人教A版高中数学必修五第三章复习课

第三章 章末复习课【课时目标】1．熟练掌握一元二次不等式的解法，并能解有关的实际应用问题． 2．掌握简单的线性规划问题的解法．3．能用基本不等式进行证明或求函数最值．不等式—⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪—不等关系—⎪⎪⎪⎪—不等式的性质—实数比较大小—一元二次不等式—⎪⎪⎪—一元二次不等式的解法—一元二次不等式的应用—简单线性规划—⎪⎪⎪⎪—二元一次不等式(组)与平面区域—简单线性规划—简单线性规划的应用—基本不等式—⎪⎪⎪⎪—算术平均数与几何平均数—基本不等式的应用一、选择题1．设a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a －b <0B ．0<ab<1C.ab <a ＋b2D ．ab >a ＋b答案 C2．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解是[－12，－13]，则不等式x 2－bx －a <0的解是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C ．(13，12)D ．(－∞，13)∪(12，＋∞)答案 A解析 由题意知，a <0，b a ＝－56，－1a ＝16，∴a ＝－6，b ＝5.∴x 2－5x ＋6<0的解是(2,3)． 3．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤40，x ＋2y ≤50，x ≥0，y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值是( )A ．90B ．80C ．70D ．40答案 C解析 作出可行域如图所示.由于2x ＋y ＝40、x ＋2y ＝50的斜率分别为－2、－12，而3x ＋2y ＝0的斜率为－32，故线性目标函数的倾斜角大于2x ＋y ＝40的倾斜角而小于x ＋2y ＝50的倾斜角，由图知，3x ＋2y ＝z 经过点A (10,20)时，z 有最大值，z 的最大值为70.4．不等式x －1x≥2的解为( )A ．[－1,0)B ．[－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1]∪(0，＋∞) 答案 A解析 x －1x ≥2⇔x －1x －2≥0⇔－x －1x≥0⇔x ＋1x ≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋1)≤0x ≠0⇔－1≤x <0.5．设a >1，b >1且ab －(a ＋b )＝1，那么( ) A ．a ＋b 有最小值2(2＋1) B ．a ＋b 有最大值(2＋1)2 C ．ab 有最大值2＋1D ．ab 有最小值2(2＋1) 答案 A解析 ∵ab －(a ＋b )＝1，ab ≤(a ＋b 2)2，∴(a ＋b 2)2－(a ＋b )≥1，它是关于a ＋b 的一元二次不等式，解得a ＋b ≥2(2＋1)或a ＋b ≤2(1－2)(舍去)． ∴a ＋b 有最小值2(2＋1)．又∵ab －(a ＋b )＝1，a ＋b ≥2ab ，∴ab －2ab ≥1，它是关于ab 的一元二次不等式， 解得ab ≥2＋1，或ab ≤1－2(舍去)， ∴ab ≥3＋22，即ab 有最小值3＋2 2. 6．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则2a ＋3b 的最小值为( )A.256B.83C.113 D ．4 答案 A 解析不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax ＋by ＝z (a >0，b >0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最大值12，即4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6，而2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·2a ＋3b 6＝136＋(b a ＋a b )≥136＋2＝256(a ＝b＝65时取等号)． 二、填空题7．已知x ∈R ，且|x |≠1，则x 6＋1与x 4＋x 2的大小关系是________． 答案 x 6＋1>x 4＋x 2 解析 x 6＋1－(x 4＋x 2) ＝x 6－x 4－x 2＋1 ＝x 4(x 2－1)－(x 2－1) ＝(x 2－1)(x 4－1) ＝(x 2－1)2(x 2＋1)∵|x |≠1，∴x 2－1>0，∴x 6＋1>x 4＋x 2.8．若函数f (x )＝2x 2－2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 答案 [－1,0] 解析 由f (x )＝2x 2－2ax －a －1的定义域为R .可知2x 2－2ax －a ≥1恒成立，即x 2－2ax －a ≥0恒成立，则Δ＝4a 2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.9．若x ，y ，z 为正实数，x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值为____．答案 3解析 由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝x ＋3z 2，将其代入y 2xz，得x 2＋9z 2＋6xz 4xz ≥6xz ＋6xz 4xz ＝3，当且仅当x ＝3z 时取“＝”，∴y 2xz的最小值为3.10．