ∠的三角函数。

例1.在Rt ABC ∆中，如果各边都缩小2倍.那么锐角A 的正弦值 ( )A.不变 B 变大 C 变小 D 不确定 例2.若∠C=90° BC:AC=2:3 求∠A 的四个三角函数值例3.在等腰ABC ∆中.AB=AC=10 BC=12 求∠B 的四个三角函数值例 4.在△ABC 中 ， AD 是BC 边上的高 DAC B ∠=cos tan ①求证：AC=BD ②若1312sin =C 12=BC , 求AD 的长例5在Rt △ABC 中 ∠ACB=90° CD ⊥AB 垂足为D 若5=Ac 2=BC 求ACD ∠sin 的值例6.在梯形ABCD 中.AD ∥BC AC ⊥AB AD=CD 54cos =∠DCA BC=10 求AB 的值例7.如图在△ABC 中∠C=90°点E D .分别在AC .AB 上, BD 平分∠ABC DE ⊥AB AE=653cos =A 求⑪DE.CD 的长 ⑫DBC ∠tan 的值例8.如图 在Rt △ABC 中. ∠ACB=90°.BC=3 15=Ac AB 的垂直 平分线ED 交BC 的延长线于点D 垂足为E 求CAD ∠sin例9.一个直角△有两条边长为3、4 求较小锐角的正切值例10.已知 a.b.c 时△ABC 的三边.a.b.c 满足等式))((4)2(2a c a cb -+=且0941=-c a 求B A sin sin +的值例10已知：在Rt △ABC 中︒=∠90C 8=+b a 12=ab 且b a < 求∠A 的四个三角函数值例11.如图，四边形ABCD 是正方形，E 是BC 上一点，将正方形折叠，使A 点与E 点重合，折痕为MN ，若31tan =∠AEN ，DC+CE=10,(1)求BE 的长；（2）求ANE ∆的面积；（3）求ENB ∠sin 的值。

第二节解直角三角形 25.3解直角三角形 思考：直角三角形ABC 的三条边和两个锐角∠A 、∠B 这五个元素之间有哪些关系？直角三角形的边与角之间的关系(1)两锐角互余：∠A ＋∠B ＝90；(2)三边满足勾股定理：a 2＋b 2＝c 2；(3)边与角关系sin A ＝cos B ＝a c ，cos A ＝sin B ＝b c ，tan A ＝cot B ＝a b ；cot A ＝tan B ＝b a．我们已掌握直角三角形的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．为什么两个已知元素中至少有一条边？由直角三角形全等的判定定理可知，如果给定的直角三角形的一条边和一个锐角，或者给定它的两条边，那么这个直角三角形的形状和大小就完全确定，解直角三角形与确定一个直角三角形所需要的条件是一致的．由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．例1 在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝85，角平分线AD ＝16153，解这个直角三角形．解：在Rt △△ACD 中，∵cos ∠CAD ＝AC AD ＝851615＝3， ∴∠CAD ＝30°．又AD 平分∠CAD ，∴∠CAB ＝60°，∠B ＝30°．在Rt △ACBA 中，∵cos ∠CAB ＝AC AD， ∴AB ＝8512＝165． ∵tan ∠CAB ＝CB AC， ∴CB ＝815．例2 在△ABC 中，已知D 为AB 中点，∠ACB ＝135°，AC ⊥CD ，求sin A 的值．A B CD图25.3.1解：过点D 作DE ∥BC ，交AC 于E ． ∵AD ＝DB ，∴AE ＝CE ．∵∠ACB ＝135°，∠ACD ＝90°，∴∠DCB ＝∠CDE ＝45°．∴∠CED ＝45°，CD ＝CE ．设CD ＝a ，则AC ＝2a ．在Rt △ACD 中，AD ＝22AC CD ＋＝5a ，∴sin A ＝CD AD ＝5a a＝55．例3 在正方形ABCD 中，N 是DC 的中点，M 是AD 上异于D 的点，且∠NMB ＝∠MBC ，求tan ∠ABM 的值．解：如图25.3.3，延长BC 、MN 交于T ，过T 作TO ⊥BM ，设正方形的边长为1．∵AD ∥BC ，∴∠AMB ＝∠OBT ．∵在Rt △ABM 中，cos ∠AMB ＝AM MB， 在Rt △QBT 中，cos ∠OBT ＝OB BT， ∴AM MB ＝OB BT， 又OB ＝12BM ， ∴MB 2＝2AM •BT ．设AM ＝x ，则MB ＝22AM AB ＋＝221x ＋，BT ＝BC ＋CT ＝1＋(1－x )＝2－x ，∴x 2＋1＝2(2—x )x ：．解得x ＝13或x ＝1(舍)． ∴tan ∠ABM ＝13．