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表： a b /万吨 c /百万元A 50% 1 3B 70% 0.5 6某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO 2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．答案 15解析 设购买A 、B 两种铁矿石分别为x 万吨、y 万吨，购买铁矿石的费用为z 百万元，则z ＝3x ＋6y .由题意可得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋710y ≥1.9，x ＋12y ≤2，x ≥0，y ≥0.作出可行域如图所示，由图可知，目标函数z ＝3x ＋6y 在点A (1,2)处取得最小值，z min＝3×1＋6×2＝15.三、解答题11．已知关于x 的不等式ax －5x 2－a<0的解集为M .(1)若3∈M ，且5∉M ，求实数a 的取值范围． (2)当a ＝4时，求集合M .解 (1)∵3∈M ，∴3a －59－a<0，解得a <53或a >9；若5∈M ，则5a －525－a<0，解得a <1或a >25.则由5∉M ，知1≤a ≤25，因此所求a 的范围是1≤a <53或9<a ≤25.(2)当a ＝4时，4x －5x 2－4<0.4x －5x 2－4<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －5>0x 2－4<0或⎩⎪⎨⎪⎧4x －5<0x 2－4>0.⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x >54－2<x <2或⎩⎪⎨⎪⎧x <54x <－2或x >2 ⇔54<x <2或x <－2. ∴M ＝{x |x <－2或54<x <2}．12．当x >3时，求函数y ＝2x 2x －3的值域．解 ∵x >3，∴x －3>0.∴y ＝2x 2x －3＝2(x －3)2＋12(x －3)＋18x －3＝2(x －3)＋18x －3＋12≥22(x －3)·18x －3＋12＝24.当且仅当2(x －3)＝18x －3，即x ＝6时，上式等号成立，∴函数y ＝2x 2x －3的值域为[24，＋∞)．【能力提升】13．设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 D解析 a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝a (a －b )＋1a (a －b )＋ab ＋1ab ≥2＋2＝4.当且仅当a (a －b )＝1且ab ＝1，即a ＝2，b ＝22时取等号． 14．若关于x 的不等式(2x －1)2<ax 2的解集中的整数恰有3个，则实数a 的取值范围是________．答案 (259，4916]解析 由(2x －1)2<ax 2成立可知a >0，整理不等式可得(4－a )x 2－4x ＋1<0，由于该不等式的解集中的整数恰有3个，则有4－a >0，即a <4，故0<a <4，解得不等式有2－a 4－a <x <2＋a4－a，即2－a (2＋a )(2－a )<x <2＋a(2＋a )(2－a )， 亦即14<12＋a <x <12－a ，要使该不等式的解集中的整数恰有3个，那么3<12－a ≤4，解得259<a ≤4916.1．不等式是高中数学的重要内容，其中蕴含着许多重要的思想方法，是高考考查的重点．2．本章内容主要有以下四个方面：①不等式的性质，②一元二次不等式的解法，③简单的线性规划问题，④基本不等式及应用．。

第3课时概率课后篇巩固提升基础巩固1.某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,那么互斥不对立的两个事件是()A.恰有1名男生与恰有2名女生B.至少有1名男生与全是男生C.至少有1名男生与至少有1名女生1名男生与全是女生中的两个事件互斥且不对立符合要求;B中的两个事件之间是包含关系,不符合要求;C 中的两个事件都包含了一名男生一名女生这个事件,故不互斥;D中的两个事件是对立的,不符合要求.故选A.2.《易经》是我国古代预测未来的著作,其中同时抛掷三枚古钱币观察正反面进行预测未知,则抛掷一次时出现两枚正面、一枚反面的概率为()A.18B.14C.38D.12:正正正,正正反,正反正,反正正,正反反,反正反,反反正,反反反,共8种,其中出现两正一反的共有3种,故所求概率为38.故选C.3.把一枚质地均匀的骰子连续掷两次,已知在第一次抛出的是奇数点的情况下,第二次抛出的也是奇数点的概率为()A.16B.14C.13D.12(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),共18个.而“在第一次抛出的是奇数点的情况下,第二次抛出的也是奇数点”包含的基本事件有(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5),共9个.∴在第一次抛出的是奇数点的情况下,第二次抛出的也是奇数点的概率为918=12.故选D.4.如图,在正方形围栏内均匀撒米粒,一只小鸡在其中随意啄食,此刻小鸡正在正方形的内切圆中的概率是()A.14B.π4C.13D.π3A表示小鸡正在正方形的内切圆中,则事件A的几何区域为内切圆的面积S=πR2(2R 为正方形的边长),全体基本事件的几何区域为正方形的面积,由几何概型的概率公式可得P(A)=πR2(2R)2=π4,即小鸡正在正方形的内切圆中的概率为π4.5.记一个两位数的个位数字与十位数字的和为A.若A是不超过5的奇数,则从这些两位数中任取一个,其个位数为1的概率为.5的两位数有:10,12,14,21,23,30,32,41,50,共9个,其中个位是1的有21,41,共2个,因此所求的概率为29.6.如图,在直角坐标系内,射线OT落在30°角的终边上,任作一条射线OA,则射线OA落在∠yOT 内的概率为.,因为射线OA在坐标系内是等可能分布的,所以OA落在∠yOT内的概率为60360=16.7.古代“五行”学说认为:“物质分金、木、水、火、土五种属性,金克木、木克土、土克水、水克火、火克金.”从五种不同属性的物质中随机抽取两种,则抽取的两种物质不相克的概率,有(金,木)、(金,水)、(金,火)、(金,土)、(木,水)、(木,火)、(木,土)、(水,火)、(水,土)、(火,土),共10种等可能发生的结果.其中金克木,木克土,土克水,水克火,火克金,即相克的有5种,则不相克的也是5种,所以抽取的两种物质不相克的概率为12.8.某集团公司为了加强企业管理,树立企业形象,考虑在公司内部对迟到现象进行处罚.现在员工中随机抽取200人进行调查,当不处罚时,有80人会迟到,得到如下数据:表中数据所得频率视为概率.(1)当处罚金额定为100元时,员工迟到的概率比不进行处罚时降低多少?(2)将选取的200人中会迟到的员工分为A,B两类:A类员工在罚金不超过100元时就会改正行为;B类是其他员工.现对A类和B类员工按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷调查,则前两位均为B类员工的概率是多少?设“当处罚金额定为100元时,迟到的员工改正行为”为事件A,则P(A)=80-40200=15,故当处罚金额定为100元时,员工迟到的概率比不进行处罚时降低15.(2)由题可知,A类员工和B类员工各有40人,故分别从A类员工和B类员工中抽出2人.设从A类员工中抽出的2人分别为A1,A2,从B类员工中抽出的2人分别为B1,B2.设“对A类与B类员工按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷调查”为事件M,则事件M中首先抽出A1的事件有(A1,A2,B1,B2),(A1,A2,B2,B1),(A1,B1,A2,B2),(A1,B1,B2,A2),(A1,B2,A2,B1),(A1,B2,B1,A2),共6种,同理首先抽出A2,B1,B2的事件也各有6种.故事件M共有4×6=24(种).设“抽取4人中前两位均为B类员工”为事件N,则事件N有(B1,B2,A1,A2),(B1,B2,A2,A1),(B2,B1,A1,A2),(B2,B1,A2,A1),共4种.所以P(N)=424=16,故抽取的4人中前两位均为B类员工的概率是16.9.空气污染,又称为大气污染,是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中,呈现出足够的浓度,达到足够的时间,并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象.全世界也越来越关注环境保护问题.当空气污染指数(单位:μg/m3)为0~50时,空气质量级别为一级,空气质量状况属于优;当空气污染指数为50~100时,空气质量级别为二级,空气质量状况属于良;当空气污染指数为100~150时,空气质量级别为三级,空气质量状况属于轻度污染;当空气污染指数为150~200时,空气质量级别为四级,空气质量状况属于中度污染;当空气污染指数为200~300时,空气质量级别为五级,空气质量状况属于重度污染;当空气污染指数为300以上时,空气质量级别为六级,空气质量状况属于严重污染.2017年8月18日某省x个监测点数据统计如下:(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x,y的值,并完成频率分布直方图;(2)在空气污染指数分别为50~100和150~200的监测点中,用分层抽样的方法抽取5个监测点,从中任意选取2个监测点,事件A“两个都为良”发生的概率是多少?∵0.003×50=15x ,∴x=100. ∵15+40+y+10=100,∴y=35.40100×50=0.008,35100×50=0.007,10100×50=0.002.频率分布直方图如图所示.(2)在空气污染指数为50~100和150~200的监测点中分别抽取4个和1个监测点,设空气污染指数为50~100的4个监测点分别记为a,b,c,d;空气污染指数为150~200的1个监测点记为E,从中任取2个的基本事件分别为(a,b),(a,c),(a,d),(a,E),(b,c),(b,d),(b,E),(c,d),(c,E),(d,E)共10种,其中事件A “两个都为良”包含的基本事件为(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)共6种,所以事件A “两个都为良”发生的概率是P (A )=610=35. 能力提升1.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为( )A.910B.45C.12D.25,得从五位大学毕业生中录用三人,所有不同的可能结果有(甲,乙,丙),(甲,乙,丁),(甲,乙,戊),(甲,丙,丁),(甲,丙,戊),(甲,丁,戊),(乙,丙,丁),(乙,丙,戊),(乙,丁,戊),(丙,丁,戊),共10种,其中“甲或乙被录用”的所有不同的可能结果有9种,所求概率为910.2.从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动,每天一人,则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( )A.13B.512C.12D.7122名男生记为A 1,A 2,2名女生记为B 1,B 2,任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动,共有(A 1,A 2),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(B 1,B 2),(A 2,A 1),(B 1,A 1),(B 2,A 1),(B 1,A 2),(B 2,A 2),(B 2,B 1)12种情况,而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,B 1),(A 2,B 2)4种情况,则发生的概率为412=13,故选A .3.甲乙两个竞赛队都参加了6场比赛,比赛得分情况的茎叶图如图所示(单位:分),其中乙队的一个得分数字被污损,那么估计乙队的平均得分大于甲队的平均得分的概率为( )A.15B.310C.25D.12。