B A CD图25.3.2 EAD B图25.3.3 M O NC T练习25.3(1) 1．如图，在等腰△ABC 中，底边BC 的中点是点D ，底角的正切值是13，将该等腰三角形绕其腰AC 上的中点M 旋转，使旋转后的D 与点A 重合，得到△A ′B ′C ′，如果旋转后的成边B ′C ′与BC 交子点N ．求∠ANB 的正切值．2．若等腰三角形两腰上的高的和等于底边上的高，求底角的余切值．3．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∠BCD ＝120°，AD ＝2，AB ＝1＋3，求CD 的长度．4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 是BC 上的中线，参cos ∠BAD 与sin ∠BAD 的值．例4 在△ABC 中，BC 菇15，AB ︰AC ＝7︰8，cos C ＝12，求BC 边上的高．分析：由于三角形的高有可能在三角形的内部或外部，因此需要分类讨论．解：如图25.3.4，过点A 作AH ⊥BC ，设AB ＝7k ，AC ＝8k ．①当∠ABC 为锐角时．在Rt △ACH 中，∵cos C ＝12， ∴sin C ＝AH AC＝32， ∴AH ＝43k ．∴cos C ＝HC AC， ∴HC ＝4k ．在Rt △ABH 中，BH ＝22AB AH －＝k ．又BC ＝BH ＋HC ，∴5k ＝15，即k ＝3，∴AH ＝123． CB AD(第1题) MA CDB(第3题) C B A H图25.3.4 CB A H②当∠ABC 为钝角时． 在Rt △ACH 中，∵cos C ＝12， ∴sin C ＝AH AC ＝32， ∴AH ＝43k∵cos C ＝HC AC， ∴HC ＝4k ． 在Rt △ABH 中，BH ＝22AB AH －＝k ．又BC ＝CH －HB ，3k ＝15，即k ＝5，∴AH ＝203综上所述，AH ＝123或AH ＝203．例5 如图25.3.5，在△ABC 中，∠B ＝120°，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，AC ＝7，∠EDC ＝60°，AE ＝BC ，sin A ＝3314，求S 四边形DEBC ．解：延长AB ，过点C 作CH ⊥AB ，交AB 适长线于点H ．在Rt △ACH 中，∵sin A ＝3314， ∴设CH ＝33k ．，AC ＝14k ，则AH ＝22AC CH -＝13k ．∵AC ＝14k ＝7，∴k ＝12，则CH ＝332，AH ＝132．在Rt △BCH 中，sin ∠CBH ＝sin60°＝CH CB， ∴CB ＝3，即AE ＝3．又∠ADE ＝180°—∠EDC ＝120°＝∠B ，∴△ADE ∽△ABC ．∴2949ADE ACB S AE S AC ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△，4049DEBC ACB S S =四边形△． ∵AB ＝AH －BH ＝132－22BC CH -＝132－2794-＝5， ∴S △ACB ＝1534， S 四边形DEBC ＝150349． E D图25.3.5 CBA H练习25.3(2) 1．在△ABC 中，BC ＝6，AC ＝63，∠A ＝30°，求AB 的长．2．在△ABC 中，∠C ＝45°，D 是AC 边上的一点，且∠ADB ＝60°，当AD 与CD 满足什么条件时，能使△ABD ∽△ACB ？3．三角形的两埠长分别为4、5，第三边上的高为3，求这个三角形的面积．4．在△ABC 中，cos A ＝0.8，∠B ＝45°，三角形一边上的高是3，求BC 的长．练习25.3(1)1．342．15 3．CD ＝2 提示：延长BC 、AD 交于点E ．4．cos ∠BAD ＝310，sin ∠MD ＝10， 提示：过点D 作DE ⊥AB 于点E练习25.3(2)1．AB ＝12或62．AD ＝2DC 提示：若相似，则∠ABC ＝∠ADB ＝60°，∠ABD ＝∠C ＝45°．过点A 作AE ⊥BD ，AF ⊥BC ，则AC ＝2AF ＝32AB ，AB ＝2AE ＝32AD ，∴AC ＝32AD 3．()3472+或()3472-4．32，187或152第二节解直角三角形25.3解直角三角形练习25.3(1)1．在△ABC 中，∠A ＝30°，∠C —∠B ＝60°，若BC ＝a ，求AB 的长．2．已知在△ABC 中，AB ＝23，AC ＝2，BC 边上的高为3，求BC 的长．3．如图，在△ABC 中，高CH 是边AB 的一半，且∠B ＝75°，求∠A 的度数．BACH (第3题)。