章末复习课知识网络要点归纳：1．不等式的基本性质不等式的性质是不等式理论的基础，在应用不等式性质进行论证时，要注意每一个性质的条件，不要盲目乱用或错用性质，特别是乘法性质容易用错，要在记忆基础上加强训练，提高应用的灵活性．2．一元二次不等式的解法及其应用一元二次不等式的解集可以通过两种方法求解，第一种方法是结合该一元二次不等式所对应的二次函数图象解决，第二种方法是将原不等式转化求与它同解的不等式组的交集去解决．第一种方法意在让我们通过函数图象了解一元二次不等式与相应的一元二次函数、一元二次方程的联系，充分注重数形结合，得出一般的一元二次不等式解集，它适用于任何一元二次不等式．对于这种方法一定要有深刻的认识与体会，要从图象上真正把握其内在的本质，自己找出不等式解所对应的区间．(2)最大(小)值定理：两个正数的和为定值时积有最大值，积为定值时和有最小值．要通过自己的思考与尝试加深对均值不等式最大(小)值定理的正确理解，在使用均值不等式与最大(小)值定理求某些函数的最值时，要特别注意定理成立的条件是否具备，如均值不等式中的三个条件“一正，二定，三相等”缺一不可．(3)利用基本不等式求实际问题中最值的一般步骤：①认真分析理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；③在定义域内，求出函数的最大值或最小值(有时还需要进行恰当的恒等变形、分析变量、配置系数，凑出“正数”、“定值”、“相等”三个条件)；④给出问题的答案．4．二元一次不等式(组)表示平面的区域与线性规划(1)二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域且不包含边界直线(画成虚线)．Ax＋By＋C≥0在平面直角坐标系中所表示的平面区域是包含边界直线且要把边界直线画成实线．(2)确定二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中所表示的平面区域的判断方法：对于在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)来说，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，以Ax0＋By0＋C 的正负情况便可判断Ax＋By＋C>0表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点．(3)二元一次不等式组表示的平面区域，就是这个不等式组的各个不等式所表示的平面区域的公共部分．这是代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题的基础．(4)解决线性规划问题最大的困难是不会将实际问题提炼成数学问题，即不会建模．主要障碍有三类：①不能正确理解题意，弄清各元素之间的关系；②不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型；③孤立地考虑单个的问题情景，不能多方联想，形成正迁移．针对这些障碍及题目本身文字过长等因素，解题时要认真分析理解题意，能够抓住问题的本质特征，要根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，从而将实际问题抽象概括为线性规划问题，然后利用图解法求出最优解，作为突破这个困难的关键．对于寻找整点最优解的问题，还可以利用计算机辅助解决．题型一　一元二次不等式的解法解一元二次不等式一定要注意，二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系，二次函数图象与x轴的交点横坐标就是一元二次方程的根，二次函数图象在x轴上方，表示函数值大于0，这时x的范围就是不等式ax2＋bx＋c>0的解集；二次函数图象在x轴下方，表示函数值小于0，这时x的范围就是ax2＋bx＋c<0的解，解不等式时应该把二次函数图象画出来，用数形结合的思想方法解题．例1：解不等式－1<x2＋2x－1≤2.题型二　简单线性规划在实际问题中的应用(1)解线性规划问题的关键步骤是画图，所以作图要尽可能地准确，图上操作尽可能的规范．(2)因为作图存在误差，若图上的最优点并不明显易辨，可求出可能是最优解的点的坐标，然后逐一检查，确定最优解．在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．例2：某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料为A，B两种规格金属板，每张面积分别为2 m2与3 m2.用A种规格金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A，B两种规格金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？题型三　基本不等式与最值应用基本不等式求最大(小)值，关键在于“一正二定三相等”．也就是：(1)一正：各项必须为正．(2)二定：要求积的最大值，则其和必须是定值；要求和的最小值，则其积必须是定值．(3)三相等：必须验证等号是否成立．例3：已知：3a2＋2b2＝5，试求：y＝(2a2＋1)(b2＋2)的最大值．练一练：某农场有一废弃的猪圈，留有一面旧墙长12 m，现准备在该地区重新建一个猪圈．平面图为矩形，面积为112 m2，预计：(1)修复1 m旧墙的费用是建造1 m新墙费用的25%；(2)拆去1 m旧墙用以改造建成1 m新墙的费用是建1 m新墙的50%；(3)为安装圈门，要在围墙的适当处留出1 m的空缺．试问：这里建造猪圈的围墙应怎样利用旧墙，才能使所需的总费用最小．答：修复的旧墙约为11.3 m，拆除改建成新墙的旧墙约为0.7 m，这样建造的总造价最小．。

第三章不等式章末复习学习目标XUEXIMUBIAO1.整合知识结构，进一步巩固、深化所学知识.2.能熟练利用不等式的性质比较大小、变形不等式、证明不等式.3.体会“三个二次”之间的内在联系在解决问题中的作用.4.能熟练地运用图解法解决线性规划问题.5.会用基本不等式证明不等式，求解最值问题.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究达标检测1知识梳理PART ONE1.不等式的性质性质1：如果a >b ，那么b a ；如果b <a ，那么a b ，即a >b⇔b a .性质2：如果a >b ，b >c ，那么a c ，即a >b ，b >c ⇔a c .性质3：如果a >b ，那么a ＋c b ＋c .性质4：如果a >b ，c >0，那么ac bc ，如果a >b ，c <0，那么ac bc .性质5：如果a >b ，c >d ，那么a ＋c b ＋d .性质6：如果a >b >0，c >d >0，那么ac bd .性质7：如果a >b >0，那么a n b n (n ∈N *，n ≥1).性质8：如果a >b >0，那么(n ∈N *，n ≥2).na nb<><>>>>>>>><2.三个二次之间的关系设f (x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac 判别式Δ>0Δ＝0Δ<0解不等式f(x)>0或f(x)<0的步骤求方程f(x)＝0的解有两个不等的实数解x1，x2有两个相等的实数解x1，x2没有实数解画函数y＝f(x)的示意图解不等式f(x)>0或f(x)<0的步骤得不等式的解集f(x) >0{x|x<x1或x>x2}Rf(x) <0{x|x1<x<x2}∅∅⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x⎪⎪⎪⎪x≠－b2a3.线性规划问题求解步骤①把问题要求转化为约束条件；②根据约束条件作出可行域；③对目标函数变形并解释其几何意义；④移动目标函数寻找最优解；⑤解相关方程组求出最优解.4.基本不等式利用基本不等式证明不等式和求最值的区别①利用基本不等式证明不等式，只需关注不等式成立的条件.②利用基本不等式求最值，需要同时关注三个限制条件：一正；二定；三相等.2题型探究PART TWO题型一“三个二次”之间的关系例1若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是，则a ＋b ＝.解析 ∵x 1＝－12，x 2＝13是方程ax 2＋bx ＋2＝0(a <0)的两个根，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，13 －14∴⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a 4－b 2＋2＝0，a 9＋b 3＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.反思感悟(1)“三个二次”之间要选择一个运算简单的方向进行转化.(2)用不等式组来刻画两根的位置体现了数形结合的思想.跟踪训练1若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1，m )，则m ＝______.2解析因为ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1，m )，所以1，m 是方程ax 2－6x ＋a 2＝0的根，且m >1，a >0，由⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ m >1，1＋m ＝6a ，1·m ＝a ，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，a ＝2.题型二一元二次不等式的解法例2解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R).反思感悟对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏.跟踪训练2(2018·江苏省如东高级中学期中)已知常数a∈R，解关于x的不等式ax2－2x＋a<0.题型三线性规划问题例3已知变量x ，y 满足约束条件求z ＝2x ＋y 的最大值和最小值.⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，反思感悟(1)因为最优解与可行域的边界斜率有关，所以画可行域要尽可能精确.(2)线性目标函数的最值与纵截距不一定是增函数关系，所以要关注纵截距越大，z越大还是越小.跟踪训练3某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个.现有两种规格的原料，甲种规格每张3m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张才能使得总用料面积最小.例4函数y ＝a 1－x (a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn ＞0)上，则的最小值为.题型四利用基本不等式求最值1m ＋1n4反思感悟条件最值的求解通常是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求最值.跟踪训练4 设x ，y 都是正数，且1x ＋2y ＝3，求2x ＋y 的最小值. 解 ∵1x ＋2y ＝3，∴13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋2y ＝1. ∴2x ＋y ＝(2x ＋y )×1＝(2x ＋y )×13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋2y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4＋y x ＋4x y ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4＋2y x ·4x y ＝43＋43＝83. 当且仅当y x ＝4x y ，即y ＝2x 时，取等号.又∵1x ＋2y ＝3，∴x ＝23，y ＝43.83达标检测PART THREE1.(2018·全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁R A等于√A.{x|－1<x<2}B.{x|－1≤x≤2}C.{x|x<－1}∪{x|x>2}D.{x|x≤－1}∪{x|x≥2}解析方法一A＝{x|(x－2)(x＋1)>0}＝{x|x<－1或x>2}，所以∁A＝{x|－1≤x≤2}，故选B.R方法二因为A＝{x|x2－x－2>0}，所以∁A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B.R2.已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ x ≥0，y ≤1，2x －2y ＋1≤0，若目标函数z ＝mx －y (m ≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m 的值为A.1B.12C.－12D.－1√3.若不等式ax 2＋bx －2>0的解集为，则a ＋b 等于A.－18 B.8 C.－13 D.1解析 ∵－2和－14是方程ax 2＋bx －2＝0的两根.√⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪ －2<x <－14 ∴⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ －2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－14＝－b a ，－2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－14＝－2a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－9，∴a ＋b ＝－13.4.若不等式4(a －2)x 2＋2(a －2)x －1<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是.(－2,2]解析不等式4(a －2)x 2＋2(a －2)x －1<0，当a －2＝0，即a ＝2时，不等式恒成立，符合题意；当a －2≠0时，要使不等式恒成立，需⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)<0，a －2<0，解得－2<a <2，所以a 的取值范围为(－2,2].5.已知f (x )＝32x －k ·3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正，求k 的取值范围.解f (x )＝(3x )2－k ·3x ＋2＞0，∴k <(3x )2＋23x ＝3x ＋23x ，3x ＋23x ≥23x ·23x ＝22， 当且仅当3x ＝23x 时，等号成立.∴k <2 2.课堂小结KETANGXIAOJIE1.不等式的基本性质不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据.因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质.2.一元二次不等式的求解方法对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(其中a≠0)的求解，要联想两个方面的问题：二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点；方程ax2＋bx＋c ＝0的根.按照Δ>0，Δ＝0，Δ<0分三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(a>0)的解集.3.二元一次不等式表示的平面区域的判定对于在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋By＋C的符号相同，取一个特殊点(x0，y)，根据实数Ax0＋By0＋C的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平面区域，可简记为“直线定界，特殊点定域”.特别地，当C≠0时，常取原点作为特殊点.4.求目标函数最优解的方法通过平移目标函数所对应的直线，可以发现取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解.5.运用基本不等式求最值时把握三个条件①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可.。